第05讲 认识无理数 （1个知识点+1种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第05讲 认识无理数 （1个知识点+1种经典题型+试题练习） 知识点合集 知识点．无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 【例1】（2023秋•北京期末）已知是无理数，且，写出一个满足条件的的值是 　 　． 【变式1】（2023秋•武功县期末）在，（相邻两个2之间1的个数逐次加，，，中，无理数有 　　个． 【变式2】（2024•河源一模）下列各数中，是无理数的是　　 A． B． C．0 D． 【变式3】（2023秋•沭阳县校级期末）在实数，，0，，，，（相邻两个1之间依次多一个，无理数的个数是　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4】下列各数中哪些是有理数，哪些是无理数？ ，，，，，，． 【变式5】已知在等式中，，，，都是有理数，是无理数，解答： （1）当，，，满足什么条件时，是有理数； （2）当，，，满足什么条件时，是无理数． 经典题型汇编 题型一．无理数 1．（2024•深圳模拟）下列四个数中，属于无理数的是　　 A．0 B．1.33 C． D． 2．（2024•舞阳县二模）公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．下列各数中，属于无理数的是　　 A． B．0 C． D．1.5 3．（2023秋•碑林区校级期末）在，，0中，无理数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2023秋•碑林区校级期末）在实数，0，，，中，无理数有 　　个． 5．（2022秋•长安区校级期末）下列各数中：12，，，，（每两个1之间的0依次加，其中，无理数有 　　个． 6．（2024•海东市二模）请你写出一个大于0而小于2的无理数：　　． 7．体积为3的正方体的棱长可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？请说明你的理由． 8．我们知道，无限不循环小数叫无理数．试根据无理数的意义，请你构造写出两个无理数． 9．公元前500多年前，数学各学派的学者都认为世界上的数只有整数和分数，直到有一天，大数学家毕达哥拉斯的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若，那么叫1和2的比例中项），他怎么也想不出这个比例中项值．后来，他画了一个边长为1的正方形，设对角线为，于是由毕达哥拉斯定理，他想代表对角线的长，而，那么必定是确定的数，这时他又为自己提出了几个问题： （1）是整数吗？为什么不是？ （2）可能是分数吗？是，能找出来吗？不是，能说出理由吗？亲爱的同学，你能帮他解答这些问题吗？ 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）下列选项中是无理数的为（   ） A． B．0 C． D． 2．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）下列各数中，无理数是（   ） A． B．3 C．0.1010010001 D． 3．（23-24八年级上·广东梅州·期中）在实数，0，，中，无理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24八年级上·四川成都·期末）下列实数中：，，，，，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（22-23八年级上·四川眉山·阶段练习）已知数据：，，，π，，其中无理数出现的频数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）下列实数：、、、、、（每相邻两个之间依次多个），其中无理数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．（23-24八年级上·江苏无锡·期末）在，，，中，无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）在（相邻两个5之间依次多一个1）中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）在3.14，0，，，2，（相邻两个1之间依次多1个0）这5个数中，无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．（23-24八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）在下列各数：，，，，，，，（相邻两个3之间1的个数逐次加1），其中是无理数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 二、填空题 11．（23-24八年级上·山西吕梁·期中） 无理数．（填“是”或“不是”） 12．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）下列各数：，0，，，，（相邻两个2之间1的个数逐次加1），其中无理数有 个． 13．（23-24八年级上·山西临汾·阶段练习）任意写出到之间一个无理数 ． 14．（23-24八年级上·广西北海·期末）在，，，，中，无理数的个数有 个 15．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）在，，，，，中，无理数有 个． 16．（23-24八年级上·北京通州·期末）六张卡片的正面分别写有，，，0，，这六个数，将卡片的正面朝下（反面完全相同）放在桌子上，从中任意抽取一张，卡片上的数字为无理数的可能性大小是 . 17．（22-23八年级上·四川眉山·期中）在实数，，0，，4，中是无理数的是 ． 18．（23-24八年级上·江苏南京·期末）定义：如图，点C、点D把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点C、点D是线段的勾股分割点．已知点M、点N是线段的勾股分割点，，，则 三、解答题 19．（22-23八年级上·全国·课前预习）通过估算，比较大小：和2.6 20．（2021八年级上·全国·专题练习）请说出下列名词的定义： （1）无理数       （2）直角三角形 21．（21-22八年级上·全国·课后作业）请你在方格纸上按照如下要求设计直角三角形： （1）使它的三边中有一边边长不是有理数； （2）使它的三边中有两边边长不是有理数； （3）使它的三边边长都不是有理数． 22．（23-24八年级上·贵州贵阳·阶段练习）请你在方格纸上按照要求设计直角三角形： (1)使它的三边中有一边边长为无理数； (2)使它的三边中有两边边长是无理数； (3)使它的三边边长都是无理数． 23．（21-22八年级上·福建三明·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数；任意一个不为0的有理数与一个无理数的积为无理数；而0与无理数的积为0．由此可得：如果，其中，为有理数，为无理数，那么且． （1）如果，其中，为有理数，那么 ， ； （2）如果，其中，为有理数，求的值． 24．（22-23八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，两个一样的长方体礼品盒，其底面是边长为的正方形，高为；现有彩带若干（足够用），数学组的小明和小刚分别采用自己喜欢的方式用彩带装饰两个礼品盒（假设彩带完美贴合长方体礼品盒）. (1)如图1，小明从底面点A开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周到达点B，求所用彩带的长度； (2)如图2，小刚沿着长方体的表面从点C缠绕到点D，点D与点E的距离是5cm，请问小刚所需要的彩带最短是多少？（注：以上两问均要求画出平面展开示意图，再解答） 25．（22-23八年级上·四川成都·期中）（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”．小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和4的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段AB的长，进而求得的最小值是______．    （2）类比迁移：已知a，b均为正数，且．求的最小值． （3）方法应用：已知a，b均为正数，且，，是三角形的三边长，求这个三角形的面积（用含a，b的代数式表示）． 26．（21-22八年级上·江西吉安·阶段练习）阅读下列材料： 小明遇到这样一个问题：在中，，分别为，，，求的面积． 小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点三角形（即三个顶点都在小正方形的顶点处），借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．    请回答： （1）图1中的面积为______． 参考小明解决问题的方法，完成下列问题： （2）如图2所示为一个的正方形网格（每个小正方形的边长为1）． ①利用构图法在图2中画出三边长分别为，，的格点． ②的面积为______． （3）如图3所示，已知，分别以，为边向外作正方形，正方形，连接．若，，，求六边形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 认识无理数 （1个知识点+1种经典题型+试题练习） 知识点合集 知识点．无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 【例1】（2023秋•北京期末）已知是无理数，且，写出一个满足条件的的值是 　（答案不唯一）　． 【分析】根据是无理数，且，得出，从而即可得出答案 【解答】解：是无理数，且， ， 满足条件的的值是（答案不唯一）． 【点评】本题考查了无理数的估算，准确进行估算是解此题的关键． 【变式1】（2023秋•武功县期末）在，（相邻两个2之间1的个数逐次加，，，中，无理数有 　3　个． 【分析】根据无理数的定义解答即可． 【解答】解：，， ，（相邻两个2之间1的个数逐次加，是无理数，共3个． 故答案为：3． 【点评】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 【变式2】（2024•河源一模）下列各数中，是无理数的是　　 A． B． C．0 D． 【分析】根据无限不循环小数为无理数即可求解． 【解答】解：是无理数；、0、．都是有理数． 故选：． 【点评】本题考查了无理数的概念，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数． 【变式3】（2023秋•沭阳县校级期末）在实数，，0，，，，（相邻两个1之间依次多一个，无理数的个数是　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据无限不循环小数是无理数，进行判断作答即可． 【解答】解：由题意知，，， ，0，，是有理数，故不符合要求；，，（相邻两个1之间依次多一个是无理数． 故选：． 【点评】本题考查了算术平方根，无理数，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键． 【变式4】下列各数中哪些是有理数，哪些是无理数？ ，，，，，，． 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可得到答案． 【解答】解：是小数，和是分数、是小数、是循环小数都是有理数， 是无限不循环小数、是无限不循环小数它们都是无理数． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 【变式5】已知在等式中，，，，都是有理数，是无理数，解答： （1）当，，，满足什么条件时，是有理数； （2）当，，，满足什么条件时，是无理数． 【分析】（1）要根据，，，是否为0进行分类讨论，①当，时，可以判断出是有理数，②当时，对进行化简，然后讨论是有理数的条件， （2）根据题干条件进行分类讨论，①当，，且时，很明显是无理数，②当时，对进行化简，然后讨论是无理数的条件． 【解答】解：（1）当，时，是有理数． 当时，， 其中：是有理数，是无理数，是有理数． 要使为有理数，只有，即． 综上知，当且或且时，是有理数． （2）当，，且时，是无理数． 当时， 其中：是有理数，是无理数，是有理数． 所以当，即，为无理数． 综上知，当，，或，时，是无理数． 【点评】本题主要考查无理数和有理数的知识点，进行分类讨论是解答的关键，此题学生很容易出现漏解的情况，需要同学们仔细作答． 经典题型汇编 题型一．无理数 1．（2024•深圳模拟）下列四个数中，属于无理数的是　　 A．0 B．1.33 C． D． 【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【解答】解：．0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； ．1.33是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意； ．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； ．是无理数，故本选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．（2024•舞阳县二模）公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．下列各数中，属于无理数的是　　 A． B．0 C． D．1.5 【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【解答】解：，1.5是分数，0是整数，它们都不是无理数； 是无限不循环小数，它是无理数； 故选：． 【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 3．（2023秋•碑林区校级期末）在，，0中，无理数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解答】解：无理数有：，共2个． 故选：． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 4．（2023秋•碑林区校级期末）在实数，0，，，中，无理数有 　3　个． 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 【解答】解：，， 在实数，0，，，中，无理数有，，，共3个． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式． 5．（2022秋•长安区校级期末）下列各数中：12，，，，（每两个1之间的0依次加，其中，无理数有 　2　个． 【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可． 【解答】解：无理数有，（每两个1之间的0依次加，共有2个， 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像（每两个1之间的0依次加，等有这样规律的数． 6．（2024•海东市二模）请你写出一个大于0而小于2的无理数：　（答案不唯一）　． 【分析】依据算术平方根的性质求解即可． 【解答】解：， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查的是算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键． 7．体积为3的正方体的棱长可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？请说明你的理由． 【分析】首先用正方体的体积公式求出正方体的棱长，然后根据有理数和无理数的概念进行判断． 【解答】解：正方体的体积为3， 正方体的棱长为，是无理数， 故体积为3的正方形的边长不可能是整数、分数、有理数． 【点评】本题主要考查无理数和有理数的知识点，解题的关键是熟练掌握无理数和有理数的概念，本题比较基础，需要熟练掌握． 8．我们知道，无限不循环小数叫无理数．试根据无理数的意义，请你构造写出两个无理数． 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 【解答】解：答案不唯一，如，等． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 9．公元前500多年前，数学各学派的学者都认为世界上的数只有整数和分数，直到有一天，大数学家毕达哥拉斯的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若，那么叫1和2的比例中项），他怎么也想不出这个比例中项值．后来，他画了一个边长为1的正方形，设对角线为，于是由毕达哥拉斯定理，他想代表对角线的长，而，那么必定是确定的数，这时他又为自己提出了几个问题： （1）是整数吗？为什么不是？ （2）可能是分数吗？是，能找出来吗？不是，能说出理由吗？亲爱的同学，你能帮他解答这些问题吗？ 【分析】（1）根据比例中项的定义，可知，结合无理数的概念，就能得出是不是整数的结论． （2）根据分数的定义，任何分数的平方还是分数，即能得出结论． 【解答】解：（1）不是，，而 ，若，， 在1和2之间不存在另外的整数． （2）不是，因为任何分数的平方不可能是整数． 【点评】本题主要考查无理数和勾股定理的知识点，掌握无理数的概念是解答的关键，此题是基础题，不是很难． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）下列选项中是无理数的为（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，即无限不循环小数，熟练掌握知识点是解题的关键．根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：是分数，属于有理数，故A不符合题意； 0是整数，属于有理数，故B不符合题意； 是无限不循环小数，属于无理数，故C符合题意； 是有限小数，属于有理数，故D不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）下列各数中，无理数是（   ） A． B．3 C．0.1010010001 D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如等；②开方开不尽的数，如等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0)，(两个2之间依次增加1个1)等． 根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：在中，无理数只有， 故选：A． 3．（23-24八年级上·广东梅州·期中）在实数，0，，中，无理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的定义，熟知无理数有：①含的数字；②开不尽方的数：③人造无限不循环小数，是解题的关键． 【详解】解：， 所以在实数，0，，中，无理数有，共1个． 故选：A． 4．（23-24八年级上·四川成都·期末）下列实数中：，，，，，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】此题主要考查了无理数的定义，无限不循环小数为无理数．解题的关键是掌握无理数的定义．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像等有这样规律的数．分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【详解】解：，是有理数，是分数，是有理数，是小数，是有理数， 所以无理数有：，两个， 故答案为：A. 5．（22-23八年级上·四川眉山·阶段练习）已知数据：，，，π，，其中无理数出现的频数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了求频数，无理数的定义，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此求出无理数的个数即可得到答案． 【详解】解：在，，，π，中，无理数有，，π，共3个， ∴无理数的频数为3， 故选：C． 6．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）下列实数：、、、、、（每相邻两个之间依次多个），其中无理数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是无理数的定义，解题关键是熟练掌握无理数辨析方法． 无理数：无限不循环的小数是无理数，据此定义对实数进行逐一判断即可求解． 【详解】解：根据无理数的定义可得： 不是无理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； 不是无理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； 不是无理数，不符合题意； （每相邻两个之间依次多个）是无理数，符合题意； 综上，无理数有个． 故选：． 7．（23-24八年级上·江苏无锡·期末）在，，，中，无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无限不循环小数叫无理数，即可求解． 【详解】解：在，，，中，，，是无理数，，是有理数， 无理数的个数是2个 故选：B． 8．（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）在（相邻两个5之间依次多一个1）中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查无理数的识别，无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数，以及像等有这样规律的数．由此即可判定选择项． 【详解】解：是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 0是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； ，是有限小数，属于有理数； （相邻两个5之间依次多一个1）是无限不循环小数，属于无理数； 综上可知，，是无理数，共3个， 故选C． 9．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）在3.14，0，，，2，（相邻两个1之间依次多1个0）这5个数中，无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】此题主要考查了无理数的定义，根据无限不循环小数是无理数求解即可．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽得到的数；以及像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），等有这样规律的数． 【详解】在3.14，0，，，2，（相邻两个1之间依次多1个0）这5个数中， 无理数有，（相邻两个1之间依次多1个0），共2个． 故选：A． 10．（23-24八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）在下列各数：，，，，，，，（相邻两个3之间1的个数逐次加1），其中是无理数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0．101001000100001…等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项． 【详解】解：， 其中是无理数的有，，，，共4个， 故选：B． 二、填空题 11．（23-24八年级上·山西吕梁·期中） 无理数．（填“是”或“不是”） 【答案】是 【分析】本题考查有理数，属于基础题，解题的关键是掌握无理数的三种形式之一：开方开不尽的数是无理数即可判断． 【详解】解：∵是开方开不尽的数， ∴是无理数， 故答案为：是． 12．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）下列各数：，0，，，，（相邻两个2之间1的个数逐次加1），其中无理数有 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了无理数．根据“无限不循环小数是无理数”，即可求解． 【详解】解：无理数有，0.2121121112……（相邻两个2之间1的个数逐次加1），共2个． 故答案为：2 13．（23-24八年级上·山西临汾·阶段练习）任意写出到之间一个无理数 ． 【答案】 【分析】根据无理数的定义进行解答即可； 【详解】无理数是无限不循环小数，， ， 符合条件； 故答案为: （答案不唯一） 【点睛】本题考查的是无理数的定义，属开放性题目，答案不唯一． 14．（23-24八年级上·广西北海·期末）在，，，，中，无理数的个数有 个 【答案】2 【分析】本题考查无理数，熟练掌握无限不循环的小数叫无理数是解题的关键．根据无理数的定义判定即可． 【详解】解：在，，，，中，无理数的个数有，，共个． 故答案为：． 15．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）在，，，，，中，无理数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 【详解】解：是分数，属于有理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； 是整数，属于有理数，不符合题意； 是分数，属于有理数，不符合题意； 是小数，是有理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； 无理数有个， 故答案为：． 16．（23-24八年级上·北京通州·期末）六张卡片的正面分别写有，，，0，，这六个数，将卡片的正面朝下（反面完全相同）放在桌子上，从中任意抽取一张，卡片上的数字为无理数的可能性大小是 . 【答案】 【分析】本题主要考查概率公式求概率，以及无理数，熟练掌握概率公式求概率是解题的关键．找出卡片中的无理数，根据概率公式求值即可． 【详解】解：，是无理数， 故从中任意抽取一张，卡片上的数字为无理数的可能性大小是， 故答案为：． 17．（22-23八年级上·四川眉山·期中）在实数，，0，，4，中是无理数的是 ． 【答案】， 【分析】此题主要考查了无理数的定义，根据无限不循环小数是无理数求解即可．其中初中范围内学习的无理数有：含的数；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），等有这样规律的数． 【详解】在实数，，0，，4，中是无理数的是，． 故答案为：，． 18．（23-24八年级上·江苏南京·期末）定义：如图，点C、点D把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点C、点D是线段的勾股分割点．已知点M、点N是线段的勾股分割点，，，则 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理， 根据题意需分类讨论：①当为最长线段时，由勾股定理求出；②当为最长线段时，由勾股定理求出即可． 【详解】解：①当为最长线段时， ∵点 M、N是线段的勾股分割点， ∴， ②当为最长线段时， ∵点M、N是线段的勾股分割点， ∴ ∴． 综上所述：或． 故答案为：或． 三、解答题 19．（22-23八年级上·全国·课前预习）通过估算，比较大小：和2.6 【答案】＞2.6 【详解】解：因为≈2．646，所以＞2.6 20．（2021八年级上·全国·专题练习）请说出下列名词的定义： （1）无理数       （2）直角三角形 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）注意无理数应满足的几个条件； （2）直角三角形是由三角形按角分类得到的． 【详解】解：（1）无理数：无限不循环小数叫做无理数． （2）直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 【点睛】此题主要考查了无理数、直角三角形的定义． 21．（21-22八年级上·全国·课后作业）请你在方格纸上按照如下要求设计直角三角形： （1）使它的三边中有一边边长不是有理数； （2）使它的三边中有两边边长不是有理数； （3）使它的三边边长都不是有理数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）可使直角边长分别为2和3，斜边长即不是有理数； （2）可使一条直角边长为边长1与2的长方形的对角线，另一条直角边长为边长为2和4的长方形的对角线，由此得到图形； （3）可使两条直角边长均为边长为1和2的长方形的对角线，连接即可得到图形． 【详解】解：（1）如图， （2）如图， （3） 【点睛】此题考查作图能力，掌握知识点：无理数的定义，画无理数线段，直角三角形的定义，正确掌握无理数的确定方法是解题的关键． 22．（23-24八年级上·贵州贵阳·阶段练习）请你在方格纸上按照要求设计直角三角形： (1)使它的三边中有一边边长为无理数； (2)使它的三边中有两边边长是无理数； (3)使它的三边边长都是无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查作图能力，掌握知识点：无理数的定义，画无理数线段，直角三角形的定义，正确掌握无理数的确定方法是解题的关键． （1）可使直角边长分别为2和3，斜边长即不是有理数； （2）可使一条直角边长为边长1与1的长方形的对角线，另一条直角边长为边长为1和1的长方形的对角线，由此得到图形； （3）可使两条直角边长均为边长为1和2的长方形的对角线，连接即可得到图形． 【详解】（1）解：如图 在中， （为有理数）， （为有理数）， （为无理数）， ∵， ∴是直角三角形， 故为所求三角形． （2）解：如图 在中， （为有理数）， （为无理数）， （为无理数）， ， ∴是直角三角形， 故为所求三角形． （3）解：如图 在中， （为无理数）， （为无理数）， （为无理数）， ， 是直角三角形． 故为所求三角形． 23．（21-22八年级上·福建三明·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数；任意一个不为0的有理数与一个无理数的积为无理数；而0与无理数的积为0．由此可得：如果，其中，为有理数，为无理数，那么且． （1）如果，其中，为有理数，那么 ， ； （2）如果，其中，为有理数，求的值． 【答案】（1）-1，2；（2）15 【分析】（1）根据，为有理数，是无理数，可得m+1=0，n-2=0，进而即可求解； （2）先把原等式化为，即可得到m-2n=0，3m-18=0，进而即可求解． 【详解】解：（1）∵，，为有理数，是无理数， ∴m+1=0，n-2=0， ∴m=-1，n=2， 故答案是：-1，2； （2）∵， ∴， ∵，为有理数，是无理数， ∴m-2n=0，3m-18=0，即：m=6，n=3， ∴=15． 【点睛】本题主要考查无理数的意义以及整式的混合运算，理解“如果，其中，为有理数，为无理数，那么且”，是解题的关键． 24．（22-23八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，两个一样的长方体礼品盒，其底面是边长为的正方形，高为；现有彩带若干（足够用），数学组的小明和小刚分别采用自己喜欢的方式用彩带装饰两个礼品盒（假设彩带完美贴合长方体礼品盒）. (1)如图1，小明从底面点A开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周到达点B，求所用彩带的长度； (2)如图2，小刚沿着长方体的表面从点C缠绕到点D，点D与点E的距离是5cm，请问小刚所需要的彩带最短是多少？（注：以上两问均要求画出平面展开示意图，再解答） 【答案】(1)图见详解， (2)图见详解， 【分析】（1）从底面点开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周到达点，相当于直角三角形的两条直角边分别是60和10，再根据勾股定理求出斜边长即可； （2）求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】（1）解：如图， 将长方体的侧面沿展开，取的中点，取的中点，连接，， 则为所求的彩带长， ， ， ， 答：彩带的长度是； （2）解：当上面的面与前面的面展成一个平面时，如图， 此时； 当右边的面与前面的面展成一个平面时，如图， 此时； 当上面的面与左边的面展成一个平面时，如图， 此时； 由上可知小刚所需要的彩带最短是． 【点睛】本题考查了平面展开最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出平面图形是解此题的关键，利用了数形结合思想． 25．（22-23八年级上·四川成都·期中）（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”．小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和4的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段AB的长，进而求得的最小值是______．    （2）类比迁移：已知a，b均为正数，且．求的最小值． （3）方法应用：已知a，b均为正数，且，，是三角形的三边长，求这个三角形的面积（用含a，b的代数式表示）． 【答案】（1）10；（2）13；（3） 【分析】（1）先根据题意利用勾股定理求出，，则，要想的值最小，则的值最小，即当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为，由此利用勾股定理求出的值即可； （2）如图所示，，，，，，利用勾股定理求出，，然后同（1）求解即可； （3）如图所示，，，， ，则，，，故的面积即为所求，由此求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，，，，， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴， ∴要想的值最小，则的值最小， ∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作交延长线于F， ∵，，， ∴由长方形的性质得，， ∴， ∴， ∴的最小值为10， 故答案为：10； （2）如图所示，，，，， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴， ∴要想的值最小，则的值最小， ∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作交延长线于F， ∵，，， ∴由长方形的性质，， ∴， ∴， ∴的最小值为13， 故答案为：13； （3）如图所示，，，， ， ∴，，， ∴的面积即为所求， ∴ ．    【点睛】本题主要考查了勾股定理，线段和最值问题，解题的关键在于能够准确读懂题意，利用勾股定理求解． 26．（21-22八年级上·江西吉安·阶段练习）阅读下列材料： 小明遇到这样一个问题：在中，，分别为，，，求的面积． 小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点三角形（即三个顶点都在小正方形的顶点处），借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．    请回答： （1）图1中的面积为______． 参考小明解决问题的方法，完成下列问题： （2）如图2所示为一个的正方形网格（每个小正方形的边长为1）． ①利用构图法在图2中画出三边长分别为，，的格点． ②的面积为______． （3）如图3所示，已知，分别以，为边向外作正方形，正方形，连接．若，，，求六边形的面积． 【答案】（1）；（2）①见解析；②；（3）22 【分析】（1）分析图形，用边长为2的正方形的面积减去三个小三角形的面积即可； （2）①根据给出的三边长度构造三角形；② 利用上面求面积的方法计算即可； （3）利用构图法求出，的面积，然后根据六边形花坛的面积为即可解答． 【详解】（1）； 理由：    （2）①如图：    ②； 理由： （3）如图，在网格图中构造图形，    ∴ ∴ 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$