精品解析：河南省郑州市中原区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年下学期学情调研八年级数学试题卷 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间90分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 中国新能源汽车行业高速发展，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 华为 B. 小鹏 C. 小米 D. 蔚来 2. 下列式子中，是不等式的有（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 为双减赋能，某校开展劳动实践课程，协助工人测量公园假山两点A、B之间的距离.如图所示，在地面上取一点C，使C到A、B两点均可直接到达，找到和的中点D、E，测得的长为，则假山两点A、B之间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 如果把分式中x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大到原来的2倍 B. 不变 C. 扩大到原来的4倍 D. 缩小到原来的 5. 如图所示的地面由正八边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则的度数为（ ） A. 75° B. 90° C. 100° D. 120° 6. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A B. C. D. 7. 一天上班高峰时，某大厦电梯已经挤了很多人，现在所有人重量为公斤，公斤的大胖硬是挤了进去，这时电梯因超重警示音响起，大胖不得不走出电梯等待下一班，此时公斤的小瘦抓紧机会坐上了电梯，警示音未响起，电梯缓缓关上了门，留下了尴尬的大胖．已知当电梯承载的重量超过公斤时警示音响起，则的取值范围可用下列哪一个不等式表示（ ） A. B. C. D. 8. 端午节是我国的传统节日，为了满足人们对粽子的需求，某超市在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1200元购进甲种粽子的个数是用600元购进乙种粽子的个数的3倍．设每个甲种粽子的进价为x元，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 现有一张平行四边形纸片，，要求用尺规作图的方法在边，上分别找点，使得四边形为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（ ） A. 甲对、乙不对 B. 甲不对、乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对 10. 如图，点E、F在平行四边形的对角线上，，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则______． 12. 把两个同样大小的初中专用三角尺与像如图所示那样放置，，，M是与的交点．直接测得的长度为，则点M到AB的距离是____． 13. 用反证法证明：一个三角形中至少有一个角不小于60°，应先假设_____________． 14. 如果＝3，则的值为________． 15. 如图，把放在直角坐标系中，其中，，将沿x轴向左平移，当的顶点落在直线上时，则点A平移后的坐标为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）解不等式组，并把解集表示在数轴上． （2）化简：． 17. 如图，正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点，点、、均为格点，请按下列要求画图（尺规作图或三角尺作图均可，不要求写作法）． （1）在格点上找一点，使得为的角平分线； （2）在线段上找一点，使得． 18. 数学上常用的因式分解的方法有提公因式法、运用公式法，但也有一些多项式无法直接用上述方法因式分解，小明思考后发现，可以分组进行因式分解，例如：， 请解决以下问题： （1）将多项式因式分解：_____； （2）将多项式因式分解； （3）的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点． （1）求m的值和直线的表达式； （2）直线与x轴交于点B，点C为x轴上一点且，求的面积； （3）结合图象，直接写出不等式的解集． 20. 课本再现： 如图①②③，下列四边形是同一个四边形不断缩小（保持形状不变）的结果． （1）在缩小的过程中，四边形对应的各个外角的大小是否发生了变化？如果将四边形不断缩小下去，请你想象一下最终的形状，并画出来． 类比迁移： （2）如图，若小明从O点向西走10米，左转，再向前走10米，左转，如此重复，求小明第一次回到O点时所走过的路程． （3）若小明从O点向西走16米，左转，再向前走16米，左转，如此重复，已知小明第一次回到O点时所走过的路程为320米，则______． 21. 问题情境： 学习完平行四边形的性质和判定后，某数学小组遇到了以下问题：如图，的对角线与相交于点O，点E、F分别在和上． 问题1：当与满足什么条件时，四边形是平行四边形？请说明理由． 小明：当时，四边形是平行四边形． 理由如下： ， ． 即． ∴． ∵四边形是平行四边形， ．（依据1） 又， ． ． ∴四边形是平行四边形．（依据2） 问题2：当满足什么条件时，四边形是平行四边形？请说明理由． 小红：当时，四边形是平行四边形． 理由如下：…… 数学思考： （1）请你写出小明推理过程中的“依据1”和“依据2”； 依据1：__________________； 依据2：__________________． （2）请你帮助小红写出问题2的证明过程． 22. 通过多方面扶持，河南郑州加快推进文旅文创高质量发展，“五一”假期，全市接待游客人次创历史新高．郑州中原区二砂文化创意园为旅客购进“文创产品”和“手工艺品”深受大家喜爱．其中一件“手工艺品”比一件“文创产品”的进价多10元.创意园原计划用900元购进“文创产品”的数量是用600元购进“手工艺品”数量的2倍． （1）求一件“文创产品”和一件“手工艺品”的进价分别是多少元？ （2）现在要求购进两种产品总数量不变，且购进“文创产品”的数量不能高于“手工艺品”的数量的4倍．请你设计出最省钱的购进方案，并算出比原计划所节省的钱数． 23. 综合与实践课上，飞飞和同学做了以下数学探究活动．如图，为等边三角形，是边上高． （1）如图①，______． （2）如图②，E为线段的任意一点，连接将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接．过点F作交于点G．求证：． （3）在（2）的条件下，若，，点M为直线上的点，当时，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年下学期学情调研八年级数学试题卷 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间90分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 中国新能源汽车行业高速发展，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 华为 B. 小鹏 C. 小米 D. 蔚来 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．根据中心对称与轴对称的定义进行判断即可． 【详解】解：A中图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； B中图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； C中图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； D中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：B． 2. 下列式子中，是不等式的有（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是不等式的定义：用不等号连接的式子都叫做不等式．根据不等式的定义对各式子进行解答即可． 【详解】解：①，不含有不等号，不是不等式，不符合题意； ②，是不等式，符合题意； ③，是不等式，符合题意； ④，是不等式，符合题意； ⑤，是不等式，符合题意； ⑥不含有不等号，不是不等式，不符合题意． 故选：C． 3. 为双减赋能，某校开展劳动实践课程，协助工人测量公园假山两点A、B之间的距离.如图所示，在地面上取一点C，使C到A、B两点均可直接到达，找到和的中点D、E，测得的长为，则假山两点A、B之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，根据三角形中位线定理解答即可．掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵点D、E分别为和的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 4. 如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大到原来的2倍 B. 不变 C. 扩大到原来的4倍 D. 缩小到原来的 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键．根据分式的基本性质解答即可， 【详解】解：把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式变为， ∴分式的值不变． 故选：B． 5. 如图所示的地面由正八边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则的度数为（ ） A. 75° B. 90° C. 100° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面镶嵌，也考查了正多边形内角计算方法，掌握正多边形的概念，理解几何图形镶嵌成平面是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角是解题关键． 先计算出正八边形的内角，根据平面镶嵌的条件计算求解． 【详解】解：正八边形的一个内角度数为， ∴的度数为， 故选：B． 6. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：A． 是整式的乘法，故此选项不符合题意； B． ，不是多项式的乘积形式，不属于因式分解，故此选项不符合题意； C． 没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项不符合题意； D． ，把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项符合题意； 故选：D． 7. 一天上班高峰时，某大厦电梯已经挤了很多人，现在所有人重量为公斤，公斤的大胖硬是挤了进去，这时电梯因超重警示音响起，大胖不得不走出电梯等待下一班，此时公斤的小瘦抓紧机会坐上了电梯，警示音未响起，电梯缓缓关上了门，留下了尴尬的大胖．已知当电梯承载的重量超过公斤时警示音响起，则的取值范围可用下列哪一个不等式表示（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组即可求解，根据题意正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得， 故选：． 8. 端午节是我国的传统节日，为了满足人们对粽子的需求，某超市在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1200元购进甲种粽子的个数是用600元购进乙种粽子的个数的3倍．设每个甲种粽子的进价为x元，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查从实际问题中抽象出分式方程，根据用1200元购进甲种粽子个数是用600元购进乙种粽子的个数的3倍即可列出方程． 【详解】解：根据题意得：， 故选：C． 9. 现有一张平行四边形纸片，，要求用尺规作图的方法在边，上分别找点，使得四边形为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（ ） A. 甲对、乙不对 B. 甲不对、乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据甲乙作图的方式可得到边和角相等，再根据平行四边形的性质与判定即可解答． 【详解】解： 由甲图可知，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故甲正确； 由乙的作图可知是的角平分线， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故乙正确； 故选． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 10. 如图，点E、F在平行四边形的对角线上，，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形．熟练掌握平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形外角性质，是解决问题的关键． 根据，及，有，推出，得到是等边三角形，得到，根据，得到，得到，由平行四边形的性质即得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则______． 【答案】< 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，根据不等式性质1：不等式两边都加上或减去同一个数，不等号方向不变可得结论． 【详解】解： 故答案为：< 12. 把两个同样大小的初中专用三角尺与像如图所示那样放置，，，M是与的交点．直接测得的长度为，则点M到AB的距离是____． 【答案】4.5 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点M作于点E，证明，即可得到点M到的距离． 【详解】解：过点M作于点E， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， 故答案为：4.5． 13. 用反证法证明：一个三角形中至少有一个角不小于60°，应先假设_____________． 【答案】一个三角形中每个角都小于60° 【解析】 【分析】根据反证法的步骤，先假设结论不成立，即否定命题即可． 【详解】解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即一个三角形中每个角都小于60°． 故答案为：一个三角形中每个角都小于60°． 【点睛】本题考查了反证法的知识，掌握反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立是解题的关键． 14. 如果＝3，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的运算法则先化简，再把等式变形后代入即可． 【详解】解： = = ∵ ∴ 原式== 故答案为：． 【点睛】题目主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式运算法则是关键． 15. 如图，把放在直角坐标系中，其中，，将沿x轴向左平移，当的顶点落在直线上时，则点A平移后的坐标为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质以及坐标与图形变化-平移，利用平行四边形的性质及一次函数图象上点的坐标特征，找出平行四边形平移的距离是解题的关键．由点A，O的坐标及的长，可得出点B，C的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出当点C或点B落在直线上时平移的距离，再结合点A的原坐标，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，点A的坐标为，点O的坐标为，， ∴点C的坐标为，点B的坐标为． 当时，， 解得：， ∴， ∴当的顶点C落在直线上时，点A平移后的坐标为，即； 当时，， 解得， ∴， ∴当的顶点B落在直线上时，点A平移后的坐标为，即． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）解不等式组，并把解集表示在数轴上． （2）化简：． 【答案】（1）原不等式组的解集为，解集表示在数轴上见解析；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，分式的乘除法： （1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可； （2）先把除法变为乘法，再约分即可． 【详解】解：（1） 解不等式①得， 解不等式②得， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图 因此原不等式组的解集为 （2） 17. 如图，正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点，点、、均为格点，请按下列要求画图（尺规作图或三角尺作图均可，不要求写作法）． （1）在格点上找一点，使得为的角平分线； （2）在线段上找一点，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了网格作图，轴对称的性质； （1）根据网格的特点，轴对称找到点关于的对称点，连接，则为的角平分线； （2）根据网格的特点画出的垂直平分线，交于点，则，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，点即为所求， 二者均对 【小问2详解】 解：如图所示，点即为所求． 18. 数学上常用的因式分解的方法有提公因式法、运用公式法，但也有一些多项式无法直接用上述方法因式分解，小明思考后发现，可以分组进行因式分解，例如：， 请解决以下问题： （1）将多项式因式分解：_____； （2）将多项式因式分解； （3）的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是等腰三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）利用公式法进行因式分解即可； （2）利用公式法和提公因式法进行因式分解即可； （3）先利用公式法和提公因式法进行因式分解，可得，根据题意，可知，因此，即，即可得出结果． 【小问1详解】 解： 故答案为：； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即, ∴是等腰三角形． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点． （1）求m的值和直线的表达式； （2）直线与x轴交于点B，点C为x轴上一点且，求的面积； （3）结合图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1），直线的表达式为 （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了两条直线相交问题，一次函数与一元一次不等式的关系，待定系数法求一次函数的解析式，求得相关点的坐标是解题的关键． （1）先把代入中求出m，从而得到，然后把A点坐标代入中求出k得到直线的表达式； （2）先利用直线的解析式确定，然后由求得，再根据三角形面积公式计算； （3）根据图象即可求解． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得， ∴， 把代入得， 解得，， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得， ， ∴， ∵， ∴或， ∴或， ∴的面积， ∴或， ∴的面积为1或3； 【小问3详解】 解：观察图象，不等式的解集为． 20. 课本再现： 如图①②③，下列四边形是同一个四边形不断缩小（保持形状不变）结果． （1）在缩小的过程中，四边形对应的各个外角的大小是否发生了变化？如果将四边形不断缩小下去，请你想象一下最终的形状，并画出来． 类比迁移： （2）如图，若小明从O点向西走10米，左转，再向前走10米，左转，如此重复，求小明第一次回到O点时所走过的路程． （3）若小明从O点向西走16米，左转，再向前走16米，左转，如此重复，已知小明第一次回到O点时所走过的路程为320米，则______． 【答案】（1）四边形对应的各个外角的大小未发生变化，；（2）小明第一次回到O点时所走过的路程为120米；（3）18 【解析】 【分析】（1）外角的大小不会改变，随着图形的缩小，四边形逐步缩小成为一个点，画出图形即可． （2）根据外角相等，都是，结合外角和定理，得边数为，结合多边形周长计算得（米）． （3）根据外角相等，都是，结合外角和定理，得边数为，结合多边形的周长计算得，解方程即可． 本题考查了多边形的外角性质，外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）四边形对应的各个外角的大小未发生变化，随着图形的缩小，四边形逐步缩小成为一个点，画图如下： ． （2）根据外角相等，都是，由外角和定理，得边数为， 故多边形的周长为：（米）． （3）根据外角相等，都是，由外角和定理，得边数为， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 21. 问题情境： 学习完平行四边形的性质和判定后，某数学小组遇到了以下问题：如图，的对角线与相交于点O，点E、F分别在和上． 问题1：当与满足什么条件时，四边形是平行四边形？请说明理由． 小明：当时，四边形是平行四边形． 理由如下： ， ． 即． ∴． ∵四边形是平行四边形， ．（依据1） 又， ． ． ∴四边形是平行四边形．（依据2） 问题2：当满足什么条件时，四边形是平行四边形？请说明理由． 小红：当时，四边形是平行四边形． 理由如下：…… 数学思考： （1）请你写出小明推理过程中的“依据1”和“依据2”； 依据1：__________________； 依据2：__________________． （2）请你帮助小红写出问题2的证明过程． 【答案】（1）平行四边形的对角线互相平分；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（2）证明过程见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质和判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，再证明，然后由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】解：（1）依据1：平行四边形的对角线互相平分； 依据2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． 22. 通过多方面扶持，河南郑州加快推进文旅文创高质量发展，“五一”假期，全市接待游客人次创历史新高．郑州中原区二砂文化创意园为旅客购进的“文创产品”和“手工艺品”深受大家喜爱．其中一件“手工艺品”比一件“文创产品”的进价多10元.创意园原计划用900元购进“文创产品”的数量是用600元购进“手工艺品”数量的2倍． （1）求一件“文创产品”和一件“手工艺品”的进价分别是多少元？ （2）现在要求购进两种产品总数量不变，且购进“文创产品”的数量不能高于“手工艺品”的数量的4倍．请你设计出最省钱的购进方案，并算出比原计划所节省的钱数． 【答案】（1）一件“文创产品”进价是30元，一件“手工艺品”进价是40元 （2）最省钱的方案为：购进“文创产品”36件，“手工艺品”9件最省钱，比原计划省了60元 【解析】 【分析】本题考查分式方程，一次函数，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式． （1）设一件“文创产品”的进价是m元，根据用900元购进“文创产品”的数量是用600元购进“手工艺品”数量的2倍得：，解方程并检验可得答案； （2）求出创意园原计划购进“文创产品”和“手工艺品”共45件；设购进“文创产品”m件，所需总费用为w元，由购进“文创产品”的数量不能高于“手工艺品”的数量的4倍，得，故，而，由一次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：设一件“文创产品”进价是x元，则一件“手工艺品”进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：一件“文创产品”进价是30元，一件“手工艺品”进价是40元； 【小问2详解】 解：“文创产品”为件 “手工艺品”为件 总数为件. 设购进“文创产品”m件，则购进“手工艺品”辆，总费用w元. 即 . ∵， ∴w随m的增大而减小. ∴当时，w取得最小值，最小值 元 答：最省钱的方案为：购进“文创产品”36件，“手工艺品”9件最省钱，比原计划省了60元. 23. 综合与实践课上，飞飞和同学做了以下数学探究活动．如图，为等边三角形，是边上的高． （1）如图①，______． （2）如图②，E为线段的任意一点，连接将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接．过点F作交于点G．求证：． （3）在（2）的条件下，若，，点M为直线上的点，当时，请直接写出的长度． 【答案】（1） （2）见解析 （3）的长度为或 【解析】 【分析】本题考查 了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可直接求解； （2）由旋转的性质可得，由可证； （3）由可证，可得，再由点M的位置，由线段和差关系可求解． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形，是边上的高， ∴，平分， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：∵将线段绕点C逆时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点M在点A的左侧时，， 当点M在点A的右侧时，， 综上所述：的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$