精品解析：广东省韶关市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

国家义务教育质量监测结果应用整改之： 2023-2024学年度第二学期全市义务教育质量学业水平监测 八年级数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的相关信息填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡各题目指定区域的相应位置上，写在试卷上无效． 3． 本卷总用时90分钟，全卷满分120分． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的圆形水波不断扩大，记它的半径为r，则其面积S与r的关系式为，下列判断正确的是 ( ) A. r是常量 B. π是常量 C. S是自变量 D. S， π， r都是变量 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查函数中常量与变量的概念，根据常量（不会发生变化的量）与变量（会发生变化的量）的定义即可求解，掌握其概念是解题的关键． 【详解】解：A、r是自变量，故选项不符合题意； B、π是常量，故选项符合题意； C、S是因变量，故选项不符合题意； D、π是常量，故选项不符合题意； 故选：B． 2. 若 有意义，则x可以是下面的哪个值（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握被开方数不小于零且分母不为零的条件是解题的关键．根据被开方数不小于零且分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， ， 解得且． 则只有0符合． 故选：A 3. 已知中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（　　） A. ∠A＝∠C﹣∠B B. a：b：c＝4：5：6 C. a2＝b2﹣c2 D. a＝，b＝，c＝1 【答案】B 【解析】 【分析】依据三角形内角和定理以及勾股定理的逆定理，即可得出结论． 【详解】A、∵∠A＝∠C﹣∠B，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故△ABC为直角三角形． B、∵42+52≠62，∴△ABC不是直角三角形； C、∵a2＝b2﹣c2，∴b2＝c2+a2，故△ABC为直角三角形； D、∵a＝，b＝，c＝1，∴b2＝c2+a2，故△ABC为直角三角形； 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断． 4. 已知正比例函数的图象上两点，当时，有，那么的取值范围是（    ） A. 9 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图象与系数的关系：对于（k为常数，），当时，的图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当时，的图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．据此求解即可． 【详解】解：∵当时，有， ∴， ∴． 故选D． 5. 如图， 在中，平分交于点 E，，则等于 ( ) A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，由平行四边形的性质得到，角平分线的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ∴ ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，在菱形中，对角线交于点O，若，若，则的长为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，灵活运用菱形的性质成为解题的关键． 由菱形的性质以及已知条件可判定等边三角形，即得出，进而根据菱形的性质即可解答． 【详解】解：∵在菱形中，对角线交于点O，若， ∴，，，， ∴等边三角形， ∴， ∴． 故选：C． 7. 已知直线 与两坐标轴的交点分别为、，则的周长为 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理；先求出直线与两坐标轴的交点，再求出的长度，即可得出答案． 【详解】解：当时，， 当时，，， 则的周长为． 故选：A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，与y轴交点为B，且与正比例函数的图象交于点．观察函数图象，关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，先得出，运用数形结合思想，来解答两个函数所对应的两直线交点，得出它们构成的不等式的解集，据此即可作答． 【详解】解：∵点在正比例函数， ∴， ∴， 则， ∵一次函数的图象与x轴交点为，与y轴交点为B，且与正比例函数的图象交于点， ∴结合图象，关于x的不等式的解集为， 故选：C． 9. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为25，则图2中的长为（　　） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形，由大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积得出，再结合即可得出的值，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形， ∵大正方形的面积为25， ∴， 又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍）， 即图2中小正方形的边长为3， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，正确得出大正方形的面积是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以O为圆心，的长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以O为圆心，长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以点O为圆心，长为半径画弧，交直线于点，…，按如此规律进行下去，点的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标的变化规律以及两点之间的距离公式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标． 根据题意可以求得点的坐标，点的坐标，点的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从而可以求得点的坐标． 【详解】解：由题意可得，点的坐标为， 设点的坐标为， ， ， 解得：， ∴点的坐标为， 同理可得，点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 以此类推可得，点的坐标为 ∴点的坐标为， 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 甲、乙两支排球队队员的平均身高都为，方差分别为，，则身高较整齐的球队是 _____队． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，熟练掌握方差的意义是解题的关键．根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案． 【详解】解：甲、乙两支排球队队员的平均身高都为，方差分别为，， ， 身高较整齐的球队是甲队， 故答案为：甲． 12. 将直线向上平移3个单位长度后，得到的直线解析式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握“上加下减”的平移规律． 根据“上加下减”的平移规律即可得到答案． 【详解】解：将直线向上平移3个单位长度后， 得到的直线解析式为； 故答穼为：． 13. 若点在一次函数图象上，则值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查代数式求值以及一次函数的图像和性质，熟练掌握一次函数图像上点的坐标特征是解题的关键． 把点代入，得，即可求解． 【详解】解：由于点在一次函数图象上， 故将点代入中， 得，化简可得， 故答案是． 14. 如图，在中，对角线、相交于，，、、分别是、、的中点，下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④平分．其中正确的是_______．(填序号) 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断②错误，由，可证四边形是平行四边形，可得③正确．由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确． 【详解】解：四边形是平行四边形 ，，，， 又， ，且点 是中点， ， 故①正确， 、分别是、的中点， ，， 点是斜边上的中点， ， ，无法证明， 故②错误， ， 四边形是平行四边形 故③正确， ， ， ， ， ， 平分，故④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键． 15. 如图，矩形中，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为______． 【答案】或##8或2 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，分点在线段中点的左边和右边两种情况，画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答并正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形为矩形，， ∴，， 由折叠可得，，，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 如图，过点作与，则四边形是矩形，， ∴，， 由折叠可得，，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 综上，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题 (一)∶ 本大题共3小题， 第16小题10分， 第17、18小题各7分， 共24分． 16. 计算∶ （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算、负整数指数幂、零指数幂、化简绝对值等知识，熟练掌握相关公式和运算法则是解题关键． （1）首先根据二次根式乘除法法则进行运算，然后相加减即可； （2）根据零指数幂运算法则、绝对值的性质、负整数指数幂以及二次根式的性质进行运算，然后相加减即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 某同学上学期的数学历次测验成绩如下表所示： 测验类别 平时测验 期中测验 期末测验 第1次 第2次 第3次 成绩 100 106 106 105 110 （1）该同学上学期5次测验成绩的众数为 ，中位数为 ； （2）该同学上学期数学平时成绩的平均数为 ； （3）该同学上学期的总成绩是将平时测验的平均成绩、期中测验成绩、期末测验成绩按照2：3：5的比例计算所得，求该同学上学期数学学科的总评成绩（结果保留整数）． 【答案】（1）106，106；（2）104 ；（3）107分. 【解析】 【详解】分析：（1）根据中位数及众数的定义，即可求解； （2）根据平均数计算公式计算即可； （3）用本学期的数学平时测验的数学成绩×0.3+期中测验×0.3+期末测验×0.4，计算即可. 详解：（1）数据排列为：100，105，106，106，110； 所以中位数为106，众数为106. （2）平时数学平均成绩为：=104. （3）104×0.3+105×0.3+110×0.4=107分. 点睛：此题主要考查了中位数、众数、平均数、算术平均数的计算，关键是理解中位数、众数、平均数、算术平均数的概念和公式. 18. 如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A，B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且． （1）求证：； （2）求修建的公路的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握这两个定理是解题关键． （1）根据勾股定理的逆定理，由得到是直角三角形，进而得解； （2）利用的面积公式可得，，从而求出的长． 【小问1详解】 解：证明：∵，，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴． 答：修建的公路的长是． 四、解答题 (二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… 按照以上规律，解决以下问题： （1）写出第5个等式； （2）试用含n(n为自然数，且)的式子表示你猜想的第n个等式，并证明其正确性． 【答案】（1）； （2），理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了数字规律，二次根式的乘法，认真观察等式，找出所给规律是解题的关键． （1）根据所给等式可得答案； （2）首先写出第n个等式，然后再利用二次根式的乘法进行计算即可． 【小问1详解】 解：第1个等式： ， 第2个等式： ， 第3个等式： ， 第4个等式： ， 第5个等式： ． 【小问2详解】 解：根据题意，第n个等式为：，理由如下： ， ∴． 20. 如图， 已知四边形中，， （1）尺规作图∶ 过点D作， 交于点 E(保留作图痕迹， 不要求写作法)； （2）若， 当满足什么条件时，（1）中作出的四边形为正方形？ 并证明你的结论． 【答案】（1）作图见解析； （2）当时，四边形正方形，证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，正方形的判定，矩形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意，过点作直线的垂线即可； （2）先证明四边形为矩形，再证明，即可证得四边形为正方形． 【小问1详解】 解：在的下方任取一点，以为圆心，的长度为半径画圆，交于点，再分别以为圆心，的长度为半径画圆，交于点，连接，交于点，则，即为所求，如图： 【小问2详解】 解：当时，四边形为正方形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形为正方形． 21. 为响应政府低碳生活，绿色出行的号召，某公交公司决定购买一批节能环保的新能源公交车，计划购买型和型两种公交车，其中每辆的价格、年载客量如表： 型 型 价格（万元/辆） 年载客量（万人/年） 60 100 若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元． （1）求，的值； （2）计划购买型和型两种公交车共10辆，如果该公司购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于640万人次，问有几种购买方案? （3）在（2）的条件下，请用一次函数的性质说明哪种方案使得购车总费用最少?最少费用是多少万元? 【答案】（1）的值为100，的值为150； （2）有4购买方案 （3）购车总费用最少的方案是购买型公交车9辆，购买型公交车1辆，购车总费用为1050万元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组应用以及一元一次不等式组的应用和一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；正确列出函数解析式． （1）利用总价单价数量，结合“购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买型公交车辆，则购买型公交车辆，根据“购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于640万人次”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数，即可得出的值，得出购买方案； （3）设购车总费用为万元，根据总费用=购买两种公交车费用之和列出函数解析式，由函数的性质得出最值． 【小问1详解】 解：依题意得：，解得：， 答：的值为100，的值为150； 【小问2详解】 解：设购买型公交车辆，则购买型公交车辆， 依题意得： 解得： 又为整数 有4购买方案； 【小问3详解】 解：设购车总费用为万元， 则，（且为整数） ， 随的增大而减小 当时，最小，最小值为（元）， 购车总费用最少的方案是购买型公交车9辆，购买型公交车1辆，购车总费用为1050万元． 五、解答题 (三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 问题情境：小明在期末复习时，遇到了这样一个问题：如图，在正方形中，点E、F分别在边上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）请直接判断∶ (填“=”或“≠”)； 在“问题情境”的基础上，小明继续探索以下问题： （2）如图，在正方形中，点E、F、G分别在边和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论； （3）如图，在（2）的条件下，当M在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点M落在点处．那么四边形是正方形吗？并说明理由． 【答案】（1）= （2），理由见详解 （3）是，理由见详解 【解析】 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）过点作，证明，由此可得； （3）连接，证明，所以；由折叠可知，，由四边形内角和和平角的定义可得，所以，则，所以四边形是菱形，再由“有一个角是直角的边形是正方形”可得结论； 【小问1详解】 解：∵， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ，理由如下： 如图，过点作，交于点，交于点， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 是，理由如下： 连接． 由（2）的结论可知：． ∵四边形是正方形， ， 在和中， ， ∴， ， 由折叠可知：． ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为菱形， 又∵， ∴四边形为正方形． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的判定和性质，正方形的性质和判定，折叠的性质等，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 23. 如图， 在平面直角坐标系中， 直线交x轴于点， 交y轴于点， 直线经过点B且交x轴正半轴于点 C， 已知． （1）点 C 的坐标是 ( ， )，直线的表达式是 ； （2）若点 G 为线段 上一点，且满足 求点 G 的坐标； （3）如图， 点 E 为线段中点，点 D 为y轴上一动点，以为直角边作等腰直角， 且， 当点F落在直线上时，求点 D 的坐标． 【答案】（1）， ； （2）； （3）D点坐标为或 ． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质，待定系数法求解析式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由点得到点，再由待定系数法求出函数表达式； （2）连接，由得到则直线的表达式为：即可求解； （3）当D点在E上方时，证明列出等式即可求解；当点D在点E下方时，同理可解． 【小问1详解】 解：∵点 ∴， 设直线的表达式为： 将点C的坐标代入上式得： 解得： 则直线的表达式为： 故答案为：， ． 【小问2详解】 解：如图， 连接， ∴ ∴直线的表达式为： 联立直线和的表达式得： 解得： 当时， ∴点． 【小问3详解】 解：设， 当时， 如图，当D点在E上方时，过点D作轴， 过E、F分别作垂直于x轴，与交于点M、N， 是等腰直角三角形， ， ∵是的中点， 如图，当点D在点E下方时，过点D作轴， 过P、Q分别作垂直于x轴，与交于点P、Q， 是等腰直角三角形， ， ∵是的中点， 即D点坐标为或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 国家义务教育质量监测结果应用整改之： 2023-2024学年度第二学期全市义务教育质量学业水平监测 八年级数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的相关信息填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡各题目指定区域的相应位置上，写在试卷上无效． 3． 本卷总用时90分钟，全卷满分120分． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的圆形水波不断扩大，记它的半径为r，则其面积S与r的关系式为，下列判断正确的是 ( ) A. r是常量 B. π是常量 C. S是自变量 D. S， π， r都是变量 2. 若 有意义，则x可以是下面的哪个值（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（　　） A. ∠A＝∠C﹣∠B B. a：b：c＝4：5：6 C. a2＝b2﹣c2 D. a＝，b＝，c＝1 4. 已知正比例函数的图象上两点，当时，有，那么的取值范围是（    ） A. 9 B. C. D. 5. 如图， 在中，平分交于点 E，，则等于 ( ) A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，对角线交于点O，若，若，则的长为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 7. 已知直线 与两坐标轴的交点分别为、，则的周长为 ( ) A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，与y轴交点为B，且与正比例函数的图象交于点．观察函数图象，关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为25，则图2中的长为（　　） A. 3 B. 4 C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以O为圆心，的长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以O为圆心，长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以点O为圆心，长为半径画弧，交直线于点，…，按如此规律进行下去，点的坐标为( ) A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 甲、乙两支排球队队员的平均身高都为，方差分别为，，则身高较整齐的球队是 _____队． 12. 将直线向上平移3个单位长度后，得到的直线解析式为_________． 13. 若点在一次函数图象上，则值是______． 14. 如图，在中，对角线、相交于，，、、分别是、、的中点，下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④平分．其中正确的是_______．(填序号) 15. 如图，矩形中，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为______． 三、解答题 (一)∶ 本大题共3小题， 第16小题10分， 第17、18小题各7分， 共24分． 16. 计算∶ （1） （2） 17. 某同学上学期的数学历次测验成绩如下表所示： 测验类别 平时测验 期中测验 期末测验 第1次 第2次 第3次 成绩 100 106 106 105 110 （1）该同学上学期5次测验成绩的众数为 ，中位数为 ； （2）该同学上学期数学平时成绩的平均数为 ； （3）该同学上学期的总成绩是将平时测验的平均成绩、期中测验成绩、期末测验成绩按照2：3：5的比例计算所得，求该同学上学期数学学科的总评成绩（结果保留整数）． 18. 如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A，B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且． （1）求证：； （2）求修建公路的长． 四、解答题 (二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… 按照以上规律，解决以下问题： （1）写出第5个等式； （2）试用含n(n为自然数，且)的式子表示你猜想的第n个等式，并证明其正确性． 20. 如图， 已知四边形中，， （1）尺规作图∶ 过点D作， 交于点 E(保留作图痕迹， 不要求写作法)； （2）若， 当满足什么条件时，（1）中作出的四边形为正方形？ 并证明你的结论． 21. 为响应政府低碳生活，绿色出行的号召，某公交公司决定购买一批节能环保的新能源公交车，计划购买型和型两种公交车，其中每辆的价格、年载客量如表： 型 型 价格（万元/辆） 年载客量（万人/年） 60 100 若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元． （1）求，的值； （2）计划购买型和型两种公交车共10辆，如果该公司购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于640万人次，问有几种购买方案? （3）在（2）条件下，请用一次函数的性质说明哪种方案使得购车总费用最少?最少费用是多少万元? 五、解答题 (三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 问题情境：小明在期末复习时，遇到了这样一个问题：如图，在正方形中，点E、F分别在边上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）请直接判断∶ (填“=”或“≠”)； 在“问题情境”基础上，小明继续探索以下问题： （2）如图，在正方形中，点E、F、G分别在边和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论； （3）如图，在（2）的条件下，当M在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点M落在点处．那么四边形是正方形吗？并说明理由． 23. 如图， 在平面直角坐标系中， 直线交x轴于点， 交y轴于点， 直线经过点B且交x轴正半轴于点 C， 已知． （1）点 C 的坐标是 ( ， )，直线的表达式是 ； （2）若点 G 为线段 上一点，且满足 求点 G 的坐标； （3）如图， 点 E 为线段中点，点 D 为y轴上一动点，以为直角边作等腰直角， 且， 当点F落在直线上时，求点 D 的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$