精品解析：河南省新乡市卫辉市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年下期期末调研试卷 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的） 1. 若分式的值为0，则（ ） A. B. C. D. 2. 华为搭载海思麒麟9000高端双模芯片，工艺制程，集成了亿个集成电路，，那么用科学记数法表示为（　　） A. 5×10﹣9m B. 0.5×10﹣8m C. 5×10﹣8m D. 5×10﹣7m 3. 2023年的央视春晩舞美设计以“满庭芳”为主题，将中华文明的传统美学理念与现代科技相结合，令人耳目一新．演播厅顶部的大花造型，来源于中国传统纹样“宝相花”（如图）．下列选项对其对称性的表述正确的是（ ） A. 轴对称图形 B. 既是轴对称图形又是中心对称图形 C. 中心对称图形 D. 既不是轴对称图形又不是中心对称图形 4. 如果关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 5. 已知将直线向上平移2个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法错误的是（ ） A. 经过第一、二、四象限 B. 与轴交于 C. 与轴交于 D. 与直线平行，随增大而增大 6. 若点，，在反比例函数图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知的周长为，对角线、交于点，且的周长比的周长多，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，连接，以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点、，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，画射线交于点．若，，则的面积为（ ） A. 9 B. 15 C. 18 D. 30 9. “龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先，但它因为骄傲在途中睡觉，而乌龟一直坚持爬行最终赢得比赛，下列函数图象可以体现这一故事过程的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，直线l和双曲线y=(k>0)交于A、B两点，P是线段AB上的点(不与A、B重合)，过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC的面积为、△BOD的面积为、△POE的面积为，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要将化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为______． 12. 添加一个条件，使矩形ABCD是正方形，这个条件可能是 _____． 13. 《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺）将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 14. 如图，菱形的对角线的长分别为2和，是对角线上任一点（点不与点、重合），且交于点，交于点，则阴影部分的面积是______． 15. 如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则点F到边CD的距离为 _____． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算和解方程 ①计算： ②解分式方程： （2）先化简，再求值：，并从的解集中选一个你喜欢的合适的整数作为的值代入求值． 17. 新郑红枣又名鸡心枣，是河南省郑州市新郑市的特产，素有“灵宝苹果潼关梨，新郑大枣甜似蜜”的盛赞．某外贸公司从甲、乙两个红枣厂家各随机抽取10盒进行检测，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息： 10盒甲厂质量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98 10盒乙厂质量中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94 抽取的甲、乙厂质量统计表 厂家 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比 甲 90 89 a 266 40% 乙 90 b 90 39 30% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）这个月乙厂可包装3000盒红枣，估计该月“优秀”等级的盒数； （3）根据以上数据，你认为外贸公司会选择______红枣厂家（填“甲”或“乙”）．请说明理由（写出一条理由即可）． 18. 如图，在中，，为锐角，点是对角线的中点．数学学习小组要在上找两点、，使四边形为平行四边形，“勤思小组”现总结出甲、乙、丙三种方案如下： 请回答下列问题： （1）以上方案能得到四边形． 为平行四边形的是______． （2）请将（1）中方案的证明过程写下来（如果有多种只写一种即可，写多种方案的证明过程不扣分也不多给分）． 19. 某生态体验园推出了甲，乙两种消费卡，设入园次数为x次，所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题： （1）分别求出选择这两种卡消费时，，关于x的函数表达式； （2）求点B的坐标，并结合题意，说明B点的实际意义； （3）当入园次数12次时，选择哪种卡消费比较合算？ 20. 已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B(5，0)，若OB＝AB，且． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）直接写出当x＞0时，kx+b＜的解集； 21. 如图，是等边三角形，将沿直线平移到的位置，连接，交于点． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）请在图中连接，则四边形一定是菱形吗？为什么？ 22. 烟花爆竹的发明与火药技术的使用息息相关．最初的爆竹是由唐朝的李畋发明的，他利用火药、纸筒等材料制作爆竹，目的是产生巨大声响以驱鬼辟邪，烟花爆竹不仅在重要节日以示庆贺，还承载着中国人迎祥纳福的美好愿望．小红的爸爸是一家烟花爆竹店的老板，在春节前购进甲，乙两种烟花，用3120元购进甲种烟花与用4200元购进乙种烟花的数量相同，乙种烟花进货单价比甲种烟花进货单价多9元． （1）求甲、乙两种烟花进货单价； （2）小红的爸爸打算再购进甲、乙两种烟花共1000个，其中乙种烟花的购货数量不少于甲种烟花数量的3倍，如何进货才能花费最少？并求出最少的花费． 23. 【问题情境】如图1，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接． 【猜想证明】 （1）试判断四边形形状，并说明理由； （2）如图2，若，猜想线段与的数量关系并加以证明； 【解决问题】 （3）如图1若，，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年下期期末调研试卷 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的） 1. 若分式的值为0，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式值为0，分子等于0，分母不等于0求解即可． 【详解】解：由题意，得 x-2=0，且x-3≠0， 解得：x=2， 故选：A． 【点睛】本题考查分式值为0的条件，熟练掌握“分式值为0，分子等于0，分母不等于0”是解题的关键． 2. 华为搭载海思麒麟9000高端双模芯片，工艺制程，集成了亿个集成电路，，那么用科学记数法表示为（　　） A. 5×10﹣9m B. 0.5×10﹣8m C. 5×10﹣8m D. 5×10﹣7m 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看原数变成时，小数点移动了多少位，|与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值大于或等于10时，为正整数；当原数的绝对值小于1时，为负整数． 【详解】∵ ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，负整数指数幂，正确的确定的值是解本题的关键． 3. 2023年的央视春晩舞美设计以“满庭芳”为主题，将中华文明的传统美学理念与现代科技相结合，令人耳目一新．演播厅顶部的大花造型，来源于中国传统纹样“宝相花”（如图）．下列选项对其对称性的表述正确的是（ ） A. 轴对称图形 B. 既是轴对称图形又是中心对称图形 C. 中心对称图形 D. 既不是轴对称图形又不是中心对称图形 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据中心对称图形与轴对称图形的概念解答即可． 【详解】解：该图形是中心对称图形，也是轴对称图形， 故选：B． 【点睛】此题考查的是中心对称图形与轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形 4. 如果关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．先解关于的分式方程，在根据题意求解即可． 【详解】解：方程去分母得，， 解得， 方程的解为正数， ， 解得， ， ，即， 故且， 故选C． 5. 已知将直线向上平移2个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法错误的是（ ） A. 经过第一、二、四象限 B. 与轴交于 C. 与轴交于 D. 与直线平行，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数图象与性质，掌握这些知识是关键．由题意可确定平移后的函数解析式，由解析式及函数图象的性质逐项判断即可． 【详解】解：直线向上平移2个单位长度后的解析式为， 即， 则； 故函数图象经过第一、二、四象限，即选项A正确； 当，即时，；当时，； 故直线与轴交于，与轴交于，即选项B、C正确； 由于与中x的系数相同，两人直线平行，但，则随的增大而减小，故选项D错误； 故选：D． 6. 若点，，在反比例函数图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知函数的图象在一、三象限，由三点的横坐标可知点，在第三象限，在第一象限，根据反比例函数的增减性及各象限内点的坐标特点即可解答． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴此函数的图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小； ∵，， ∴点，在第三象限，在第一象限， ∴，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 7. 已知的周长为，对角线、交于点，且的周长比的周长多，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．利用平行四边形的性质得到，则，在根据题意列出等式即可得到答案． 【详解】解：， ， 的周长为， ， 的周长比的周长多， ， ， ， 故选D． 8. 如图，在矩形中，连接，以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点、，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，画射线交于点．若，，则的面积为（ ） A. 9 B. 15 C. 18 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】过点H作于点P，由尺规作图知，平分，则可证明，从而有，；由勾股定理求得，则求得；设，则；在中由勾股定理建立方程求得x，即可求得面积． 【详解】解：如图，过点H作于点P，则； 在矩形中，，， ； 由尺规作图知，平分， ； ， ， ，； 由勾股定理得， ； 设，则； 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即， ； 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，尺规作图作角平分线，勾股定理等知识，作的垂线并证明三角形全等是解题的关键． 9. “龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先，但它因为骄傲在途中睡觉，而乌龟一直坚持爬行最终赢得比赛，下列函数图象可以体现这一故事过程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】【分析】根据领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟先到达终点，即可判断. 【详解】领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，兔子骄傲起来，睡了一觉，在图形上来看在一段时间内兔子所行路程不变，当它醒来时，发现乌龟快到了终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟先到达了终点，说明乌龟到达终点时兔子还没到达，所以排除A、C、D， 所以符合题意的是B， 故选B. 【点睛】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是读懂题意及图象，弄清函数图象中横、纵轴所表示的意义及实际问题中自变量与因变量之间的关系． 10. 如图，直线l和双曲线y=(k>0)交于A、B两点，P是线段AB上的点(不与A、B重合)，过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC的面积为、△BOD的面积为、△POE的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝解答即可． 【详解】解：根据双曲线的解析式可得 所以可得 设OP与双曲线的交点为，过作x轴的垂线，垂足为M 因此 而图象可得 所以 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要将化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式约分中公因式的求法，掌握求法是解题的关键．公因式：取分子、分母的系数的最大公约数及相同字母（或因式）的低次幂作为公因式的因式，即可求解． 【详解】解：与的公因式为， 故答案为：． 12. 添加一个条件，使矩形ABCD是正方形，这个条件可能是 _____． 【答案】或或或或 【解析】 【分析】根据有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形即可得出答案． 【详解】解：根据有一组邻边相等的矩形是正方形得：这个条件可能是或或或， 根据对角线互相垂直的矩形是正方形得：这个条件可能是， 故答案为：或或或或． 【点睛】本题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形与矩形之间的关系是解题关键． 13. 《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺）将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 【答案】秋千绳索的长度为尺． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，设尺，表示出的长，在中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可，学会利用参数构建方程，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设尺， 由题意得四边形是长方形，尺，， ∵尺， ∴（尺）， ∴（尺）， 在中，由勾股定理得， ∴，解得：， 答：秋千绳索的长度为尺． 14. 如图，菱形的对角线的长分别为2和，是对角线上任一点（点不与点、重合），且交于点，交于点，则阴影部分的面积是______． 【答案】3 【解析】 【分析】可推出，证明四边形AEPF是平行四边形，推出，进而得出阴影部分的面积是菱形面积的一半． 【详解】解：设与交于点G， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案：3． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，图形面积的转换，解决问题的关键是将阴影部分的面积转化为菱形的面积． 15. 如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则点F到边CD的距离为 _____． 【答案】2或8##8或2 【解析】 【分析】根据题意得：AF=AD=5，设线段AB的垂直平分线交AB于点N，交CD于点M，可得四边形ADMN为矩形，从而得到MN=AD=5，MN⊥CD，再由勾股定理可得FN=3，然后分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：根据题意得：AF=AD=5， 设线段AB的垂直平分线交AB于点N，交CD于点M， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=∠BAD=∠ANM=90°， ∴四边形ADMN为矩形， ∴MN=AD=5，MN⊥CD， ∵点F刚好落在线段AB的垂直平分线上，AB=8， ∴， ∴， 如图，当点F落在矩形ABCD内部时， ∴MF=MN-FN=2； 如图，当点F落在矩形ABCD外部时， MF=MN+FN=8； 综上所述，点F到边CD的距离为2或8． 故答案为：2或8 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等几何知识的综合应用；解决问题的关键利用分类讨论思想解答． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算和解方程 ①计算： ②解分式方程： （2）先化简，再求值：，并从的解集中选一个你喜欢的合适的整数作为的值代入求值． 【答案】（1）①；②；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，解分式方程，化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）①利用乘方的意义，零指数幂，负整数指数幂进行计算即可； ②根据分式方程的解题方法进行计算并检验； （2）先对分式化简，再根据分式的定义选择合适的解代入求值． 【详解】①解： ②解：去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 检验：当时， 原方程的解为 （2）解： 要使分式有意义， 可取的整数有，0，1． 当时，原式． 17. 新郑红枣又名鸡心枣，是河南省郑州市新郑市的特产，素有“灵宝苹果潼关梨，新郑大枣甜似蜜”的盛赞．某外贸公司从甲、乙两个红枣厂家各随机抽取10盒进行检测，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息： 10盒甲厂质量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98 10盒乙厂质量中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94 抽取的甲、乙厂质量统计表 厂家 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比 甲 90 89 a 26.6 40% 乙 90 b 90 39 30% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）这个月乙厂可包装3000盒红枣，估计该月“优秀”等级的盒数； （3）根据以上数据，你认为外贸公司会选择______红枣厂家（填“甲”或“乙”）．请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1）95，90，20． （2）900盒 （3）甲红枣厂家，平均数一样，但“优秀”等级占比大，甲厂方差比乙厂小，质量比乙厂稳定，众数比乙厂大． 【解析】 【分析】题目主要考查数据的处理及利用样本估计总体，理解题意，熟练掌握中位数、众数等的计算方法是解题关键． （1）根据中位数，众数，百分比的概念或公式计算即可； （2）由乙“优秀”等级所占百分比乘以包装总盒数即可； （3）根据平均数一样，比较优秀率、方差、众数即可判断． 【小问1详解】 解：甲厂10盒中数据出现最多的是95， 故， 乙厂“优秀”等级所占百分比为， 故“优秀”等级有3盒，而“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94， “合格”等级有2盒， 故10个数据由小到大排列，第5、6个数据是90，90，故中位数， 乙厂“合格”等级占比，故， 故答案为：95，90，20． 【小问2详解】 这个月乙厂可包装3000盒红枣，估计该月“优秀”等级的盒数（盒） 【小问3详解】 选择甲红枣厂家，平均数一样，但“优秀”等级占比大，甲厂方差比乙厂小，质量比乙厂稳定，众数比乙厂大． 18. 如图，在中，，为锐角，点是对角线的中点．数学学习小组要在上找两点、，使四边形为平行四边形，“勤思小组”现总结出甲、乙、丙三种方案如下： 请回答下列问题： （1）以上方案能得到四边形． 为平行四边形的是______． （2）请将（1）中方案的证明过程写下来（如果有多种只写一种即可，写多种方案的证明过程不扣分也不多给分）． 【答案】（1）甲、乙、丙 （2）详见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意即可得出结论； （2）由平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质分别对各个方案进行判断即可． 【小问1详解】 解：以上方案都能得到四边形为平行四边形， 故答案为：甲、乙、丙； 【小问2详解】 解：方案甲： 连接，如图， 四边形是平行四边形，为的中点， ，， 、分别为、的中点， ， 四边形为平行四边形 方案乙： 四边形是平行四边形， ，，， ， 平分，平分， ， 在和中， ， ，， ，， ， 四边形平行四边形． 方案丙： 四边形是平行四边形， ，， ，， 在和中， ， 四边形为平行四边形． 19. 某生态体验园推出了甲，乙两种消费卡，设入园次数为x次，所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题： （1）分别求出选择这两种卡消费时，，关于x的函数表达式； （2）求点B的坐标，并结合题意，说明B点的实际意义； （3）当入园次数为12次时，选择哪种卡消费比较合算？ 【答案】（1）； （2）；B点表示入园次数为15次时，两种消费卡所需费用相同，都是450元 （3）选择甲消费卡比较合算 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）联立函数解析式，求出交点B的坐标，根据题意说明B点的实际意义即可； （3）把代入函数解析式求出对应的y的值即可得出答案． 【小问1详解】 解：设，把代入得：， 解得：， ∴， 设，把，代入得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：联立， 解得：， ∴点B的坐标为； B点表示入园次数为15次时，两种消费卡所需费用相同，都是450元． 【小问3详解】 解：入园次数为12次时，甲消费卡所需费用为（元），乙消费卡所需费用为（元）， ∵， ∴选择甲消费卡比较合算． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，求两条直线的交点坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键，属于中考常考题型． 20. 已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B(5，0)，若OB＝AB，且． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）直接写出当x＞0时，kx+b＜的解集； 【答案】（1）y＝，y＝x﹣；（2）0＜x＜9 【解析】 【分析】（1）先利用的面积求出，再用勾股定理求出，进而得出，求出点的坐标，最后用待定系数法，即可得出结论； （2）直接由图象，即可得出结论； 【详解】解：（1）如图1，过点作轴于， ， ， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； 点，在一次函数的图象上， ， ， 一次函数的表达式为； （2）结合图象可知：当x＞0时，不等式kx+b＜的解集为0＜x＜9． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了三角形的面积公式，待定系数法，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是：求出点坐标． 21. 如图，是等边三角形，将沿直线平移到的位置，连接，交于点． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）请在图中连接，则四边形一定是菱形吗？为什么？ 【答案】（1），详见解析 （2）四边形一定是菱形，详见解析 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，平移的性质，菱形的判定等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）根据等边三角形及平移的性质可得，，再结合等腰三角形的性质可得，即可证明结论； （2）根据平移的性质可知四边形是平行四边形，结合（1）可证明平行四边形是菱形． 【小问1详解】 ，理由如下： 是等边三角形，由平移而得， ，， ， ， ，， ∴，且， ∴， ，即． 【小问2详解】 四边形一定是菱形． 理由如下：由平移知，， 四边形是平行四边形． 由（1）可知，， 平行四边形是菱形． 22. 烟花爆竹的发明与火药技术的使用息息相关．最初的爆竹是由唐朝的李畋发明的，他利用火药、纸筒等材料制作爆竹，目的是产生巨大声响以驱鬼辟邪，烟花爆竹不仅在重要节日以示庆贺，还承载着中国人迎祥纳福的美好愿望．小红的爸爸是一家烟花爆竹店的老板，在春节前购进甲，乙两种烟花，用3120元购进甲种烟花与用4200元购进乙种烟花的数量相同，乙种烟花进货单价比甲种烟花进货单价多9元． （1）求甲、乙两种烟花的进货单价； （2）小红的爸爸打算再购进甲、乙两种烟花共1000个，其中乙种烟花的购货数量不少于甲种烟花数量的3倍，如何进货才能花费最少？并求出最少的花费． 【答案】（1）甲种烟花的进货单价为26元，则乙种烟花的进货单价为元； （2）购进甲种烟花个，则乙种烟花个，花费最少为元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程及一元一次不等式和相应的函数关系式． （1）设甲种烟花的进货单价为x元，则乙种烟花的进货单价为元，由题意列出分式方程，解方程即可； （2）设购进甲种烟花m个，则乙种烟花个，花费为y元，根据题意确定相应的函数关系式和不等式，然后求解，利用一次函数的性质即可得出结果． 【小问1详解】 解：设甲种烟花的进货单价为x元，则乙种烟花的进货单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种烟花的进货单价为26元，则乙种烟花的进货单价为元； 【小问2详解】 设购进甲种烟花m个，则乙种烟花个，花费为y元， 由题意得：， ∵乙种烟花的购货数量不少于甲种烟花数量的3倍， ∴， 解得：， ∵，则y随m增大而减小， ∴当时，y最小，最小为元， 则， 答：购进甲种烟花个，则乙种烟花个，花费最少为元． 23. 【问题情境】如图1，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接． 【猜想证明】 （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图2，若，猜想线段与的数量关系并加以证明； 【解决问题】 （3）如图1若，，求． 【答案】（1）四边形是正方形，理由见解析；（2），证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形 （2）过点D作于H，由等腰三角形性质可得，，由“”可得，可得，由旋转的性质可得，可得结论； （3）如图1，过点D作于点H．由，推出，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下： ∵将绕点B按顺时针方向旋转， ∴，，， 又∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； （2），证明如下： 如图②所示，过点D作，垂足为H，则， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）知四边形是正方形， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：， ∴， ∴； （3）如图1，过点D作于H， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$