精品解析：福建省福州第二中学2023-2024学年高二下学期期末测试数学试卷

福州二中2023-2024学年高二第四学段考试（数学） （满分：150分，考试时间：120分钟） 命题：高二数学集备组 审核：高二数学集备组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. 或 B. C. D. 或 2. 已知三点共线，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 3 3. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 某校举办了数学知识竞赛，把1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）按，，，分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的为（ ） A. 的值为0.015 B. 估计这组数据的众数为80 C. 估计这组数据的第60百分位数为87 D. 估计成绩低于80分的有350人 7. 设，，，设a，b，c大小关系为（ ） A B. C. D. 8. 已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．有选的得0分． 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在上单调递增 C. 的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数 D. 在上的零点有4个 11. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 D. 存在a，使得点为曲线的对称中心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则虚部为______. 13. 已知函数是增函数，则实数的取值范围为__________. 14. 如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，点在棱上，给出下列三个结论： ①四棱锥的体积为定值； ②三棱锥的体积的最大值为； ③最小值为. 请写出所有正确结论的序号______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）试判断的形状； （2）若，求周长的最大值． 16. 在各项均不相等的等差数列中，，且等比数列，数列的前项和满足. （1）求数列的通项公式； （2）求数列前项和. 17. 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 18. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点. （1）求证：平面PBD； （2）求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值； （3）求D到平面APM的距离. 19. 已知抛物线：经过点. （1）求抛物线的方程； （2）设直线与的交点为，，直线与倾斜角互补. （i）求的值； （ii）若，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福州二中2023-2024学年高二第四学段考试（数学） （满分：150分，考试时间：120分钟） 命题：高二数学集备组 审核：高二数学集备组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式不等式和一元二次不等式得解法解出集合，再按照集合的并集运算即可. 【详解】，则，且，解得， 则集合， 则 故选：B. 2. 已知三点共线，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据得到方程，求出答案. 【详解】， 因为三点共线，故， 即，解得. 故选：D 3. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解. 【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有， 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 故选：D. 4. 若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分焦点在轴或轴两种情况，求椭圆的离心率，求解参数，再求椭圆的焦距. 【详解】若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距， 若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距， 所以该椭圆的焦距为或. 故选：D 5. 已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论. 【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为， 设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时 根据弦长公式得最小值为. 故选：B. 【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题. 6. 某校举办了数学知识竞赛，把1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）按，，，分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的为（ ） A. 的值为0.015 B. 估计这组数据的众数为80 C. 估计这组数据的第60百分位数为87 D. 估计成绩低于80分的有350人 【答案】C 【解析】 【分析】利用频率分布直方图的性质可判定A，利用众数、百分位数的求法可判定B、C，根据频率分布直方图计算可估计总体判定D. 【详解】易知，解得，所以A错误； 由频率分布直方图可知众数落在区间，用区间中点表示众数即85，所以B错误； 由频率分布直方图可知前两组频率之和为， 前三组频率之和为， 故第60百分位数落在区间，设第60百分位数为， 则，解得，所以C正确； 成绩低于80分的频率为，所以估计总体有，故D错误. 故选：C. 7. 设，，，设a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，由导数判断单调性后比较． 【详解】解：构造函数，则， 当时，，函数在上为减函数， 而，，，又， 所以，即， 故选：A 8. 已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用偶函数的性质求出当时函数的解析式，然后求导，利用导数的几何意义进行求解即可. 【详解】当时，，函数是偶函数， 当时，，， 当时，， ，即曲线在处切线的斜率为-5. 而，所以曲线在处的切线方程为：. 所求即为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．有选的得0分． 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由基本不等式求各选项是否正确. 【详解】已知，且， ，当且仅当等号成立，A选项正确； ，当且仅当等号成立，B选项正确； ，，当且仅当等号成立，C选项错误； ，当且仅当，即等号成立，D选项正确； 故选：ABD 10. 函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在上单调递增 C. 的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数 D. 在上的零点有4个 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数图象求出、，再根据函数过点求出，即可得到解析式，最后根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】由图可知，，又，所以，解得， 所以，又函数过点，所以， 即，又，所以，则， 所以，故A正确； 当，则，因为在上不单调， 所以上不单调，故B错误； 将的图象向右平移个单位长度后得到为非奇非偶函数，故C错误； 令，即，即，解得， 所以在上的零点有，，，共个，故D正确. 故选：AD 11. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 D. 存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则的虚部为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再判断其虚部即可. 【详解】因为，所以， 所以的虚部为. 故答案为： 13. 已知函数是增函数，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数在各段单调递增且在断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】因为为增函数， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 14. 如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，点在棱上，给出下列三个结论： ①四棱锥的体积为定值； ②三棱锥的体积的最大值为； ③的最小值为. 请写出所有正确结论的序号______ 【答案】①② 【解析】 【分析】对于①：根据∥平面可知四棱锥的高为定值，进而可得结果；对于②：分析可知的面积最大值为，三棱锥的最大值为2，即可得体积最大值；对于③：将翻折到与矩形共面，结合平面几何性质分析最值. 【详解】对于①：因为∥平面，且， 可知点到平面的距离相等，即四棱锥的高为定值， 且底面为面积为定值，所以四棱锥的体积为定值，故①正确； 对于②：因为点在棱上，且， 可知当且仅当点与点重合时，的面积取到最大值， 又因为点在棱上，且平面， 可知当且仅当点与点重合时，三棱锥的高取到最大值2， 所以三棱锥的体积的最大值为，故②正确； 对于③：如图将翻折到与矩形共面， 连接交于点，此时取得最小值， 因为，，则，可得， 所以的最小值为，故③错误； 故答案为：①②. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）试判断的形状； （2）若，求周长的最大值． 【答案】（1）直角三角形 （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可得，化简可得结论； （2）由（1）可得，进而可得周长为，利用辅助角公式可求最大值. 【小问1详解】 由，和余弦定理得， 即，所以．所以是直角三角形． 【小问2详解】 由（1）知直角三角形，且，可得． 所以周长为， 所以当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为． 16. 在各项均不相等的等差数列中，，且等比数列，数列的前项和满足. （1）求数列的通项公式； （2）求数列前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为，由已知可得，解得（舍去）或，可求数列的通项公式，利用与的关系可求得的通项公式； （2）利用，可求数列的前项和. 【小问1详解】 设数列的公差为，则， 成等比数列，，即， 整理得，解得（舍去）或， ， 当时，， 当时，满足上式， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 ， 则数列的前项和 . 17. 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为、，单调递减区间为，极大值，极小值 【解析】 【分析】（1）结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得； （2）借助导数可讨论单调性，即可得极值. 【小问1详解】 ，则， 由题意可得，解得； 【小问2详解】 由，故， 则，， 故当时，，当时，，当时，， 故的单调递增区间为、，的单调递减区间为， 故有极大值， 有极小值. 18. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点. （1）求证：平面PBD； （2）求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值； （3）求D到平面APM的距离. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合相似三角形的判定定理和性质、线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （3）利用空间点到直线距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，M为BC的中点， 所以， 因为四棱锥的底面是矩形， 所以， 所以，所以， 而，即， 因为底面ABCD，底面ABCD， 所以，而平面PBD， 所以平面PBD； 【小问2详解】 因为平面ABCD，平面ABCD， 所以， 因为因为四棱锥的底面是矩形， 所以，建立如下图所示的空间直角坐标系， ， 因为平面ABCD， 所以平面ABCD的法向量为， 设平面APM的法向量为， ，， 于是有， 平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为； 【小问3详解】 由（2）可知平面APM的法向量为，， 所以D到平面APM距离为 19. 已知抛物线：经过点. （1）求抛物线的方程； （2）设直线与的交点为，，直线与倾斜角互补. （i）求的值； （ii）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）把点坐标代入抛物线方程，可求的值. （2）（i）把直线方程代入抛物线方程，消去，得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系，得到和，把直线与倾斜角互补，转化成,可求的值；（ii）先求弦长，再求到直线的距离，可表示出的面积，再结合基本不等式可求面积的最大值. 【小问1详解】 由题意可知，，所以 ， 所以 抛物线的方程为. 【小问2详解】 （i）如图： 设，将直线的方程代入得： ，所以， 因为直线与倾斜角互补， 所以， 即， 所以， 即，所以. （ii）由（i）可知，所以， 则， 因为，所以，即， 又点到直线的距离为， 所以， 因为， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积最大值为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$