山东省德州市第五中学2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题

山东省德州市第五中学2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.计算：2-（-3）的结果是（ ） A. 5 B.1 C.-1 D.-5 2.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.下列窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3.芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管.目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ） A.1.4×10-8 B.14×10-7 C.0.14×10-6 D.1.4×10-9 4.如图所示的几何体的俯视图可能是（ ） A. B. C. D. 5.如图，分别旋转两个转盘，转出的两个数字之积为6的概率是（ ） A. B. C. D. 6.在数学活动课上，小明同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得∠1=23°，则∠2的度数是（ ） A.23° B.53° C.60° D.67° 7.下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱.问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9.一元二次方程的两根为,则的值为（ ） A. B.-3 C.3 D. 10.若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（ ） A. B. C.且 D.且 11.已知直角三角形的三边a，b，c满足，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则（ ） A. B. C. D.大小无法确定 12.二次函数的图象如图所示,对称轴是直线,下列结论:①;②方程必有一个根大于2且小于3;③若是抛物线上的两点,那么;④;⑤对于任意实数,都有,其中正确结论的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 13.分解因式：______. 14.的平方根是______. 15.已知反比例函数且的图象与一次函数的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积，请写出一个满足条件的k值______. 16.如图，在中，过点A、C，与AB交于点D，与BC相切于点C，若，则______. 17.如图，BE是的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点.若，则__________. 18.如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，为线段AC的中点，连接OM，当OM取最大值时，点M的坐标为______. 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.（本小题8） （1）化简：； （2）解不等式组：. 20.(本小题10分) 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点. (1)求k与m的值； (2)为x轴上的一动点，当的面积为时，求a的值． 21.（本小题10分） 无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，在跟踪、定位、遥测、数据传输等方面发挥着重要作用，在如图所示的某次测量中，无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以5m/s的速度飞行18s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行72s到达点E，测得点B的俯角为37°.求AB的长度结果精确到1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， 22.（本小题12分） 某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价x（元/千克） 55 60 65 70 销售量y（千克） 70 60 50 40 （1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式； （2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？ （3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 23.（本小题12分） 如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限内，与x轴相切于点C，与y轴相交于点A（0,8），B（0,2）.连接AC，BC. （1）求点P的坐标； （2）求cos∠ACB的值. 24.（本小题12分） 已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A. （1）【特例发现】如图1，当点G在AD上，F在AB上，求的值； （2）【探究发现】如图2，将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转，求的值； （3）【问题解决】，将正方形AFEG绕A逆时针方向旋转，当C，G，E三点共线时，请计算出DG的长度. 25.（本小题14分） 已知点P是二次函数图象的顶点. （1）小明发现，对m取不同的值时，点P的位置也不同，但是这些点都在某一个函数的图象上，请协助小明完成对这个函数表达式的探究： ①将下表填写完整： m -1 0 1 2 3 P点坐标 (-2,1) (-1,-1) ______ ______ ______ ②描出表格中的五个点，猜想这些点在哪个函数的图象上？求出这个图象对应的函数表达式，并加以验证； （2）若过点(0,2)，且平行于x轴的直线与的图象有两个交点A和B，与②中得到的函数图象有两个交点C和D，当时，请求出此时的m值，写出求解过程； （3）若,函数的图象与线段EF只有一个公共点，请结合函数图象，直接写出m的取值范围. 答案和解析 1.【答案】A 【解析】解：2-(-3)=2+3=5. 故选：A. 根据有理数的减法运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数计算． 本题考查了有理数的减法运算，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 2.【答案】A 【解析】解：A、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； B、原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A. 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 3.【答案】A 【解析】解：0.000000014=1.4×10-8. 故选：A. 科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为,其中为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4.【答案】C 【解析】解：从上面看得该几何体的俯视图是： . 故选：C. 根据俯视图是从上面看到的图形判定即可． 此题主要考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看到的视图，考查了学生细心观察能力，属于基础题． 5.【答案】A 【解析】解：画树状图为： 共有4种等可能的结果，其中转出的两个数字之积为6的结果数为2， 所以转出的两个数字之积为6的概率 故选：A. 利用树状图展示所有4等可能的结果，再找出转出的两个数字之积为6的结果数，然后根据概率公式计算． 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 6.【答案】B 【解析】解：如图，三角板EFG与直尺ABCD分别交AB于点F、H. 又， 故选：B. 利用平行线的性质即可求解． 本题考查平行线的性质，比较简单． 7.【答案】B 【解析】解：A.，所以A运算错误； B.，所以B运算正确； C.，所以C运算错误； D.2ab与不是同类项，所以不能合并计算，所以D运算错误． 故选：B. 分别根据同底数幂的乘法公式，积的乘方公式，完全平方公式，合并同类项法则进行计算可得结果． 此题主要是考查了同底数幂的乘法公式，积的乘方公式，完全平方公式，合并同类项法则，能够熟练运用各种法则是解答此题的关键． 8.【答案】D 【解析】解：根据题意得：. 故选：D. 根据鸡的价钱不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 9.【答案】C 【解析】解：∵一元二次方程的两根为, . 故选：C. 直接根据根与系数的关系得出的值，再代入计算即可． 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系,关键是掌握是一元二次的两根时,. 10.【答案】D 【解析】解：, 去分母得,， 整理得,, 解得,, 分式方程的解为正数, 且, 且. 故选:D. 先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程有意义的情况，即可得出m的取值范围． 本题主要考查解分式方程和一元一次不等式，熟知解分式方程的方法是解题的关键． 11.【答案】C 【解析】解：直角三角形的三边a，b，c满足， 该直角三角形的斜边为c， ， ， ， ， 故选：C. 由直角三角形的三边a，b，c满足,可知该直角三角形的斜边为,则,所以,则,而,所以,于是得到问题的答案. 此题重点考查勾股定理、正方形的面积公式、根据转化思想解决面积问题等知识与方法，确定三边为a，b，c的直角三角形的斜边为c是解题的关键． 12.【答案】C 【解析】解：①根据图象可知：， 对称轴是直线， ，即 故①错误． ②方程，即为二次函数与x轴的交点， 根据图象已知一个交点，关于对称， 另一个交点 故②正确． ③∵对称轴是直线x=1， 点离对称轴更近, 故③错误． ④ 根据图象，令， 故④正确． ⑤ 即证:, 为任意实数,恒成立. 故⑤正确． 综上②④⑤正确， 故选：C. ①根据函数图象分别判断a、b、c的正负，求出abc的正负； ②将方程转化为函数与x轴的交点，利用已知交点和对称轴找出另一交点的范围； ③根据二次函数图象的性质：当图象开口向上，离对称轴越近的点y值越小； ④用a来表示改变函数解析式，根据图象，令x=-1，得到,即,因为,所以得出; ⑤化简不等式，用a表示b，根据及不等式的性质得到只含有m的不等式，解不等式即可． 本题主要考查二次函数图象与系数的关系，根的判别式，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，利用图象求出a、b、c的范围以及用特殊值法代入解析式中得到特殊的式子是解决问题关键． 13.【答案】 【解析】解：原式. 故答案为:. 先提取公因式ab，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：. 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底． 14.【答案】 【解析】解：, 的平方根是,故答案为:. 先求得,根据平方根的定义即可求得答案. 本题考查平方根的定义,此为基础且重要知识点,必须熟练掌握. 15.【答案】1.5(满足都可以) 【解析】解:, 一次函数的图象必定经过第二、四象限, 反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限， 反比例函数且的函数图象经过第一、三象限, 满足条件的值可以为1.5, 故答案为:1.5(满足都可以). 先判断出一次函数的图象必定经过第二、四象限,再根据判断出反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限,从而可以得到反比例函数的图象经过第一、三象限,即,最终选取一个满足条件的值即可. 本题考查一次函数和反比例函数的图形性质，解题的关键是根据判断出反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限． 16.【答案】64° 【解析】解：连接OC， 与相切于点C， 故答案为：64°. 连接OC，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，证明，根据平行线的性质解答即可． 本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 17.【答案】2 【解析】解：如图，过点E作交AD于G， 是的中线, 点是AC的中点, 是的中位线, 故答案为：2. 过点作交AD于,可得EG是的中位线,所以,由根据平行线分线段成比例定理可得,即可求解. 本题考查了平行线分线段成比例，三角形的中位线，过点E作，构造三角形的中位线是解题的关键． 18.【答案】（4,4） 【解析】解：如图， 点为坐标平面内一点,, 在上,且半径为, 取,连接CD, 是的中位线, 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， C坐标为， ,即OM的最大值为坐标为. 故答案为:. 根据同圆的半径相等可知：点C在半径为的上,通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论． 本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点． 19.【答案】解：（1）原式 ； （2）解不等式，得， 解不等式,得, 不等式的解集为. 【解析】（1）先通分算括号内的，把除化为乘，再分解因式约分； （2）解出每个不等式，再求公共解集即可． 本题考查分式的混合运算和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握分式的基本性质和不等式的性质． 20.【答案】解:(1)把代入,得, 把代入,得, 把代入,得, （2）在中,当时,, 为x轴上的动点， 或-11. 【解析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题． （1）把点C的坐标代入一次函数的解析式求出k，再求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论； （2）根据,构建方程求解即可. 21.【答案】解:过点作于点, 由题意得,,,, 在Rt中,, 解得, 在Rt中,, 解得, 经检验,是原方程的解且符合题意, 的长度约为. 【解析】过点作于点,在Rt中,,解得,则,在Rt中,,求出EF,根据可得答案. 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题,熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键. 22.【答案】解:（1）设与之间的函数表达式为,将表中数据代入得:解得 与之间的函数表达式为. (2)由题意得:, 整理得:, 解得. 答:为保证某天获得600元的销售利润,则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克. (3)设当天的销售利润为元,则: ∴当x=70时， 答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元． 【解析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键． （1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可； （2）依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程即可； （3）利用每千克的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可． 23.【答案】解:(1)点, 过作于, 连接PC，PB， 与轴相切于点, 轴, 四边形PCOH是矩形, 点的坐标为; (2)连接AP并延长交于,连接BM,则, 【解析】（1）过P作于,根据垂径定理得到,求得,连接PC，PB，根据切线的性质得到轴,得到,根据勾股定理得到;（2）连接AP并延长交于M，连接BM，得到，解直角三角形即可得到结论． 本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，矩形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 24.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，四边形AFEG是正方形， （2）连接AE， 由旋转性质知,在Rt和Rt中, （3）①如图： 由(2)知, ∵四边形ABCD是正方形， 四边形AFEG是正方形, 三点共线. ②如图： 由(2)知, 四边形ABCD是正方形, 四边形AFEG是正方形, 三点共线. 综上，当C，G，E三点共线时，DG的长度为或. 【解析】(1)由正方形性质知,据此可得,利用平行线分线段成比例定理可得; (2)连接AE,只需证即可得; (3)分两种情况画出图形，证明，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得出答案． 本题是四边形综合题，考查了正方形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 25.【答案】 【解析】解:(1)①点是二次函数图象的顶点, 点的坐标表示为, 当时,,此时点坐标是; 当时,,此时点坐标是; 当时,,此时点坐标是; 填写表格如下: m -1 0 1 2 3 P点坐标 ② 猜想这些点在一个二次函数图象上,设二次函数的表示为, 选择三个点分别代入得 解得:, 函数表达式为 当时,, 点一定在二次函数的图象上，猜想成立; (2)过点,且平行于轴的直线为, 联立, 解得, 联立,解得, 整理得, 解得或; (3)由得线段轴,且, 联立,整理得解得或, 函数的图象与线段EF只有一个公共点, 交点在线段EF上,交点情况如图所示: 交点不在线段EF上,或与交点重合, 又线段, 或或, 解得或或. （1）①利用顶点式求出顶点，再利用m的值求出对应P点坐标即可； ②发现三点不共线，且P点纵坐标为二次计算式，猜想P点在二次函数上，利用三个点坐标求出该函数解析式，代入P点坐标验证P点一定在该二次函数上即可； （2）利用直线和二次函数联立方程求出A、B、C、D的坐标，再利用AB=CD求解即可； （3）利用EF直线与二次函数联立求出交点坐标，再查看交点是否在线段上，根据只能有一个交点判断两个交点的坐标，得到交点坐标范围后得出m的取值范围． 本题为二次函数交点类问题，通常采用直线解析式与二次函数解析式联立求解交点，再根据交点的要求求解，在复杂的计算中坚持并正确的计算和理清题意列式计算是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$