专题2.3 数轴（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.3 数轴（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴； 【知识点二】数轴三要素：原点、正方向、单位长度是数轴三要素； 【知识点三】数轴和画法： 1、画一条直线（通常画成水平直线）； 2、在直线上适当位置取一点为原点； 3、通常规定直线上从原点向右方向为正方向，用箭头表示出来； 4、根据需要，选取适当长度为单位长度，原点右边，每一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3...; 在原点左边用同样方法表示-1，-2，-3... 【知识点四】有理数与数轴上点的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，一般地，设a为一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离为a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离也为a单位长度； 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】用数轴上的点表示有理数并比较大小（理解数形结合） 【例1】（23-24七年级上·河南商丘·期中）（1）把数轴补充完整； （2）在数轴上表示下列各数：0，，，，； （3）用“>”将这些数连接起来，    【变式1】（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，四个点将数轴上与5两点间的线段五等分，这四个等分点位置最靠近原点的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则 b．（填“”“”或“”） 【题型2】数轴上两点之间的距离 【例2】（24-25七年级上·全国·假期作业）阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段；线段． 问题： （1）数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段___________； （2）数轴上点E、F代表的数分别为3和，则线段___________； （3）数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为12，求另一个点表示的数． 【变式1】（2024·江苏扬州·二模）如图，数轴上A、B两点在原点两侧，且，若，那么点A表示的数是（　　） A．4 B． C．2 D． 【变式2】（23-24六年级下·上海闵行·期末）数轴上表示数和表示数的两点之间的距离是 ． 【题型3】数轴上的动点问题 【例3】（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向右移动到达点，然后再向右移动到达点，数轴上一个单位长度表示． （1）请你在数轴上标出、、三点的位置，并填空：A表示的数为_______，B表示的数为_______，C表示的数为______． （2）把点到点的距离记为，则_____，______； （3）若点从（1）中的位置沿数轴以每秒匀速向右运动，经过多少秒使？ 【变式1】（23-24七年级上·江苏无锡·期中）数轴上有一动点从表示的点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，则运动秒后点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·河南许昌·期中）数轴上，点表示的数是，将点向右移动6个单位长度后，点表示的数是 ． 【题型4】由数轴上点的位置判断式子的符号 【例4】（23-24七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：    （1）先把“”表示在数轴上，再用“〉”或“〈”填空． ___________0，___________0，___________0． （2）用“<”将a、b、c、、、连接起来：___________． 【变式1】（2024·江苏淮安·一模）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级下·广东惠州·阶段练习）点，在数轴上的位置如图，则 ，    【题型5】数轴上动点问题与两点之间距离综合 【例5】（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，数轴的原点为，在数轴上有、两点，点对应的数是，点对应的数是1，动点、同时从、出发，分别以3个单位/秒和1个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为秒（）．    （1）两点间的距离是 ； （2）当时，动点对应的数是 ，动点对应的数是 ； （3）当运动时间为秒时，用含的代数式表示出点和点所对应的数； （4）当时，点是否为线段的中点？ 【变式1】（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）在数轴上，把表示的点向右移动1个单位长度后，所得到的对应点表示的数为（    ） A． B．0 C．或0 D．无法确定 【变式2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数为，点是数轴上的动点．点沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点到点的距离与点到点的距离比是时，点表示的数是 ．    第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·河南·中考真题）如图，数轴上点P表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【例2】（2023·江苏连云港·中考真题）如图，数轴上的点分别对应实数，则 0.(用“”“”或“”填空)    2、拓展延伸 【例】（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习），且都是集合的子集，若把叫做集合的“长度”，则集合的长度的最小值是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 数轴（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴； 【知识点二】数轴三要素：原点、正方向、单位长度是数轴三要素； 【知识点三】数轴和画法： 1、画一条直线（通常画成水平直线）； 2、在直线上适当位置取一点为原点； 3、通常规定直线上从原点向右方向为正方向，用箭头表示出来； 4、根据需要，选取适当长度为单位长度，原点右边，每一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3...; 在原点左边用同样方法表示-1，-2，-3... 【知识点四】有理数与数轴上点的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，一般地，设a为一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离为a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离也为a单位长度； 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】用数轴上的点表示有理数并比较大小（理解数形结合） 【例1】（23-24七年级上·河南商丘·期中）（1）把数轴补充完整； （2）在数轴上表示下列各数：0，，，，； （3）用“>”将这些数连接起来，    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了数轴的三要素：正方向、原点、单位长度；在数轴上表示有理数，根据数轴上左边的数总是小于右边的数进行判断，将题目所给的数字准确的表示在数轴上是解本题的关键． 解：（1）如图所示：   ； （2），， 在数轴上表示为：   ； （3）． 【变式1】（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，四个点将数轴上与5两点间的线段五等分，这四个等分点位置最靠近原点的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了等分点和实数与数轴上的点一应，根据题目中的条件，可以把四个点分别求出来，即可判断． 解：数轴上与5两点间的线段的长度为， 平均每条线段的长度为：， 所以，点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是，点D表示的数是， 因此，位置最靠近原点的是点C， 故选：C． 【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则 b．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，熟记数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解题关键． 根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大即可得到答案． 解：由数轴可知，， ∴ 故答案为：． 【题型2】数轴上两点之间的距离 【例2】（24-25七年级上·全国·假期作业）阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段；线段． 问题： （1）数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段___________； （2）数轴上点E、F代表的数分别为3和，则线段___________； （3）数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为12，求另一个点表示的数． 【答案】(1)7 (2)4 (3)另一个点表示的数为17或7 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接根据数轴上两点间的距离求解即可；（2）直接根据数轴上两点间的距离求解即可； （3）分两种情况讨论，当另一个点在表示12的点的右侧或当另一个点在表示12的点的左侧，再根据数轴上两点间的距离求解即可． （1）解：数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段， 故答案为：7； （2）解：数轴上点E、F代表的数分别为3和，则线段， 故答案为：4； （3）解：由题可得：①当另一个点在表示12的点的右侧时，；②当另一个点在表示12的点的左侧时，， 综上，另一个点表示的数为17或7． 【变式1】（2024·江苏扬州·二模）如图，数轴上A、B两点在原点两侧，且，若，那么点A表示的数是（　　） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上点表示有理数，数轴上两点的距离． 根据数轴可得，进而即可求解． 解：∵， ∴， ∴点A表示的数为． 故选：D． 【变式2】（23-24六年级下·上海闵行·期末）数轴上表示数和表示数的两点之间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离．熟练掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键． 根据，计算求解即可． 解：由题意知，数轴上表示数和表示数的两点之间的距离是， 故答案为：． 【题型3】数轴上的动点问题 【例3】（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向右移动到达点，然后再向右移动到达点，数轴上一个单位长度表示． （1）请你在数轴上标出、、三点的位置，并填空：A表示的数为_______，B表示的数为_______，C表示的数为______． （2）把点到点的距离记为，则_____，______； （3）若点从（1）中的位置沿数轴以每秒匀速向右运动，经过多少秒使？ 【答案】(1)； (2)5，8；(3)5或11 【分析】本题考查数轴上点的表示，数轴上两点间距离，数轴上动点问题． （1）根据题意利用观察即可得到本题答案； （2）根据题意利用两点间距离即可得到； （3）分情况讨论当点A在点C的左侧时和当点A在点C的右侧时，分别列式即可得到本题答案． （1）解：由题意得：A点对应的数为，B点对应的数为1，点C对应的数为4， 点A，B，C在数轴上表示如图： A表示的数为，B表示的数为1，C表示的数为4， 故答案为：； （2）解：∵A点对应的数为，B点对应的数为1，点C对应的数为4， ∴，， 故答案为：5，8； （3）解∶①当点A在点C的左侧时，设经过x秒后点A到点C的距离为3cm， 由题意得：， 解得：； ②当点A在点C的右侧时， 设经过x秒后点A到点C的距离为3cm， 由题意得：， 解得：， 综上，经过5或11秒后点A到点C的距离为3cm． 【变式1】（23-24七年级上·江苏无锡·期中）数轴上有一动点从表示的点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，则运动秒后点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上的单动点问题，解决本题的关键要确定运动的路程和运动方向． 解：点以每秒个单位长度的速度运动， 点运动秒后的路程：， 又点向右运动， 点运动秒后表示的数为， 故选：C． 【变式2】（23-24七年级上·河南许昌·期中）数轴上，点表示的数是，将点向右移动6个单位长度后，点表示的数是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上原点左边的点均为负数，原点右边的数为正数，当数a在数轴上表示的点向正方向移动n个单位时，可以得到 解：根据题意得：， 故表示的数是3． 故答案为：3． 【题型4】由数轴上点的位置判断式子的符号 【例4】（23-24七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：    （1）先把“”表示在数轴上，再用“〉”或“〈”填空． ___________0，___________0，___________0． （2）用“<”将a、b、c、、、连接起来：___________． 【答案】(1)见解析，>，<，>； (2) 【分析】（1）现根据数轴上a、b、c的位置得到，，然后再逐一比较大小即可； （2）根据，进行比较大小解题即可． （1）解：把“”表示在数轴上为：    因为，， ∴，，， 故答案为：>，<，>； （2）因为，， 所以， 故答案为：． 【点拨】首先在数轴上表示各数，然后再根据在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大用“<”连接即可． 【变式1】（2024·江苏淮安·一模）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较和数轴，解题的关键是熟练掌握数轴上有理数的大小比较， 根据数轴上的有理数大小比较方法即可得出结论， 解：由实数a、b在数轴上的对应点的位置可知： ，则A、B错误，C正确， ， ，则D错误， 故选：C 【变式2】（22-23七年级下·广东惠州·阶段练习）点，在数轴上的位置如图，则 ，    【答案】 【分析】根据数轴上点的位置判断出与的正负即可． 解：根据数轴上点的位置得：，且， 则，， 故答案为：；． 【点拨】本题主要考查了数轴，弄清数轴上点的位置是解本题的关键． 【题型5】数轴上动点问题与两点之间距离综合 【例5】（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，数轴的原点为，在数轴上有、两点，点对应的数是，点对应的数是1，动点、同时从、出发，分别以3个单位/秒和1个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为秒（）．    （1）两点间的距离是 ； （2）当时，动点对应的数是 ，动点对应的数是 ； （3）当运动时间为秒时，用含的代数式表示出点和点所对应的数； （4）当时，点是否为线段的中点？ 【答案】(1) (2)， (3)， (4)是，理由见解析 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴上两点间的距离公式．根据动点的起始位置、运动方向和运动速度确定动点在数轴上对应的数是解题关键． （1）根据即可求解； （2）根据动点的起始位置、运动方向和运动速度即可求解； （3）根据动点的起始位置、运动方向和运动速度即可求解； （4）表示出线段的中点对应的数即可求解； （1）解：， 故答案为： （2）解：当时，动点对应的数是：； 动点对应的数是：， 故答案为：， （3）解：当运动时间为秒时，动点对应的数是：； 动点对应的数是： （4）解：线段的中点对应的数是： 令， 解得： ∴当时，点是否为线段的中点 【变式1】（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）在数轴上，把表示的点向右移动1个单位长度后，所得到的对应点表示的数为（    ） A． B．0 C．或0 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，熟记“数轴上的点向左、右移动左减右加”是解题关键． 解：表示的点向右移动1个单位长度， 故选：B． 【变式2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数为，点是数轴上的动点．点沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点到点的距离与点到点的距离比是时，点表示的数是 ．    【答案】或/或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题、数轴上两点间的距离，可分为“当点运动到点右侧时”和“当点运动到点左侧时”两种情况讨论，根据“点到点的距离与点到点的距离比是”，列式计算即可，根据数轴得到两点间的距离是解题的关键． 解：∵在点运动过程中，点到点的距离与点到点的距离比是， ∴， 当点运动到点右侧时，， ∴此时点表示的数是； 当点运动到点左侧时，， ∴此时点表示的数是， 综上所述，点表示的数是或， 故答案为：或． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·河南·中考真题）如图，数轴上点P表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，掌握数轴的定义是解题的关键．根据数轴的定义和特点可知，点P表示的数为，从而求解． 解：根据题意可知点P表示的数为， 故选：A． 【例2】（2023·江苏连云港·中考真题）如图，数轴上的点分别对应实数，则 0.(用“”“”或“”填空)    【答案】 【分析】根据数轴可得，进而即可求解． 解：由数轴可得 ∴ 【点拨】本题考查了实数与数轴，有理数加法的运算法则，数形结合是解题的关键． 2、拓展延伸 【例】（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习），且都是集合的子集，若把叫做集合的“长度”，则集合的长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，根据题意得到M的长度为，N的长度为，利用数形结合的思想即可判断最小值时的情况，进而得以求解． 解：根据题意得：M的长度为，N的长度为， 集合M，N都在上， 当集合的长度的最小值时， M与N应分别在的左右两端，即， 故的长度的最小值是， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$