精品解析：福建省莆田市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

莆田市2023—2024学年第二学期期末诊断 八年级数学试卷 （满分150分；考试时间：120分钟） 友情提示！本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时，请按答题卡中的“注意事项”认真作答．答案写在答题卡上的相应位置． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. 2，，6 D. 3，5，7 5. 一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则 （ ） A. B. C. D. 6. 某女子羽毛球球队名队员身高（单位）是，因某种原因身高为的队员退役，补上一位身高为的队员后，该女子羽毛球队有关队员身高的数据正确的是（ ） A. 平均数变大，中位数不变 B. 平均数变大，中位数变大 C. 平均数变小，中位数不变 D. 平均数变小，中位数变大 7. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数图象过点 B. 函数图象经过第二、四象限 C. y随x的增大而增大 D. 不论x为何值，总有 8. 如图，中，，平分，交于点 ，，点， 分别是和的中点，则 的长为（　　） A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 5 9. 在同一平面直角坐标系中，正比例函数 （为常数且 ）和一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，过点A作直线的垂线，垂足为H，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为______． 12. 化简：__________． 13. 已知点和点在一次函数的图象上，则________．（填“ ＞ ”，“= ”或“＜”） 14. 某学生数学课堂表现为90分、平时作业为90分、期末考试为85分，若这三项成绩分别按、、 的比例计入总评成绩，则该生数学总评成绩是__________分． 15. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小芳家有一个菱形中国结装饰．测得，．则该菱形的面积为____________． 16. 汉代数学家赵爽为了证明勾股定理如图，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，若，则正方形的边长为____________． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 已知 ，，求代数式的值． 19. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象过点，． （1）求一次函数的解析式； （2）该一次函数图象与y轴交于点A，若点P为该一次函数图象上的一点，满足 的面积为1，请直接写出点P的坐标． 20. 如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点 ，连接交于点． （1）求证：四边形 是矩形； （2）连接 ，若，，求 的长． 21. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为 米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 22. 为了激发同学们对“人工智能”学习的兴趣，我市某中学开展了“人工智能知识比赛”．为了解学生“人工智能”的学习情况，现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的比赛成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用x表示，）进行整理、描述和分析，并将其共分成四组：A： ，B： ，C： ，D： ） 下面给出了部分信息： 八年级10名学生的比赛成绩是：84，85，86，88，89，95，96，99，99，99 九年级10名学生的比赛成绩在C组中的数据是：90，94，94． 八、九年级抽取的学生比赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 92 92 九年级 92 100 根据以上信息，解答下列问题： （1） ______， ______， ______； （2）该校八年级有2000名学生、九年级有1500名学生参加了此次“人工智能比赛”，请估计参加此次比赛成绩不低于90分的学生人数是多少？ （3）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生“人工智能”知识掌握得较好？请说明理由（一条理由即可） 23. 如图，正方形中，点P是线段上的动点（不与端点重合），连接． （1）仅用无刻度的直尺和圆规在直线上作点E，使得（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若正方形的边长为1， ， ，求y关于x的函数解析式． 24. 【课本原型】人教版八年级下期数学课本，原题为：“画出函数的图象”． 【初步探究】陈臻同学类比此函数的学习进一步对函数的图象与性质进行了探究．请根据下表探究过程中的部分信息，完成下列问题： x … 0 1 2 3 … y … 2 1 0 a 0 … （1）a的值为____________； （2）在下图中画出该函数的图象； 【数学思考】结合函数的图象，下列说法正确的是：____________；（填所有正确选项） A．函数图象关于y轴对称 B．当 时，y随x的增大而增大 C．当时， D．函数图象与x轴围成图形的面积为4 【深入探究】函数图象上有两点和，当时，求m的取值范围． 25. 四边形是凸四边形，若线段（可以重合）满足，则称线段是关于点A的等角线段组． （1）若四边形是平行四边形，，点M，N分别在线段 上．（均不与端点重合），线段是关于点A的等角线段组． ①证明：； ②写出一个的值，使得，并证明； （2）凸四边形中，，点E在线段上，且，若线段是关于点A的等角线段组，线段，是关于点C的等角线段组，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田市2023—2024学年第二学期期末诊断 八年级数学试卷 （满分150分；考试时间：120分钟） 友情提示！本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时，请按答题卡中的“注意事项”认真作答．答案写在答题卡上的相应位置． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故选：A． 2. 如图，在平行四边形 中，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等，邻角互补即可求解. 【详解】解：四边形 是平行四边形， ， ， ， 故选：B 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答此题的关键. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简、加减计算和除法计算，根据二次根式的运算法则依次计算，即可求解． 【详解】解：A、，错误，不符合题意， B、，错误，不符合题意， C、，正确，符合题意， D、，错误，不符合题意， 故选：C． 4. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. 2，，6 D. 3，5，7 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A．，能构成直角三角形，故本选项正确； B．，不能构成直角三角形，故本选项错误； C．，不能构成直角三角形，故本选项错误； D．，不能构成直角三角形，故本选项错误． 故选：A． 5. 一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图求得的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：由图可知， 在中，，点D为边的中点， , 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握该性质． 6. 某女子羽毛球球队名队员身高（单位）是，因某种原因身高为的队员退役，补上一位身高为的队员后，该女子羽毛球队有关队员身高的数据正确的是（ ） A. 平均数变大，中位数不变 B. 平均数变大，中位数变大 C. 平均数变小，中位数不变 D. 平均数变小，中位数变大 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数，中位数的意义进行判断即可． 【详解】解：用身高的队员补上身高为的队员，使总身高增加，进而平均数身高变大，但换人后，从小到大排列的顺序不变，因此中位数不变， 故选：A． 【点睛】本题考查了平均数，中位数、解题的关键是：掌握平均数、中位数的意义及计算方法． 7. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数图象过点 B. 函数图象经过第二、四象限 C. y随x的增大而增大 D. 不论x为何值，总有 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，以及正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．根据正比例函数的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．当 时，， ∴函数的图象不经过点，故不符合题意； B．∵， ∴函数的图象经过第二、四象限，故符合题意； C．∵， ∴y随x的增大而减小，故不符合题意； D．当时，，故不符合题意． 故选：B． 8. 如图，中，，平分，交于点，，点，分别是和的中点，则 的长为（　　） A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据平行四边形的性质可得， ，再结合角平分线的定义和平行线的性质证明为等腰三角形，易得 ，进而可得，然后结合点，分别是和的中点，易得 是的中位线，结合三角形中位线的性质即可获得答案． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴， ， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵点，分别是和的中点， ∴ 是的中位线， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线的性质是解题关键． 9. 在同一平面直角坐标系中，正比例函数（为常数且 ）和一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．根据正比例函数图象所在的象限判定的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限． 【详解】解：当，正比例函数图象经过第二、四象限，则一次函数图象经过第一、二、三象限，故A选项正确，C选项错误； 当，正比例函数图象经过第一、三象限，则一次函数图象经过第一、三、四象限，B、D选项错误；． 故选：A． 10. 已知点，过点A作直线的垂线，垂足为H，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，垂线段最短，勾股定理；由知，直线必过定点，则，即的最大值为线段的长．确定直线过定点是关键． 【详解】解：对于，令 ，则， 即直线必过定点， 则，即的最大值为线段的长； 由点A、点B的坐标知，， 由勾股定理得：, 故的最大值为． 故选：B． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为______． 【答案】10 【解析】 【分析】利用两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】解：点到原点的距离为：， 故答案为：10． 【点睛】此题考查了平面直角坐标系中两点间的距离，熟练掌握两点间的距离是解题的关键． 12. 化简：__________． 【答案】## 【解析】 【详解】解：． 13. 已知点和点在一次函数的图象上，则________．（填“ ＞ ”，“= ”或“＜”） 【答案】< 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵一次函数解析式为， ∴该一次函数的函数值随x的增大而增大， ∵−3<1， ∴， 故答案为：<． 【点睛】本题主要考查了一次函数函数值比较大小，解题的关键是熟知一次函数的增减性． 14. 某学生数学课堂表现为90分、平时作业为90分、期末考试为85分，若这三项成绩分别按、、 的比例计入总评成绩，则该生数学总评成绩是__________分． 【答案】88 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算，属于基本题型，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题关键．根据加权平均数的计算方法解答即可． 【详解】解：该学生数学学科总评成绩分． 故答案为：88． 15. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小芳家有一个菱形中国结装饰．测得，．则该菱形的面积为____________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，菱形的面积，熟练运用菱形的面积公式是解题的关键． 根据菱形的面积为对角线乘积的一半即可． 【详解】四边形 是菱形， ， ，， 故答案为：24． 16. 汉代数学家赵爽为了证明勾股定理如图，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 、正方形、正方形的面积分别为、、，若，则正方形的边长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，设出八个全等的直角三角形的两直角边长是解题的关键． 设八个全等的直角三角形的两直角边长分别为a，b，由图形可得出，，再由即可得出结果． 【详解】解：设八个全等的直角三角形的两直角边长分别为a，b，则 ，，， ， ， ， ， 即正方形的面积为12， 正方形的边长为， 故答案为：． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则． 先根据二次根式的性质化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则即可求解． 【详解】 ． 18. 已知 ，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．原式提公因式，再利用， ，求代数式的值． 【详解】解：∵ ，， ∴，， ∴ ． 19. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象过点，． （1）求一次函数的解析式； （2）该一次函数图象与y轴交于点A，若点P为该一次函数图象上的一点，满足 的面积为1，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将点，代入中求解即可； （2）先求出点坐标，设点横坐标为，根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 将点，代入， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为 ； 【小问2详解】 或， 理由：令得， ∴， 设点横坐标为， 则，解得， 当时，， 当时， ， ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，熟练运用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． 20. 如图，在平行四边形 中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． （1）求证：四边形 是矩形； （2）连接 ，若，，求 的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明 及是等边三角形是解题的关键． （1）由，，得 ，由四边形 是平行四边形，点在的延长线上，得 ，则四边形 是平行四边形，即可由 ，根据矩形的定义证明四边形 是矩形； （2）由平行四边形的性质和矩形的性质得，，，因为，所以是等边三角形，则，，所以，即可根据勾股定理求得． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， 四边形 是平行四边形，点在的延长线上， ， 四边形 是平行四边形， ， 四边形 是矩形． 【小问2详解】 解：四边形 是矩形，四边形 是平行四边形， ，， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ，， ， 的长是． 21. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为 米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1） 米 （2）8米 【解析】 【分析】（1）在 中，利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）连接，由题意可知，米，则米，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【小问1详解】 解：在 中，米，米， 由勾股定理得：米， 由题意得：米， （米， 答：风筝的垂直高度为 米； 【小问2详解】 解：如图，设下降到，连接， 由题意可知，米， （米）， （米， （米， 答：他应该往回收线8米． 22. 为了激发同学们对“人工智能”学习的兴趣，我市某中学开展了“人工智能知识比赛”．为了解学生“人工智能”的学习情况，现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的比赛成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用x表示，）进行整理、描述和分析，并将其共分成四组：A： ，B： ，C： ，D： ） 下面给出了部分信息： 八年级10名学生的比赛成绩是：84，85，86，88，89，95，96，99，99，99 九年级10名学生的比赛成绩在C组中的数据是：90，94，94． 八、九年级抽取的学生比赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 92 92 九年级 92 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）______， ______， ______； （2）该校八年级有2000名学生、九年级有1500名学生参加了此次“人工智能比赛”，请估计参加此次比赛成绩不低于90分的学生人数是多少？ （3）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生“人工智能”知识掌握得较好？请说明理由（一条理由即可） 【答案】（1） （2）2050人． （3） 九年级学生的“人工智能”知识掌握得较好，理由如下： 从平均数看，两个年级的平均数相同，但九年级的中位数和众数均大于八年级，所以九年级学生的“人工智能”知识掌握得较好． 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体、扇形统计图、中位数、众数的意义和计算方法，从统计图表中获取数量之间的关系是解决问题的关键． （1）先求出九年级10名学生C组人数所占比例，再根据百分比之和为1可得a的值，再根据中位数和众数的定义求解可得b、c的值； （2）利用样本估计总体即可； （3）从平均数、中位数和众数等角度得出八年级的成绩较好． 【小问1详解】 解：九年级10名学生C组人数所占比例为 ， 所以D组人数所占比例为 ，即 ， 八年级成绩中99分出现次数最多，故众数 ， 九年级学生成绩第5、6个数据分别为94，94，所以其中位数 ， 故答案为：40，99，94； 【小问2详解】 （人）， 答：估计参加本次比赛成绩不低于90分的学生约为2050人． 【小问3详解】 略 23. 如图，正方形 中，点P是线段上的动点（不与端点重合），连接． （1）仅用无刻度的直尺和圆规在直线上作点E，使得（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若正方形 的边长为1， ， ，求y关于x的函数解析式． 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了基本作图-基本作图，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握基本作图的步骤和正方形的性质是解题的关键； （1）根据作一角等于已知角的步骤，在上任取一点P，连接 ，分别以P、C为圆心，以任意长为半径画弧，交、、 于点F、G、H，以点H为圆心，以 长半径画弧， 交原弧于点M，连接并延长交于点E，点E即为所求． （2）连接，作 ，垂足为F， 根据正方形的性质，得，，证明，得 ，，在证，得F是的中点， 【小问1详解】 如图所示：点E即为所求， 【小问2详解】 正方形 的边长为1， ， ， 连接，作 ，垂足为F， 四边形 是正方形， ，， 在 和 中 ， ，， ， 在四边形中，， ， ， ， ， F是的中点， 正方形 的边长为1， ， ，， ， 点P是线段上的动点（不与端点重合）， ， ， ． 24. 【课本原型】人教版八年级下期数学课本，原题为：“画出函数的图象”． 【初步探究】陈臻同学类比此函数的学习进一步对函数的图象与性质进行了探究．请根据下表探究过程中的部分信息，完成下列问题： x … 0 1 2 3 … y … 2 1 0 a 0 … （1）a的值为____________； （2）在下图中画出该函数的图象； 【数学思考】结合函数的图象，下列说法正确的是：____________；（填所有正确选项） A．函数图象关于y轴对称 B．当 时，y随x的增大而增大 C．当时， D．函数图象与x轴围成图形的面积为4 【深入探究】函数图象上有两点和，当时，求m的取值范围． 【答案】【初步探究】（1）；（2）见解析；【数学思考】BD；【深入探究】 【解析】 【分析】本题考查利用已学一次函数有关知识，探究求新函数解析式，画函数图象，研究函数的性质，注意数形结合．掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【初步探究】 （1）由表知，当时，；当时，，把它们代入函数式中，即可求得k、b的值，求得函数解析式，再求出 时函数值即可求得a的值； （2）根据表中的数据，描点、连线即可； 【数学思考】 根据所画函数图象，逐项分析解答即可； 【深入探究】 由图象知，的图象关于直线 对称，易得P、Q两点关于直线 对称，由此得，即，代入，得q的取值范围，根据q的范围结合函数图象即可确定m的范围． 【详解】解：【初步探究】 （1）由表知，当时，；当时，，把它们代入函数式中，得：，解得：， 故函数解析式为； 当 时，； 故答案为：； （2）根据表中的数据，描点、连线，画图如下； 【数学思考】 解：根据所画函数图象 函数图象关于直线 对称，不是关于y轴对称，故A说法错误； 当 时，函数图象是上升的，即y随x的增大而增大，故B说法正确； 当时，即，解得：或，故C说法错误； 由表知，函数图象与x轴相交于， 则函数图象与x轴围成图形的面积为，故D正确； 故选：BD； 【深入探究】 解：由图象知，的图象关于直线 对称， 和， P、Q两点关于直线 对称， ， 即，代入， 即， 解得：； 当时，；当时，； 而当 时，函数有最小值，且， 故m的取值范围为． 25. 四边形 是凸四边形，若线段（可以重合）满足，则称线段是 关于点A的等角线段组． （1）若四边形 是平行四边形，，点M，N分别在线段 上．（均不与端点重合），线段是 关于点A的等角线段组． ①证明：； ②写出一个的值，使得，并证明； （2）凸四边形 中，，点E在线段上，且，若线段是 关于点A的等角线段组，线段，是 关于点C的等角线段组，求的值． 【答案】（1）①见解析；② ，证明见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）①由平行四边形的性质得；由线段是 关于点A的等角线段组可得 ，由三角形外角的性质即可证明结论； ②若 ，则得四边形 是菱形，则，由①则可证明，得 ，从而有，则由等腰三角形的性质即可证明； （2）延长到P，，连接；延长到G，使，连接；则 ，，；由线段，是 关于点C的等角线段组，得，则可由可证明，得 ，；线段是 关于点A的等角线段组，可得，从而得，则可证明，从而，即． 【小问1详解】 ①证明：四边形 是平行四边形， ； 线段是 关于点A的等角线段组， ， 即， ， ， ； ②取， 则四边形 是菱形， ， 由①知， ，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，延长到P，使，连接；延长到G，使，连接； ， ， ，； 线段，是 关于点C的等角线段组， ， ， ， ，； 线段是 关于点A的等角线段组， ， ， ，， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，关键是理解题目中的等角线段组的含义，灵活运用以上知识，构造适当辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $