3.2 圆的对称性 课件 2023-2024学年北师大版九年级数学下册

圆的轴 对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；圆有无数条对称轴，在圆中任意作一条直径都可以把圆二等分 对称轴是直线而不是线段，不能说“任意一条直径都是圆的对称轴”，因为直径是线段 圆的中心对称性 圆是中心对称图形，其对称中心是圆心 圆的旋转 不变性 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，利用这个性质可以得到圆的其他性质 3.2 圆的对称性 ■考点一 圆的对称性 [考点解读] -1- 3.2 圆的对称性 -2- 典题精析 例 1 下列说法中，不正确的是 （ ） A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B．圆有无数条对称轴 C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．圆的对称中心是它的圆心 解析：A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；B．圆有无数条对称轴，正确；C．圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，此选项错误，符合题意；D．圆的对称中心是它的圆心，正确. 答案：C 易错：A 错因：审题不清，误认为选正确的，直接把第一个正确的选上. 满分备考：圆有无数条对称轴，但圆的对称轴不是直径，而是直径所在的直线.直径是线段，不是圆的对称轴. 圆心角 我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.如图，∠AOB 是圆 心角，圆心角的顶点在圆心，角的两边都与圆相交，顶 点位置是判断圆心角的关键 文字描述 在同圆或等圆中， ①圆心角相等，则 ②弧相等，则 ③弦相等，则 3.2 圆的对称性 ■考点二 圆心角、弧、弦之间的关系 -3- 所对的弧相等， 所对的弦相等； 所对的圆心角相等， 所对的弦相等； 所对的圆心角相等， 所对的优弧和劣弧分别相等 数学语 言描述 如图， ①如果∠AOB=∠COD，则 ，AB=CD； ②如果 ，则∠AOB=∠COD，AB=CD； ③如果 AB=CD，则∠AOB=∠COD， ， 3.2 圆a的对称性 续表 -4- 3.2 圆的对称性 注意：（1）前提条件“在同圆或等圆中”不可忽略，若丢掉该前提条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，如图，AB≠A′B′， ； （2）相等的弦所对的弧必须同是优弧或同是劣弧，两弧才能相等，否则不成立. 拓展：同圆中，圆的两条平行弦所夹的弧相等. -5- 3.2 圆的对称性 -6- 典题精析 例 2 如图，在⊙O 中，AB，AC 为两条弦，且 ∠BOC=120°，AB=AC=3 cm，求⊙O 的直径． 3.2 圆的对称性 解析：根据已知条件找到 OA 与 AB，AC 的关系. 答案：解：如图，连接 OA. ∵AB=AC，∴∠BOA=∠COA= ∠BOC=60°. 又 ∵OA=OB=OC， ∴△OAB 与△OAC 都是等边三角形， ∴OA=AB=3 cm， ∴⊙O 的直径为 6 cm． -7- 3.2 圆的对称性 易错：没有思路，无法计算出 OA 的长. 错因：没有作出辅助线，找不到突破口. 满分备考：注意理解弧、弦、圆心角的对应关系，尤其要注意其中“所对”二字；另外要注意辅助线的应用. -8- 3.2 圆的对称性 -9- [易错分析] ■忽略在同圆或等圆中这个前提条件 例 下列说法正确的是 （ ） A. 弦是直径 B. 半圆是弧，弧是半圆 C. 优弧一定大于劣弧 D. 等弧所对的圆心角相等 3.2 圆的对称性 解析：根据弦的定义以及圆心角、弧、弦之间的关系即可作出判断．A.直径是弦，但弦不一定是直径，错误；B.半圆是弧，但弧不一定是半圆，错误；C.在同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，错误；D.在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，正确． 答案：D 易错：C 错因：没有考虑在同圆或等圆中这个条件. 易错警示：同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，但是需要注意的是这些相等的 前提是“在同圆或等圆中” -10- 3.2 圆的对称性 -11- [题型探究] ■题型一 利用弧、弦、圆心角的关系求角的度数 例 1 如图，AB 是⊙O 的直径， ，∠COD=32°，则∠AEO 的度数为 ______. 3.2 圆的对称性 解析：∵ ，∠COD=32° ， ∴∠BOC=∠EOD=∠COD=32°， ∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=84°． 又 ∵OA=OE， ∴∠AEO=∠OAE， ∴∠AEO= ×（180°-84°）=48°． 答案：48° 题型解法：圆心角、弧、弦三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余两项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． -12- 3.2 圆的对称性 -13- ■题型二 利用弧、弦、圆心角的关系证明线段相等 例 2 如图，D，E 分别是⊙O 两条半径 OA，OB 的中点， ．求证：CD=CE． 3.2 圆的对称性 -14- 答案：证明：如答案图，连接 OC. ∵ ， ∴∠COA=∠COB. ∵D，E 分别是⊙O 两条半径 OA，OB 的中点， ∴OD=OE.在△COD 和△COE 中， ∴△COD≌△COE，∴CD=CE. 题型解法：在同圆或等圆中，如果两个弧相等，则所对的弦相等、所对的圆心角相等，但是需要注意的是这些相等的前提是在“同圆或等圆”中. OD＝OE， ∠COD＝∠COE， OC＝OC， 3.2 圆的对称性 -1- ■考点 1 圆的轴对称性和中心对称性 1. 若要用直线把圆分成面积相等的两部分，则直线（ ） A. 与圆只有一个交点 B. 与圆相交即可 C. 必经过圆心 D. 与圆没有交点 ▍考点集训/夯实基础 3.2 圆的对称性 -2- 2.（教材 P72，练习 T2 高仿）画一画： （1）请问图中 a、b、c 三个图形中是轴对称图形的是 _______，是中心对称图形的有 _________； （2）按下列要求分别画出与 a、b、c 图案不重复的图案： d 是轴对称图形但不是中心对称图形； e 既是轴对称图形又是中心对称图形. （第 2 题图） 3.2 圆的对称性 -3- ■考点 2 圆心角、弧、弦之间的关系 3. 如图，圆心角∠AOB=25°，将弧 AB 旋转 n°得到 ， 则∠COD 等于 （ ） A． 25° B． 25°+n° C． 50° D． 50°+n° （第 3 题图） （第 4 题图） 4. 如图，在同圆中，若∠AOB=2∠COD，则 与 2 的大小关系是 （ ） A． ＞2 B． ＜2 C． =2 D． 不能确定 3.2 圆的对称性 -4- 5. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC、CD、DA 是⊙O 的弦，且 BC=CD=DA，则∠CBA= （ ） A． 30° B． 45° C． 60° D． 75° （第 5 题图） （第 6 题图） 6. 如图，在⊙O 中，已知 ，则弦 AC 与弦 BD 的关系是 （ ） A． AC=BD B． AC＜BD C． AC＞BD D． 不确定 3.2 圆的对称性 -5- 7. 如图，在⊙O 中，弦 AB 和 CD 相交，连接 AC、BD，且 AC=BD．求证：AB=CD． （第 7 题图） -5- 第三章 圆 3.2 圆的对称性 1. C 2. 解：（1）a、b、c a 和 c； （2）答案不唯一，如图. 3. A 4. C 提示：如图，作∠AOB 的平分线 OE，∵OE 平分∠AOB，∴∠AOE=∠EOB， ∵∠AOB =2∠COD，∴∠AOE=∠EOB=∠COD，∴ ，∴ ． -6- 第三章 圆 5. C 提示：在题图上连接 OC、OD，在同圆中，∵BC=CD=DA，∴BC、CD、DA 所对的圆心角相等，∵AB 为直径，∴∠BOC=∠COD=∠DOA=60°，∵OC=OB，∴△OBC 为等边三角形，∴∠CBA=60°. 6. A 提示： ，∴AC=BD． 7. 证明：∵AC=BD， ，∴ ，即 ，∴AB=CD． $$