概率讲义课时三-2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--概率（一轮复习）课时三 典例1、近日，为进一步做好新冠肺炎疫情防控工作，某社区以网上调查问卷形式对辖区内部分居民做了新冠疫苗免费接种的宣传和调查．调查数据如下：共95份有效问卷，40名男性中有10名不愿意接种疫苗，55名女性中有5名不愿意接种疫苗． (1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关? 愿意接种 不愿意接种 合计 男 女 合计 （2）从不愿意接种的15份调查问卷中得到拒绝接种新冠疫苗的原因：有3份身体原因不能接种；有2份认为新冠肺炎已得到控制，无需接种：有4份担心疫苗的有效性：有6份担心疫苗的安全性．求从这15份问卷中随机选出2份，在已知至少有一份担心疫苗安全性的条件下，另一份是担心疫苗有效性的概率． 附： 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 随堂练习：深受广大球迷喜爱的某支欧洲足球队.在对球员的使用上总是进行数据分析，为了考查甲球员对球队的贡献，现作如下数据统计： 球队胜 球队负 总计 甲参加 甲未参加 总计 （1）求、、、、的值，据此能否有的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关； （2）根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为：、、、，当出任前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为：、、、.则： ①当他参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率； ②当他参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求乙球员担当前锋的概率； ③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用乙球员？ 附表及公式： . 典例2、某企业为了解职工款APP和款APP的用户量情况，对本单位职工进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男职工 女职工 使用 不使用 使用 不使用 款APP 72人 48人 40人 80人 款APP 60人 60人 84人 36人 假设所有职工对两款APP是否使用相互独立. （1）分别估计该企业男职工使用款APP的概率､该企业女职工使用款APP的概率； （2）从该企业男，女职工中各随机抽取1人，记这2人中使用款APP的人数为，求的分布列及数学期望； （3）据电商行业发布的市场分析报告显示，款APP的用户中男性占%､女性占%；款APP的用户中男性占%､女性占%.试分析该企业职工使用款APP的男､女用户占比情况和使用款APP的男､女用户占比情况哪一个与市场分析报告中的男､女用户占比情况更相符. 随堂练习：某调研机构就该市工薪阶层对“楼市限购令”的态度进行调查，抽调了5000名市民，他们月收入人数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表： 月收入(单位：百元) 调查人数 500 1000 1500 1000 500 500 赞成人数 400 800 1200 414 99 87 （1）若从抽调的5000名市民中随机选取一名市民，求该市民赞成“楼市限购令”的概率； （2）依据上表中的数据，若从该市工薪阶层随机选取两人进行调查，记赞成“楼市限购令”的人数为X,求X的分布列和数学期望； （3）若从抽调的收入在(百元)的市民中随机抽取两名，记赞成“楼市限购令”的人数为，期望记作；若从抽调的收入在(百元)的市民中随机抽取两名，记赞成“楼市限购令”的人数为，期望记作，比较与的大小关系.(直接写出结论即可) 典例3、为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅单位（一套住宅为一户）. 阶梯级别 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 月用电范围（度） 某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下： 居民用电编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 用电量（度） 53 86 90 124 132 200 215 225 300 410 （1）若规定第一阶梯电价每度元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度元，第三阶梯超出第二阶梯每度元，式计算居民用电户用电度时应交电费多少元？ （2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的用户数的分布与期望； （3）以表中抽到的10户作为样本估计全是居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到户用电量为第一阶梯的可能性最大，求的值. 随堂练习：根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效. （1）如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为，求的概率分布及数学期望； （2）如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率，并根据的值解释该试验方案的合理性. （参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件） 典例4、自2019年底开始，一种新型冠状病毒COVID-19开始肆虐全球.人感染了新型冠状病毒后初期常见发热乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹泻等症状，严重者可致呼吸困难、脏器衰竭甚至死亡.筛查时可通过鼻拭子或咽拭子进行核酸检测判断.某定点医院对来院就诊的发热病人的鼻拭子进行化验，现A、B、C、D、E，F六人均出现了发热咳嗽等症状，经过初次鼻拭子化验已确定其中有且仅有一人罹患新冠肺炎，其余五人只是普通流感，但化验报告不慎遗失，现需要再次化验以确定六人中唯一的阳性患者的姓名.假设在接受化验的鼻拭子样本中每份样本是阳性结果是等可能的，且每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的.下面是两种化验方案： 方案甲：逐个化验，直到能确定患者为止； 方案乙：混合化验，先任取两人鼻拭子样本混合在一起化验，若混合样本化验结果呈阳性，则在这2人中任选一人进行化验；若结果呈阴性，则再任取两人鼻拭子样本混合重复第一次混合化验过程；若结果还是阴性，则在最后两份血样中任选一人进行化验； （1）求方案甲所需化验次数的分布列及其期望. （2）求方案甲所需化验次数不少于方案乙所需化验次数的概率. 随堂练习：首届以进口为主题的国家级博览会在中国拉开大幕，本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展．其中企业产品展分为7个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如下表： 展区类型 智能及高端装备 消费电子及家电 汽车 服装服饰及日用消费品 食品及农产品 医疗器械及医药保健 服务贸易 展区的企业数（家） 400 60 70 650 1670 300 450 备受关注百分比 25％ 20％ 10％ 23％ 18％ 8％ 24％ 备受关注百分比指：一个展区中受到所有相关人士关注（简称备受关注）的企业数与该展区的企业数的比值． （1）从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家，求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率； （2）从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访．记X为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数，求随机变量X的分布列． 典例5、第届冬季奥林匹克运动会，于年月在北京市和张家口市联合举行．某校寒假期间组织部分滑雪爱好者参加冬令营集训．训练期间，冬令营的同学们都参加了“单板滑雪”这个项目相同次数的训练测试，成绩分别为、、、、五个等级，分别对应的分数为、、、、．甲、乙两位同学在这个项目的测试成绩统计结果如图所示． （1）根据上图判断，甲、乙两位同学哪位同学的单板滑雪成绩更稳定？（结论不需要证明） （2）求甲单板滑雪项目各次测试分数的众数和平均数； （3）若甲、乙再同时参加两次测试，设甲的成绩为分并且乙的成绩为分或分的次数为，求的分布列（频率当作概率使用）． 随堂练习：“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心，据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示. （1）求这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）； （2）现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中至少1人的年龄在第1组中的概率； （3）用频率估计概率，从所有参与生态文明建设关注调查的人员（假设人数很多，各人是否关注生态文明建设互不影响）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X，求随机变量X的分布列. 2025高考--概率（一轮复习）课时三答案 典例1、答案：（1）列联表见解析；有；（2）． 解:（1） 愿意接种 不愿意接种 合计 男 30 10 40 女 50 5 55 合计 80 15 95 有的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关． （2）设事件A为至少有一份担心疫苗安全性，事件B为另一份担心疫苗有效性， 则,, 所以. 随堂练习：答案：（1），，，有的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关 （2）①；②；③多让乙球员担当守门员，来扩大赢球场次 解：（1）由列联表中的数据可得，，， ， 有的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关. （2）①设表示“乙球员担当前锋”；表示“乙球员担当中锋 ”； 表示“乙球员担当后卫”； 表示“乙球员担当守门员”；表示“球队输掉某场比赛”， 则 ； ②； ③因为， ， ， 所以，， 所以应该多让乙球员担当守门员，来扩大赢球场次. 典例2、答案：（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：； （3）该企业职工使用APP的情况与官方发布的男､女用户情况更相符 解：（1）由所给数据可知，男职工使用A款APP的人数为72， 用频率估计概率，可得男职工使用京东APP的概率约为， 同理，女职工使用A款APP的概率约为； （2）的可能取值为0，1，2， ； ； . 的分布列为： 0 1 2 的数学期望； （3）样本中，款APP的男､女用户为(人)， 其中男用户占%；女用户占%， 样本中，款APP的男､女用户为(人)， 其中男用户占%；女用户占%， 该企业职工使用APP的情况与官方发布的男､女用户情况更相符. 随堂练习：答案： （1） ；（2）分布列见详解，数学期望为；（3）； 解:（1）由数据可知，在抽调的5000名市民中， 有名， 由频率估计为概率，所以从抽调的5000名市民中随机选取一名市民， 该市民赞成“楼市限购令”的概率为， （2）由（1）知，市民赞成“楼市限购令”的概率为， 记赞成“楼市限购令”的人数为X，则， 则X的可能取值为0,1,2， 那么， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 则. （3）由题意得：因为，， . 典例3、答案：（1）227元（2）（3） 解：（1）元 设取到第二阶梯电量的用户数为，可知第二阶梯电量的用户有3户，则可取0,1,2,3 故的分布列是 0 1 2 3 所以 （2）可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足， 可知： ,解得， 所以当时，概率最大，所以 随堂练习：答案：（1）分布列见解析，；（2），答案见解析. 解：（1）X的所有可能取值为0，1，2 ，， ∴X的分布列如下： X 0 1 2 P ． （2）新药无效的情况有：中人痊愈、中人痊愈，∴ 故可认为新药无效事件是小概率事件，从而认为新药有效，故该试验方案合理. 典例4、答案： （1）分布列见解析，期望为； （2）. 解：（1）的可能取值为， ，， ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 4 5 所以； （2）的可能取值为， ，， 所以 随堂练习：答案: （1） （2） 解：（1）7个展区企业数共有家， 其中备受关注的智能及高端装备企业共家， 设从各展区随机选1家企业，这家企业是备受关注的智能及高端装备为事件， 所以. （2）由表格可知：消费电子及家电备受关注的企业有家， 医疗器械及医药保健备受关注的企业有家，共家. 所以的可能取值为. 则；；. 所以随机变量的分布列为： 典例5、答案： （1）乙比甲的单板滑雪成绩更稳定 （2）众数为分，平均数为分 （3）分布列答案见解析 解：（1）由图可知，乙比甲的单板滑雪成绩更稳定. （2）因为甲单板滑雪项目测试中分和分成绩的频率之和为， 分成绩的频率为，所以，甲单板滑雪项目各次测试分数的众数为分， 测试成绩分的频率为， 所以，甲单板滑雪项目各次测试分数的平均数为. （3）由题意可知，在每次测试中，甲的成绩为分， 并且乙的成绩为分或分的概率为：， 依题意，，所以，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 随堂练习：答案： （1）41.5（岁）． （2） （3）分布列见解析 解：（1）由小矩形面积和等于1可得：， ∴ a＝0.035 ∴平均年龄为（岁）． （2）第1组总人数为200×0.01×10＝20，第2组总人数为200×0.015×10＝30 故用分层抽样后，第1组抽取人，第2组抽取人 ∴再从这5人中抽取3人， 设至少1人的年龄在第1组中的事件为A，其概率为：. （3）由题意可知X服从二项分布X～B（3，） ，， ，. ∴X的分布列为： X 0 1 2 3 P ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$