精品解析：江苏省徐州市沛县湖西中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题

沛县湖西中学2023-2024学年度高二年级第二次月考 数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若 ，则等于(　 　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 3名男生和2名女生排成一排，其中女生甲不排两端的不同排法有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 72种 D. 120种 4. 某射手每次射击击中目标的概率是0.6，且各次射击的结果互不影响，则该射手射击30次恰有18次击中目标的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于[80，88]的人数约为（ ） 参考数据：，，． A 455 B. 2718 C. 6346 D. 9545 6. 某市2018年至2022年新能源汽车年销量y（单位：千台）与年份代号x的数据如下表： 年份 2019 2020 2021 2022 年份代号x 1 2 3 4 年销量y 15 20 m 35 若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的经验回归直线方程为，则表中m的值为（ ） A. 25 B. 28 C. 30 D. 32 7. 已知两个正实数满足，并且恒成立，则实数m的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 B. 将一组数据中的每个数据都乘2022后，方差也变为原来的2022倍 C. 已知回归模型为，则样本点的残差为 D. 对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大 11. 在平行六面体中，，，，则（ ） A. 平面 B. C. D. 点到平面的距离为 三、填空题 12. 已知随机变量的概率分布如下：则的方差为______. 0 1 2 P 13. 已知空间向量，，，若，，共面，则______． 14 已知，则___________． 四、解答题 15. 已知函数. （1）证明：上单调递增； （2）求在上的最大值与最小值. 16. 甲袋中有5个白球和4个红球，乙袋中有4个白球和5个红球．先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球． （1）求第一次取出的球是红球的概率； （2）求第一次取出球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率． 17. 已知一组数据的散点图如下： （1）根据散点图计算，的相关系数，并据此判断是否可用线性回归模型拟合与的关系？（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合） （2）若可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程，并预测时的值． 附：相关公式及参考数据：，． 回归方程中，，． 18. 为了研究学生是否喜欢篮球运动与性别关系，某校高二年级随机对该年级50名学生进行了跟踪调查，其中喜欢篮球运动的学生有30人，在余下的学生中，女生占，根据数据制成列联表如下： 男生 女生 合计 喜欢 20 30 不喜欢 20 合计 50 （1）根据题意，完成上述列联表，并判断是否有的把握认为喜欢篮球运动和性别有关？ （2）在不喜欢篮球运动的20人中随机抽取2人继续跟踪调查，其中男生人数记为随机变量，求的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，分别在棱，上． （1）当为棱中点时，求证：； （2）当为棱中点时，求平面与平面所成的二面角余弦值的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 沛县湖西中学2023-2024学年度高二年级第二次月考 数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解出集合，利用交集的定义可求得集合 【详解】因为，， 所以， 故选：C. 2. 若 ，则等于(　 　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由分段函数的解析式先求，再求即可. 【详解】由，可得. 所以. 故选D. 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值，属于基础题. 3. 3名男生和2名女生排成一排，其中女生甲不排两端的不同排法有（ ） A 36种 B. 48种 C. 72种 D. 120种 【答案】C 【解析】 【分析】首先排好女生甲，再将其余人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】依题意首先将女生甲排到除两端外的三个位置中的一个位置，有种排法， 其余名同学全排列，有种排法， 按照分步乘法计数原理可知一共有种排法. 故选：C 4. 某射手每次射击击中目标的概率是0.6，且各次射击的结果互不影响，则该射手射击30次恰有18次击中目标的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据二项分布的概率公式来解. 【详解】设为射手在30次射击中击中目标的次数，则， 故在30次射击中，恰有18次击中目标的概率为. 故选：B. 5. 某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于[80，88]的人数约为（ ） 参考数据：，，． A. 455 B. 2718 C. 6346 D. 9545 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于[80，88]的人数. 【详解】由题意可知，， 则数学成绩位于[80，88]的人数约为. 故选：B 6. 某市2018年至2022年新能源汽车年销量y（单位：千台）与年份代号x的数据如下表： 年份 2019 2020 2021 2022 年份代号x 1 2 3 4 年销量y 15 20 m 35 若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的经验回归直线方程为，则表中m的值为（ ） A. 25 B. 28 C. 30 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】根据线性回归直线方程经过样本中心，即可代入求解. 【详解】由已知得，回归直线方程为过样本点中心， ∴，即， ∴． 故选：C． 7. 已知两个正实数满足，并且恒成立，则实数m的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，结合式子的特点联系基本不等式来求出最小值，得到关于m的不等式，即可得到m的范围. 【详解】因为恒成立，则， ， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值为8， 所以，即，解得：. 故选：B 8. 函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将题意转化成在区间上有解，设，利用导数求出的取值范围即可得到答案 【详解】解：由题意得在区间上有解，即在区间上有解， 设，所以 令，解得， 所以当，，单调递减；当，，单调递增， 所以，因为 所以， 所以实数a的取值范围是， 故选：B 二、多选题 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】设令，利用赋值法可判断ACD选项；利用二项展开式通项可判断B选项. 【详解】令. 对于A选项，，A错； 对于B选项，的展开式通项为， 令，可得，则，B对； 对于C选项， ，C对； 对于D选项，， 所以，，D错. 故选：BC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 B. 将一组数据中的每个数据都乘2022后，方差也变为原来的2022倍 C. 已知回归模型为，则样本点的残差为 D. 对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大 【答案】CD 【解析】 【分析】根据相关系数、方差的性质、残差的计算以及独立性检验的计算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对：线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故错误； 对：将一组数据中的每个数据都乘2022后，方差变为原来的倍，故错误； 对：当时，，所以样本点的残差为，故正确； 对：对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，则“两变量有关系”的把握程度越小， 则判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故正确. 故选：． 11. 在平行六面体中，，，，则（ ） A. 平面 B. C. D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A项，利用图形几何性质及空间向量的数量积并线面垂直的判定定理即可判断；对于B项，根据空间向量加法法则计算即可；对于C项，由空间向量的数量积计算即可判定；对于D项，利用三余弦定理结合已知条件计算即可； 【详解】 如图所示，连接AC，BD，，作于G点，作GJ⊥AB于J点， 对于A项，由题意可得底面ABCD为菱形，则有AC⊥BD，又， 即， ∵面，故平面，即A正确； 对于B项，显然， 在平行四边形中，又有，即B正确； 对于C项，， ∴，故，即C错误； 对于D项，由A项平面，平面，可得， 又面ABCD，故面ABCD， 面ABCD，则，面， 故面，面，，即均为直角三角形， ∴， 则，即D正确； 故选:ABD 三、填空题 12. 已知随机变量的概率分布如下：则的方差为______. 0 1 2 P 【答案】##0.6875 【解析】 【分析】根据分布列，利用期望和方差的公式求解. 【详解】由分布列得：， ． 故答案为：. 13. 已知空间向量，，，若，，共面，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由空间向量基本定理结合题意列方程求解即可. 【详解】若，，共面，则存在实数，使， 即 所以，解得，，． 所以． 故答案为： 14. 已知，则___________． 【答案】0.74## 【解析】 【分析】运用条件概率公式、对立事件概率公式及全概率公式即可求得结果. 【详解】因为，，， 所以， 所以， 所以， 故答案为：0.74. 四、解答题 15. 已知函数. （1）证明：在上单调递增； （2）求在上的最大值与最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2）最小值1，最大值是 【解析】 【分析】（1）根据单调性的定义，先任取，且，然后作差，变形判断符号可得结论； （2）由在上递增，可求出其最大值和最小值. 【小问1详解】 证明：，且，则 由，得，， 所以，即. 所以函数在区间上单调递增. 【小问2详解】 因为函数在区间上单调递增， 所以函数在区间的两个端点上分别取得最小值和最大值， 即时取得最小值，最小值为， 时取得最大值，最大值为. 故的最小值是1，最大值是 16. 甲袋中有5个白球和4个红球，乙袋中有4个白球和5个红球．先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球． （1）求第一次取出的球是红球的概率； （2）求第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式计算即可； （2）根据全概率公式和条件概率公式计算即可. 【小问1详解】 设“取出的是甲袋”为事件，“取出的是乙袋”为事件，“第一次取出的球是红球”为事件，“第二次取出的球是白球”为事件，则． 由题意易得，， 所以． 即第一次取出的球是红球的概率为． 【小问2详解】 ，． 故． 所以， 故第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率为． 17. 已知一组数据的散点图如下： （1）根据散点图计算，的相关系数，并据此判断是否可用线性回归模型拟合与的关系？（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合） （2）若可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程，并预测时的值． 附：相关公式及参考数据：，． 回归方程中，，． 【答案】（1）0.897，可用线性回归模型拟合与的关系 （2），38 【解析】 【分析】（1）根据相关公式计算相关系数判定即可； （2）根据相关公式计算，可得回归方程，代入即可预测结果. 【小问1详解】 ，， 因为，，， 所以， 所以可用线性回归模型拟合与的关系． 【小问2详解】 因为，，， 所以，所以关于的线性回归方程为． 将代入线性回归方程可得，． 18. 为了研究学生是否喜欢篮球运动与性别的关系，某校高二年级随机对该年级50名学生进行了跟踪调查，其中喜欢篮球运动的学生有30人，在余下的学生中，女生占，根据数据制成列联表如下： 男生 女生 合计 喜欢 20 30 不喜欢 20 合计 50 （1）根据题意，完成上述列联表，并判断是否有的把握认为喜欢篮球运动和性别有关？ （2）在不喜欢篮球运动的20人中随机抽取2人继续跟踪调查，其中男生人数记为随机变量，求的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）表格见解析，有的把握认为喜欢篮球运动和性别有关 （2）分布列见解析，． 【解析】 【分析】（1）根据条件补充表格，并利用卡方公式计算即可判定； （2）根据离散型随机变量的取值计算其对应概率得出分布列，再由期望公式计算即可. 【小问1详解】 由题意，列联表如下： 男生 女生 合计 喜欢 20 10 30 不喜欢 5 15 20 合计 25 25 50 提出假设：性别与是否喜欢篮球运动无关． 根据列联表中的数据可以求得， 因为当成立时，的概率约为0.005， 所以有的把握认为喜欢篮球运动和性别有关． 【小问2详解】 的所有可能取值为0，1，2， ，，， 故随机变量的分布列为 0 1 2 数学期望． 19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，分别在棱，上． （1）当为棱中点时，求证：； （2）当为棱中点时，求平面与平面所成的二面角余弦值的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）以为正交基底建立空间坐标系，设，由，即可证明； （2）分别求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式结合二次函数的性质即可得出答案. 【小问1详解】 因底面为正方形，所以，又因为平面，，平面， 所以，．以为正交基底建立空间坐标系， 则，，，，． 当为棱中点时，，设， 则，， 所以，所以． 【小问2详解】 当为棱中点时，，设， 则，，，． 设平面的法向量为，则 取，则是平面的一个法向量， 设平面的法向量为，则 取，则是平面的一个法向量． 设平面与平面所成角为， 则． 令，则， 所以当，即时，取最大值． 所以平面与平面所成的二面角余弦值的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$