精品解析：福建省福州市闽侯县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度第二学期八年级期末适应性练习 数学 考生须知 1．全卷共6页，有三大题，25小题；满分150分；考试时间120分钟． 2．答案一律填涂或书写在答题卡的相应位置，在试卷上作答无效． 3．答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹中性（签字）笔作答． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为．下列判断正确的是（ ） A. 2是变量 B. 是变量 C. r是变量 D. C是常量 2. 函数中自变量是的可能取值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 下列各组数据为勾股数的是（ ） A. 1，， B. 2，3，4 C. ，， D. 3，4，5 4. 平行四边形中，下列关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 小明每天利用部分时间整理学习中问题，他记录了一周内每天完成该项整理的时间，并将时间数据绘制成折线图，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A 21，21 B. 21，24 C. 21，27 D. 27，21 6. 在菱形中，对角线，相交于点，，，则长是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 已知，则a的整数部分是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 小明从家出发，去超市购物后直接回家，如图是他离家的距离（千米）与时间（分钟）的函数关系图象，根据图象信息，下列说法正确的是（ ） A. 小明在超市停留了分钟 B. 小明去时的速度为千米/小时 C. 小明从出发到回家共走了千米 D. 小明去超市所用的时间少于从超市回家所用时间 9. 甲，乙两艘客轮同时从港口出发，甲客轮沿北偏东的方向航行到达点处，乙客轮在同一时刻到达距离港口的点处，若，两点间的距离为，则乙客轮的航行方向可能是（ ） A. 南偏东 B. 南偏西 C. 北偏西 D. 南偏西 10. 已知函数的图象不经过第二象限，且该函数图象经过点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 将直线向上平移2个单位长度，得到的直线解析式是______． 12. 某校四名跳远运动员在之前10次跳远测试中成绩的平均数相同，方差如下表所示．若要从这4名运动员中选出一名跳远成绩最稳定的选手参加市运动会，则应选择的选手是______． 选手 甲 乙 丙 丁 13. 若能和进行合并，则正整数的值可以是______（只需写出一个符合条件的正整数）． 14. 已知一次函数与（，是常数）图象的交点横坐标是，则关于，的方程组，的解是______． 15. 我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是，小正方形的面积是，设直角三角形中较长直角边为，较短直角边为，则的值是______． 16. 如图，边长为4的正方形中，E，F分别为边，上的点，连接，．若，则的最小值是______． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知一次函数的图象经过点，求该函数的解析式，并在所给的坐标系中画出该函数的图象（列表，描点，连线）． 19. 如图，平行四边形中，分别延长，至点，，连接，，，．若，求证：四边形是平行四边形． 20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都为．已知的三个顶点均在格点上，且点，的位置如图所示．若，，请判断并说明的形状，再画出． 21. 某校某科目的期末总评成绩是由作业情况，期中检测，期末检测三项成绩（单项成绩均为整数）按照2：3：5构成．下表是小瑞和小唐两位同学的成绩记录，其中小唐的完成作业情况还未完成统计： 作业情况 期中检测 期末检测 小瑞 小唐 （1）请计算小瑞的期末总评成绩； （2）若老师完成统计后发现小唐的期末总评成绩比小瑞高，求小唐作业情况的成绩至少得了多少分？ 22. 某学校为响应“绿水青山就是金山银山”的号召，今年植树节期间与绿化部门申请组织八年级学生进行“绿色生态，植树造林”活动．该学校经调研决定购买，两种树苗共棵，其中种树苗每棵元，种树苗每棵元．设学校购买种树苗棵，购买总费用为元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若种树苗的数量不超过种树苗的倍，请给出最省钱的购买方案，并求出该方案所需的费用． 23. 数学课上，李老师证明了三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．受此启发，数学活动小组开展实践活动，探索梯形的中位线与上下底之间的数量关系（注：只有一组对边平行的四边形是梯形；连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线）． （1）【动手操作】如图，已知，线段，点在射线上．在射线上取一点，作梯形，使得点在内部，且，（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）【提出猜想】分别取，中点，，连接．对于不同的点的位置，通过观察和测量，猜想并直接写出与，之间的数量关系（用等式表示）； （3）【验证猜想】请用你所学过的知识证明上述猜想． 24. 如图，在矩形纸片中，E为边上一点，将沿折叠得到，过点F作平行线交于点G，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若G为中点，当时，求的值． 25. 在平面直角坐标系中，一次函数分别与x轴，y轴交于点A，B，x轴上--点C在点A右侧，且． （1）求点A的坐标；． （2）将点C向下平移2个单位长度得到点D，若，求k的值；． （3）已知过点C的直线分别与线段，交于E，F两点，若，求k与n之间的等量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期八年级期末适应性练习 数学 考生须知 1．全卷共6页，有三大题，25小题；满分150分；考试时间120分钟． 2．答案一律填涂或书写在答题卡的相应位置，在试卷上作答无效． 3．答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹中性（签字）笔作答． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为．下列判断正确的是（ ） A. 2是变量 B. 是变量 C. r是变量 D. C是常量 【答案】C 【解析】 【分析】根据变量与常量的定义分别判断，并选择正确的选项即可． 【详解】解：2与π为常量，C与r为变量， 故选：C． 【点睛】本题考查变量与常量的概念，能够熟练掌握变量与常量的概念为解决本题的关键． 2. 函数中自变量是的可能取值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零，进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， 函数中自变量是的可能取值是3， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零，是解题的关键． 3. 下列各组数据为勾股数的是（ ） A. 1，， B. 2，3，4 C. ，， D. 3，4，5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股数．根据股勾股数的定义：可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，进行判断即可． 【详解】解：A、不是正整数，不是勾股数，故该选项不正确，不符合题意； B、不是勾股数，故该选项不正确，不符合题意； C、，，不是正整数，不是勾股数，故该选项不正确，不符合题意； D、，3，4，5是勾股数，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 平行四边形中，下列关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的对边相等是解决问题的关键． 由平行四边形的性质得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 故选：B． 5. 小明每天利用部分时间整理学习中的问题，他记录了一周内每天完成该项整理的时间，并将时间数据绘制成折线图，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 21，21 B. 21，24 C. 21，27 D. 27，21 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的知识，掌握定义是解题的关键． 根据众数是指一组数据中出现次数做多的数；根据中位数是指把一组数据按从小到大重新排列后，最中间的那个数，确定中位数，问题即可解答． 【详解】解：把这组数据从小到大排列为：15，21，21，21，27，27，30， 排列最中间的数是21，故中位数为21； 21出现的次数最多，故众数是21． 故选：A． 6. 在菱形中，对角线，相交于点，，，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，含度角的直角三角形的性质，利用菱形的性质，求出，得出三角形是直角三角形，再根据含度角的直角三角形的性质，求出. 【详解】解：∵四边形是菱形， ，是对角线，， ∴，， ∴，，，即三角形是直角三角形， 又∵， ∴， ∴ 故选：B． 7. 已知，则a的整数部分是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数的估算，运用算术平方根的性质列不等式是解题的关键． 根据题意列出不等式进行估算即可． 详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是3． 故选：C． 8. 小明从家出发，去超市购物后直接回家，如图是他离家的距离（千米）与时间（分钟）的函数关系图象，根据图象信息，下列说法正确的是（ ） A. 小明在超市停留了分钟 B. 小明去时的速度为千米/小时 C. 小明从出发到回家共走了千米 D. 小明去超市所用的时间少于从超市回家所用时间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查函数图象，根据图象上特殊点的坐标和实际意义即可求出答案． 【详解】解：A. 小明在超市停留了分钟，故该选项不正确，不符合题意； B. 小明去时的速度为千米/小时，故本选项正确，符合题意； C. 小明从出发到回家共走了千米，故该选项不正确，不符合题意； D. 小明去超市所用的时间为分钟多于从超市回家所用时间分钟，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 9. 甲，乙两艘客轮同时从港口出发，甲客轮沿北偏东的方向航行到达点处，乙客轮在同一时刻到达距离港口的点处，若，两点间的距离为，则乙客轮的航行方向可能是（ ） A. 南偏东 B. 南偏西 C. 北偏西 D. 南偏西 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，方向角，根据题意可得，，再利用勾股定理的逆定理证明△AOB是直角三角形，从而求出∠，然后分两种情况，画出图形，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得，，， ，， ， ， 分两种情况： 如图1， ， 乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东， 如图2， ， 乙客轮离开港口时航行方向是：北偏西 ， 综上所述：乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东或北偏西， 故选：A． 10. 已知函数的图象不经过第二象限，且该函数图象经过点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，根据一次函数的图象及性质，判断出，，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴， 故A，B不符合题意； ∵函数经过点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 则， ∴，故C选项不正确，符合题意； ∴，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 将直线向上平移2个单位长度，得到的直线解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换．熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】∵直线向上平移2个单位长度， ∴得到的直线解析式是． 故答案为：． 12. 某校四名跳远运动员在之前10次跳远测试中成绩的平均数相同，方差如下表所示．若要从这4名运动员中选出一名跳远成绩最稳定的选手参加市运动会，则应选择的选手是______． 选手 甲 乙 丙 丁 【答案】丁 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的意义，根据方差的意义进行判断即可． 【详解】解：∵ ∴丁的方差最小， 由题意知：平均数相同，丁的成绩最稳定， 应选择的选手是丁， 故答案为：丁． 13. 若能和进行合并，则正整数的值可以是______（只需写出一个符合条件的正整数）． 【答案】20（，n为大于1的正整数） 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，理解并掌握同类二次根式的定义是解决问题的关键． 【详解】解：∵能和进行合并， ∴与是同类二次根式， ∴，n为正整数， ∴，n为正整数， ∵，则， ∴为大于1的正整数， 当时，， 故答案为：20． 14. 已知一次函数与（，是常数）的图象的交点横坐标是，则关于，的方程组，的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组．根据一次函数的图象交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解． 【详解】解：一次函数与，是常数）的图象的交点横坐标是， ， 一次函数与，是常数）的图象的交点坐标是， 方程组的解． 故答案为：． 15. 我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是，小正方形的面积是，设直角三角形中较长直角边为，较短直角边为，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，根据图形分析可得小正方形的边长为两条直角边长的差，根据题意得出，进而根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：依题意， ∵ ∴ ∴， 故答案为：． 16. 如图，边长为4的正方形中，E，F分别为边，上的点，连接，．若，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 如图所示，作D关于直线的对称点，连接，，先证明得到，则，从而推出当C、F、三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，作D关于直线的对称点，连接，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当C、F、三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为， 在中，． 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的加减和乘法乘方的混合计算； （1）根据二次根式的混合计算法则求解即可； （2）根据平方差公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 18. 已知一次函数的图象经过点，求该函数的解析式，并在所给的坐标系中画出该函数的图象（列表，描点，连线）． 【答案】，图象见解析 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及画一次函数的图象，由点的坐标，利用待定系数法可求出一次函数解析式，再利用五点法画出该函数的图象，此题得解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴ 解得： ∴ 列表如下， 描点、连线，画出函数图象，如图所示 19. 如图，平行四边形中，分别延长，至点，，连接，，，．若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形判定和性质，熟练运用平行四边形的判定和性质是本题的关键． 首先证明，进而证明得到，，即可得到答案． 【详解】证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 即，、． 在和中， ， ，， 四边形是平行四边形． 20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都为．已知的三个顶点均在格点上，且点，的位置如图所示．若，，请判断并说明的形状，再画出． 【答案】是直角三角形，见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理等知识，根据勾股定理求得，进而根据勾股定理的逆定理证明，是直角三角形，其中，根据网格画出即可求解． 【详解】解：是直角三角形． 理由如下：在网格中，根据勾股定理得 ． ，， ，． ， 即， 根据勾股定理的逆定理得是直角三角形，其中． ∴是满足题意的三角形． 21. 某校某科目的期末总评成绩是由作业情况，期中检测，期末检测三项成绩（单项成绩均为整数）按照2：3：5构成．下表是小瑞和小唐两位同学的成绩记录，其中小唐的完成作业情况还未完成统计： 作业情况 期中检测 期末检测 小瑞 小唐 （1）请计算小瑞的期末总评成绩； （2）若老师完成统计后发现小唐的期末总评成绩比小瑞高，求小唐作业情况的成绩至少得了多少分？ 【答案】（1）分 （2）小唐的作业情况的成绩至少得了分 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数和一元一次不等式的应用； （1）根据加权平均数的计算方法进行求解即可； （2）根据题意可得小唐期末总评成绩为，小唐的期末总评成绩比小瑞高，得出不等式，解不等式，求最小整数解，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，得小瑞的期末总评成绩是 （分）． 【小问2详解】 根据题意，得小唐的期末总评成绩是分． ∵小唐的期末总评成绩比小瑞高， ∴， 解得． ∵x为整数， ∴小唐的作业情况的成绩至少得了92分． 22. 某学校为响应“绿水青山就是金山银山”的号召，今年植树节期间与绿化部门申请组织八年级学生进行“绿色生态，植树造林”活动．该学校经调研决定购买，两种树苗共棵，其中种树苗每棵元，种树苗每棵元．设学校购买种树苗棵，购买总费用为元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若种树苗的数量不超过种树苗的倍，请给出最省钱的购买方案，并求出该方案所需的费用． 【答案】（1） （2）最省钱的购买方案是：购买种树苗棵，购买种树苗棵．该方案所需的费用是元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用； （1）根据总费用购买种树苗的费用购买种树苗的费用列出关系式即可； （2）根据一次函数的增减性结合的取值范围即可解答. 【小问1详解】 解：学校购买种树苗棵， 购买种书面棵． 根据题意，得 ． 【小问2详解】 根据题意，得， 解得， （，且为整数）． ， 当时，随的增大而减小， 当时，有最小值， 最小值为， 此时． 答：最省钱的购买方案是：购买种树苗棵，购买种树苗棵．该方案所需的费用是元． 23. 数学课上，李老师证明了三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．受此启发，数学活动小组开展实践活动，探索梯形的中位线与上下底之间的数量关系（注：只有一组对边平行的四边形是梯形；连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线）． （1）【动手操作】如图，已知，线段，点在射线上．在射线上取一点，作梯形，使得点在内部，且，（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）【提出猜想】分别取，中点，，连接．对于不同的点的位置，通过观察和测量，猜想并直接写出与，之间的数量关系（用等式表示）； （3）【验证猜想】请用你所学过的知识证明上述猜想． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练运用三角形中位线定理是解题的关键；（1）根据题意作图即可；（2）通过观察和测量可进行猜想；（3）证法一是根据，可知，，，证明，从而证明是中点，从而得到猜想结论；证法二是根据，为，中点，可知，分别是和的中位线，可得到，根据由于过一点有且只有一条直线与已知直线平行，可以证明猜想． 小问1详解】 ∴四边形为所求作的梯形． 小问2详解】 通过观察和测量，猜想：； 【小问3详解】 证法一：连接并延长，交的延长线于点． ， ，， 为中点， ， ， ∴，， 即是中点． 是中点， 是的中位线， ∴， ∴． 证法二：连接，取中点，连接，． ，为，中点， ，分别是和的中位线， ∴，，，． ， 由于过一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点，，在同一条直线上， ∴． 24. 如图，在矩形纸片中，E为边上一点，将沿折叠得到，过点F作的平行线交于点G，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若G为中点，当时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意得垂直平分，证得即可求解； （2）分类讨论当点F在矩形内时，当点F在矩形外时，两种情况即可求解． 【小问1详解】 证明：连接交于点O． ∵沿折叠得到， ∴垂直平分， ∴，,． ∵ ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． 【小问2详解】 解：延长交于点H，连接． ∵四边形是矩形， ∴． ∵G是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 当点F在矩形内时， ， ∴， 即， ∴， ∴． 当点F在矩形外时， ． 过点D作垂线，垂足为M， ∴， ∴， 即， ∴设． ∵， ∴， 即． 根据勾股定理得， ∴， ∴． 【点睛】本题综合考查了矩形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，需要学生具备扎实的几何基础． 25. 在平面直角坐标系中，一次函数分别与x轴，y轴交于点A，B，x轴上--点C在点A右侧，且． （1）求点A的坐标；． （2）将点C向下平移2个单位长度得到点D，若，求k的值；． （3）已知过点C的直线分别与线段，交于E，F两点，若，求k与n之间的等量关系． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据一次函数与x轴交于点，令，则，再根据，即可求出的值，得到点坐标； （2）先求出点坐标为，得到，根据x轴上一点在点右侧，且，得，即可得，过点D作DM⊥y轴于点M，则，得到，根据勾股定理得 ，列出方程，解方程求解，再取的值即可； （3）根据“直角三角形的两个锐角互余”，“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”，可得，，，整体代入可得，即可求得，进而得到，如图2，将点C向上平移2个单位得到点，连接，，，易证得，得到，，通过等量代换，即可得，进而得到，再根据“等边对等角”，得，即可得，根据平行线判定“内错角相等，两直线平行”证得，然后根据平行四边形判定“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，证得四边形是平行四边形，进而得到， 最后将代入，可得，，即可得到与的等量关系． 【小问1详解】 解：令，则， ∴， ∵， ，即， ． 【小问2详解】 解：将代入，得， ∴， ∵， ∴， ∵x轴上一点在点右侧，且， ， ∴， ∵将点向下平移2个单位长度得到点， ∴， 如图1，过点D作轴于点M，则， ∴，， ∴， 在中，， ， 解得，， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴ ， 如图2，将点C向上平移2个单位得到点，连接，，， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， 将代入，得， ， ， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点的综合问题，坐标系中的点平移，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等，解题关键是合理添加辅助线构造直角三角形，利用勾股定理解三角形，利用点的平移、添加辅助线构造全等三角形，得到等边等角，灵活运算平行四边形判定与性质找到与定长相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$