河南省南阳市第一中学校2023-2024学年高一下学期第四次月考（6月）数学试题

南阳一中高一年级2024年春期第4次月考 数学试题 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1.已知复数z满足z(1+i)=2i,则复数z的共轭复数三=() A.1+i B.1-i C.i D.-i 2.如图，E,F分别为平行四边形ABCD边AD的两个三等分点，分别连 接BE,C℉，并延长交于点O,连接OA,OD,则OD=（) B A.-201+05B.-O+20丽 3 C.-20A+0B D.OA-20B 3.用斜二测画法画出的水平放置的平面图形aOAB的直观图为如图所示的△OA'B,己知 △OAB是边长为2的等边三角形，则顶点B到x轴的距离是() B A.2W6 B.4 c.25 D.2√2 4.已知M=sinI00°-cos100°，N=√2(sin44°cos12°+sin46°sinl2°）， P=1+an2(1+an239,.那么k,成P之间的大小顺序为() A.M<N<P B.P<M<N C.N<M<P D.P<N<M 5.已知a,B0,,sin(a-p月)=名：mg:-则a+p=（】 7 B.π C.2π 6 D.11 π 6 6.一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论： ①AB⊥EF:②AB与CM成60°的角；③EF与W是异面直线： ④W∥CD.其中正确的是() A.①② B.③④ C.②③ D.①③ 7.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=√5，且c-2b+23cosC=0, 则该三角形外接圆的半径为()A.1B.5C.2D.2√5 8.在△ABC中，若AB=AC,D为AC的中点，BD=√5，则△ABC面积的最大值为() A.5 B.2 C.3 D.25 ▣口 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.) 9.设l,m,n是三条不同的直线，a,By是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是，() A.若l⊥m,I⊥n,则m∥n B.若l∥m,l∥a,m￠a,则m∥a C.若m⊥a,n⊥B,m⊥n,则a⊥B D.若a⊥B,B⊥y,a∩y=n,则n⊥B 10.设复数z在复平面内对应的点为Z,原点为O,i为虚数单位，则下列说法正确的是() A.若z(2+i训=10，则z·Z=2 B.若点Z的坐标为(-3,2)，且z是关于x的方程x2+px+q=0(p,9∈R)的一个根， 则p+q=19 0 C.若复数z= 则复数乙在复平面内对应的点位于第一象限 i+1 D.若复数：满足z-1+21=1,则4的最小值为√5-1 11.己知圆锥S0(0是圆锥底面圆的圆心，S是圆锥的顶点)的母线长为4，底面半径为3.若 P,Q为底面圆周上的任意两点，则下列说法中正确的是() A.圆锥S0的侧面积为L2元 B.△SP2面积的最大值为3√7 C.三棱维0-SP0体积的最大值为 2 D.圆锥S0的内切球的表面积为36 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） cos(+a侧-sin(←x-a 2 12.已知角&终边上一点P(-4,3,则 s(I-a)+in( 的值为一 cos(- 2 2 13.在锐角aMC中，角4B,C的对边分别为a,6c,点P是a1BC的重心，若b=2,AP=2 且cos2A+(4+V5)sin(B+C)=2W3+1,则边C=, 14.如图，在三棱锥P-ADC中，B为DC的中点，△PAC和 aABC均为等腰三角形，且∠APC=∠BAC=90°，AB=4, PD=2√22.则三棱锥P-ADC的体积为 D ▣g▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(13分)己知a,b,c是同一平面内的三个向量，其中a=(1,2). (1)若=25，且c1/a,求c的坐标： @若-5，且a+25与2a-6垂直，求a与6的夹角9， 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，F为PA的中点，E为 PB中点. (1)求证：PC11平面BFD: ②)己知M点在PD上满足C1/平面BFM,求P 的值 MD B 17.(15分)如图，扇形40B的圆心角为2，半径为1.点P是B上任一点，设 LoP alaco (1)记f(a)=Op.AB,求f(a)的表达式； (2)若OP=xOA+yOB,求x2+y2的取值范围. O夸克扫描王 极速扫描，就是高效 18.(17分)如图，在直三棱柱ABC-ABC中，平面ABC⊥侧面AABB,且AA,=AB=2. (1)求证：AB⊥平面BCCB: (@)若直线4C与平面48C的夹角为名，求二面角A-4C-B的大小 A C 19.(17分)定义有序实数对(a,)的“跟随函数”为f(x)=asinx+bcosx(x∈R). (1)记有序数对(1，一1)的“跟随函数”为f),若x∈[0,2元]，求f(x)的单调增区间： (2)记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(),若函数g(x)=f(x)+V3sind,x∈[0,2元与 直线y=k有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围： (3)已知a=3,若有序数对(a,)的“跟随函数”y=f(x)在x=x,处取得最大值，当b在区 间(0，.√5]变化时，求tan2xo的取值范围. 。夸克扫描王 ▣ 极速扫描，就是高效 南阳一中高一年级2024年春期第4次月考 数学试题答案 1.B2.C3.A4.B5.C6.D7.A8.B 9.BCD 10.ABD 11.ACD 6 12.号 13.414.165 3 15.解：(1)设c=(x,y),因为a=(L,2),=25,11a, [x=2 =-2 所以 x2+y2=20 4或 y=4 所以c=(2,4)或c=(-2,4) 2)图为1+25与2a-6直所以@+20a-)=即2+395-23-0，-5， 5 F4=5,所以2x5+356-2经0，得到55= 所以cos0 5 可啊5x5 03铺 i. 又8[0，，所以0=元. 16.解：(1)证明：连结AC交BD于O,连结OF, 因在△PAC中，F为PA中点，O为AC中点，则PC/IFO. 又PCt平面BFD,FOC平面BFD,故PCII平面BFD: (2)如图连结FM交AD延长线于G,连结BG交CD于N, 连结EF,FN,PG,EN,因EF//CN,则E,F,N,C四点共面 又EC//平面BFM,平面BFMO平面EFNC=FV, 则EC/IFN,四边形EFNC为平行四边形，可得 EF=CN-CD所以N为CD中点， 又DG/BC,所以DG=BC,所以DG=AD,所以PD为△PAG 的中线，又因为FG也为△PAG的中线，故点M为△PAG PM -2. 的重心，所以 O夸克扫描王 ▣▣ 极速扫描，就是高效可 17.解(1)由题意，以O为坐标原点，OA为x轴正向建立如图平面直角坐标系，则P(cosa,sina), 4o经吗故丽产(39所以o-wa+马血a=5me引即 r)a.o (2)由(1)，OP=xOA+yOB,即 @aa=to小专--号 。故 cosa=x- -sina+cos、 0532 2π sina y= a∈0， ,解得 3 ，其中 3 sin2a+- sin 2a+cos2 a= -sin 2a- 3 ,即 故 故产+少[，2习，即ty的取值范围为习 18解：(1)证明：如图，取AB的中点D,连接AD,因AA=AB,则AD⊥AB由平面ABC⊥ 侧面AABB,且平面ABC∩侧面AABB=AB,得AD⊥平面A,BC,又BCc平面ABC, 所以AD L BC.因为三棱柱ABC一AB,C,是直三棱柱，则A4⊥底面ABC,所以AA I BC,又 AA∩AD=A,从而BC⊥侧面AABB又ABC侧面AABB,故AB⊥BC:{:I3 又三棱柱ABC-4BC是直三棱柱，则CC1底面ABC,所以CC⊥AB,小个守 离 又因为BCc平面B,C,CB,且CC,c平面B,CCB,所以AB⊥平面B,CCB. ▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 (2)连接CD,由(I)可知AD⊥平面ABC,则CD是AC在平面A4BC内的射影.：∠ACD 即为直线AC与平面ABC所成的角，则∠ACD-产在等腰直角△4AB中，A4=AB=2,且 6 点D是48中点D4B=5,且∠DC=4CD ∴AC=2N2过点A作AE⊥AC于点E,连DE由(1)知AD⊥平面ABC,则AD⊥4C, 且AEAD=A∴.∠AED即为二面角A-AC-B的一个平面角 在直兔AM4C中：4E4c-22526又DE. AC253 ∠ADE-交：si血∠MED=4D互5 2 AE2N62,且∠AED为锐角 ·∠ABD-号，即二面角A4C-B的大小为号 19解：(1)由题意f)=sinx-cosx=V2sin(x-巧) 又42四，所以-年则的单国区同为0]2] (2)由题意f(x)=cosx,则g(x)=cosx+5in xe0网时，86=cosx+V5sinx=2Gco8+5 sinx)=2sin(x+, ea2闲]时，8（)=co0sx-5mx=2cosx-5sn sin x)=-2sin(x-), 2 作出函数y=g,x02网的图象。如图，网在0和x上递增， 在（写列和（受2上递减，=2， f0)=f(2)=1,‘由图象可知，1sk<2时，函数 g(x)=f(x)+5sin,x∈[0,2的图象与直线y=k有 且仅有四个不同的交点，1 所以k的范围是山，2)： ▣g▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ (3)由题意f(x)=2sinx+bcosx=V4+bsin(x+p),其中cosp= 2 4+,si血p b V4+b2 易知x+p=2r+元，keZ时，f(x)=V4+b， =2a+pke刀， sinx=$in(2k+-p)=cosp,同理cosx,=sinp, 2 tan= sin xocosg cosx。sinp 2cosp 4b tan 2xo= 2tan sin g=2sin gcoso 4+b2 6=4 1-tan'xo 1-cos'g sin'o-cos 4=62-4b 4, b sin 4+B4+8 be0同时，属数-6是增品数，因此6君} 从西g[i0,即2x5 b 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效百