精品解析：贵州省铜仁市印江土家族苗族自治县智成中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题

智成中学2023~2024学年度高二下学期第一次月考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把抛物线方程化为标准方程，由此可得焦点坐标． 【详解】因为抛物线的标准方程为，，，，所以焦点坐标为， 故选：A． 2. 已知数列的通项公式为，则下列数是该数列中的项的是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】分别令，，求解即可. 【详解】对于A，令，解得：，故A不正确； 对于B，令，解得：，故B不正确； 对于C，令，解得：，故C不正确； 对于D，令解得：或（舍）,故D正确. 故选：D. 3. 已知直线经过，两点，且直线，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，再结合直线垂直的性质，即可求解． 【详解】设直线的倾斜角为， 因为直线的斜率，由，得， 所以，即，又，则， 所以直线的倾斜角为． 故选：B． 4. 在等比数列中，，，成等差数列，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项的知识列方程，求得等比数列的公比，从而求得. 【详解】设等比数列的公比为， 由于，，成等差数列， 所以， 所以. 故选：C 5. 已知椭圆方程为，则以该椭圆的长轴长为弦长的圆的最小面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算得出椭圆的长轴长，即可得出以该椭圆的长轴长为弦长的圆的最小半径，即可得出该圆的最小面积. 【详解】由题意知该椭圆的长轴长为， 以16为弦长的圆的最小半径为8， 所以圆的最小面积为， 故选：D． 6. 在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行六面体的性质结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】因为平行六面体中，点是线段上的一点，且， 所以 ． 故选：C． 7. 如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可求得双曲线方程，进而可求得当的两点的坐标，可求花瓶的高． 【详解】由该花瓶横截面圆的最小直径为，得， 又由双曲线的离心率为，得，即，则， 可得双曲线的方程为， 因为最大直径为，所以把代入双曲线方程，解得， 故该花瓶的高为． 故选：B． 8. 已知圆，直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先得到圆的圆心坐标与半径，依题意可得，即可得到动点的轨迹方程，再由直线与圆有交点，圆心到直线的距离不大于半径得到不等式，解得即可. 【详解】圆，则圆心为，半径， 因为，在中，， 所以，所以点的轨迹方程为，即圆心为，半径， 又直线上存在点， 所以直线与有交点，所以，解得， 即实数的取值范围是． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的实轴长为 B. 双曲线的焦距为 C. 双曲线的离心率为 D. 双曲线的渐近线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据双曲线方程求解出a，b，c，由双曲线的性质逐一判断． 【详解】双曲线，则， 双曲线的实轴长为，故A错误； 双曲线的焦距为，故B正确； 双曲线的离心率，故C正确； 双曲线的渐近线方程为，故D错误． 故选：BC． 10. 在等比数列中，已知，，其前项和为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由等比数列的定义求得公比，从而求得，得通项公式，前项和，判断各选项． 【详解】设等比数列的公比为， ，，，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误． 故选：BC． 11. 已知空间向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与夹角的余弦值为 D. 若，则共面 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示即可判断ABD；根据空间向量数量积的定义计算即可判断C. 【详解】A：，又，故A错误； B：，则，故B正确； C：因为，所以， 所以，故C正确； D：因为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线l过点，若l的斜率为3，则直线l的一般式方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】写出点斜式方程，化为一般式方程. 【详解】由直线的点斜式可得，方程为，化为一般式方程为. 故答案为： 13. 已知圆与圆，则两圆的位置关系为________． 【答案】相交 【解析】 【分析】根据圆的位置关系直接得出. 【详解】根据两圆的方程， 得，，， ， 两圆相交． 故答案为：相交. 14. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点是椭圆上的一点，则的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆定义得，将转化为关于的二次函数求最值可得. 【详解】由椭圆得. 由点在椭圆上，故，故， 则， 故当时，取最大值. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知数列是等差数列，且. （1）求的通项公式； （2）若数列的前项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由等差数列的概念计算基本量即可； (2)根据等差数列的求和公式计算即可. 【小问1详解】 设的公差为，则，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）知； 得. 16. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当轴时，． （1）求抛物线的方程； （2）当线段的中点的纵坐标为时，求直线的方程． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由题意得到，，两点的横坐标为，可得求解； （2）由（1）得，且直线的斜率存在，设，，利用点差法求解. 【小问1详解】 由题意得， 当轴时，，两点的横坐标为， 当时，，解得， ，解得， 故抛物线的方程为； 【小问2详解】 由（1）得，且直线的斜率存在， 设，，且， 则，， ，即， 线段的中点的纵坐标为， ，即， ，即直线的斜率， 直线的方程为，即． 17. 已知椭圆的离心率为，上的点到其一个焦点的距离的最大值为3． （1）求的标准方程； （2）设，为的左、右顶点，（异于左、右顶点）为上一动点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 【答案】（1） （2） 证明：由（1）得，，设点， 则，， ，， ， 为定值． 【解析】 【分析】（1）由离心率，椭圆的性质列方程组计算即可； （2）设点，由斜率的定义表示出，，再结合点在椭圆上化简即可. 【小问1详解】 根据题意得，解得， 的标准方程为； 【小问2详解】 略 18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，O为的中点． （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点E在棱上，，求二面角的大小． 【答案】（1） 在三棱锥中，因O为的中点，且，则， 又平面平面，平面平面，平面，于是得平面，而平面， 所以. （2）. 【解析】 【分析】(1)根据给定条件证得平面即可得解. (2)在线段上取点F，使，过F作交BC于点G，再证明是二面角的平面角即可计算作答. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在线段上取点F，使，连接EF，如图， 因点E在棱上，且，则，因此，， 由(1)知平面，则有平面，而平面，从而有 因是边长为1的等边三角形，且O为的中点，即，则是直角三角形，， 过F作交BC于点G，连接EG，则有，因，平面， 于是得平面，而平面，因此，，即有是二面角的平面角， 因，则，而，， ，于是得，而有，因此得， 所以二面角的大小. 19. 已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. （1）求双曲线C的标准方程； （2）若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据，，以及，求解即可； （2）设直线的方程为与椭圆联立，利用弦长公式表示，根据点到直线的距离公式求解高，即可根据三角形面积公式进行求解. 【小问1详解】 由题意得：，，， 解得：，，， 双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 由题意可知，直线的斜率一定存在， 设直线的方程为，，，，， 联立方程组，消去整理得， 则， 原点到直线的距离为 ， 所以， 解得或，故 或， 故直线方程为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 智成中学2023~2024学年度高二下学期第一次月考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列的通项公式为，则下列数是该数列中的项的是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3. 已知直线经过，两点，且直线，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 在等比数列中，，，成等差数列，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 已知椭圆方程为，则以该椭圆的长轴长为弦长的圆的最小面积是（ ） A. B. C. D. 6. 在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的实轴长为 B. 双曲线的焦距为 C. 双曲线的离心率为 D. 双曲线的渐近线方程为 10. 在等比数列中，已知，，其前项和为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知空间向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与夹角的余弦值为 D. 若，则共面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线l过点，若l的斜率为3，则直线l的一般式方程为______． 13. 已知圆与圆，则两圆的位置关系为________． 14. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点是椭圆上的一点，则的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知数列是等差数列，且. （1）求的通项公式； （2）若数列的前项和为，求. 16. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当轴时，． （1）求抛物线的方程； （2）当线段的中点的纵坐标为时，求直线的方程． 17. 已知椭圆的离心率为，上的点到其一个焦点的距离的最大值为3． （1）求的标准方程； （2）设，为的左、右顶点，（异于左、右顶点）为上一动点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，O为的中点． （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点E在棱上，，求二面角的大小． 19. 已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. （1）求双曲线C的标准方程； （2）若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $