精品解析：湖北省武汉市问津教育联合体2023-2024学年高一下学期3月联考数学试题

问津教育联合体2026届高一3月联考 数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “为第一或第四象限角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴正半轴上的角的余弦值也大于0以及充分条件、必要条件的定义可得答案. 【详解】当为第一或第四象限角时， ， 所以“为第一或第四象限角”是“”的充分条件， 当时，为第一或第四象限角或轴正半轴上的角， 所以“为第一或第四象限角”不是“”的必要条件， 所以“为第一或第四象限角”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2. 设，若集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的数量积的运算，以及对数函数的性质，分别求得和，结合集合交集的运算法则，即可求解. 由向量， 【详解】由向量， 不等式，可得，即，解得，即， 又由不等式，可得，即，即， 则. 故选：C. 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由诱导公式可求得，再由二倍角的余弦公式可求 【详解】由可得，则 故选D. 【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角的余弦公式的应用，属基础题. 4. 设分别是所在边上两点，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】由题意知，点分别是边上的两点，且满足， 可得. 故选：B. 5. 若，则（ ） A. B. C. － D. －3 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦倍角公式和同角三角函数关系结合条件求得，再结合正切的差角公式即得. 【详解】因为， 所以， 即， 所以， 所以. 故选：D. 6. 如图，已知两座建筑物，的高度分别是12m，20m，从建筑物的顶部A处看建筑物的张角，则建筑物，的底部B，D之间的距离是（ ） A. 18m B. 20m C. 24m D. 30m 【答案】C 【解析】 【分析】过A作于E，则，设，利用两角和的正切公式可建立关于的关系式，即可解出． 【详解】如图，过A作于，设， ∵，记，则， 在中，, ∴, 在中，, ∴, ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 所以建筑物，的底部B，D之间的距离是24m. 故选：C. 7. 如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的最小值（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由三点共线定理可得，再由基本不等式代入计算，即可求解. 【详解】因为点是线段的中点，则， 则， 因为三点共线，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以最小值为. 故选：D 8. 将的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到的图象，若在上单调递增，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数图象的变换规律求得的解析式，进而得的解析式，再利用三角函数的单调性求得的范围． 【详解】将的图象横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象， 再向右平移个单位长度，得到的图象． ， 由，， 得， ∴的增区间为， 若在上单调递增，则， ∴且，∴且， 又，∴当时，， 故答案为：B． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上有2个零点 C. D. 为图象的一条对称轴 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得答案. 【详解】解：，， 对于，的最小正周期为，此选项错误； 对于B，当，，即，， 所以当时，；当时，；所以在区间上有2个零点，此选项正确. 对于C，因为，所以，此选项正确. 对于D，当时， ，所以为图象的一条对称轴，此选项正确. 故选：BCD. 10. 已知点，则下列结论正确的是（ ） A. 与向量垂直的向量坐标可以是 B. 与向量平行的向量坐标可以是 C. 向量在方向上的投影向量坐标为 D. 对，向量与向量所成角均为锐角 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数量积等于0，可判定A正确；根据向量共线的坐标表示，可得判定B不正确；根据向量的数量积的运算和投影向量的运算，可得判定C正确；结合和，可得判定D不正确. 【详解】由点，可得， 对于A中，由， 所以与向量垂直的向量坐标可以是，所以A正确； 对于B中，由，所以向量与向量不平行，所以B不正确； 对于C中，由在方向上的投影向量，所以C正确； 对于D中，由， 设，可得，则， 解得或，所以向量与夹角为锐角时，则且且， 所以D不正确. 故选：AC 11. 函数部分图象如图所示,对不同,,若，都有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】 由三角函数的对称性得，结合化简得出，利用五点作图法得出的值，即可得出答案. 【详解】由三角函数的最大值可知 设，则，由对称性可知，则 解得 则，结合，即，则 由五点作图法可知：，所以 所以 故选：BC 【点睛】本题主要考查了正弦函数对称性的应用，属于中档题. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简：________. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式和半角公式化简为，结合二倍角公式即可化简. 【详解】 . 故答案： 【点睛】此题考查根据诱导公式和二倍角公式的关系进行三角恒等变换化简，关键在于熟练掌握相关公式. 13. 在中，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式，，由两角和的正弦公式展开后可得． 【详解】在中，， ，∵， ∴， 化简得：，∴， ∵，∴，故，从而，∴． 故答案为：． 14. 已知平面向量满足，，向量满足，当与的夹角余弦值取得最小值时，实数的值为____________. 【答案】 【解析】 【详解】由得，又，则 由，可知，即向量满足，且夹角为 取，，，分别是线段，的中点， 则,， 由可知，点在直线上.又与的夹角为 要使得最大，则取圆过点、且与直线相切于点，此时取得最大，由切割线定理得，又 ， 则有，，解之得 故答案为： 【点睛】应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数对称中心及不等式的解集； （2）已知，求的值. 【答案】（1）对称中心为； （2） 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式结合正弦函数的对称中心，结合正弦函数的单调性求解不等式即可； （2）由可得，再根据同角三角函数的关系，结合求解即可. 小问1详解】 由得， 故函数的对称中心为； 又由知，即， 所以，即- 故原不等式的解集为 【小问2详解】 由得，即. 又 即 16. 如图所示，是边长1的正六边形的中心，且. （1）请用向量表示向量，并求的值； （2）设向量，其中，若，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算，用向量表示向量和，以为基底求的值； （2），求出，由，得，可求出，再由，利用两角和的正切公式计算即可. 【小问1详解】 因为正六边形中各线段长度均相等且均等于1，每个小三角形的内角都相等且均为， 所以，且， 由正六边形的图形特征和向量的线性运算可得， ， ， 所以. 【小问2详解】 由，可得. 又因为，所以. 因为，所以，所以. 又因为，所以，于是. 又由，得，即. 由，有，所以， 所以， 因此. 17. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐，潮汐具有周期现象.某海滨浴场内水位（单位：）是时间，单位：的函数，记作，下面是某天水深的数据： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 2 1.5 1 1.5 2 1.5 1 1.5 2 经长期观察，的曲线可近似的满足函数. （1）根据表中数据，作出函数简图，并求出函数一个近似表达式； （2）一般情况下，水深超过1.25米该海滨浴场方可开放，另外，当水深超过1.75米时，由于安全原因，会被关闭，那么该海滨浴场在一天内的上午7：00到晚上19：00，有多长时间可以开放？ 【答案】（1）图象见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据表中数据可得最值，进而可求解周期以及，根据最值点即可求解， （2）利用余弦函数的性质，解不等式即可求解. 【小问1详解】 函数简图如下： ， 过点， 则， 的一个解析式可以为 【小问2详解】 由题意得：即， 或 解得或 又，解得 又 故开放时间共. 18. 已知向量. （1）当，求的值； （2）当，求向量与的夹角； （3）当取得最大值时，是否存在实数，使，若存在请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）或 （2） （3）存在实数，使，此时. 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标运算法则，已经向量垂直的坐标表示，即可列式求解； 根据向量共线的坐标表示，即可列式求出，再由向量夹角的计算公式，即可求出结果； 由向量数量积的坐标运算法则，结合配方法求出取最大值时的值，再由，即可列式求解，从而得出结论. 【小问1详解】 因为向量， 所以， 由得，即， 整理得，解得或，所以或 【小问2详解】 （2）因为，所以， 由，可得，解得， 所以， 所以，又，所以； 【小问3详解】 （3）由向量知， 所以， 当时，取得最大值，此时， 若存在实数，使，则， 又因为， 所以，即，解得， 故存在实数，使，此时. 19. 已知向量，函数. （1）求的最小正周期及图象的对称轴方程； （2）先将的图象上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位长度得到函数的图象. ①若函数在区间内有两个不同的零点，求实数的取值范围； ②若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解； （2）①根据三角函数的图象变换，得到，根据题意，转化为与有两个交点，结合三角函数的性质，即可求解； ②根据题意，转化为，令，转化为函数 ，结合函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 解：由向量， 可得， 所以函数的最小正周期， 由，可得 所以的最小正周期为，对称轴方程为. 【小问2详解】 解：①由（1）知， 将的图象上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到， 再向左平移个单位长度，得到， 因为函数在区间内有两个零点， 转化为与有两个交点，如图所示， 当，可得，所以，即的取值范围为； ②由， 可得， 即， 令，则， 所以，可得， 设， 又因为在上递增，上递减，所以， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 问津教育联合体2026届高一3月联考 数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “为第一或第四象限角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 设，若集合，则集合（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 设分别是所在边上的两点，且满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. － D. －3 6. 如图，已知两座建筑物，的高度分别是12m，20m，从建筑物的顶部A处看建筑物的张角，则建筑物，的底部B，D之间的距离是（ ） A 18m B. 20m C. 24m D. 30m 7. 如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的最小值（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 8 8. 将图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到的图象，若在上单调递增，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上有2个零点 C. D. 为图象的一条对称轴 10. 已知点，则下列结论正确的是（ ） A. 与向量垂直的向量坐标可以是 B. 与向量平行的向量坐标可以是 C. 向量在方向上的投影向量坐标为 D. 对，向量与向量所成角均为锐角 11. 函数部分图象如图所示,对不同,,若，都有，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简：________. 13. 在中，若，则_______． 14. 已知平面向量满足，，向量满足，当与的夹角余弦值取得最小值时，实数的值为____________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的对称中心及不等式的解集； （2）已知，求的值. 16. 如图所示，是边长1的正六边形的中心，且. （1）请用向量表示向量，并求的值； （2）设向量，其中，若，求的值. 17. 海水受日月引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐，潮汐具有周期现象.某海滨浴场内水位（单位：）是时间，单位：的函数，记作，下面是某天水深的数据： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 2 1.5 1 1.5 2 1.5 1 1.5 2 经长期观察，的曲线可近似的满足函数. （1）根据表中数据，作出函数简图，并求出函数一个近似表达式； （2）一般情况下，水深超过1.25米该海滨浴场方可开放，另外，当水深超过1.75米时，由于安全原因，会被关闭，那么该海滨浴场在一天内上午7：00到晚上19：00，有多长时间可以开放？ 18. 已知向量. （1）当，求值； （2）当，求向量与的夹角； （3）当取得最大值时，是否存在实数，使，若存在请求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知向量，函数. （1）求的最小正周期及图象的对称轴方程； （2）先将的图象上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位长度得到函数的图象. ①若函数在区间内有两个不同的零点，求实数的取值范围； ②若在上恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$