精品解析：2024年云南省昭通市巧家县九年级下学期5月月考数学试卷

2024年昭通市巧家县5月份月考 九年级数学试卷 注意事项： 1．本卷为试题卷．答题前请在答题卡指定位置填写学校、班级、姓名等信息．答案书写在答题卡相应位置上，答在试题卷或草稿纸上的答案无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每个小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时的水位变化记作（ ） A. B. C. D. 2. 如图是某个几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 球 C. 圆锥 D. 棱锥 3. 2023年4月25号20时59分，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十八号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道．神舟飞船在轨道上运行的速度大约为28000千米/小时，接近第一宇宙速度．数据28000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，点在直线上，点、在直线上，于点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 7. 若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A、B、C在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 估计的值在（ ） A. 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间 10. 4月23日，第三届全民阅读大会在云南昆明召开，本次大会以“共建书香社会、共享现代文明”为主题，将举办阅读推广、主题发布和全民阅读大讲堂、春城书香长廊等活动，旨在持续深化全民阅读活动，进一步在全社会涵育爱读书、读好书、善读书的良好风尚．某校组织了以“书香沐初心，读书砺使命”为主题的活动，书香小组对本校九年级同学每周阅读课外书籍的时间进行了调查，并绘制了如下统计表和统计图． 组别 每周课外阅读时间 频数 A B 25 C D 4 根据统计图表提供的信息，下列说法不正确的是（ ） A. 本次调查的样本容量是50 B. 样本中每周课外阅读时间少于2小时的有5人 C. 扇形统计图中“D”组所在扇形对应的圆心角度数为 D. 该校600名九年级学生中，每周课外阅读在4小时及以上的约有240人 11. 每一个外角都是的正多边形是（ ） A. 正四边形 B. 正五边形 C. 正六边形 D. 正七边形 12. 按一定规律排列的多项式：，，，，，…第个多项式是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，在中，E是的中点，交于点F，那么与的比是（ ） A. B. C. D. 14. 为了加强劳动教育，让学生热爱自然，提高劳动品质，某中学秉着“让花成花”的教育理念开展了种植体验课程．课程开设后，学校花费了320元购进月季和郁金香两种花苗共100株，其中月季花苗每株4元，郁金香花苗每株2元．设购买了月季花苗x株，郁金香花苗y株，根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 如图，在，，，点是上一点，连接，若，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 在函数中，自变量的取值范围是________． 17. 因式分解：_______________________． 18. 为弘扬传统文化，某校在读书节举行了“诗词竞赛”，某班20名同学参加了此次竞赛，则全班20名同学的成绩的中位数是 _______． 人数 2 7 7 4 成绩（分） 70 80 90 100 19. 学习圆锥有关知识的时候，李老师要求每个同学都做一个圆锥模型，小华用家里的旧纸板做了一个高为3cm，母线长为5cm的圆锥模型，则此圆锥的侧面积为______．（用含π的代数式表示） 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 21. 如图，点A，D，B，E在一条直线上，，，．求证：． 22. 近年来，某市高质量推进新型城镇化和乡村全面振兴有机结合，着力构建农村基础设施，提升农村居民生活品质．某村需要铺设一条米的污水排放管道，在修建米后，为了减少施工对居民生活的影响，加快了铺设速度，这样每天铺设管道的长度是原来的倍，结果共用天完成了全部任务，求原来每天铺设管道多少米？ 23. 有甲、乙两个不透明口袋，甲口袋中装有两个分别标有数字、3的小球；乙口袋中装有三个分别标有数字2、4、的小球．小明先从甲口袋中随机取出一个小球，用表示所取小球上的数字；再从乙口袋中随机取出一个小球，用表示所取小球上的数字． （1）用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； （2）求的值是整数的概率． 24. 如图，在菱形中，延长到点，使，延长到点，使，顺次连接点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若菱形的周长为20，面积为24，求矩形的周长． 25. 2024年4月23日下午，总书记在重庆主持召开新时代推动西部大开发座谈会，在座谈会上，总书记指明了西部大开发的一个主攻方向：因地制宜，发展特色优势产业．云南某县为了落实党中央西部大开发战略，利用本地优越的地理条件，大面积种植香蕉、芒果、火龙果等本地特色水果进行售卖．四月中旬，该县组织了20辆货车装运这三种水果共200吨到外地销售，按计划，20辆货车都要装运，每辆货车只能装运同一种水果，且必须装满，根据表格提供的信息，解答以下问题： 水果 香蕉 芒果 火龙果 每辆货车运载量/吨 12 10 8 每吨所需运费/元 240 320 200 （1）设安排辆货车装运香蕉，辆货车装运芒果，求与之间的函数关系式； （2）如果装运这三种水果的车辆数都不少于2辆，怎样安排装运方案，才能使得总运费最低？最低总运费是多少元？ 26. 已知抛物线． （1）若，，求该抛物线与轴的交点坐标； （2）若，且当时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有交点？若有，证明有几个交点；若没有，请说明理由． 27. 如图，四边形内接于⊙，是⊙O的直径，分别延长相交于点E，，点F在上，且． （1）若，求的值； （2）求证：是⊙的切线； （3）点G 是劣弧BC 的中点，连接交 BC于点H，若，是否存在常数m，使存在？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年昭通市巧家县5月份月考 九年级数学试卷 注意事项： 1．本卷为试题卷．答题前请在答题卡指定位置填写学校、班级、姓名等信息．答案书写在答题卡相应位置上，答在试题卷或草稿纸上的答案无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每个小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时的水位变化记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正负数表示相反意义的量，根据水位升高时水位变化记作，那么水位下降时的水位变化记作即可得解． 【详解】解：如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时的水位变化记作， 故选：B． 2. 如图是某个几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 球 C. 圆锥 D. 棱锥 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由于主视图与左视图是三角形，俯视图是圆，故该几何体是圆锥，故选（C）． 考点：由三视图判断几何体． 3. 2023年4月25号20时59分，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十八号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道．神舟飞船在轨道上运行的速度大约为28000千米/小时，接近第一宇宙速度．数据28000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：A． 4. 如图，已知，点在直线上，点、在直线上，于点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余，掌握平行的性质以及直角三角形两锐角互余是解题关键．根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余分析计算求解． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、合并同类项、幂的乘方与积的乘方、单项式除以单项式，根据同底数幂相乘、合并同类项、幂的乘方与积的乘方、单项式除以单项式的运算法则计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、和不是同类项，不能直接合并，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 6. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一判断选项即可. 【详解】是轴对称图形，但不是中心对称图形； 是轴对称图形，也是中心对称图形； 是轴对称图形，也是中心对称图形； 不是轴对称图形，是中心对称图形； 故选A. 【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的概念，解题的关键是能够熟练地掌握和运用轴对称图形和中心对称图形的概念. 7. 若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是反比例函数图象上对应点与对应函数的关系，由点在反比例函数的图象上，可知． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故选：B． 8. 如图，点A、B、C在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据，则可得出，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 9. 估计的值在（ ） A. 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、无理数的估算，先求出，再估算出即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴ 估计的值在3与4之间， 故选：B． 10. 4月23日，第三届全民阅读大会在云南昆明召开，本次大会以“共建书香社会、共享现代文明”为主题，将举办阅读推广、主题发布和全民阅读大讲堂、春城书香长廊等活动，旨在持续深化全民阅读活动，进一步在全社会涵育爱读书、读好书、善读书的良好风尚．某校组织了以“书香沐初心，读书砺使命”为主题的活动，书香小组对本校九年级同学每周阅读课外书籍的时间进行了调查，并绘制了如下统计表和统计图． 组别 每周课外阅读时间 频数 A B 25 C D 4 根据统计图表提供的信息，下列说法不正确的是（ ） A. 本次调查的样本容量是50 B. 样本中每周课外阅读时间少于2小时的有5人 C. 扇形统计图中“D”组所在扇形对应的圆心角度数为 D. 该校600名九年级学生中，每周课外阅读在4小时及以上的约有240人 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图与统计表、由样本估计总体，由扇形统计图与统计表分别计算即可得出答案，灵活运用数据是解此题的关键． 【详解】解：A、本次调查的样本容量是，故该选项正确，不符合题意； B、样本中每周课外阅读时间少于2小时的有（人），故该选项正确，不符合题意； C、扇形统计图中“D”组所在扇形对应的圆心角度数为，故该选项错误，符合题意； D、该校600名九年级学生中，每周课外阅读在4小时及以上的约有（人），故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 11. 每一个外角都是的正多边形是（ ） A. 正四边形 B. 正五边形 C. 正六边形 D. 正七边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理．根据多边形的外角和是和这个多边形的每一个外角都等于，即可求得多边形的边数． 【详解】解：∵多边形的外角和是，这个多边形的每一个外角都等于， ∴这个多边形的边数是， ∴每一个外角都是的正多边形是正五边形， 故选：B． 12. 按一定规律排列的多项式：，，，，，…第个多项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，观察多项式得出含的项的次数是从开始的连续的自然数，含的项的系数是从开始的连续偶数，且两项之间用号连接起来，即可得出答案． 【详解】解：观察多项式可得：含的项的次数是从开始的连续的自然数，含的项的系数是从开始的连续偶数，且两项之间用号连接起来， ∴第个多项式是， 故选：C． 13. 如图，在中，E是的中点，交于点F，那么与的比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．根据平行四边形的性质得到，进而推得，再证明，根据相似三角形的性质，即得答案． 【详解】四边形是平行四边形， ，， E是的中点， ， ， ， ， ． 故选C． 14. 为了加强劳动教育，让学生热爱自然，提高劳动品质，某中学秉着“让花成花”的教育理念开展了种植体验课程．课程开设后，学校花费了320元购进月季和郁金香两种花苗共100株，其中月季花苗每株4元，郁金香花苗每株2元．设购买了月季花苗x株，郁金香花苗y株，根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，设购买了月季花苗x株，郁金香花苗y株，根据“学校花费了320元购进月季和郁金香两种花苗共100株，其中月季花苗每株4元，郁金香花苗每株2元”即可列出二元一次方程组． 【详解】解：设购买了月季花苗x株，郁金香花苗y株， 由题意得：， 故选：A． 15. 如图，在，，，点是上一点，连接，若，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角、三角形外角的定义及性质、解直角三角形，由等边对等角结合三角形外角的定义及性质求出，再解直角三角形即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 在函数中，自变量的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求自变量的取值范围．根据二次根式有意义的条件解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴． 故答案为： 17. 因式分解：_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再用平方差公式分解． 【详解】解： 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键． 18. 为弘扬传统文化，某校在读书节举行了“诗词竞赛”，某班20名同学参加了此次竞赛，则全班20名同学的成绩的中位数是 _______． 人数 2 7 7 4 成绩（分） 70 80 90 100 【答案】90 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数，根据中位数的定义，在一组数据中排在中间位置的一个数或两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，先将这20名同学的成绩进行排序，找出排在中间位置的两个数，然后求这两个数的平均数即可． 【详解】解：把这20名同学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是90， ∴全班20名同学的成绩的中位数是． 故答案为：90． 19. 学习圆锥有关知识的时候，李老师要求每个同学都做一个圆锥模型，小华用家里的旧纸板做了一个高为3cm，母线长为5cm的圆锥模型，则此圆锥的侧面积为______．（用含π的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键． 圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，据此解答即可． 【详解】解：设底面半径为xcm， ∴， 解得， ∴底面周长， ∴侧面面积． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算算术平方根、零指数幂、负整数指数幂、绝对值、乘方，再计算加减即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 21. 如图，点A，D，B，E在一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即： 在和中 ∵ ∴， ∴ 【解析】 【分析】由可推得，运用SSS判定两三角形全等，进而根据全等性质得到对应角相等． 【详解】略 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法SSS，熟练相关的判定公理是解题的关键． 22. 近年来，某市高质量推进新型城镇化和乡村全面振兴有机结合，着力构建农村基础设施，提升农村居民生活品质．某村需要铺设一条米的污水排放管道，在修建米后，为了减少施工对居民生活的影响，加快了铺设速度，这样每天铺设管道的长度是原来的倍，结果共用天完成了全部任务，求原来每天铺设管道多少米？ 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意并正确列出等量关系．设原来每天铺设管道x米，列出分式方程即可求解． 【详解】解：设原来每天铺设管道x米． 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是分式方程的根，且符合题意， 答：原来每天铺设管道米． 23. 有甲、乙两个不透明口袋，甲口袋中装有两个分别标有数字、3的小球；乙口袋中装有三个分别标有数字2、4、的小球．小明先从甲口袋中随机取出一个小球，用表示所取小球上的数字；再从乙口袋中随机取出一个小球，用表示所取小球上的数字． （1）用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； （2）求的值是整数的概率． 【答案】（1）6种 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）列表得出所有等可能的结果数即可； （2）再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：所有可能出现的结果列表如下： 2 4 3 由表格可知，共有6种可能出现的结果，且它们出现的可能性相等； 【小问2详解】 解：由表格可知，的所有结果有：，，3，，，，共6种，其中是整数的有4种， ∴是整数的概率：． 答：是整数的概率为． 24. 如图，在菱形中，延长到点，使，延长到点，使，顺次连接点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若菱形的周长为20，面积为24，求矩形的周长． 【答案】（1） 证明：． 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． ． ． ． 四边形是矩形： （2）28 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定、菱形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，结合菱形的性质得，即可证明四边形是矩形． （2）因为四边形是菱形，所以．因为菱形的周长为20，面积为24，所以，运用勾股定理列式代入数值，进行计算得出，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接交于点． 四边形是菱形． ． ∴ 菱形的周长为20，面积为24， ， 即， 在中，， ． （负值已含去）． ． 25. 2024年4月23日下午，总书记在重庆主持召开新时代推动西部大开发座谈会，在座谈会上，总书记指明了西部大开发的一个主攻方向：因地制宜，发展特色优势产业．云南某县为了落实党中央西部大开发战略，利用本地优越的地理条件，大面积种植香蕉、芒果、火龙果等本地特色水果进行售卖．四月中旬，该县组织了20辆货车装运这三种水果共200吨到外地销售，按计划，20辆货车都要装运，每辆货车只能装运同一种水果，且必须装满，根据表格提供的信息，解答以下问题： 水果 香蕉 芒果 火龙果 每辆货车运载量/吨 12 10 8 每吨所需运费/元 240 320 200 （1）设安排辆货车装运香蕉，辆货车装运芒果，求与之间的函数关系式； （2）如果装运这三种水果的车辆数都不少于2辆，怎样安排装运方案，才能使得总运费最低？最低总运费是多少元？ 【答案】（1） （2）安排9辆货车装运香蕉，2辆货车装运芒果，9辆货车装运火龙果的总运费最低，最低运费为46720元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，理解题意，正确列出一元一次不等式组、一次函数是解此题的关键． （1）装运香蕉的车辆数为，装运芒果的车辆数为，则装运火龙果的车辆数为，根据“该县组织了20辆货车装运这三种水果共200吨到外地销售”即可得出，整理即可得出答案； （2）由（1）可得装运香蕉、芒果、火龙果的车辆数分别为、、辆，根据“装运这三种水果的车辆数都不少于2辆”列出不等式组，得出，设运完三种水果的总运费为元，求出关于的关系式，利用一次函数的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意，装运香蕉的车辆数为，装运芒果的车辆数为，则装运火龙果的车辆数为， ∴， 整理得：， ∴与之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：由（1）可得装运香蕉、芒果、火龙果的车辆数分别为、、辆， ∴， 解得：， 设运完三种水果的总运费为元，则， ∵，随的增大而减小， ∴当时，（元）， 答：安排9辆货车装运香蕉，2辆货车装运芒果，9辆货车装运火龙果的总运费最低，最低运费为46720元． 26. 已知抛物线． （1）若，，求该抛物线与轴的交点坐标； （2）若，且当时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有交点？若有，证明有几个交点；若没有，请说明理由． 【答案】（1）或 （2） 当时，抛物线与轴有两个交点，理由如下： 由条件得：当时，． ，即， ， ， ， 抛物线与轴有两个交点，顶点在轴下方． 该抛物线的对称轴为：， ， ， ， ， 抛物线的对称轴大于小于， 当时，；当时，对应的， 当时，抛物线与轴有两个交点． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握相关的知识． （1）先求出抛物线的解析式，然后令求解即可； （2）根据题意得：当时，，由得，进而得到，，推出抛物线与轴有两个交点，顶点在轴下方，得到对称轴：，结合当时，；当时，对应的，即可证明． 【小问1详解】 解：当，时，抛物线为：， 令，解得：，， 该抛物线与轴的交点坐标为或； 【小问2详解】 略． 27. 如图，四边形内接于⊙，是⊙O的直径，分别延长相交于点E，，点F在上，且． （1）若，求的值； （2）求证：是⊙的切线； （3）点G 是劣弧BC 的中点，连接交 BC于点H，若，是否存在常数m，使存在？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明：连接， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴为⊙的切线． （3）存在； 【解析】 【分析】（1）由于是直径且，根据勾股定理得到，即可求出； （2）先判断出点D是的中点，进而得出是的中位线，进而证明出，可证得结论成立； （3）先判断出得出，，再由勾股定理得是等腰三角形，再用等腰直角三角形的性质可得出，结论得证． 【小问1详解】 ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接，，交弦于N， ∴为的中位线， ∵，设，， ∴， 由（2）知 ∴ ∴， ∴， ∴，，根据勾股定理得 ∵G是劣弧的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，根据勾股定理得． 由（2）知 ∴ ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ 存在；，使． 【点睛】本题考查了圆的性质，圆的切线的判定，相似三角形的判定和性质以及三角形的中位线定理和勾股定理等知识．关键是添加适当的辅助线构造基本图形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $