精品解析：江苏省扬州大学附属中学东部分校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

扬大附中东部分校2023-2024学年度第二学期期中考试高二年级数学 一、选择题: 本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 书架上有3本不同的数学书，4本不同的物理书，图书管理员从中任取2本，则不同的取法种数为（ ） A. 7 B. 12 C. 21 D. 42 2. 已知，若，则（ ） A. 4 B. 6 C. 5 D. 3 3. 设A，B为两个事件，且，若，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 随机变量X的分布列如下: X -1 0 1 P 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，空间四边形中，，，，在线段上，且，点为中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 估算的结果，精确到0.01的近似值为（ ） A. 30.84 B. 31.84 C. 30.40 D. 32.16 8. 钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报时的建筑.中国古代一般建于城市的中心地带，在现代城市中，也可以常常看见附有钟楼的建筑.如图，在某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面（四棱柱看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心上），在整点时刻（在0点至12点中取整数点，含0点，不含12点），已知在3点时和9点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题: 本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，下列说法正确的有（ ） A. 所有项的二项式系数和为128 B. 所有项的系数和为1 C. 有理项共3项 D. 展开式没有常数项 10. 下列给出的命题中正确的有（ ） A. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 三棱锥中，点P为平面ABC上的一点，且，则 C. 已知，若共面，则实数 D. 已知点，一直线过点，且一个方向向量为（，则点P到该直线的距离为 11. 已知，则的值可能为（ ） A. 2 B. 4 C. 7 D. 9 三、填空题: 本题共3小题，每小题6分，共18分. 12. 若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则的值为______. 13. 教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了5名教师到A､B､C三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法数有___________种（用数字作答）. 14. 如图，在正方体中，O是AC中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为θ，则的取值范围是______． 四、解答题: 本题共5小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，求: （1）可以组成多少个六位数? （2）可以组成至少有一个偶数数字的三位数多少个? 16. 某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的和，且四条流水线的产品不合格率分别为和，现从该厂的这一产品中任取一件. （1）问抽到不合格品的概率是多少? （2）在抽到这件产品不合格的条件下，它是第二条流水线生产的概率是多少? 17. 已知. （1）求； （2）求. 18. 元旦晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同，参与游戏的某位同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止. 规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球则不用表演节目. （1）求该同学摸球三次后停止摸球的概率； （2）记X为该同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望、方差. 19. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬大附中东部分校2023-2024学年度第二学期期中考试高二年级数学 一、选择题: 本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 书架上有3本不同的数学书，4本不同的物理书，图书管理员从中任取2本，则不同的取法种数为（ ） A. 7 B. 12 C. 21 D. 42 【答案】C 【解析】 【分析】根据分类加法原理以及组合数的概念，可得答案. 【详解】由题可知不同的取法的种数为. 故选：C. 2. 已知，若，则（ ） A. 4 B. 6 C. 5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】等价转化为,利用空间向量的坐标运算得到关于的方程，解之即可. 【详解】由得， 又∵，， , 解得, 故选：A. 3. 设A，B为两个事件，且，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用条件概率公式，代入即可求解． 【详解】由题意， ， 根据条件概率的计算公式，可得． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中熟记条件概率的计算公式是解答的关键，属于基础题. 4. 随机变量X的分布列如下: X -1 0 1 P 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由随机变量分布列的性质和数学期望的定义列出方程组，计算即得. 【详解】由题意，①，②， 联立① ② ，解得：. 故选：A. 5. 如图，空间四边形中，，，，在线段上，且，点为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于、、的表达式. 【详解】因为为的中点，则， 因为，则， 因此，. 故选：B. 6. 在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建系，利用空间向量的方法求点到面的距离即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， . 设平面的法向量为， 则由得令，得， 则， 故点到平面的距离为. 故选：C. 7. 估算的结果，精确到0.01的近似值为（ ） A. 30.84 B. 31.84 C. 30.40 D. 32.16 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理进行计算． 【详解】原式 + ． 故选：A． 8. 钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报时的建筑.中国古代一般建于城市的中心地带，在现代城市中，也可以常常看见附有钟楼的建筑.如图，在某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面（四棱柱看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心上），在整点时刻（在0点至12点中取整数点，含0点，不含12点），已知在3点时和9点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在正四棱柱中，以为原点，以的方向分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式可求出结果. 【详解】如图，在正四棱柱中，分别为侧面和侧面的中心， 为的中点，为点钟时针，为点钟时针， 则，， 设正四棱柱的底面边长为，侧棱长为， 以为原点，以的方向分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 所以. 所以在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为. 故选：B 二、选择题: 本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，下列说法正确的有（ ） A. 所有项的二项式系数和为128 B. 所有项的系数和为1 C. 有理项共3项 D. 展开式没有常数项 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二项式系数和为判断A，令计算出所有项的系数，即可判断B，写出展开式的通项，即可判断C，D. 【详解】选项A：所有项的二项式系数和为，故A正确； 选项B：令，则，所以所有项的系数的和为1，故B正确； 选项C：二项式的展开式的通项为（且）， 当时，，二项式的展开式的第一项为有理项， 当时，，二项式的展开式的第三项为有理项， 当时，，二项式的展开式的第五项为有理项， 当时，，二项式的展开式的第七项为有理项， 所以有理项有项，故C错误， 选项D：由C知二项式的展开式的通项为（且）， 令得，所以展开式没有常数项，故D正确； 故选：ABD 10. 下列给出的命题中正确的有（ ） A. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 三棱锥中，点P为平面ABC上的一点，且，则 C. 已知，若共面，则实数 D. 已知点，一直线过点，且一个方向向量为（，则点P到该直线的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用共面向量基本定理即可判断；对于B，利用共面向量基本定理即可推得；对于C，利用共面向量基本定理的坐标式列出方程组求解即得；对于D，先算出直线的一个单位方向向量，利用点到直线的距离的向量公式计算即得. 【详解】对于A，因是空间的一组基底，则不共面， 而，即三个向量为共面向量，故A错误； 对于B，因点P为平面ABC上的一点，且， 由共面向量基本定理可得，，即，故B正确； 对于C，由共面可知，存在，使得， 即，则有，解得，故C正确； 对于D，由该直线的一个方向向量为，则与之同方向的单位向量为， 直线过点，则 于是点到该直线的距离为，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知，则的值可能为（ ） A. 2 B. 4 C. 7 D. 9 【答案】BC 【解析】 【分析】根据组合数的性质可化简进而由组合数的公式得，由组合数性质即可求解. 【详解】由于 所以，得或7． 故选：BC． 三、填空题: 本题共3小题，每小题6分，共18分. 12. 若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则的值为______. 【答案】8 【解析】 【分析】根据二项式定理的二项式系数的单调性和对称性特征即可解决． 【详解】若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式有9项，则． 故答案为：8. 13. 教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了5名教师到A､B､C三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法数有___________种（用数字作答）. 【答案】150 【解析】 【分析】按照分类分步计数原理可先将5人分成3组，再将3组人员分配到3个学校去，即可计算出结果. 【详解】由题意可知，先将5人分成三组有2类分法， 第一类：各组人数分别为1，1，3，共有种分法； 第二类：各组人数分别为1，2，2，共有种分法， 再将三组人员分配到A､B､C三个乡村学校去，共有种， 所以不同的选派方法共有种. 故答案为：150 14. 如图，在正方体中，O是AC中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为θ，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得的取值范围. 【详解】设正方体边长为，建立如图所示空间直角.则， 设， 则， 由于 使，， 所以是平面的法向量， 所以 ， 由于，所以，， 所以 ， 故答案为： 四、解答题: 本题共5小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，求: （1）可以组成多少个六位数? （2）可以组成至少有一个偶数数字的三位数多少个? 【答案】（1）600 （2）94 【解析】 【分析】（1）运用特殊位置优先法考虑首位在全排即得； （2）考虑“至少有一个偶数数字”的反面情况“没有一个偶数数字”的方法数，再用可组成的三位数的总个数减去即得. 【小问1详解】 先考虑首位数字，从1，2，3，4，5中任选一个，有5种选法；再将剩下的5个数字在剩下的5个数位上全排有种选法， 由分步乘法计数原理，可得六位数有个； 【小问2详解】 先考虑由数字0，1，2，3，4，5组成的三位数的个数，①考虑百位数字，有5种选法；②考虑十位和个位，有种选法， 由分步乘法计数原理，共有这样的三位数个； 再考虑“至少有一个偶数数字的三位数”的反面情况：“没有一个偶数数字的三位数”的个数为个， 故得至少有一个偶数数字的三位数有个. 16. 某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的和，且四条流水线的产品不合格率分别为和，现从该厂的这一产品中任取一件. （1）问抽到不合格品的概率是多少? （2）在抽到这件产品不合格的条件下，它是第二条流水线生产的概率是多少? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设A表示“任取一件产品，抽到不合格品”，表示“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，结合条件概率和全概率公式，即可求解. （2）结合第（1）问，利用贝叶斯概率公式求解即可. 【小问1详解】 设A表示“任取一件产品，抽到不合格品”， 表示“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，， 由题意，，，，， 且，，，， 从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是： . 【小问2详解】 结合第（1）问知. 17. 已知. （1）求； （2）求. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法，令即可求解， （2）根据题意进行转化，然后在中令即可求解. 【小问1详解】 令得，即； 【小问2详解】 等于的展开式的各个项系数的和， 令代入，则， 又，所以. 18. 元旦晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同，参与游戏的某位同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止. 规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球则不用表演节目. （1）求该同学摸球三次后停止摸球的概率； （2）记X为该同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望、方差. 【答案】（1） （2）随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 期望为2，方差为.【解析】 【分析】（1）结合排列知识应用古典概型概率公式求解即可； （2）由题设的可能值为0，1，2，3，4，并计算出对应概率即得分布列，进而求数学期望和方差. 【小问1详解】 设“该同学摸球三次后停止摸球”为事件E，则， 所以该同学摸球三次后停止摸球的概率为. 【小问2详解】 由题意，的可能取值为0，1，2，3，4. ，，，，. 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 所以， . 19. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 【答案】（1）[方法一]：几何法 因为，所以． 又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示， 过E作的平行线分别与交于其中点，连接， 因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点， 易证，则． 又因为，所以． 又因为，所以平面． 又因为平面，所以． [方法二] 【最优解】：向量法 因为三棱柱是直三棱柱，底面， ，，，又，平面．所以两两垂直． 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图． ，． 由题设（）． 因为， 所以，所以． [方法三]：因为，，所以，故，，所以，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直； （2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案； 【详解】（1）略 （2）[方法一]【最优解】：向量法 设平面的法向量为， 因为， 所以，即． 令，则 因为平面的法向量为， 设平面与平面的二面角的平面角为， 则． 当时，取最小值为， 此时取最大值为． 所以，此时． [方法二] ：几何法 如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面． 作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角． 设，过作交于点G． 由得． 又，即，所以． 又，即，所以． 所以． 则， 所以，当时，． [方法三]：投影法 如图，联结， 在平面的投影为，记面与面所成的二面角的平面角为，则． 设，在中，． 在中，，过D作的平行线交于点Q． 在中，． 在中，由余弦定理得，，， ，， 当，即，面与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为． 【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维. 第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面与面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面积与面积之比即为面与面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $