精品解析：浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题

2023学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名、姓名、试场号、座位号、准考证号，并用2B铅笔将准考证号所对应的数字涂黑. 3．答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，（为虚数单位，），则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 命题“，”的否定是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列函数中，以为最小正周期奇函数是（ ） A. B. C. D. 4. 若甲、乙、丙三人排成一行拍照，则甲不在中间的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 6. 在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知经过圆锥SO的轴的截面是顶角为的等腰三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），且上、下两部分几何体的体积之比是1：7，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 本学期某校举行了有关垃圾分类知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 图中x的值为0.030 B. 被抽取的学生中成绩在的人数为15 C. 估计样本数据的众数为90 D. 估计样本数据的平均数大于中位数 10. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. 向量与向量的夹角是 D. 向量在向量上的投影向量坐标是 11. 已知，设函数满足，则（ ） A. B. 当时，不一定是常数函数 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数与的图象关于直线______对称． 13. 若某扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径是______． 14. 记的内角的对边分别为．已知，，若的面积为，则______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知函数． （1）求最小正周期及单调递增区间； （2）求在区间上的最大值、最小值及相应的x的值． 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，与底面所成的角为45°，为的中点． （1）求证：⊥平面； （2）若，求平面与平面的夹角大小． 17 已知函数，． （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性． 18. 已知椭圆C的焦点在x轴上，上顶点，右焦点F，离心率． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线l与椭圆C交于P，Q两点． （i）若直线l与MF垂直，求线段PQ中点的轨迹方程； （ii）是否存在直线l，使F恰为的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 19. 已知数列满足，数列满足，． （1）求，的通项公式； （2）定义：已知数列，，当时，称为“4一偶数项和整除数列”． （i）计算，，其中，． （ii）若为“4-偶数项和整除数列”，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名、姓名、试场号、座位号、准考证号，并用2B铅笔将准考证号所对应的数字涂黑. 3．答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，（为虚数单位，），则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数减法运算求解，可得复平面对应点的坐标，可得结论. 【详解】因为复数，， 所以复数， 所以对应的点在第四象限. 故选：D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为特称命题，即可求解. 【详解】命题“，”的否定是，, 故选：D 3. 下列函数中，以为最小正周期的奇函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，利用三角函数的奇偶性和周期性，得出结论． 【详解】由于是最小正周期为π的奇函数，则A正确； 由于为最小正周期为2π的偶函数，则B错误； 由于是偶函数，不符合题意，C错误； 由于是偶函数，不符合题意，D错误． 故选：A． 4. 若甲、乙、丙三人排成一行拍照，则甲不在中间的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列组合计算个数，结合古典概型的概率公式即可求解. 【详解】甲、乙、丙三人排成一行，共有种方法， 甲不在中间的，共有, 故概率为, 故选：C 5. 在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】B 【解析】 【分析】画出图形，然后判断即可. 【详解】在正方体中，取，， 连接，，，，，，如下图所示： 因为在正方体中，，分别是棱和上的点，，， 所以，且，则四边形为平行四边形，则，， 又因为，且，所以四边形为平行四边形， 则，， 所以，，所以为平行四边形， 则正方体中过点，，的截面形状为四边形. 故选：B 6. 在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据的单调性相反排除AD，然后根据幂函数图象判断出的范围，由此可得答案. 【详解】因为在同一坐标系中，所以函数，的单调性一定相反， 且图象均不过原点，故排除AD； 在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象，且由图象可知， 所以单调递减，单调递增，故排除B，所以C正确. 故选：C. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据和差角公式以及弦切互化公式即可求解. 【详解】， 故， 故， 故选：A 8. 已知经过圆锥SO的轴的截面是顶角为的等腰三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），且上、下两部分几何体的体积之比是1：7，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出圆锥的轴截面，根据题意推出圆台的上、下底面半径之比为，设圆台上底面半径为，圆台存在内切球可得圆台的母线，在中，由余弦定理可求． 【详解】如图，作出圆锥的轴截面， 上部分小圆锥一定有内切球，故只需下部分圆台有内切球即可， 设圆台的内切球的球心， 由上、下两部分几何体的体积之比是，可得截得的小圆锥与原圆锥的体积之比为， 从而可得圆台上下底面圆半径之比为， 设圆台上底面半径为，则圆台下底面半径为， 圆台存在内切球时，由切线长定理可得圆台母线长，则可得圆锥母线， 所以圆锥的轴截面等腰三角形底边， 在中，由余弦定理可得. 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 本学期某校举行了有关垃圾分类知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 图中x的值为0.030 B. 被抽取的学生中成绩在的人数为15 C. 估计样本数据的众数为90 D. 估计样本数据的平均数大于中位数 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，结合频率分布直方图的性质，即可求解，对于B，结合频率与频数的关系，即可求解，对于C，结合众数的计算公式，即可求解，对于D，结合平均数的计算公式，以及中位数的计算公式，即可比较大小求解D． 【详解】对于A，结合频率分布直方图的性质可得，，解得，故A正确， 对于B，成绩在区间的频率为，人数为，故B正确， 对于C，众数为，故C错误， 对于D，平均成绩， 低于80分的频率为， 设样本数据的中位数为分， 则，解得，平均数小于中位数，D错误， 故选：AB． 10. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. 向量与向量的夹角是 D. 向量在向量上的投影向量坐标是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据向量坐标线性运算与垂直关系，列出方程，求出，A正确；B选项，利用模长公式进行计算；C选项，利用向量夹角余弦公式求出夹角；D选项，利用投影向量公式求出答案. 【详解】A选项，， ∴， ， ∴，解得，故，选项A正确； B选项，由A选项可知，故，选项B错误； C选项，， 向量与向量的夹角是，选项C正确； D选项，向量在向量上的投影向量，选项D正确. 故选：ACD. 11. 已知，设函数满足，则（ ） A. B. 当时，不一定是常数函数 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】联立方程可得，即可代入求解A，根据时，，即可求解B，取代入题中式子即可求解C,分类讨论，结合共轭复数的定义，代入即可判断D. 【详解】由可得， 联立两式可得， 对于A, 取，则，A正确， 对于B，若时，，故，B错误， 对于C，取，则， 解得，故C正确， 对于D，若且时，此时，则， 故显然满足， 若，则， 此时，故成立， 若，则， 此时，故成立，故D正确， 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数与的图象关于直线______对称． 【答案】 【解析】 【分析】根据反函数的性质即可求解. 【详解】由于与互为反函数，所以与图象关于对称， 故答案为： 13. 若某扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积公式直接求解即可. 【详解】设扇形的面积为，则扇形面积，解得：. 故答案为：. 14. 记的内角的对边分别为．已知，，若的面积为，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由余弦定理和已知求出，再由正弦定理得出用表示出的，利用面积求出可得答案. 【详解】因为，由余弦定理得， 因为，所以， 所以，可得， 因为，所以，所以， ， 由正弦定理， 得， ， 若的面积为，则， 解得，所以. 故答案：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用正余弦定理边角转化解三角形. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）求在区间上的最大值、最小值及相应的x的值． 【答案】（1），，； （2）时，有最小值0，时，有最大值3． 【解析】 【分析】（1）化简函数解析式，由正弦型函数的性质求出周期、单调区间即可； （2）根据自变量的范围，求出的范围，利用正弦函数求出最值即可得解. 小问1详解】 （1）， 故； 由，令，， 则，， 故函数的单调递增区间为，； 【小问2详解】 当时，， 则，即， 即在区间上的最小值和最大值分别为0，3， 当，即时，有最小值0， 当，即时，有最大值3． 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，与底面所成的角为45°，为的中点． （1）求证：⊥平面； （2）若，求平面与平面的夹角大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）由题意可得与底面所成的角即为，即，则,再由题意得出⊥平面，则，即可得到答案. （2）由二面角的定义可得平面与平面的夹角即为，即可得出夹角大小. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 因为平面，则为与平面所成的角， 与平面所成的角为45°， 所以，则， 又为的中点，所以． 因为，又，,平面，平面， 故⊥平面，平面， 所以，平面， 所以平面． 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 又，，平面，平面，故平面. 平面，所以，又，则即为所求， 由（1）知：，而，则，故, ,所以． 17. 已知函数，． （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义分析求解； （2）求导可得，分和两种情况，利用导数分析的单调性. 【小问1详解】 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以在处的切线方程为：． 【小问2详解】 由题意可得：， 注意到， ①若，，则在上单调递减， ②若，令时，解得， 当，；当，； 所以在上单调递增，在上单调递减． 18. 已知椭圆C的焦点在x轴上，上顶点，右焦点F，离心率． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线l与椭圆C交于P，Q两点． （i）若直线l与MF垂直，求线段PQ中点的轨迹方程； （ii）是否存在直线l，使F恰为的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）存在，． 【解析】 【分析】（1）由已知易求，进而可得椭圆方程； （2）（i）设直线，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理得到：，，设线段PQ中点为，利用中点坐标公式可求中点的轨迹方程； （ii）由F恰为的垂心，有，可得，代入即可求得直线方程. 【小问1详解】 由题意得：，，则，所以，解得， 故椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 （i）由题意得：，因为，所以，则， 设直线，，， 联立，可得， ，所以， 由韦达定理得：，，， 设线段PQ中点为，则，， 则PQ中点的轨迹方程为． （ii）因为F恰为的垂心，有 所以 又，得， 即， 代入韦达定理得， 解得或．经检验符合条件， 则直线l的方程为：． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 已知数列满足，数列满足，． （1）求，的通项公式； （2）定义：已知数列，，当时，称为“4一偶数项和整除数列”． （i）计算，，其中，． （ii）若为“4-偶数项和整除数列”，求的最小值． 【答案】（1），． （2）（i），；（ii） 【解析】 【分析】（1）因式分解得到，变形得到，故为公比为3的等比数列，求出通项公式； （2）（i）利用等差数列求和公式得到，并利用等比数列求和公式得到； （ii）方法一，根据得到，2，3不满足题意，满足要求，进一步得到，变形后结合二项式定理得到，并得到，得到结论； 方法二：根据得到，2，3不满足题意，满足要求，当时，，故，根据且，证明出结论. 【小问1详解】 由可得， 根据可得， 由可得，且， 所以是以首项为3，公比为3等比数列，故． 【小问2详解】 （i）， ． （ii）方法一：当时，， 显然，，2，3不满足题意，时，，满足要求， 当时，， ， 故，得证． 方法二：当时，， 显然，，2，3不满足题意．时，，满足要求， 当时，，， 因为且， 下面证明对恒成立， 令，则，当时，， 故在单调递增，故， 故对恒成立， 所以，得证， 故最小值为4. 【点睛】数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$