精品解析：山东省烟台第二中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

山东省烟台第二中学2023-2024学年度第二学期高二3月月考 数学 2024.03.20 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（　　） A. （2，﹣3） B. （2，3） C. （﹣3，2） D. （3，2） 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得：直线2x﹣3y+1=0的斜率为k=， 所以直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量 =（1，），或（3，2） 故选D． 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据双曲线方程写出渐近线方程即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 3. 已知圆，直线，则直线与圆的位置关系（ ）. A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离与半径进行比较来确定正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线和圆相切. 故选：A 4. 已知抛物线的焦点为，若抛物线上的点与点间的距离为3，则（ ）. A. B. C. 或 D. 4或 【答案】C 【解析】 【分析】结合抛物线的定义求得正确答案. 【详解】抛物线开口向左， 依题意，抛物线上的点与点间的距离为3， 所以，抛物线方程为， 令，得，解得， 故选：C 5. 若直线l1：y=k（x–2）与直线l2关于点（1，2）对称，则直线l2恒过点（ ） A. （2，0） B. （0，2） C. （0，4） D. （4，0） 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线l1恒过点P（2，0），求出点P关于点（1，2）的对称点Q，从而得到直线l2恒过的点，得到答案. 【详解】直线l1：y=k（x–2）恒过点P（2，0）． 设点P关于点（1，2）的对称点为Q（a，b）， 则，解得， ∴直线l2恒过点（0，4）． 故选C． 【点睛】本题考查直线过定点，求点关于点的对称点，属于简单题. 6. 如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，取的中点，连接，，由题意可知，即异面直线与所成角为或其补角，结合余弦定理求解即可. 【详解】 连接，取的中点，连接，， 因为为棱的中点，所以， 即异面直线与所成角为或其补角， 在中，，，， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：. 7. 已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将方程化为标准方程，从而可得的范围，求出直线所过的定点，根据题意可得定点在椭圆上或椭圆内部，从而可得出答案. 【详解】由，得， 因为是焦点在轴上的椭圆， 所以， 直线过定点， 因为直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点， 所以点在椭圆上或椭圆内部， 所以，解得， 综上所述，. 故选：D. 8. 已知为抛物线上的两个动点，以为直径的圆经过抛物线的焦点，且面积为，若过圆心作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）. A. 4 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由圆的面积可得，设，过点作于，过点作于，利用抛物线定义得，根据梯形中位线可知，利用均值不等式即可求出最大值. 【详解】根据题意，， ∴， 设，过点作于，过点作于， 由抛物线定义，得，在梯形中， ∴， 由题意可得，则，即， ∵， 所以（当且仅当时，等号成立）， 所以的最大值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：根据抛物线的定义及梯形的性质得出是解决本题的关键. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，若长方体的底面是边长为2的正方形，高为是的中点，则正确的是（ ） A. B. 平面平面 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 【答案】CD 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，由可判断A；求出平面和平面的法向量，不存在实数λ使得．可判断B；求出三棱锥的体积可判断C；求出三棱锥的外接球的表面积可判断D. 【详解】解：以，，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以，． 因为，所以与不垂直．故A错误． ，， 设平面的一个法向量为， 则由得所以 不妨取，则，所以． 设平面的一个法向量为， ，， 则由得所以 不妨取，则，所以． 故不存在实数λ使得． 故平面与平面不平行，故B错误． 在长方体中，⊥平面， 故是三棱锥的高，所以 ．故C正确． 三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 故外接球的半径． 所以三棱锥的外接球的表面积，故D正确． 故选：CD． 10. 已知曲线.（ ） A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D. 若m=0，n>0，则C是两条直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线. 【详解】对于A，若，则可化为， 因为，所以， 即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则可化为， 此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确； 对于C，若，则可化为， 此时曲线表示双曲线， 由可得，故C正确； 对于D，若，则可化为， ，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 11. 已知曲线：，则下列结论正确的是（ ）. A. 曲线关于对称 B. 的最小值为 C. 曲线的周长为 D. 曲线围成的图形面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】确定方程表示的曲线，根据对称性判断A；利用的几何意义判断B；计算曲线的周长与所围图形面积判断CD． 【详解】对于A，设是曲线上的任一点，则， 则，即点也在曲线上， 而点与是关于对称的，由的任意性，A正确； 对于B，当时，方程化为， 即，其中，表示一条线段， 同理当时，方程为，当时， 方程为，当时，方程为， 则方程表示的曲线是以为顶点的菱形，如图， 表示菱形上点到原点距离的平方，原点到的距离为斜边上的高， 因此的最小值为，B正确； 对于C，菱形的周长为，C错误； 对于D，菱形的面积为，D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在题后的横线上. 12. 已知单位向量，且.若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律及向量的夹角公式计算即得. 【详解】由，得， 由，得，解得， 因此，而， 所以. 故答案为： 13. 过点的直线与直线垂直，与圆相切，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出直线的方程，再根据圆心到直线的距离等于半径即可得解. 【详解】设直线的方程为， 将点代入得，解得， 所以直线的方程为， 圆得圆心为，半径为， 则. 故答案为：. 14. 设椭圆的左右焦点分别为，离心率为，双曲线的渐近线与椭圆的一个公共点为，，则双曲线的离心率是______. 【答案】## 【解析】 【分析】联立双曲线与椭圆的方程，求出点的坐标，再由，转化为数量积为结合椭圆的离心率可得的关系，即可得解. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为， 不妨设点是椭圆与渐近线的交点，， 联立，解得， 设椭圆的焦距为，则， 则， 因为，所以，即， 所以， 所以，① 因为椭圆的离心率为， 所以，设， 则，代入①得， 整理得，即， 所以双曲线的离心率. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求经过直线与直线的交点M，且分别满足下列条件的直线方程： （1）与直线平行； （2）与直线垂直. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（2）解方程组求出点的坐标，设出直线方程，利用待定系数法求解即提. 【小问1详解】 由，解得，即点， 设所求直线方程为，则，解得， 所以所求直线方程为. 【小问2详解】 由（1）知，点，设所求直线方程为， 则，解得， 所以所求方程为. 16. 已知正四面体的棱长为1，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点. （1）用，，表示； （2）求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的基本定理，结合向量运算求得答案. （2）利用空间向量的数量积运算律计算即得. 【小问1详解】 在正四面体中，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点， ， 所以 . 【小问2详解】 正四面体的棱长为1，则， 所以. 17. 已知直线与椭圆相交于不同两点. （1）若，，求椭圆的焦距； （2）求的取值范围. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）把，代入椭圆方程，由得到的椭圆标准方程求焦距. (2)直线与椭圆联立方程组，消去，得到关于x 的一元二次方程，由，化简得，即可得到的取值范围. 【小问1详解】 由已知得椭圆方程为，所以，， 故，所以焦距为2. 【小问2详解】 联立方程组，消去，得， 直线与椭圆相交于不同两点，所以， 化简得，因为，，所以， 所以的取值范围是. 18. 如图，平面，，，，，. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）线段上是否存在一点，使得平面.若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）不存在，理由如下： 假设存在点，满足条件. 可设，，所以，所以. 若符合题意，则，则，无解， 所以不存在符合题意的点. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值. （2）设，根据与平面的法向量平行来求得点的位置. 【小问1详解】 如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 由已知可得，，，. ，，. 设平面的法向量，由得， 可得平面的一个法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值. 【小问2详解】 略 19. 如图，已知椭圆（）的长轴AB长为4.梯形的两顶点C，D在椭圆上（点C在第一象限），且，. （1）求椭圆的方程； （2）点P是线段CD上的点，过点B作与PB垂直的直线交椭圆于点Q.若的面积为，求直线BQ的斜率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标，进而求出椭圆方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立求出长，再求出长即可求解. 【小问1详解】 依题意，，点，则，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，，直线的斜率分别为， 由点P是线段CD上的点，得直线的斜率在内， 而，则直线的斜率在内， 设直线，则直线，点， 由消去并整理得， 于是，解得，， 在中，令，得，于是， ，而， 因此，解得，而， 所以直线BQ的斜率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省烟台第二中学2023-2024学年度第二学期高二3月月考 数学 2024.03.20 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（　　） A. （2，﹣3） B. （2，3） C. （﹣3，2） D. （3，2） 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆，直线，则直线与圆的位置关系（ ）. A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 无法确定 4. 已知抛物线的焦点为，若抛物线上的点与点间的距离为3，则（ ）. A. B. C. 或 D. 4或 5. 若直线l1：y=k（x–2）与直线l2关于点（1，2）对称，则直线l2恒过点（ ） A. （2，0） B. （0，2） C. （0，4） D. （4，0） 6. 如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）. A. B. C. D. 7. 已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围（ ）. A. B. C. D. 8. 已知为抛物线上的两个动点，以为直径的圆经过抛物线的焦点，且面积为，若过圆心作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）. A. 4 B. C. D. 6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，若长方体的底面是边长为2的正方形，高为是的中点，则正确的是（ ） A. B. 平面平面 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 10. 已知曲线.（ ） A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D. 若m=0，n>0，则C是两条直线 11. 已知曲线：，则下列结论正确的是（ ）. A. 曲线关于对称 B. 的最小值为 C. 曲线的周长为 D. 曲线围成的图形面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在题后的横线上. 12. 已知单位向量，且.若，则______. 13. 过点的直线与直线垂直，与圆相切，则______. 14. 设椭圆的左右焦点分别为，离心率为，双曲线的渐近线与椭圆的一个公共点为，，则双曲线的离心率是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求经过直线与直线的交点M，且分别满足下列条件的直线方程： （1）与直线平行； （2）与直线垂直. 16. 已知正四面体的棱长为1，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点. （1）用，，表示； （2）求的值. 17. 已知直线与椭圆相交于不同两点. （1）若，，求椭圆的焦距； （2）求的取值范围. 18. 如图，平面，，，，，. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）线段上是否存在一点，使得平面.若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 19. 如图，已知椭圆（）的长轴AB长为4.梯形的两顶点C，D在椭圆上（点C在第一象限），且，. （1）求椭圆的方程； （2）点P是线段CD上的点，过点B作与PB垂直的直线交椭圆于点Q.若的面积为，求直线BQ的斜率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $