精品解析：吉林省通化市三校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题

2023～2024学年度下学期三校联考期中考试 （柳河一中通化县七中集安一中） 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前﹐先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答﹐写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：选择性必修第三册第六章一第八章8.2. 参考公式：， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知甲、乙，丙、丁四人获得城市荣誉称号，某记者对这四人进行采访，则不同的采访顺序有（ ） A. 4种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 【答案】D 【解析】 【分析】应用全排列求解即可. 【详解】由题意可得不同的采访顺序有种． 故选：D 2. 已知随机变量X的分布列为，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分布列的概率求解方式即可得出答案. 【详解】解：由题意得： ． 故选:A 3. 已知随机变量X服从二项分布，即，且，，则二项分布的参数n，p的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】 利用离散型随机变量的期望与方差公式，转化求解即可. 【详解】解：随机变量X服从二项分布，即，且，， 可得，，解得，， 故选：D. 【点睛】此题考查离散型随机变量的期望与方差公式的应用，考查二项分布的性质，属于基础题 4. 已知的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则（ ） A. 11 B. 10 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】当n为偶数时，展开式中第项二项式系数最大，当n为奇数时，展开式中第和项二项式系数最大. 【详解】∵只有第7项的二项式系数最大，∴，∴． 故选：C 5. 要判断成对数据的线性相关程度的强弱，可以通过比较它们的样本相关系数r的大小，以下是四组数据的相关系数的值，则线性相关最强的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由成对数据的线性相关程度的强弱，取决于相关系数的大小，因为，所以线性相关最强. 【详解】判断成对数据的线性相关程度的强弱，可以比较它们的相关系数的大小， 的值越接近1，线性相关程度越强；的值越接近0，线性相关程度越弱， 根据选项可知. 故选:C. 6. 一个盒子里装有相同大小的白球､黑球共20个，其中黑球6个，现从盒中随机的抽取5个球，则概率为的事件是（ ） A. 没有白球 B. 至多有2个黑球 C. 至少有2个白球 D. 至少有2个黑球 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型的公式结合排列组合知识直接求解 【详解】表示任取5个球中，有2个黑球的概率， 表示任取5个球中，有1个黑球的概率 表示任取5个球中，没有黑球的概率 所以表示任取5个球中，至多有2个黑球的概率． 故选：B． 7. 盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的.现从盒中随机抽取4个，则概率是的事件为（ ） A. 恰有1个是坏的 B. 4个全是好的 C. 恰有2个是好的 D. 至多有2个是坏的 【答案】C 【解析】 【分析】利用超几何分布的概率公式，对四个选项一一求概率，进行验证即可. 【详解】对于A，事件的概率为； 对于B，事件的概率为； 对于C，事件的概率为； 对于D，事件的概率为. 故选：C. 8. 如果不是等差数列，但若，使得，那么称为“局部等差”数列．已知数列的项数为4，其中，，2，3，4，记事件：集合；事件：为“局部等差”数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出事件与事件的基本事件的个数，用=计算结果. 【详解】由题意知，事件共有个基本事件， 对于事件，其中含1，2，3的“局部等差”数列的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3个，含3，2，1的“局部等差”数列的同理也有3个，共6个； 含3，4，5的和含5，4，3的与上述相同，也有6个； 含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共2个；含4，3，2的同理也有2个； 含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4个； 含5，3，1的同理也有4个， 所以事件共有24个基本事件， 所以． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则的值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】BC 【解析】 【分析】利用组合数的计算即可求解 【详解】因为，所以或，解得或. 故选：BC. 10. 对于经验回归方程，以下判断正确的是（ ） A. 变量x与变量y正相关 B. 该方程一定过点 C. 根据经验回归方程可以预测，当时，变量 D. 当变量x减少一个单位时，y平均增加2个单位 【答案】BCD 【解析】 【分析】由经验回归方程斜率可得A；由经验回归方程必过样本中心点可得B；由经验回归方程性质计算可得C、D. 【详解】对于A选项，由，故变量x与变量y负相关，所以A项错误； 对于B选项，经验回归方程必过点，所以B项正确； 对于C选项，根据经验回归方程，可预测变量时，变量，所以C项正确； 对于D选项，在回归方程中，当变量x减少一个单位时， y平均增加2个单位，所以D项正确. 故选：BCD. 11. 若袋子中有3个白球，2个黑球，现从袋子中有放回地随机取球5次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，记5次取球的总分数为X，则（ ） A. B. C. X的数学期望 D. X的方差 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可知5次取球的总分数为X，即为5次取球取到白球的个数，故可确定，即可判断A；由此可计算，即可判断B；利用二项分布的期望和方差公式计算期望和方差，即可判断C，D. 【详解】由题意知从袋子中有放回地随机取球5次，每次取到白球的概率为， 取到白球记1分，取到黑球的概率为，取到黑球记0分， 则记5次取球的总分数为X，即为5次取球取到白球的个数， 知，故A正确； ，故B错误； X的数学期望，故C正确﹔ X的方差，故D正确. 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从甲地去乙地有4班火车，从乙地去丙地有3班轮船，若从甲地去丙地必须经过乙地中转，则从甲地去丙地可选择的出行方式有______________种． 【答案】12 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理可得答案. 【详解】由分步乘法计数原理知从甲地去丙地可选择的出行方式有（种）． 故答案为：12. 13. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验收集到的数据如下表： 零件数-x 10 20 30 40 50 加工时间y/min 62 75 81 89 由最小二乘法求得回归方程为，现发现表中有一个数据模糊不清﹐请你推断出该数据的值为______． 【答案】68 【解析】 【分析】先求样本中心点，再根据回归直线经过样本中心点求参即可. 【详解】由于回归直线方程过样本中心点，，， 代入回归直线方程得，解得， 故答案为：68． 14. 已知随机变量，且，则的最小值为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】先根据正态分布的性质得出，再结合常值代换应用不等式求出最值即可. 【详解】由随机变量，则正态分布的曲线的对称轴为， 又因为，所以，所以． 当时， ， 当且仅当，即时等号成立，故最小值为8． 故答案为：8. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知二项式的展开式中共有10项． （1）求展开式的第5项的二项式系数； （2）求展开式中含的项． 【答案】（1）126 （2） 【解析】 【分析】（1）根据项数可求得，根据二项式系数与项数之间关系列出等式，解出即可； （2）由（1）中的，求出通项，使的幂次为4，求出含的项即可. 【小问1详解】 解：因为二项式的展开式中共有10项，所以， 所以第5项的二项式系数为； 【小问2详解】 由（1）知，记含的项为第项， 所以， 取，解得，所以， 故展开式中含的项为. 16. 现有4名男生、3名女生站成一排照相．（用数字作答） （1）两端是男生，有多少种不同的站法？ （2）任意两名男生不相邻，有多少种不同的站法？ （3）男生甲要在女生乙的右边（可以不相邻），有多少种不同的站法？ 【答案】（1）1440 （2）144 （3）2520 【解析】 【分析】（1）特殊位置特殊考虑，先取两位男生放置在两端，另5位全排列，列出等式，计算即可； （2）不相邻问题插空，先将另3名女生全排列，空出4个位置，让男生插空站入， 列出等式，计算即可； （3）排序问题，先在7个位置中找到5个位置，让除甲乙外的另5人排列，后将甲乙站入， 列出等式，计算即可. 【小问1详解】 解：先选2名男生排两端有种方法，再排其余学生有种方法， 所以两端是男生的不同站法有（种）； 【小问2详解】 先排3名女生有种方法，再将4名男生插入4个空隙中有种方法， 所以任意两名男生不相邻的不同站法有（种）； 【小问3详解】 先在7个位置中找到5个位置，让除甲乙外的另5人排列共有：种方法， 再将甲乙按照甲在乙右边的顺序，放置另两个位置中共1种， 所以男生甲要在女生乙的右边的不同站法有（种）． 17. 某大型商品交易会展馆附近的一家特色餐厅为了研究参会人数与本店所需原材料数量的关系，在交易会前查阅了最近4次交易会的参会人数x（万人）与餐厅所用原材料数量y（袋），得到如下数据： 第一次 第二次 第三次 第四次 参会人数x（万人） 8 9 10 11 原材料y（袋） 20 23 25 28 （1）请根据所给四组数据，求出y关于x的线性回归方程； （2）若该店现有原材料20袋，据悉本次交易会大约有12万人参加，为了保证原材料能够满足需要，则该店应至少再补充原材料多少袋？注： 【答案】（1） （2）11袋． 【解析】 【分析】（1）根据表中数据求出，即可求出，再求出，可得线性回归方程. （2）由（1）的线性回归方程，当时，求出，减去20可得补充原材料的袋数. 【小问1详解】 由数据得， ， ， ， 由公式，求得，， y关于x的线性回归方程为． 【小问2详解】 由，得， 而（袋）， 所以该店应至少再补充原材料11袋． 18. 为积极响应国家医药卫生体制改革及2023年全国文化科技“三下乡”活动要求，真正让“人民至上”理念落实落地，着力推动优质医疗资源重心下移、力量下沉，不断增强医疗服务的“深度”和“温度”.我市人民医院打算从各科室推荐的6名医生中任选3名去参加“健康送下乡，义诊暖人心”的活动.这6名医生中，外科医生、内科医生、眼科医生各2名. （1）求选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率； （2）设表示选出的3人中外科医生的人数，求的均值与方差. 【答案】（1） （2），. 【解析】 【分析】（1）首先计算出所有基本事件数，再分别求出“选出的外科医生人数多于内科医生人数”包含的各事件的概率，利用互斥事件的加法公式即可求得结果； （2）得到X的所有取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式和方差公式进行求解即可． 【小问1详解】 推荐的6名医生中任选3名去参加活动基本事件总数， 这6名医生中，外科医生2名，内科医生2名，眼科医生2名， 设事件表示“选出的外科医生人数多于内科医生人数”， 表示“恰好选出1名外科医生和2名眼科医生”，表示“恰好选出2名外科医生”， ，互斥，且， ，， 选出外科医生人数多于内科医生人数的概率为； 【小问2详解】 由于从6名医生中任选3名的结果为， 从6名医生中任选3名，其中恰有名外科医生的结果为，，那么6名中任选3人， 恰有名外科医生的概率为， 所以，，， . 19. 某市对新形势下的中考改革工作进行了全面的部署安排. 中考录取科目设置分为固定赋分科目和非固定赋分科目，固定赋分科目（语文、数学、英语、物理、体育与健康）按卷面分计算；非固定赋分科目（化学、生物、道德与法治、历史、地理）按学生在该学科中的排名进行等级赋分，即根据改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A，，，，，，，共个等级. 参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为，，，，，，，. 等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到，，，，，，，八个分数区间，得到考生的等级成绩. 该市学生的中考化学原始成绩制成频率分布直方图如图所示： （1）求图中的值； （2）估计该市学生中考化学原始成绩不少于多少分才能达到等级及以上（含等级）？ （3）由于中考改革后学生各科原始成绩不再返回学校，只告知各校参考学生的各科平均成绩及方差. 已知某校初三共有名学生参加中考，为了估计该校学生的化学原始成绩达到等级及以上（含等级）的人数，将该校学生的化学原始成绩看作服从正态分布，并用这名学生的化学平均成绩作为的估计值，用这名学生化学成绩的方差作为的估计值，计算人数（结果保留整数）． 附：，，. 【答案】（1） （2）85 （3）23 【解析】 【分析】（1）根据所有矩形面积之和等于1可得； （2）先根据矩形面积之和判断达到等级的最低分数为x所在区间，然后根据矩形面积之和等于0.9可得； （3）由题知，所以由可得. 【小问1详解】 由 得 【小问2详解】 由题意可知，要使等级达到等级及以上，则成绩需超过的学生. 因为， 记达到等级的最低分数为x，则， 则由，解得 所以该市学生中考化学原始成绩不少于85分才能达到等级及以上. 【小问3详解】 由题知， 因为 所以 故该校学生的化学原始成绩达到等级及以上的人数大约为人. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023～2024学年度下学期三校联考期中考试 （柳河一中通化县七中集安一中） 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前﹐先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答﹐写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：选择性必修第三册第六章一第八章8.2. 参考公式：， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知甲、乙，丙、丁四人获得城市荣誉称号，某记者对这四人进行采访，则不同的采访顺序有（ ） A. 4种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 2. 已知随机变量X的分布列为，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量X服从二项分布，即，且，，则二项分布的参数n，p的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则（ ） A. 11 B. 10 C. 12 D. 13 5. 要判断成对数据的线性相关程度的强弱，可以通过比较它们的样本相关系数r的大小，以下是四组数据的相关系数的值，则线性相关最强的是（ ） A. B. C. D. 6. 一个盒子里装有相同大小的白球､黑球共20个，其中黑球6个，现从盒中随机的抽取5个球，则概率为的事件是（ ） A. 没有白球 B. 至多有2个黑球 C. 至少有2个白球 D. 至少有2个黑球 7. 盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的.现从盒中随机抽取4个，则概率是的事件为（ ） A. 恰有1个是坏的 B. 4个全是好的 C. 恰有2个是好的 D. 至多有2个是坏的 8. 如果不是等差数列，但若，使得，那么称为“局部等差”数列．已知数列的项数为4，其中，，2，3，4，记事件：集合；事件：为“局部等差”数列，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则的值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 对于经验回归方程，以下判断正确的是（ ） A. 变量x与变量y正相关 B. 该方程一定过点 C. 根据经验回归方程可以预测，当时，变量 D. 当变量x减少一个单位时，y平均增加2个单位 11. 若袋子中有3个白球，2个黑球，现从袋子中有放回地随机取球5次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，记5次取球的总分数为X，则（ ） A. B. C. X的数学期望 D. X的方差 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从甲地去乙地有4班火车，从乙地去丙地有3班轮船，若从甲地去丙地必须经过乙地中转，则从甲地去丙地可选择的出行方式有______________种． 13. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验收集到的数据如下表： 零件数-x 10 20 30 40 50 加工时间y/min 62 75 81 89 由最小二乘法求得回归方程为，现发现表中有一个数据模糊不清﹐请你推断出该数据的值为______． 14. 已知随机变量，且，则的最小值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知二项式的展开式中共有10项． （1）求展开式的第5项的二项式系数； （2）求展开式中含的项． 16. 现有4名男生、3名女生站成一排照相．（用数字作答） （1）两端是男生，有多少种不同的站法？ （2）任意两名男生不相邻，有多少种不同的站法？ （3）男生甲要在女生乙的右边（可以不相邻），有多少种不同的站法？ 17. 某大型商品交易会展馆附近的一家特色餐厅为了研究参会人数与本店所需原材料数量的关系，在交易会前查阅了最近4次交易会的参会人数x（万人）与餐厅所用原材料数量y（袋），得到如下数据： 第一次 第二次 第三次 第四次 参会人数x（万人） 8 9 10 11 原材料y（袋） 20 23 25 28 （1）请根据所给四组数据，求出y关于x的线性回归方程； （2）若该店现有原材料20袋，据悉本次交易会大约有12万人参加，为了保证原材料能够满足需要，则该店应至少再补充原材料多少袋？注： 18. 为积极响应国家医药卫生体制改革及2023年全国文化科技“三下乡”活动要求，真正让“人民至上”理念落实落地，着力推动优质医疗资源重心下移、力量下沉，不断增强医疗服务的“深度”和“温度”.我市人民医院打算从各科室推荐的6名医生中任选3名去参加“健康送下乡，义诊暖人心”的活动.这6名医生中，外科医生、内科医生、眼科医生各2名. （1）求选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率； （2）设表示选出的3人中外科医生的人数，求的均值与方差. 19. 某市对新形势下的中考改革工作进行了全面的部署安排. 中考录取科目设置分为固定赋分科目和非固定赋分科目，固定赋分科目（语文、数学、英语、物理、体育与健康）按卷面分计算；非固定赋分科目（化学、生物、道德与法治、历史、地理）按学生在该学科中的排名进行等级赋分，即根据改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A，，，，，，，共个等级. 参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为，，，，，，，. 等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到，，，，，，，八个分数区间，得到考生的等级成绩. 该市学生的中考化学原始成绩制成频率分布直方图如图所示： （1）求图中的值； （2）估计该市学生中考化学原始成绩不少于多少分才能达到等级及以上（含等级）？ （3）由于中考改革后学生各科原始成绩不再返回学校，只告知各校参考学生的各科平均成绩及方差. 已知某校初三共有名学生参加中考，为了估计该校学生的化学原始成绩达到等级及以上（含等级）的人数，将该校学生的化学原始成绩看作服从正态分布，并用这名学生的化学平均成绩作为的估计值，用这名学生化学成绩的方差作为的估计值，计算人数（结果保留整数）． 附：，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $