精品解析：山东省烟台第二中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

山东省烟台第二中学2023-2024学年度第一学期高二12月月考 数学 2023.12.20 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）.经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ） A. 511个 B. 512个 C. 1023个 D. 1024个 【答案】B 【解析】 【分析】先算出分裂的次数，即可求得总个数. 【详解】20分钟分裂一次，经过3个小时，总共分裂了九次， 也就是29=512个， 故选：B． 2. 已知等差数列的公差是，若，，成等比数列，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比中项，结合等差数列通项公式列方程求解即可. 【详解】解：因为等差数列的公差为2，且，，成等比数列， 所以，即， 解得 ， 故选：A 3. 曲线y＝x2－3x上在点P处的切线平行于x轴，则P的坐标为 (　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点P处的切线平行于x轴，由y′＝0求解. 【详解】解：因为y＝x2－3x， 所以y′＝2x－3， 令y′＝0.即2x－3＝0，得x＝. 代入曲线方程y＝x2－3x， 得y＝－. 所以P的坐标为 ， 故选：B 4. 已知函数，则函数（ ）． A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间. 【详解】函数的定义域为， 且，当时，当时， 所以在上单调递增，上单调递减. 故选：D 5. 已知等差数列的前项和为，，且，则取最大值时，（ ）． A. 9 B. 10 C. 9或10 D. 10或11 【答案】C 【解析】 【分析】先根据利用等差数列前项和公式，得出和的关系，判断出数列是单调递减数列，再利用抛物线的性质即可求得. 【详解】设等差数列的公差为， 由等差数列前项和公式， 得：，， 又， ， 即， 又， ， 由此可知，数列是单调递减数列， 点在开口向下的抛物线上， 又， 点与点关于直线对称， 当或时，最大. 故选：C 6. 函数的极值情况是（ ） A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值 C. 既无极大值也无极小值 D. 既有极大值又有极小值 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值. 【详解】∵，∴， 由，得或， 时，；时，；时，， ∴函数的递减区间是，；递增区间是， ∴当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值， ∴函数既有极大值又有极小值. 故选：D. 7. 已知等差数列的前项和为．若，且，，则（ ） A. 38 B. 20 C. 10 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得，由，可求得，再根据，即可求得答案. 【详解】解：根据等差数列的性质可得． ∵，∴或． 若，显然不成立，∴． ∴，解得． 故选：C． 8. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用求导思想，把函数单调递增转化为导数值恒大于或等于0，再用分离参变量思想就可以解决问题. 【详解】由求导可得：， 因为在上单调递增，所以在时，， 即，而当时，，所以， 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）． A. 是奇函数 B. 在内单调递增 C. 是周期为的周期函数 D. 在内有个极值点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和周期函数定义判断选项A，C；根据导函数的正负以及零点的个数可判断B,D的正误． 【详解】对于A，，所以函数为奇函数，故A正确； 对于B，当时，求导可得：， 当时，，在上单调递增， 当时，求导可得：， 当时，，在上单调递增，故选项B正确； 对于C，若存在周期，则必满足， 因为， 所以是周期为的周期函数，故C错误； 对于D，当时，求导可得：， 令，即， 解得解集为：， 在有10个变号零点，函数是奇函数， 在有20个变号零点，即在内有20个极值点，故选项D正确． 故选：ABD． 10. 如图，已知点是平行四边形的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（　　） A. B. 数列是等比数列 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由平面向量线性运算和向量共线可得到，由此可确定递推关系式，得到，由此确定B正确；利用等比数列通项公式求得，进而得到，可确定AC正误；利用分组求和法，结合等比数列求和公式可求得，知D错误. 【详解】为中点，，即， 三点共线，， 又，， 化简得：，， 是以为首项，为公比的等比数列，B正确； ，，C错误； 则，A正确； ，D错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列与向量的综合应用问题，解题关键是能够根据平面向量的线性运算和向量共线的性质推导得到数列的递推关系式，由此构造出所需的等比数列进行求解. 11. 在单位圆上任取一点，圆与轴正向的交点是，设将绕原点逆时针旋转到所成的角为，记关于的表达式分别为，，则下列说法正确的是（ ）． A. 是偶函数，是奇函数 B. 在上单调递增，在上单调递减 C. 对于恒成立 D. 函数的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角函数的定义可得，，再结合正弦函数、余弦函数的性质判断A、B、C，令，首先判断的周期，再利用导数求出函数在一个周期内的单调性，即可求出函数的最大值，从而判断D. 【详解】由题意可知：，，即，， 所以是偶函数，是奇函数，故A正确． 显然在上单调递增，上单调递减，故B错误． 令， 当时，，所以，， 即对于恒成立，故C正确． ， 令，因为， 所以的一个周期，又，， 令，则， 解得或，在这一个周期内或或， 所以当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，，，， 所以函数的最大值为，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题后的横线上． 12. 已知函数的图像在点处的切线方程是，则＝______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，可得的值，根据点M在切线上，可求得的值，即可得答案. 【详解】由导数的几何意义可得，， 又在切线上， 所以，则=3， 故答案为：3 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查分析理解的能力，属基础题. 13. 已知，，，成等差数列，且，为方程的两根，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用韦达定理求出，再根据下标和性质计算可得. 【详解】因为，为方程的两根， 所以， 又，，，成等差数列， 所以. 故答案为： 14. 函数在[0，3]上的最大值等于__________. 【答案】5 【解析】 【分析】对求导，根据单调性求最大值. 【详解】，则 当时，，此时函数单调递增； 当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增． 则函数在区间内单调递减，在区间内单调递增 当时，，当时， 所以函数在处取到最大值5 所以函数在区间上的最大值是5. 故答案为：5. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知：等差数列{}中，=14，前10项和. （Ⅰ）求； （Ⅱ）将{}中的第2项，第4项，…，第项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列的前项和. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式以及求和公式将条件化为关于首项与公差的方程组，解得首项与公差，代入通项公式即得结果，（2）新数列为，所以利用分组求和法求和，即分别计算一个等比数列的和与一个常数列的和，最后再求两者的和. 【详解】（Ⅰ）由 ∴ 由 （Ⅱ）设新数列为{}，由已知， 【点睛】本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如 ），符号型（如 ），周期型　（如 ） 16. 设，曲线在点处的切线与轴相交于点，求函数的极值． 【答案】， 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可表示出函数在的切线方程，根据切线过点，求出，即可得到函数解析式，再利用导数求出函数的极值. 【详解】因为， 所以，则， 又， 所以在点处的切线方程为， 由点在切线上，可得，解得. 所以，则定义域为， 所以， 令，解得或， 所以、、的关系如下表所示： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表可知，的单调递增区间为和，的单调递减区间为, 所以， . 17. 数列的前项和为，，， （1）求数列的通项; （2）求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，从而可先求出的通项公式，再根据与的关系得出答案. （2）利用错位相减法可得出答案. 【小问1详解】 则，所以 又， ∴数列是首项为1、公比为3的等比数列，． ∴当时，，又 所以 【小问2详解】 ， 当时，； 当时，， ① ， ② 得：， ， 又也满足上式，． 18. 已知函数在处取得极值． （1）求的值； （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1） （2）当时在上单调递减；当时在上单调递增，在和上单调递减；当时在上单调递增，在和上单调递减. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，解得即可； （2）由（1）可得，求出函数的导函数，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调区间. 【小问1详解】 因为， 所以，依题意， 解得，经检验符合题意. 【小问2详解】 由（1）得且定义域为， 又， 对任意都成立， 令，解得，， ①当即时，恒成立，则函数在上单调递减； ②当即时，令，解得，则函数在上单调递增， 令，解得或，则函数在和上单调递减； ③当即时，令，解得，则函数在上单调递增， 令，解得或，则函数在和上单调递减． 综上可得：当时在上单调递减； 当时在上单调递增，在和上单调递减； 当时在上单调递增，在和上单调递减. 19. 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. （1）若则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）明确柱体与锥体积公式的区别，分别代入对应公式求解； （2）先根据体积关系建立函数解析式，，然后利用导数求其最值. 【小问1详解】 由知. 因为，所以 而 所以仓库的容积. 【小问2详解】 设，则,连接. 因为在中， 所以，即 于是仓库的容积， 设 从而. 当时， ，在上是单调增函数； 当时，，在上是单调减函数； 故时，取得极大值，也是最大值. 因此，当m时，仓库的容积最大. 【点睛】对应用题的训练，一般从读题、审题、剖析题目、寻找切入点等方面进行强化，注重培养将文字语言转化为数学语言的能力，强化构建数学模型的几种方法.而江苏高考的应用题往往需结合导数知识解决相应的最值问题，因此掌握利用导数求最值方法是一项基本要求，需熟练掌握. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省烟台第二中学2023-2024学年度第一学期高二12月月考 数学 2023.12.20 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）.经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ） A. 511个 B. 512个 C. 1023个 D. 1024个 2. 已知等差数列的公差是，若，，成等比数列，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 曲线y＝x2－3x上在点P处的切线平行于x轴，则P的坐标为 (　　) A. B. C. D. 4. 已知函数，则函数（ ）． A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 5. 已知等差数列的前项和为，，且，则取最大值时，（ ）． A. 9 B. 10 C. 9或10 D. 10或11 6. 函数的极值情况是（ ） A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值 C. 既无极大值也无极小值 D. 既有极大值又有极小值 7. 已知等差数列的前项和为．若，且，，则（ ） A. 38 B. 20 C. 10 D. 9 8. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）． A. 是奇函数 B. 在内单调递增 C. 是周期为的周期函数 D. 在内有个极值点 10. 如图，已知点是平行四边形的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（　　） A. B. 数列是等比数列 C. D. 11. 在单位圆上任取一点，圆与轴正向的交点是，设将绕原点逆时针旋转到所成的角为，记关于的表达式分别为，，则下列说法正确的是（ ）． A. 是偶函数，是奇函数 B. 在上单调递增，在上单调递减 C. 对于恒成立 D. 函数的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题后的横线上． 12. 已知函数的图像在点处的切线方程是，则＝______． 13. 已知，，，成等差数列，且，为方程的两根，则___________． 14. 函数在[0，3]上的最大值等于__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知：等差数列{}中，=14，前10项和. （Ⅰ）求； （Ⅱ）将{}中的第2项，第4项，…，第项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列的前项和. 16. 设，曲线在点处的切线与轴相交于点，求函数的极值． 17. 数列的前项和为，，， （1）求数列的通项; （2）求数列的前n项和. 18. 已知函数在处取得极值． （1）求的值； （2）讨论函数的单调性． 19. 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. （1）若则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $