精品解析：安徽省宣城市第六中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

2023-2024学年安徽省宣城六中九年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则的值等于（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在，，点D是边BC上的一点，且，，则a等于（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 如图，在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 在某学校汉字听写大赛中，有21名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，要取前10名才能参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这21名同学成绩的(    ) A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 5. 小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（　　） A. 2 B. C. D. 3 6. 如图，⊙O中，弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm，则⊙O的半径长为（　　） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 7. 已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是（ ） A. 20πcm2 B. 20cm2 C. 40πcm2 D. 40cm2 8. 已知，关于的一元二次方程的解为，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＞0；②2a+b+c＞0；③a﹣b+c＜0；④x（ax+b）≤a+b．其中正确结论的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 如图，点，，均在坐标轴上，，过，，作，是上任意一点，连结，，则的最大值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为_____． 12. 如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座换水站，对坡面的绿地进行喷灌，现测得斜坡与水平面所成角的度数是，为使出水口的高度为，那么需要准备的水管的长为______ 13. 如图，在四边形ABCD中，点E在AD上，EC//AB，EB//DC，若△ABE面积为5 ， △ECD的面积为1，则△BCE的面积是________． 14. 如下图，正方形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P，使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”．若抛物线y=2x2﹣nx﹣n2﹣1是正方形ABCD的“友好抛物线”，则n的值为_____． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算： 16. 已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是_______； （2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是_______； （3）△A2B2C2的面积是_______平方单位． 17. 如图，在中，是边上的高，． 求：（1）线段的长； （2）的值． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式的解集______． 19. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E． （1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为3，BC＝4，求CE的长． 20. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B， （1）求证：△ADF∽△DEC （2）若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的长． 21. 某地区为了了解2020年初中毕业生毕业后的去向，对部分初三学生进行了抽样调查，就初三学生的四种去向：.读普通高中；.读职业高中.直接进入社会就业；.其它；进行数据统计，并绘制了两幅不完整的统计图（a）、（b），请问： （1）此次调查共调查了_________名初中毕业生； （2）将两幅统计图中不完整的部分补充完整； （3）老师想从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选择两位同学了解他们毕业后的去向情况，请用树状图或列表法求出同时选中甲和乙两同学的概率． 22. 如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=﹣x2+6x+3交y轴于点A，过A作AB∥x轴，交抛物线于点B，连结OB．点P为抛物线上AB上方的一个点，连结PA，作PQ⊥AB垂足为H，交OB于点Q． （1）求AB的长； （2）当∠APQ=∠B时，求点P的坐标； （3）当△APH面积是四边形AOQH面积的2倍时，求点P的坐标． 23. 如图，在中，，是高，平分，分别与相交于点 （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年安徽省宣城六中九年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． 根据可设，再代入计算即可得． 【详解】解：由题意，可设， 则， 故选：B． 2. 如图，在，，点D是边BC上的一点，且，，则a等于（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】证明△ABC∽△DAC得，然后列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴∠B=∠C 又∵， ∴∠C=∠DAC ∴△ABC∽△DAC ∴ ∴ 解得，或（舍去） 故选：A 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3. 如图，在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、求余弦值等知识，熟练掌握余弦的定义是解题关键．首先利用勾股定理求得的值，再根据余弦的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 4. 在某学校汉字听写大赛中，有21名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，要取前10名才能参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这21名同学成绩的(    ) A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】可知一共有21名同学参赛，要取前10名，因此只需知道这组数据的中位数即可. 【详解】解：∵ 有21名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，要取前10名才能参加决赛， ∴小颖是否能进入决赛，将21名同学的成绩从小到大排列，可知第11名同学的成绩是这组数据的中位数， ∴小颖要知道这组数据的中位数，就可知道自己是否进入决赛. 故答案为A 【点睛】本题考查了用中位数的意义解决实际问题．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 5. 小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（　　） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理的应用，勾股定理等知识，利用垂径定理确定圆心后，再利用勾股定理求出半径即可． 【详解】如图所示，作的中垂线，交点O就是圆心．连接， ∵， ∴O即为此圆形镜子的圆心， ∵， ∴． 故选：B． 6. 如图，⊙O中，弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm，则⊙O的半径长为（　　） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 【答案】C 【解析】 【分析】过点O作OC⊥AB于点C．根据垂径定理和勾股定理求解． 【详解】解：过点O作OC⊥AB于点C ∵弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm ∴OC=4，AC= AB=3 ∴OA==5cm 故选C． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，根据垂径定理构造直角三角形利用勾股定理是解题的关键． 7. 已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是（ ） A. 20πcm2 B. 20cm2 C. 40πcm2 D. 40cm2 【答案】A 【解析】 【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：圆锥的侧面积=2π×4×5÷2=20π． 故选A． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 8. 已知，关于的一元二次方程的解为，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可以将关于的方程的解为看作是二次函数与轴交点的横坐标，而与轴交点坐标可以通过二次函数的关系式求得，即可以求出与，当函数值时，就是抛物线位于轴上方的部分所对应的的取值范围，再根据，做出判断． 【详解】解：关于的一元二次方程的解为，可以看作二次函数与轴交点的横坐标， ∵二次函数与轴交点坐标为，如图： 当时，就是抛物线位于轴上方的部分，此时，或； 又∵ ∴； ∴， 故选A． 【点睛】考核知识点：二次函数和一元二次方程.数形结合分析问题是关键. 9. 如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＞0；②2a+b+c＞0；③a﹣b+c＜0；④x（ax+b）≤a+b．其中正确结论的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】由图像可知a＜0，c＞0，再根据对称轴为直线x＝1可得b与a的关系，则可判断①②的正误；然后分别利用二次函数的对称性及开口向下的抛物线在顶点处取得最大值可判断③④的正误，则问题得解． 【详解】解：由图像可知a＜0，c＞0， ∵对称轴为直线x＝1， ∴﹣＝1， ∴b＝﹣2a＞0， ∴abc＜0，故①错误； 2a+b+c＝2a﹣2a+c＝c＞0，故②正确； ∵对称轴为直线x＝1，当x＝3时，y＜0， ∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故③正确； ∵当x＝1时，y有最大值a+b+c， ∴x（ax+b）+c≤a+b+c． ∴x（ax+b）≤a+b，故④正确． 综上，正确的有②③④． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系、二次函数与其系数a、b、c的关系，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键． 10. 如图，点，，均在坐标轴上，，过，，作，是上任意一点，连结，，则的最大值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，如图，利用圆周角定理可判定点在上，易得，，，，，设，则，由于表示点到原点的距离，则当为直径时，点到原点的距离最大，由于为平分，则，利用点在圆上得到，则可计算出，从而得到的最大值． 【详解】解：连接，，如图， ， 为的直径， 点在上， ， ，，，，， 设， ， 而表示点到原点的距离， 当为直径时，点到原点的距离最大， 为平分， ， ， ， 即 ， 此时， 即的最大值是6． 故选：． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理等，作出辅助线，得到是解题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【详解】【分析】先根据勾股定理得到AB=2，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD． 【详解】∵∠ACB=90°，AC=BC=2， ∴AB=2， ∴S扇形ABD=， 又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE， ∴Rt△ADE≌Rt△ACB， ∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD=， 故答案为． 【点睛】本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算，得到S阴影部分 =S扇形ABD是解题的关键. 12. 如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座换水站，对坡面的绿地进行喷灌，现测得斜坡与水平面所成角的度数是，为使出水口的高度为，那么需要准备的水管的长为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，可以求得的长． 【详解】解：由题意可得，，，， ， 即需要准备的水管的长为， 故答案为： 13. 如图，在四边形ABCD中，点E在AD上，EC//AB，EB//DC，若△ABE面积为5 ， △ECD的面积为1，则△BCE的面积是________． 【答案】． 【解析】 【分析】由EC∥AB，EB∥DC，可得∠A=∠CED，∠AEB=∠D，证得△ABE与△ECD相似，由△ABE的面积为5，△CDE的面积为1，可得AB：CE=：1又由EC∥AB，可得△ABE与△BCE等高，然后由等高三角形的面积比等于对应底的比，求得△BCE的面积． 【详解】∵EC∥AB， ∴∠A=∠CED， ∵EB∥DC ∴∠AEB=∠D， ∴△ABE∽△ECD， ∴， ∴，， ∵△ABE以AB为底边的高与△BCE以CE为底的高相等， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方、等高三角形面积的比等于其对应底的比． 14. 如下图，正方形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P，使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”．若抛物线y=2x2﹣nx﹣n2﹣1是正方形ABCD的“友好抛物线”，则n的值为_____． 【答案】-3或6 【解析】 【分析】到A、B、C、D四个点距离都相等的点为AC、BD的交点点E，求出点E的坐标，将点E的坐标代入二次函数解析式，求出n的值即可. 【详解】连接AC、BD交于点E，作EF⊥AB交AB于点F， 由题意得，抛物线必经过点E， ∵A（﹣4，0），B（﹣2，0）， ∴AB=2，BO=2， ∵正方形ABCD， ∴∠ABE=45°，AE⊥BE，AE=BE， ∴AF=BF=EF=1， ∴E（﹣3，﹣1）， ∴﹣1=2×9+3n﹣n2﹣1， 解得n=﹣3或6. 故答案为﹣3或6. 【点睛】确定出到A、B、C、D四个点距离相等的点的位置是解题的关键. 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算： 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了实数运算、特殊角的三角函数值等知识点，根据相关知识化简各数是解题关键． 先利用绝对值的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 16. 已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是_______； （2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是_______； （3）△A2B2C2的面积是_______平方单位． 【答案】（1）（2，﹣2）； （2）（1，0）； （3）10． 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标； （2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标； （3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积． 【详解】（1）如图所示：C1（2，﹣2）； 故答案为（2，﹣2）； （2）如图所示：C2（1，0）； 故答案为（1，0）； （3）∵，，， ∴△A2B2C2是等腰直角三角形， ∴△A2B2C2的面积是：（平方单位）． 故答案为10． 【点睛】本题主要考查作图一平移变换和位似变换，解题的关键是掌握平移变换和位似变换的定义和性质． 17. 如图，在中，是边上的高，． 求：（1）线段的长； （2）的值． 【答案】（1）5；（2）． 【解析】 【分析】（1）在Rt△ABD中，由AD=12，sinB=，可求出AB，再根据勾股定理求出BD，进而求出CD； （2）作高，构造直角三角形，求出CE、AC即可，利用三角形的面积公式和勾股定理可求． 【详解】解：（1）∵AD是BC边上的高， ∴∠D=90°， 在Rt△ABD中， ∵sinB=， ∴， 又∵AD=12， ∴AB=15， ∴BD==9， 又∵BC=4， ∴CD=BD-BC=9-4=5； 答：线段CD的长为5； （2）如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E， ∵S△ABC=BC•AD=AB•CE ∴×4×12=×15×CE， ∴CE=， 在Rt△AEC中， ∴sin∠BAC=， 答：sin∠BAC的值为． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系和三角形的面积公式是解决问题的关键． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式的解集______． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数为；（2）或 【解析】 【分析】（1）把A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出反比例解析式，将B坐标代入求出n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值即可； （2）利用图象找出所求不等式的解集即可． 【详解】解：（1）∵反比例函数过， ∴， ∴反比例函数为， ∵反比例函数过， ∴， ∴点坐标， 把A与B代入一次函数解析式得：， 解得， ∴一次函数解析式为． （2）∵A（2，3），B（-3，-2）， ∴由图象得：的解集为或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数与一次函数性质是解本题的关键． 19. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E． （1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为3，BC＝4，求CE的长． 【答案】 （1）DE与⊙O相切 理由如下：连接OD ∵OB＝OD ∴∠OBD＝∠ODB ∵∠ABC的平分线交⊙O于点D， ∴∠ABD＝∠CBD ∴∠CBD＝∠ODB ∴OD∥BE ∵DE⊥BC于点E． ∴DE⊥OD ∴DE与⊙O相切 （2）EC＝1. 【解析】 【分析】（1）连接OD，由题意可得∠CBD=∠ODB=∠DBO，可得OD∥BE，可证DE⊥OD，即可证DE与⊙O相切； （2）过点D作DF⊥AB于点F，连接DC，由题意可证Rt△DFA≌Rt△DEC，Rt△DBF≌Rt△DBE，可得AF=EC，BF=BE，即可求EC的长． 【详解】解：（1）略 （2）过点D作DF⊥AB于点F，连接DC， ∵∠ABD＝∠CBD，DE⊥BE，DF⊥AB ∴DF＝DE， ∴AD＝CD ∵AD＝CD，DF＝DE ∴Rt△DFA≌Rt△DEC（HL） ∴AF＝EC ∵DF＝DE，DB＝DB ∴Rt△DBF≌Rt△DBE（HL） ∴BF＝BE ∵BA＝BF+AF＝BE+AF＝BC+EC+CE＝6 ∴4+2CE＝6 ∴EC＝1 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，全等三角形判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 20. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B， （1）求证：△ADF∽△DEC （2）若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC AB∥CD ∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180° ∵∠AFE+∠AFD=，∠AFE=∠B ∴∠AFD=∠C ∴△ADF∽△DEC （2）AF=2 【解析】 【详解】（1）略 (2)解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC CD=AB=4 又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD 在Rt△ADE中，DE= ∵△ADF∽△DEC ∴∴ ∴AF= 21. 某地区为了了解2020年初中毕业生毕业后的去向，对部分初三学生进行了抽样调查，就初三学生的四种去向：.读普通高中；.读职业高中.直接进入社会就业；.其它；进行数据统计，并绘制了两幅不完整的统计图（a）、（b），请问： （1）此次调查共调查了_________名初中毕业生； （2）将两幅统计图中不完整的部分补充完整； （3）老师想从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选择两位同学了解他们毕业后的去向情况，请用树状图或列表法求出同时选中甲和乙两同学的概率． 【答案】（1）100； （2）补全统计图如图； （3） 【解析】 【分析】（1）根据A的人数与所占的百分比列式进行计算即可得解； （2）求出B的人数，再求出C所占的百分比，然后补全统计图即可； （3）根据题意可以画出相应的树状图，共有12个等可能的结果，同时选中甲和乙两同学的结果有4个，由概率公式即可得出答案． 【详解】（1）40÷40%＝100（名）， 即此次调查共调查了100名初中毕业生， 故答案为：100； （2）B的人数：100×30%＝30（名）， C所占的百分比为：25%， （3）画树状图如下图： 共有12个等可能的结果，同时选中甲和乙两同学的结果有2个， ∴同时选中甲和乙两同学的概率为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率、条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22. 如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=﹣x2+6x+3交y轴于点A，过A作AB∥x轴，交抛物线于点B，连结OB．点P为抛物线上AB上方的一个点，连结PA，作PQ⊥AB垂足为H，交OB于点Q． （1）求AB的长； （2）当∠APQ=∠B时，求点P的坐标； （3）当△APH面积是四边形AOQH面积的2倍时，求点P的坐标． 【答案】（1）AB=6；（2）P（4，11）；（3）P（4，11）或P（3，12）． 【解析】 【分析】（1）先求得点A（0，3），令，解得x=0或6，故点B（6，3），即可求解； （2）证明△ABO～△HPA，则，即可求解； （3）当△APH的面积是四边形AOQH的面积的2倍时，则2（AO+HQ）=PH，即可求解． 【详解】解：（1）对于，令x=0，则y=3，故点A（0，3）， 令，解得x=0或6，故点B（6，3）， 故AB=6； （2）设P（，）， ∵∠APQ=∠B，∠AHP=∠OAB=90°， ∴△ABO～△HPA，故， ∴， 解得m=4． ∴P（4，11）； （3）当△APH的面积是四边形AOQH的面积的2倍时， 则2（AO+HQ）=PH， ∵HQ∥OA， ∴，即， ∴HQ=， ∴， 解得：m1=4，m2=3， ∴P（4，11）或P（3，12）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，图形的面积计算等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 23. 如图，在中，，是高，平分，分别与相交于点 （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 为边上的高， ， ， ， 是的平分线， ， （2） 证明：，， ， ， ， ， ， ， （3） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识， （1）根据两角对应相等两三角形相似即可判断． （2）首先证明，利用相似三角形的性质即可解决问题． （3）勾股定理求出，，利用相似三角形的性质求出，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作于 ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $