第06讲 圆与圆的对称性（垂径定理）（5大知识点+12大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（苏科版）

第06讲 圆与圆的对称性（垂径定理）（5大知识点+12大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 圆的基本概念辨析 题型二 求一点到圆上点距离的最值 题型三 圆的周长和面积问题 题型四 求圆弧的度数 题型五 判断点与圆的位置关系 题型六 判断点与圆的位置关系求半径 题型七 利用垂径定理求值 题型八 利用垂径定理求平行弦问题 题型九 利用垂径定理求解其他问题 题型十 垂径定理的推论 题型十一 垂径定理的实际应用 题型十二 利用弧、弦、圆心角的关系求解 知识点一．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点二．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点三．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 知识点四．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点五．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 【典型例题一 圆的基本概念辨析】 1．嘉嘉和琪琪两位同学一同攀岩，攀岩面都是由相同的圆组成的五环，且攀岩面上的所有圆大小都相同，攀爬点都是某个圆的八等分点．嘉嘉和琪琪的攀岩路径分别如图1，图2所示，若他们同时出发且攀岩速度相同，并都到达了最高点，则下列说法正确的是（    ） A．嘉嘉先完成 B．琪琪先完成 C．嘉嘉、琪琪同时完成 D．无法判断 2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．学校有一个圆形花坛，要求将它三等分，以便在上面种植三种不同的花，你认为下列所给图中符合设计要求的图案是 ．（将所有符合设计要求的图案序号填上） 4．如图，A，，是上三点，，，则的大小为 ． 5．下面是小方设计的“作等边三角形”的尺规作图过程． 已知：线段． 求作：等边三角形． 作法：如图， ①以点A为圆心，以的长为半径作； ②以点B为圆心，以的长为半径作，交于C； ③连接． 所以就是所求作的三角形． 根据小方设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵点B，C在上， ∴（_____________）（填推理的依据）． 同理∵点A，C在上， ∴． ∴______=_______=_______． ∴是等边三角形．（_____________）（填推理的依据）． 【典型例题二 求一点到圆上点距离的最值】 1．如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值是（    ） A．a B． C． D．b 2．在同一平面内，已知的半径为，圆心到直线的距离为，为圆上的一个动点，则点到直线的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 3．如果外一点到上所有点的距离中，最大距离是，最小距离是，那么 的半径长等于 ． 4．如图，已知和射线，动点在上，动点在射线上，．若的最小值为，最大值为，则的半径为 ． 5．若☉O的半径是12cm，OP=8cm，求点P到圆上各点的距离中最短距离和最长距离． 【典型例题三 圆的周长和面积问题】 1．小丽用圆规画了一个半径为的圆，小杰用的线围成一个圆．下列说法正确的是（     ） A．两个圆一样大 B．小杰围的圆大 C．小丽画的圆大 D．无法确定两个圆的大小 2．如果在一张长10厘米，宽8厘米的长方形纸片上剪一个最大的半圆，那么这个半圆的面积为（结果保留）（　　） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 3．已知一个大圆的面积是两个小圆的面积之和．如果大圆的半径为，两个小圆的半径分别为和，则 ． 4．如图，半径为的沿着边长为的正方形的边作无滑动地滚动一周回到原来的位置，自身转动的圈数是 ．（用含的代数式表示） 5．如图,一个运动场是由两个半圆形和一个长为米,宽为米的长方形构成（取）．    (1)求这个运动场的周长是多少米? (2)已知整个运动场由草坪和塑胶跑道组成,塑胶跑道和草坪的面积比为,每平方米塑胶的价格为元,比每平方米草坪的价格高,则购买铺满该运动场所需要的塑胶和草坪的总费用是多少元? 【典型例题四 求圆弧的度数】 1．下列命题中，正确的个数是（    ） （1）三点确定一个圆；（2）等弧所对的圆周角相等；（3）相等的圆心角所对的弧相等；（4）直径所对的圆周角是直角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，四个边长为2的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为2，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于（） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．如图，，是圆的两条相等的弦，弧，弧的度数分别为30度，120度，为劣弧上一点，则 °． 4．如图，在⊙O中， 点B是的中点，点D在上， 连接OA、OB、BD、CD．若∠AOB=50°，则∠BDC的大小为 ．    5．如图所示，若扇形DOE与扇形AOE的圆心角的度数之比为1：2．求这五个圆心角的度数． 【典型例题五 判断点与圆的位置关系】 1．在直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为，圆A的半径为2．下列说法中不正确的是（　　） A．当时，点B在圆A上 B．当时，点B在圆A外 C．当时，点B在圆A内 D．当时，点B在圆A内 2．如图，长方形中，，，圆半径为1，圆与圆内切，则点、与圆的位置关系是（　　） A．点在圆外，点在圆内 B．点在圆外，点在圆外 C．点在圆上，点在圆内 D．点在圆内，点在圆外 3．已知直径为，点P到圆心O的距离为，则点P在 . 4．如图，已知矩形的边，现以点为圆心作圆，如果至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么半径的取值范围是 ． 5．在矩形中，，． (1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 【典型例题六 判断点与圆的位置关系求半径】 1．已知的半径为7，点在外，则的长可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2．已知半径为，点为内一点，，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 3．在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，则的半径是 ． 4．一个点到圆的最小距离是，最大距离是，则这个圆的半径长为 ． 5．已知的半径是． （1）若，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为___，最长距离为___． （2）若，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为___，最长距离为___． （3）若P到圆上各点的距离中，最短距离为，则最长距离为___． 【典型例题七 利用垂径定理求值】 1．如图，的半径交弦于点，，，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，瓶内液体最大深度为，则液面宽的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，一圆形石拱桥的半径为，当水面宽为时，拱顶到水面的距离是 m． 4．图1为一个装有液体的圆底烧瓶(厚度忽略不计)，侧面示意图如图2，其液体水平宽度为，竖直高度为，则的半径为 ． 5．如图，是的直径，弦于点E．若，求弦的长． 【典型例题八 利用垂径定理求平行弦问题】 1．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 2．如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分 3．在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为 ． 4．⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为 ． 5．如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 【典型例题九 利用垂径定理求解其他问题】 1．下列命题中，假命题的个数有（    ） ①有理数与数轴上的点一一对应； ②过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ④对角线互相垂直的四边形是菱形； ⑤两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列命题正确的有（    ） ①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦；②垂直于弦的直线平分弦；③平分弦的直线必平分弦所对的两条弧；④与直径不垂直的弦不能被该直径平分；⑤平分弦的直径必平分弦所对的两条弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D、E，则的最大值为 ． 4．如图1，舞台地面上有一段以点O为圆心的，主持人要站在的中点C的位置上．他想：只要从点O出发，沿着与弦AB垂直的方向走到上，就能找到的中点 ．他的想法是正确的．请你先在图2中画出点C（不要求尺规作图），再写出确定点C所用方法的依据（填写定理原文） ． 5．如图，内接于，于点，于点，求证：． 【典型例题十 垂径定理的推论】 1．如图，在中，，以为直径的交于点，交的延长线于点，若点在的垂直平分线上，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，点在上，直径于点，下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，是的弦，半径经过的中点．若，则的大小为 ． 4．如图， 的直径，C是圆O上一点，点D平分，，则弦 5．如图，是的中点，． (1)求的度数； (2)求线段的长度． 【典型例题十一 垂径定理的实际应用】 1．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 2．唐代李皋发明了“桨轮船”，他设计的桨轮船在船的舷侧或尾部装有带有桨叶的桨轮，通过人力踩动桨轮轴来推动船体前进．这种船的桨轮下半部浸入水中上半部露出水面，因其推进方式类似车轮，故又被称为“桨轮船”或“轮船”．如图，该桨轮船的轮子的横截面为，轮子被水面截得线段长为，轮子的吃水深度长为，则该桨轮船轮子半径为（    ） A． B． C． D． 3．道县西洲公园是由一座三孔石拱桥将西洲与潇水西岸连在一起的．图为石拱桥的中孔侧面图，拱是圆弧形，桥的跨径所在弦，拱高，则拱所在圆的半径为 m． 4．如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，则拱门所在圆半径的长为 分米． 5．石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，半径，垂足为，拱高（弧的中点到弦的距离）．求这座石拱桥主桥拱的半径． 【典型例题十二 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 1．对于命题：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；②如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等．下列判断正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 2．如图，已知点A、B、C、D都在上，，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，，，则的大小为 ． 4．如图，已知是的直径， ，，那么弧度数等于 ． 5．如图，为的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长交于点F．若，求的长． 【变式训练1 圆的基本概念辨析】 1．下列命题中真命题的个数是（    ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ②同角的余角相等 ③垂直于同一条直线的两直线平行 ④长度相等的弧是等弧 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，点，，，都在上，，，，则 度． 3．如图，的顶点B、C在上，与分别交于D、E两点，连结，且．    (1)证明：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【变式训练2 求一点到圆上点距离的最值】 1．已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点，交于一点，则当取得最大值时，的值为（    ）    A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点P坐标为，点Q为图形M上一点，则我们将线段长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”．现有，O为原点，半径为2，则点P视角下的“宽度”为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，，，的半径为4，P为上任意一点，C是的中点，则的最大值是 ．      【变式训练3 圆的周长和面积问题】 1．设计师想用长的木材做一个花园边界，有如图1、图2、图3三种可能的设计：      其中合理的设计方案有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．平面内，长为的线段绕着端点旋转一周，线段的中点M所经过的路径长为 3．为了落实“二十大”报告精神，办人民满意教育，决定重新修建学校运动场，设计图如下：两端是半圆形，中间是长方形．（ 取 ） (1)求这个运动场的周长． (2)求这个运动场的面积． (3)已知整个运动场由草坪和塑胶跑道组成，塑胶跑道和草坪的面积比是 ： ，每平方米草坪的价格是元，比每平方米塑胶的价格低，则购买铺满该运动场所需要的塑胶和草坪的总费用是多少元？ 【变式训练4 求圆弧的度数】 1．如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦 ． 3．如图所示，以O为圆心的两个同心圆，小圆半径为1，大圆半径为，用6条直径将两个圆12等分，点A在大圆等分点上，点B在小圆等分点上，且． （1）将绕点O顺时针旋转得，请在图甲中画出． （2）将绕点O顺时针旋转得，使边第一次经过点B，请在图乙中画出． 【变式训练5 判断点与圆的位置关系】 1．如图，在直角坐标系中，存在三个定点分别为，，，顺次连接，现添加一点，使得，那么的长不可能为（    ） A．4 B．7 C．11 D．15 2．的圆心是原点，半径为13，点在上，那么 ． 3．已知点P到的最长距离为，最短距离为．试求的半径长． 【变式训练6 判断点与圆的位置关系求半径】 1．圆外一点到圆上各点的最短距离为3，最长距离为9，那么这个圆的半径为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在中，．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在内且点B在外时，r的取值范围是 ． 3．如图，某海域以点A为圆心、为半径的圆形区域为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富，渔船要从点B处前往A处进行捕鱼，B、A两点之间的距离是，如果渔船始终保持的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？ 【变式训练7 利用垂径定理求值】 1．如图，是的直径，是的弦，且，，则的度数为（　）    A． B． C． D． 2．温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为 米． 3．如图，为的直径，于E，，求的长． 【变式训练8 利用垂径定理求平行弦问题】 1．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（   ） A．1.2 m B．1.4 m C．1.6 m D．1.8 m 2．半径为10的⊙O中，两条平行弦AB、CD的长分别为12和16，则AB与CD距离为 ． 3．已知的半径为，弦，，，求与间的距离． 【变式训练9 利用垂径定理求解其他问题】 1．如图，将放在每个小正方形的边长为2的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是（    ） A．2 B． C．3 D． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ，半径为 ． 3．请用无刻度的直尺在以下两个图中画出线段BC的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，等腰内接于中，； (2)如图②，已知四边形为矩形，点A、D在圆上，与分别交于点E、F． 【变式训练10 垂径定理的推论】 1．如图，是的直径，是非直径的弦，与相交于点M．从以下四个条件中任取一个，其中不能得到的有（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知是的弦，点C在上，且，分别连接，并延长，交弦于点D，，，若点E在上，，则的长为 ．    3．如图，是的两条弦． （1）如果，那么__________，___________． （2）如果，那么__________，___________． （3）如果，那么__________，___________． （4）如果，垂足分别为与相等吗？为什么？ 【变式训练11 垂径定理的实际应用】 1．如图的工件槽的两个底角均为，尺寸如图（单位），将形状规则的圆形铁片（如图所示）放入槽内，若同时有三个接触点，则该圆形铁片的半径是（    ） A． B． C． D． 2．.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图 1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图 2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 ． 3．如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，求截面圆中弦的长． 【变式训练12 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 1．已知是的弦，若，，则所对的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，的半径是8，是的直径，M为上一动点，，则的最小值为 ． 3．如图所示，是圆O的一条弦，是圆O直径，垂足为． (1)若，求的度数； (2)若，，求圆O的半径长． 1．（23-24九年级上·广东中山·期末）平面内，已知的半径是，线段，则点（　　） A．在外 B．在上 C．在内 D．不能确定 2．（2024·陕西西安·二模）如图，把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则截面的半径等于（    ） A． B． C． D． 3．（2024·云南楚雄·三模）如图，是的直径，是的弦，且，的半径等于5，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（2024·浙江绍兴·二模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（    ）    A． B． C． D． 5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为（    ）    A．3 B． C． D． 6．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知直径为8，点到点距离为4，则点在 ．（填“上、内或外”） 7．（2024·山东菏泽·三模）如图，是的半径，弦于点，连接．若的半径为，的长为，则的长是 ． 8．（2024·浙江台州·二模）如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深cm，锯道cm，则这根圆柱形木材的半径是 cm． 9．（2024·宁夏石嘴山·一模）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为7，则赵州桥主桥拱半径约为 （结果保留整数） 10．（2024·江苏泰州·一模）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点B，点C，当，时，大圆与小圆的面积之差为 ．    11．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，是的直径，是圆心，是圆上一点，且，是延长线上一点，与圆交于另一点，且，求的度数． 12．（2024九年级下·全国·专题练习）已知点、、、在上，，判断弦与是否相等，并说明理由． 13．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，中，弦，相交于点，． (1)比较与的长度，并证明你的结论； (2)求证：． 14．（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 15．（23-24九年级下·安徽安庆·开学考试）如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接． (1)若，求的直径； (2)若，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 圆与圆的对称性（垂径定理）（5大知识点+12大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 圆的基本概念辨析 题型二 求一点到圆上点距离的最值 题型三 圆的周长和面积问题 题型四 求圆弧的度数 题型五 判断点与圆的位置关系 题型六 判断点与圆的位置关系求半径 题型七 利用垂径定理求值 题型八 利用垂径定理求平行弦问题 题型九 利用垂径定理求解其他问题 题型十 垂径定理的推论 题型十一 垂径定理的实际应用 题型十二 利用弧、弦、圆心角的关系求解 知识点一．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点二．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点三．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 知识点四．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点五．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 【典型例题一 圆的基本概念辨析】 1．嘉嘉和琪琪两位同学一同攀岩，攀岩面都是由相同的圆组成的五环，且攀岩面上的所有圆大小都相同，攀爬点都是某个圆的八等分点．嘉嘉和琪琪的攀岩路径分别如图1，图2所示，若他们同时出发且攀岩速度相同，并都到达了最高点，则下列说法正确的是（    ） A．嘉嘉先完成 B．琪琪先完成 C．嘉嘉、琪琪同时完成 D．无法判断 【答案】B 【分析】题目主要考查三角形三边关系及圆的基本性质，理解题意，根据题意得出，，然后再利用三角形三边关系即可求解． 【详解】解：如图所示标注字母， ∵攀爬点都是某个圆的八等分点． ∴由图得，， ∴比较与的大小即可， 在中，， ∴嘉嘉的攀岩路程大于琪琪的攀岩路程， ∵他们同时出发且攀岩速度相同， ∴琪琪先完成， 故选：B． 2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是寻找对称中心，旋转后与自身重合．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：第1个图形既是轴对称又是中心对称图形，第2个图形既不是轴对称又不是中心对称图形，第3个图形是轴对称但不是中心对称图形，第4个图形既是轴对称又是中心对称图形， 综上可知，共有2个图形既是轴对称又是中心对称图形． 故选：B． 3．学校有一个圆形花坛，要求将它三等分，以便在上面种植三种不同的花，你认为下列所给图中符合设计要求的图案是 ．（将所有符合设计要求的图案序号填上） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了圆的基本性质，根据圆的旋转不变性即可解决． 【详解】解：∵要求将它三等分 ∴①是不正确的； ②和③都是首先把圆三等分， 根据圆的旋转不变性，在每一部分内做了相同的图形； ④是把圆六等分，每一种占其中的2份． ∴②③④符合要求． 故答案为：②③④ 4．如图，A，，是上三点，，，则的大小为 ． 【答案】/140度 【分析】本题主要考查了圆的认识，熟练掌握掌握圆的性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键． 连接，如图，利用等腰三角形的性质得到，，然后计算即可． 【详解】如图，连接， ， ， ， ， ． 故答案为． 5．下面是小方设计的“作等边三角形”的尺规作图过程． 已知：线段． 求作：等边三角形． 作法：如图， ①以点A为圆心，以的长为半径作； ②以点B为圆心，以的长为半径作，交于C； ③连接． 所以就是所求作的三角形． 根据小方设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵点B，C在上， ∴（_____________）（填推理的依据）． 同理∵点A，C在上， ∴． ∴______=_______=_______． ∴是等边三角形．（_____________）（填推理的依据）． 【答案】(1)见解析； (2)同圆的半径相等；；三边都相等的三角形是等边三角形． 【分析】本题考查了尺规作图：作等边三角形，圆的基体性质，等边三角形的判定等知识； （1）按照题干要求补全画图即可； （2）根据同圆的半径相等可分别得到、，从而可得等边三角形． 【详解】（1）解：如图， （2）解：完成下面的证明． 证明：∵点B，C在上， ∴（同圆的半径相等）． 同理∵点A，C在⊙B上， ∴． ∴． ∴是等边三角形．（三边都相等的三角形是等边三角形）． 故答案为：同圆的半径相等；；三边都相等的三角形是等边三角形． 【典型例题二 求一点到圆上点距离的最值】 1．如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值是（    ） A．a B． C． D．b 【答案】B 【分析】此题主要考查线段长度的最值， 只有空间站A与星球B、飞船C在同一直线上，且点C在之间时，S取到最小值，据此求解即可． 【详解】解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最小值． 故选：B． 2．在同一平面内，已知的半径为，圆心到直线的距离为，为圆上的一个动点，则点到直线的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据题意可知圆上的点到直线的最短距离为，最长距离为，据此判断即可，掌握直线与圆的位置与圆心到直线的距离之间的关系是解题的关键． 【详解】解：如图，    由题意得，，， 当点在的延长线与的交点时，点到直线的距离最大， 此时，点到直线的最大距离是， 当点在与的交点时，点到直线的距离最小， 此时，点到直线的最小距离是， 点到直线的距离， 故点到直线的距离不可能是， 故选：． 3．如果外一点到上所有点的距离中，最大距离是，最小距离是，那么 的半径长等于 ． 【答案】 【分析】根据最大距离与最小距离之差等于直径即可得． 【详解】解：外一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是， 的半径长等于， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，理解最大距离与最小距离之间的关系是解题关键． 4．如图，已知和射线，动点在上，动点在射线上，．若的最小值为，最大值为，则的半径为 ． 【答案】7 【分析】本题考查圆外一点到圆上一点的距离，勾股定理，根据，得到当时，最长，当时，最短，利用的长为定值，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当，最长，此时最长， 当，最短，此时最短，如图： 设半径为， 当，即：， 由勾股定理，得：， 当，即：， 由勾股定理，得：， ∴， 解得：； 故答案为：7． 5．若☉O的半径是12cm，OP=8cm，求点P到圆上各点的距离中最短距离和最长距离． 【答案】4cm，20cm 【分析】依据题意画出图形，则到圆上点的最短距离和最长距离即可确定． 【详解】解：如图，∵点P到圆心的距离OP＜r， ∴点P在圆内， 点P到圆上各点的距离中最短距离为：12-8=4(cm)； 最长距离为：12+8=20(cm)． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，正确进行讨论是关键． 【典型例题三 圆的周长和面积问题】 1．小丽用圆规画了一个半径为的圆，小杰用的线围成一个圆．下列说法正确的是（     ） A．两个圆一样大 B．小杰围的圆大 C．小丽画的圆大 D．无法确定两个圆的大小 【答案】A 【分析】首先求得小丽用圆规画的圆的周长，再与相比较，即可判定． 【详解】解：小丽用圆规画的圆的半径为， 小丽用圆规画的圆的周长为：， 小丽与小杰所得的圆一样大， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的周长公式，熟练掌握和运用圆的周长公式是解决本题的关键． 2．如果在一张长10厘米，宽8厘米的长方形纸片上剪一个最大的半圆，那么这个半圆的面积为（结果保留）（　　） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】C 【分析】分别以8厘米和10厘米为直径作半圆，求出面积，比较即可得到答案． 【详解】解：若以8厘米为直径作半圆，则半圆的面积为平方厘米 若以10厘米为直径作半圆，则半圆的面积为平方厘米， 故选：C． 【点睛】此题考查了圆的面积计算公式，熟记公式是解题的关键． 3．已知一个大圆的面积是两个小圆的面积之和．如果大圆的半径为，两个小圆的半径分别为和，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的基础知识，掌握圆面积的计算方法是解题的关键． 根据小圆的半径，计算出两个小圆的面积，再根据一个大圆的面积是两个小圆的面积之和，由此即可求解． 【详解】解：已知两个小圆的半径分别为和， ∴两个小圆的面积之和为：， ∵一个大圆的面积是两个小圆的面积之和，大圆的半径为， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为： ． 4．如图，半径为的沿着边长为的正方形的边作无滑动地滚动一周回到原来的位置，自身转动的圈数是 ．（用含的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查圆的基础知识，根据正方形的边长可得正方形的周长，结合圆的周长计算，即可求解，掌握圆的基础知识是解题的关键． 【详解】解：的周长为：，正方形的周长为：， ∴自身转动的圈数是， 故答案为：． 5．如图,一个运动场是由两个半圆形和一个长为米,宽为米的长方形构成（取）．    (1)求这个运动场的周长是多少米? (2)已知整个运动场由草坪和塑胶跑道组成,塑胶跑道和草坪的面积比为,每平方米塑胶的价格为元,比每平方米草坪的价格高,则购买铺满该运动场所需要的塑胶和草坪的总费用是多少元? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用圆周长公式及矩形周长公式解答即可; （2）根据题意利用圆面积公式及矩形面积公式解答即可． 【详解】（1）解:∵一个运动场是由两个半圆形和一个长为米,宽为米的长方形构成, ∴运动场的周长为:（米）, 故答案为:． （2）解:根据题意,运动场是由两个半圆形和一个长为米,宽为米的长方形构成, ∴运动场的面积为:（平方米）, ∵塑胶跑道和草坪的面积比为, ∴塑胶跑道面积为：（平方米）, ∴草坪面积为：（平方米）, ∵每平方米塑胶的价格为元,比每平方米草坪的价格高, ∴每平方米草坪的价格为:（元）, ∴总费用为:（元）, 故答案为:． 【点睛】本题考查圆周长计算,矩形周长计算,圆面积计算,矩形面积计算． 【典型例题四 求圆弧的度数】 1．下列命题中，正确的个数是（    ） （1）三点确定一个圆；（2）等弧所对的圆周角相等；（3）相等的圆心角所对的弧相等；（4）直径所对的圆周角是直角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据确定圆的条件、圆周角定理、等弧的定义分别判断即可． 【详解】解：（1）不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误； （2）等弧所对的圆周角相等，故正确； （3）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误； （4）直径所对的圆周角是直角，故正确； 故选B． 【点睛】本题考查了确定圆的条件、圆周角定理、等弧的定义，属于基础知识，要熟悉课本中的性质定理． 2．如图，四个边长为2的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为2，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于（） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【分析】根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解． 【详解】解： 故选：B 【点睛】本题考查了圆周角和圆心角的有关知识．根据正方形的性质得到圆心角的度数是解题的关键． 3．如图，，是圆的两条相等的弦，弧，弧的度数分别为30度，120度，为劣弧上一点，则 °． 【答案】127.5 【分析】分别连接OA，OB，OC，OD，根据圆心角定理可求得∠AOD和∠BOC的度数；再根据弦AB=CD，可求得∠AOB和∠COD的度数；最后根据圆周角定理可求得∠APB的度数． 【详解】解：连接OA，OB，OC，OD，如图所示． ∵和的度数分别是30°和120°， ∴∠AOD=30°，∠BOC=120°． ∵AB=CD， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆心角定理，圆心角、弧、弦之间的关系的定理，圆周角定理等知识点，熟知上述定理是解题的关键． 4．如图，在⊙O中， 点B是的中点，点D在上， 连接OA、OB、BD、CD．若∠AOB=50°，则∠BDC的大小为 ．    【答案】25° 【分析】连接OC，利用得到∠AOB＝∠BOC＝50°，然后根据圆周角定理得到∠BDC的度数． 【详解】解：如图，连接OC．    ∵点B是的中点， ∴． ∴∠AOB＝∠BOC＝50°， ∵∠BDC＝∠BOC＝25°． 故答案为：25°． 【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角、圆心角的性质是解答此题的关键． 5．如图所示，若扇形DOE与扇形AOE的圆心角的度数之比为1：2．求这五个圆心角的度数． 【答案】54°，90°，108°，36°，72° 【分析】求出每个扇形所占的百分比，再根据所有扇形所对应的圆心角的和为360°，按比例进行计算即可． 【详解】解：由题意得，扇形DOE所占的百分比为：（1﹣30%﹣25%﹣15%）×＝10%， 扇形AOE所占的百分比为：（1﹣30%﹣25%﹣15%）×＝20%， ∴∠AOB＝360°×15%＝54°， ∠BOC＝360°×25%＝90°， ∠COD＝360°×30%＝108°， ∠DOE＝360°×10%＝36°， ∠AOE＝360°×20%＝72°， 答：这五个圆心角的度数依次为54°，90°，108°，36°，72°． 【点睛】本题考查求圆心角度数，求出各个扇形所占的百分比是正确解答的关键． 【典型例题五 判断点与圆的位置关系】 1．在直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为，圆A的半径为2．下列说法中不正确的是（　　） A．当时，点B在圆A上 B．当时，点B在圆A外 C．当时，点B在圆A内 D．当时，点B在圆A内 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系和坐标与图形性质的应用，当时，点在圆上，当时，点在圆外，当时，点在圆内．画出图形，根据的坐标和圆的半径求出圆与轴的交点坐标，根据已知和交点坐标即可求出答案． 【详解】解：如图： ，的半径是2， ， ，， A、当时，点在上，即在上，正确，故本选项不合题意； B、当时，，即说点在圆外正确，故本选项不合题意； C、当时，在外，即说当时，点在圆内错误，故本选项符合题意； D、当时，在内正确，故本选项不合题意； 故选：C． 2．如图，长方形中，，，圆半径为1，圆与圆内切，则点、与圆的位置关系是（　　） A．点在圆外，点在圆内 B．点在圆外，点在圆外 C．点在圆上，点在圆内 D．点在圆内，点在圆外 【答案】C 【分析】两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，得圆的半径等于5，由勾股定理得，由点与圆的位置关系，可得结论．本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置． 【详解】解：两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值， 设圆的半径为， 则：， ，圆半径为1， ，即圆的半径等于5， ，， 由勾股定理可知， ，， 点在圆上，点在圆内， 故选：C． 3．已知直径为，点P到圆心O的距离为，则点P在 . 【答案】外 【分析】根据题意，圆的半径为，结合，解答即可，本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握法则是解题的关键. 【详解】根据题意，得圆的半径为， 因为， 故点P在圆的外部， 故答案为：外. 4．如图，已知矩形的边，现以点为圆心作圆，如果至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么半径的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，掌握点与圆的位置关系有3种，设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外； ②点在圆上；③点在圆内是解题的关键．根据勾股定理求出的长，根据点与圆的位置关系即可得出答案． 【详解】解：如图，连结，， 四边形是矩形， ， ， 以点为圆心作圆，如果、、至少有一点在圆内， ， 至少有一点在圆外， ， 半径的取值范围是：． 故答案为：． 5．在矩形中，，． (1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 【答案】(1)点在内，点在外，点在上 (2) 【分析】（1）根据点到圆的位置关系，比较与圆的半径之间的大小关系，即可得解； （2）根据题意，和点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，即可得解． 【详解】（1）解：连接， ，， ， 的半径为8， 点在内，点在外，点在上； （2）解：，，， 又以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， 的半径的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，判断点与圆的位置关系，是解题的关键． 【典型例题六 判断点与圆的位置关系求半径】 1．已知的半径为7，点在外，则的长可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系得出即可，熟记点与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵的半径为7，点在外， ∴， ∴5、6、7都不符合，只有8符合题意， 故选：D． 2．已知半径为，点为内一点，，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系，即可求解． 【详解】解：∵半径为，点为内一点，， ∴． 故选：B 3．在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，则的半径是 ． 【答案】3或8 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 由题意知，分点在内，点在外两种情况求解即可． 【详解】解：由题意知，分点在内，点在外两种情况求解； 当点在内，如图1， ∴， ∴， ∴半径为8； 当点在外，如图2， ∴， ∴， ∴半径为3； 综上所述，的半径是3或8； 故答案为：3或8． 4．一个点到圆的最小距离是，最大距离是，则这个圆的半径长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了点与圆的位置关系以及分类讨论思想的运用，注意要分两种情况进行解答．分两种情况：①当此点在圆内；②当此点在圆外；分别求出半径即可． 【详解】解：设此点为P点，圆为，最大距离为PB，最小距离为， ∵此点与圆心的连线所在的直线与圆的交点即为此点到圆心的最大、最小距离点， ∴有两种情况： ①当点P在圆内时，如图所示， 半径； ②当点P在圆外时，如图所示， 半径． 综上可知，圆的半径为或． 故答案为：或． 5．已知的半径是． （1）若，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为___，最长距离为___． （2）若，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为___，最长距离为___． （3）若P到圆上各点的距离中，最短距离为，则最长距离为___． 【答案】（1），；（2），；（3）或． 【分析】（1）首先确定P与圆的位置关系，则到圆上点的最短距离和最长距离即可确定； （2）首先确定P与圆的位置关系，则到圆上点的最短距离和最长距离即可确定； （3）分成P在圆内部和外部两种情况进行讨论即可求解． 【详解】解：（1），则P在圆内部，点P到圆上各点的距离中，最短距离是，最长距离是． 故答案是：，； （2），则点P在圆的外部，到圆上各点的距离中，最短距离为，最长距离是． 故答案是：，； （3）当P在圆内部时，最长距离是， 当P在圆外时，最长距离是． 故答案是或． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，正确进行讨论是关键． 【典型例题七 利用垂径定理求值】 1．如图，的半径交弦于点，，，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 已知：，在中，，利用勾股定理得到，所以． 【详解】解：， 半径于点， 在中，， ， ， 故选D． 2．化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，瓶内液体最大深度为，则液面宽的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，掌握求解的方法是解题的关键． 过点向下作于点，交于点，连接，根据垂径定理得出，根据计算，利用勾股定理计算，最后根据得出答案即可． 【详解】解：如图，过点向下作于点，交于点，连接， ∴，， ∵半径为，瓶内液体最大深度为， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．如图，一圆形石拱桥的半径为，当水面宽为时，拱顶到水面的距离是 m． 【答案】8 【分析】本题主要考查垂径定理的应用，根据垂径定理、勾股定理求出，进而求出即可． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即石拱桥的桥顶到水面的距离为， 故答案为：8． 4．图1为一个装有液体的圆底烧瓶(厚度忽略不计)，侧面示意图如图2，其液体水平宽度为，竖直高度为，则的半径为 ． 【答案】10 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理． 由垂径定理得到，设的半径为，则，，在中，根据勾股定理有，代入即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 设的半径为，则， ∴， ∵在中，， 即， 解得：， ∴的半径为． 故答案为：10． 5．如图，是的直径，弦于点E．若，求弦的长． 【答案】 【分析】 本题主要考查了垂径定理，勾股定理，先由垂径定理得到，再在中由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：是的直径，． ，， ， ， 在中，由勾股定理得： ∴， ∴（负值舍去） ． 【典型例题八 利用垂径定理求平行弦问题】 1．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 2．如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分 【答案】C 【分析】根据垂径定理的内容和垂径定理的推论的内容进行判断． 【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意； B、垂直于弦的直径平分弦，原说法错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过圆心，原说法正确，符合题意； D、若也是直径，则原说法不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理以及推论，解答时熟悉垂径定理的内容以及推论的内容是关键． 3．在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为 ． 【答案】或/7或1 【分析】如图，，，过点作于，交于点，连，根据垂径定理得，由于，，则，根据垂径定理得，然后利用勾股定理可计算出，再进行讨论即可求解． 【详解】解：如图，，， 过点作于，交于点，连， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中， ， 同理可得， 当圆心在与之间时，与的距离； 当圆心不在与之间时，与的距离． 故答案为7或1． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 4．⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为 ． 【答案】1cm或7cm． 【分析】分两种情况：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；分别作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1 ∵AB＝8cm，CD＝6cm， ∴AE＝4cm，CF＝3cm， ∵OA＝OC＝5cm， ∴EO＝3cm，OF＝4cm， ∴EF＝4−3＝1cm； ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2， ∵AB＝8cm，CD＝6cm， ∴AE＝4cm，CF＝3cm， ∵OA＝OC＝5cm， ∴EO＝3cm，OF＝4cm， ∴EF＝OF＋OE＝7cm． ∴AB与CD之间的距离为1cm或7cm． 故填1cm或7cm． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用垂径定理以及分类讨论思想和数形结合思想是解答本题的关键． 5．如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论； （2）证明，由垂径定理可得结论． 【详解】（1）证明：如图，连接，    过点，为的中点， ． （2）证明：延长交于．   ，， ． 过点， ， 垂直平分， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键． 【典型例题九 利用垂径定理求解其他问题】 1．下列命题中，假命题的个数有（    ） ①有理数与数轴上的点一一对应； ②过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ④对角线互相垂直的四边形是菱形； ⑤两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了判断真假命题，根据实数与数轴，垂径定理，垂线的性质，菱形的判定，平行线的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①实数与数轴上的点一一对应，故原命题是假命题； ②过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，故原命题是假命题； ③平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故原命题是假命题； ④对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题是假命题； ⑤两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题是假命题． 故选：D． 2．下列命题正确的有（    ） ①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦；②垂直于弦的直线平分弦；③平分弦的直线必平分弦所对的两条弧；④与直径不垂直的弦不能被该直径平分；⑤平分弦的直径必平分弦所对的两条弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理：熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．根据垂径定理对①进行判断；根据垂径定理的推论对②③④⑤进行判断． 【详解】解：一条直线如果具备经过圆心、垂直于弦、平分弦（不是直径）、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧这五条中的任意两条，必然具备其余三条． ①该直线满足平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧两个条件，所以①正确； ②只满足其中的一个条件，所以不正确； ③不满足条件，所以不正确； ④⑤要考虑到特殊情况，条件中的弦有可能是直径，所以不正确． 故选：A． 3．如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D、E，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接，由可知当最小时，最大；又，故当最小时，最大；所以当时满足题意，据此即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， 为的半径，其值一定， ∴当最小时，最大， ∵ ∴当最小时，最大， ∵点C在上移动， ∴当时，最小 此时，点与点（或点）重合，点与点（或点）重合， ∴的最大值为 故答案为： 【点睛】本题考查了垂径定理的相关知识点，得出当时，最小，最大，也最大是解题关键． 4．如图1，舞台地面上有一段以点O为圆心的，主持人要站在的中点C的位置上．他想：只要从点O出发，沿着与弦AB垂直的方向走到上，就能找到的中点 ．他的想法是正确的．请你先在图2中画出点C（不要求尺规作图），再写出确定点C所用方法的依据（填写定理原文） ． 【答案】图见详解，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 【分析】连接AB，过O作AB的垂线交弧AB于点C，进而问题可求解． 【详解】解：连接AB，过O作AB的垂线交弧AB于点C，如图所示： ∴确定点C所用方法的依据是垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧； 故答案为垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 【点睛】本题主要考查垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 5．如图，内接于，于点，于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂径定理，中位线的性质； 根据垂径定理，可得分别是的中点，进而根据中位线的性质，即可得证． 【详解】解：∵内接于，于点，于点， ∴ ∴是的中位线， ∴． 【典型例题十 垂径定理的推论】 1．如图，在中，，以为直径的交于点，交的延长线于点，若点在的垂直平分线上，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理以及垂直平分线的性质．过点作于点，由点在的垂直平分线上可知，直线必过圆心，再根据直角三角形的性质求出的度数；根据得出的度数，根据等腰三角形的性质得出的度数，由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：过点作于点，连接，    点在的垂直平分线上， ∴，直线必过圆心，， ， ， ， ， ． 故选：A． 2．如图，点在上，直径于点，下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是垂径定理．由题意可知为垂直于弦的直径，根据垂径定理即可做出正确的判断． 【详解】解：根据为的直径，且，垂足为，则是垂直于弦的直径，满足垂径定理． 所以是的垂直平分线， 因而，，，都是正确的． 所以选项B、不一定成立． 故选：B． 3．如图，是的弦，半径经过的中点．若，则的大小为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，熟知等腰三角形的性质以及直角三角形的性质是解本题的关键．根据垂径定理的推理得，再利用三线合一及直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵半径经过的中点． ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 4．如图， 的直径，C是圆O上一点，点D平分，，则弦 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，三角形中位线定理．由题意可知点D平分， 为的中位线，根据直径求出半径，进而求出的长度，再根据中位线原理即可解答． 【详解】解：∵点D平分， ∴平分， ∴为的中位线， ∴， 又∵ 的直径， ∴， ∵， ∴， ∴弦， 故答案为：． 5．如图，是的中点，． (1)求的度数； (2)求线段的长度． 【答案】(1)30° (2) 【分析】（1）根据等边对等角以及三角形内角和定理，结合已知条件可得，即可求解； （2）延长交于点，根据题意以及垂径定理的推论，可得，，进而勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接 , ∴, ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴, ∵, ∴, 即, ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于点， ∵是的中点， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，垂径定理及其推论，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 【典型例题十一 垂径定理的实际应用】 1．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为，连接．   中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故轮子的半径为， 故选：C． 2．唐代李皋发明了“桨轮船”，他设计的桨轮船在船的舷侧或尾部装有带有桨叶的桨轮，通过人力踩动桨轮轴来推动船体前进．这种船的桨轮下半部浸入水中上半部露出水面，因其推进方式类似车轮，故又被称为“桨轮船”或“轮船”．如图，该桨轮船的轮子的横截面为，轮子被水面截得线段长为，轮子的吃水深度长为，则该桨轮船轮子半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理可得，设该桨轮船轮子的半径为，则，，在中，根据勾股定理即可列出方程，求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 题意可得， ∵过圆心，且， ∴， 设该桨轮船轮子的半径为，则，， ∵在中，， 即， 解得， ∴该桨轮船轮子半径为. 故选：C． 3．道县西洲公园是由一座三孔石拱桥将西洲与潇水西岸连在一起的．图为石拱桥的中孔侧面图，拱是圆弧形，桥的跨径所在弦，拱高，则拱所在圆的半径为 m． 【答案】 【分析】将拱形图进行补充，构造直角三角形，利用勾股定理和垂径定理解答．本题考查了垂径定理和勾股定理；这两大定理是在圆有关运算中经常用到的． 【详解】解：依题意，拱桥的跨度，拱高， ， 利用勾股定理可得： ， 即 解得． 即圆弧半径为． 故答案为： 4．如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，则拱门所在圆半径的长为 分米． 【答案】15 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，连接，根据垂径定理求得分米，设圆的半径为分米，则分米，米，根据勾股定理即可求得，进而可得答案． 【详解】解：连接， ∵过圆心，为的中点， ∴， ∵分米，C为的中点， ∴分米， 设圆的半径为x分米，则分米， ∵分米， ∴分米， 在中，由勾股定理， ∴， ∴， 即拱门所在圆的半径是15分米． 故答案为：15． 5．石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，半径，垂足为，拱高（弧的中点到弦的距离）．求这座石拱桥主桥拱的半径． 【答案】这座石拱桥主桥拱的半径为 【分析】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键；连接，设，然后根据勾股定理可建立方程求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， 设，则有， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴这座石拱桥主桥拱的半径为． 【典型例题十二 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 1．对于命题：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；②如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等．下列判断正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【答案】A 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据圆心角、弧、弦的关系定理判断即可． 【详解】解：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，故本小题说法是真命题； ②在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，故本小题说法是假命题 故选：A． 2．如图，已知点A、B、C、D都在上，，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，解题关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和垂径定理，可以得到，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴，，故A正确；， ∴， , ∴，故B正确；, ∴，故C错误； ∵， ∴，故D正确； 故选：C． 3．如图，是的直径，，，则的大小为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中等弧所对的圆心角相等得到，再由平角的定义即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，已知是的直径， ，，那么弧度数等于 ． 【答案】/54度 【分析】本题主要考了圆心角、弧、弦的关系．注意掌握数形结合思想的应用． 根据圆心角与弧的关系可求得的度数，从而即可求解． 【详解】∵ ∴， ∴， ∴， ∴弧度数等于． 故答案为：． 5．如图，为的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长交于点F．若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键．根据点是弧的中点，得到；根据为的直径，，得到，从而得到，得到，得到 【详解】解：∵， ∴． ∵点D是的中点， ∴． ∴． ∴． ∴． 【变式训练1 圆的基本概念辨析】 1．下列命题中真命题的个数是（    ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ②同角的余角相等 ③垂直于同一条直线的两直线平行 ④长度相等的弧是等弧 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了判断命题真假，根据平行线公理，余角的性质，圆的基本概念，逐一判断即可． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题； ②同角的余角相等，原命题是真命题； ③同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，原命题是假命题； ④只有在同圆或等圆中，弧长相等的弧才是等弧，原命题是假命题； ∴真命题有1个， 故选：A． 2．如图，点，，，都在上，，，，则 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边对等角，三角形内角和定理，连接，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，，进而根据周角的定义求出，则由等边对等角可得． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图，的顶点B、C在上，与分别交于D、E两点，连结，且．    (1)证明：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆的基本元素，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质： （1）证明，可得，即可求证； （2）根据，可得的度数，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ∵ ∴， ∴， ， 即是等腰三角形． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练2 求一点到圆上点距离的最值】 1．已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点，交于一点，则当取得最大值时，的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直线上点的坐标特征，圆外一点到圆上点距离的最大值；由题意知，当圆心I在线段上，取得最大值，把点I的坐标代入中，即可求得k的值． 【详解】解：由题意知，当圆心I在线段上，取得最大值， 此时直线过点I， 把点I坐标代入中，得：， 解得：； 故选：D． 2．在平面直角坐标系中，点P坐标为，点Q为图形M上一点，则我们将线段长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”．现有，O为原点，半径为2，则点P视角下的“宽度”为 ． 【答案】4 【分析】连接PA，PB，连接PO并延长，交⊙O于点E，F，利用图形的“宽度”的定义分别求出这点到图形的长度的最大值与最小值即可得出结论． 【详解】解：连接PA，PB，连接PO并延长，交⊙O于点E，F，如图， 则PE，PF为点P到⊙O的长度的最大值与最小值， ∴在点P视角下，⊙O的“宽度”为PF−PE＝EF＝4. 故答案为：4． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，本题是新定义型题目，熟练运用新定义是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，，，的半径为4，P为上任意一点，C是的中点，则的最大值是 ．      【答案】7 【分析】连接，取的中点H，连接．利用三角形的中位线定理可得，推出点C的运动轨迹是以H为圆心半径为2的圆，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，取的中点H，连接、．    ∵，， 的半径为4， ∴， ∴点C的运动轨迹是以H为圆心半径为2的圆， ∵，， ∴ ∴， ∴的最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点C的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题． 【变式训练3 圆的周长和面积问题】 1．设计师想用长的木材做一个花园边界，有如图1、图2、图3三种可能的设计：      其中合理的设计方案有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】分别计算出3个图形的周长进行判断即可． 【详解】解：图1的周长为：，所以这个设计是合理的； 图2的周长为：，所以这个设计是合理的； 图3的周长为：，所以这个设计是合理的； ∴合理的设计方案有3个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了图形的周长计算，正确掌握计算方法是解答本题的关键． 2．平面内，长为的线段绕着端点旋转一周，线段的中点M所经过的路径长为 【答案】 【分析】先分析出M的路径是圆，根据题意求出圆M的周长即可．本题考查圆的相关性质，得到M的轨迹是解题的关键。 【详解】解：由题意得P的路径是O为圆心，5为半径的圆， 则中点M的路径是O为圆心，为半径的圆， 所以圆M的周长为， 故答案为：． 3．为了落实“二十大”报告精神，办人民满意教育，决定重新修建学校运动场，设计图如下：两端是半圆形，中间是长方形．（ 取 ） (1)求这个运动场的周长． (2)求这个运动场的面积． (3)已知整个运动场由草坪和塑胶跑道组成，塑胶跑道和草坪的面积比是 ： ，每平方米草坪的价格是元，比每平方米塑胶的价格低，则购买铺满该运动场所需要的塑胶和草坪的总费用是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)（元） 【分析】（1）用长方形的两条长边加上一个圆的周长即可； （2）用长方形的面积加上圆的面积； （3）根据等量关系列方程求出塑胶的单价，然后按比例分配求出塑胶跑道的面积和草坪的面积，进而求得结果； 【详解】（1）解：运动场的周长： 答：这个运动场的周长为米． （2）解：运动场的面积： 答：运动场的面积为： （3）解：设平方米塑胶的价格为元 根据题意得： 解得： 该运动场塑胶跑道的面积为： 该运动场草坪的面积为： 故总费用为： （元） 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，圆的基本知识；熟练根据等量关系列方程式解题的关键． 【变式训练4 求圆弧的度数】 1．如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，圆心角等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 如图，连接，由三角形内角和求，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为， 故选：C． 2．如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦 ． 【答案】8 【分析】本题考查圆心角定理，等边三角形的判定． 连接，，则，由点A，B分别为半圆O上的三等分点，，从而是等边三角形，根据等边三角形的三边相等即可解答． 【详解】解：连接，， 则， ∵点A，B分别为半圆O上的三等分点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：8 3．如图所示，以O为圆心的两个同心圆，小圆半径为1，大圆半径为，用6条直径将两个圆12等分，点A在大圆等分点上，点B在小圆等分点上，且． （1）将绕点O顺时针旋转得，请在图甲中画出． （2）将绕点O顺时针旋转得，使边第一次经过点B，请在图乙中画出． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）由于圆被12等分，可得每小格为30°，则120°为4小格，据此画图即可； （2）计算出AB=2，根据经过点B，可知点B为A2B2中点，从而得到旋转角，画出图形即可． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求． （2）AB=， 如图所示，即为所求． 【点睛】本题考查了旋转作图，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质，根据题意确定旋转角． 【变式训练5 判断点与圆的位置关系】 1．如图，在直角坐标系中，存在三个定点分别为，，，顺次连接，现添加一点，使得，那么的长不可能为（    ） A．4 B．7 C．11 D．15 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，确定点所处的位置是解题关键．首先根据点的坐标，确定，由题意可知点在以点为圆心，以5为半径的圆上，然后确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵，，， ∴，，， ∴， 由题意可知，， 则点在以点为圆心，以5为半径的圆上， ∴当点在线段上时，取最小值， 此时， 当点在线段的延长线上时，取最大值， 此时， ∴的取值范围为， ∴的长不可能是4，选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 2．的圆心是原点，半径为13，点在上，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理．根据题意画出图形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，过点作轴，    则， 根据勾股定理可得， 点或， ． 故答案为：． 3．已知点P到的最长距离为，最短距离为．试求的半径长． 【答案】或 【分析】分两种情况进行讨论：①点P在圆内；②点P在圆外，进行计算即可 【详解】解：①当P在外时，如图， ∵P当的最长距离是为，最短距离为， ∴， ∴， ∴的半径为'； 当P在内时， ， 此时， 的半径为． 即的半径长为或． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，分类讨论是解此题的关键． 【变式训练6 判断点与圆的位置关系求半径】 1．圆外一点到圆上各点的最短距离为3，最长距离为9，那么这个圆的半径为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，过这个点和圆心的直线与圆的两个交点得到这个点到圆周上一点的最长距离和最短距离，则它们的差为圆的直径，由此计算出直径，即可得出答案． 【详解】解：∵圆外一点到圆上各点的最短距离为3，最长距离为9， ∴的直径， ∴半径为3； 故选：B． 2．如图，在中，．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在内且点B在外时，r的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．先利用勾股定理可得，再根据“点C在内且点B在”可得，由此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵点C在内且点B在， ∴． 故答案为：． 3．如图，某海域以点A为圆心、为半径的圆形区域为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富，渔船要从点B处前往A处进行捕鱼，B、A两点之间的距离是，如果渔船始终保持的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？ 【答案】到之间，渔船是安全的；渔船进入危险区域 【分析】先根据题意求出的长度，再根据时间=路程÷速度可得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 由， 知到之间，渔船是安全的；渔船进入危险区域 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 【变式训练7 利用垂径定理求值】 1．如图，是的直径，是的弦，且，，则的度数为（　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆的性质及应用，解题的关键是掌握垂径定理及推论． 证明，利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵是直径，， ， ， ， 故选：D． 2．温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为 米． 【答案】20 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，找出石拱桥圆弧形的圆心，连接，设半径为米，则米，由垂径定理可得米，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，找出石拱桥圆弧形的圆心，连接， ， 设半径为米，则米， ∵跨度为24米，， ∴米， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴这个弧形石拱桥设计的半径为米， 故答案为：． 3．如图，为的直径，于E，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．连接，如图，先计算出，再利用垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵，为的直径， ∴， 在中，， ∴． 【变式训练8 利用垂径定理求平行弦问题】 1．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（   ） A．1.2 m B．1.4 m C．1.6 m D．1.8 m 【答案】C 【分析】先根据垂径定理和勾股定理求出OE的长，再根据垂径定理求出CF，即可得出结论. 【详解】如图 作OE⊥AB于点E，交CD于F ∵AB=1.2，OE⊥AB，OA=1 ∴OE=0.8m ∵水管水面上升了0.2米， ∴OF=OE-EF=0.8-0.2=0.6m ∴m ∴CD=1.6m 故选C 【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理是解题关键. 2．半径为10的⊙O中，两条平行弦AB、CD的长分别为12和16，则AB与CD距离为 ． 【答案】2或14/14或2 【分析】过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，如图，利用平行线的性质得OF⊥CD，则根据垂径定理得到AE＝BE＝AB＝6，CF＝DF＝CD＝8，再利用勾股定理计算出OE＝8，OF＝6，然后分类讨论：当点O在AB和CD之间时，EF＝OE＋OF＝14，当点O不在AB和CD之间时，EF＝OE−OF＝2． 【详解】解：过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，如图， ∵AB∥CD， ∴OF⊥CD， ∴AE＝BE＝AB＝6，CF＝DF＝CD＝8， 在Rt△AOE中，OE＝＝8， 在Rt△OCF中，OF＝， 当点O在AB和CD之间时，EF＝OE＋OF＝8＋6＝14， 当点O不在AB和CD之间时，EF＝OE−OF＝8−6＝2， ∴AB、CD之间的距离为2或14． 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论思想的应用． 3．已知的半径为，弦，，，求与间的距离． 【答案】或 【分析】有两种情况，即AB，CD在圆心O的同侧或两侧两种情况，需分类讨论． 【详解】解：如图①，过作于交于，连接，， ， ； 由垂径定理得，， ，， ； 如图②，过作于，于，连接，， 同理可得，， 当，在圆心的两侧时， ， 与的距离为或． 【点睛】此题主要考查的是勾股定理及垂径定理的应用，需注意AB、CD的位置关系有两种，不要漏解． 【变式训练9 利用垂径定理求解其他问题】 1．如图，将放在每个小正方形的边长为2的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，得出外接圆圆心位置是解题关键．根据题意得出的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理求出半径即可． 【详解】解：如图所示：点O为外接圆圆心，则为外接圆半径， 故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：． 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ，半径为 ． 【答案】 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示， 则圆心是． 根据勾股定理得，． ∴半径为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”． 3．请用无刻度的直尺在以下两个图中画出线段BC的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，等腰内接于中，； (2)如图②，已知四边形为矩形，点A、D在圆上，与分别交于点E、F． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查的是作图，主要涉及等腰三角形的性质、垂径定理、矩形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相关的知识解决问题． （1）如图，作直线即可，即为所求； （2）连接交于点O，连接交于点H，连接即可． 【详解】（1）如图①，作直线即可，即为所求； （2）如图②，连接交于点O，连接交于点H， 连接即可，直线即为所求． 【变式训练10 垂径定理的推论】 1．如图，是的直径，是非直径的弦，与相交于点M．从以下四个条件中任取一个，其中不能得到的有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理的逆定理，解题的关键是掌握垂径定理的逆定理．“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”． 【详解】解：A．∵，是的直径，是非直径的弦， ∴，故A不符合题意； B．根据无法判断，故B符合题意； C．∵，是的直径，是非直径的弦， ∴，故C不符合题意； D．∵，是的直径，是非直径的弦， ∴，故D不符合题意． 故选：B． 2．如图，已知是的弦，点C在上，且，分别连接，并延长，交弦于点D，，，若点E在上，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，勾股定理，全等三角形的判定与性质，连接，证垂直平分，在中通过勾股定理求出半径，再由证明，即可得到． 【详解】连接，    ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在中 ∴， 解得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，是的两条弦． （1）如果，那么__________，___________． （2）如果，那么__________，___________． （3）如果，那么__________，___________． （4）如果，垂足分别为与相等吗？为什么？ 【答案】（1），∠AOB＝∠COD；（2）AB＝CD；∠AOB＝∠COD；（3）AB＝CD，；（4）OE与OF相等；见解析 【分析】（1）、（2）、（3）利用圆心角、弧、弦的关系直接求解； （4）先利用垂径定理得到AE＝BE，CF＝DF，而AB＝CD，则AE＝CF，然后利用勾股定理可判断OE＝OF． 【详解】（1）如果AB＝CD，那么，∠AOB＝∠COD； （2）如果，那么∠AOB＝∠COD；AB＝CD； （3）如果∠AOB＝∠COD，那么，AB＝CD； （4）OE与OF相等．理由如下： ∵OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F， ∴AE＝BE，CF＝DF， 而AB＝CD， ∴AE＝CF， ∵OE＝ OF＝，OA=OC， ∴OE＝OF． 故答案为：（1），∠AOB＝∠COD；（2）AB＝CD；∠AOB＝∠COD；（3）AB＝CD，． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理． 【变式训练11 垂径定理的实际应用】 1．如图的工件槽的两个底角均为，尺寸如图（单位），将形状规则的圆形铁片（如图所示）放入槽内，若同时有三个接触点，则该圆形铁片的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识．设圆心为O点，连接，交于C，则，由垂径定理得，设的半径为，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：设圆心为O点，连接、、，交于C，如图， 由题意得：，，E为的中点， 则， ∴， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即该球的半径是． 故选：A． 2．.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图 1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图 2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 ． 【答案】 【分析】此题考查垂径定理，解题关键在于作辅助线利用勾股定理进行计算．根据题意作于，交于点，再利用勾股定理得出，即可解答． 【详解】解：作于，交于点， 在中，， ， ， 筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为， 故答案为：3． 3．如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，求截面圆中弦的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，由垂径定理得到，根据线段之间的关系得到，再由勾股定理得到，则． 【详解】解：由题意得：， ∴，， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【变式训练12 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 1．已知是的弦，若，，则所对的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆的有关性质及勾股定理，由题意得，，根据勾股定理求得，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， ， 所对的圆心角的度数为 故选：D 2．如图，的半径是8，是的直径，M为上一动点，，则的最小值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理．作点关于的对称点，连接与相交于点，根据轴对称确定最短路线问题，点为的最小值时的位置，根据垂径定理可得，然后求出为直径，从而得解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接与相交于点， 此时，点为的最小值时的位置， 由垂径定理，， ∴， ∵，为直径， ∴为直径．则． 故答案为：16． 3．如图所示，是圆O的一条弦，是圆O直径，垂足为． (1)若，求的度数； (2)若，，求圆O的半径长． 【答案】(1)的度数是； (2)圆的半径长为． 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据垂径定理可得，从而可得，即可解答； （2）根据垂径定理可得，然后设圆的半径长为，再在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1） 解：是圆的一条弦，， ， ， 的度数是； （2） 解：是圆的一条弦，， ， 设圆的半径长为， 在中，， ， ， ∴圆的半径长为． 1．（23-24九年级上·广东中山·期末）平面内，已知的半径是，线段，则点（　　） A．在外 B．在上 C．在内 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，当点与圆心的距离大于半径时，点在圆外；当点与圆心的距离等于半径时，点在圆上；当点与圆心的距离小于半径时，点在圆内；由此判断即可． 【详解】解： 的半径是，线段， 点到圆心的距离小于半径， 点在内． 故选：C． 2．（2024·陕西西安·二模）如图，把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则截面的半径等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用、矩形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，设球的平面投影圆心为O，过点O作于点N，延长交于点M，连接由垂径定理得设，则，然后在中，由勾股定理求出的长即可， 【详解】解：设球的平面投影圆心为O，过点O作于点N，延长交于点M，连接，如图所示∶ 则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， ∴ 在中，由勾股定理得∶ ， 即∶’， 解得∶ 即截面的半径长是． 故选∶C． 3．（2024·云南楚雄·三模）如图，是的直径，是的弦，且，的半径等于5，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，先根据，得出，结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是的直径，是的弦，且 ∴ 则 ∴ 故选：C 4．（2024·浙江绍兴·二模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，，过圆心，连接，，     ， ∵， ， ，， 设， ， ，， ， ， ， ， ， 纸杯的直径为． 故选：B． 5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为（    ）    A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理．根据题意过点作于点，连接，从而得出是等腰直角三角形，结合图形由线段之间的关系推出，从而利用勾股定理推出，再由垂径定理得到，从而推出． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，   ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， ． 故选：C． 6．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知直径为8，点到点距离为4，则点在 ．（填“上、内或外”） 【答案】上 【分析】本题考查点与圆的位置关系． 若⊙O的半径为，一点P和圆心O的距离为，当时，点P在⊙O上；当时，点P在⊙O内；当时，点P在⊙O外．熟记相关结论即可． 【详解】解：由题意得：⊙O的半径, ∵点到点距离为4， ∴点在上, 故答案为：上 7．（2024·山东菏泽·三模）如图，是的半径，弦于点，连接．若的半径为，的长为，则的长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是连接半径，构建直角三角形，列方程解决问题．根据垂径定理和勾股定理列方程即可． 【详解】解：，， ，， ， ， 或（舍去）， 的长是， 故答案为：3． 8．（2024·浙江台州·二模）如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深cm，锯道cm，则这根圆柱形木材的半径是 cm． 【答案】10 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理的应用．设圆心为，连接，依题得，为的中点，则三点共线，，设圆的半径为，由，则，再用勾股定理列出等量关系求解即可． 【详解】解：如图，设圆心为，连接， 依题得，为的中点 则三点共线， 设圆的半径为，由，则 在中，由勾股定理得 解得． 故答案为：10． 9．（2024·宁夏石嘴山·一模）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为7，则赵州桥主桥拱半径约为 （结果保留整数） 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R， ， 是半径，且， ， 在中，， ， 解得：， 故答案为：． 10．（2024·江苏泰州·一模）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点B，点C，当，时，大圆与小圆的面积之差为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，平方差公式和圆的面积，连接，作于点E，根据垂径定理得，，再根据圆的面积公式，勾股定理和平方差公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，作于点E，则，，    ∴ ∴ 大圆与小圆的面积之差为： ． 故答案为：． 11．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，是的直径，是圆心，是圆上一点，且，是延长线上一点，与圆交于另一点，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解答本题的关键． 连接，利用等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及等量代换得到，由三角形外角性质可得，进而求解即可． 【详解】如图，连接 ． ∵，， ∴， ∴， ∴． 又∵ ， ∴， ∴ ∴， ∴． 12．（2024九年级下·全国·专题练习）已知点、、、在上，，判断弦与是否相等，并说明理由． 【答案】相等，理由见解析 【分析】本题考查了在同圆和等圆中弧和弦的关系，根据等量加或减等量还是等量，得出，然后根据在同圆和等圆中等弧所对的弦相等即可证得． 【详解】相等． 证明：， ，或， ， ． 13．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，中，弦，相交于点，． (1)比较与的长度，并证明你的结论； (2)求证：． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质． （1）由圆心角、弧、弦的关系推出，即可得到． （2）由证明，即可推出． 【详解】（1）解：与的长度相等，理由如下： ， ， ， ； （2）证明：在和中， ， ， ． 14．（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，则； （2）因为所以，即结合，得出E、O都在的垂直平分线上，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴， 即． ∴． （2）证明：连接    ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴E、O都在的垂直平分线上． ∴ 15．（23-24九年级下·安徽安庆·开学考试）如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接． (1)若，求的直径； (2)若，求的度数． 【答案】(1)40 (2) 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． （1）设⊙O的半径为，根据垂径定理，由得到，在中，利用勾股定理得，解得，所以的直径为20； （2）由得到，根据三角形外角性质得，则，加上，所以，然后解方程即可得的度数； 【详解】（1）解：∵，， ∴， 设， 又∵， ∴，                                解得： ∴的直径是40． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$