第11讲 弧长与扇形面积（2大知识点+9大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（苏科版）

第11讲 弧长与扇形面积（2大知识点+9大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 弧长和扇形面积 题型二 求弧长 题型三 求扇形半径 题型四 求圆心角 题型五 求某点的弧形运动路径长度 题型六 求扇形面积 题型七 求图形旋转后扫过的面积 题型八 求弓形面积 题型九 求其他不规则图形的面积 知识点一．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点二．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 【典型例题一 弧长和扇形面积】 1．点，，在上的位置如图所示，，的半径为3，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点A、B、C在圆上，，的半径的长为2，则劣弧的长是（　　） A． B． C． D． 3．一个扇形的弧长是π，半径是2，则此扇形的圆心角为 度． 4．一个扇形的弧长为，这条弧所对的圆心角为，则这个扇形的面积为 ． 5．如图，扇形的圆心角是为，四边形是边长为1的正方形，点，分别在，，在弧上，求图中阴影部分的面积．（结果保留π） 【典型例题二 求弧长】 1．若扇形的半径为6，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．中国古代的文人士大夫喜欢在折扇上题词作画，即使折扇受损失去其纳凉功能，也会被人们揭裱保存成为收藏品．如图是一把题了字画的折扇，折扇的骨柄长为，折扇张开后的扇形圆心角为，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．若圆锥的底面半径为3，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的母线长是 ． 4．已知扇形的半径是5，圆心角是，则扇形的弧长为 ．（结果保留） 5．如图，在中，，以边为直径的与边分别交于点D、E．求的长． 【典型例题三 求扇形半径】 1．已知一条圆弧的度数为，弧长为，则此圆弧的半径为（　　） A．15 B．30 C． D． 2．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为1，扇形的圆心角等于90°，则扇形的半径是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为 ． 4．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形的圆心角等于，则扇形的半径是 ．    5．已知圆上一段弧长为，它所对的圆心角为，求该圆的半径． 【典型例题四 求圆心角】 1．如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品被传送，则为（    ） A．90 B．108 C．120 D．无法判断 2．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（    ） A． B． C． D． 3．在半径为的圆上有一段弧，弧长是，则该弧所对的圆周角的度数为 ． 4．已知扇形的半径为6，面积为，则它的圆心角为 度． 5．半径为的圆，一圆心角所对的弧长为，这个圆心角多少度？ 【典型例题五 求某点的弧形运动路径长度】 1．如图，在扇形纸片中，，，在桌面内的直线上，将扇形沿按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当第一次落在上时，停止旋转，则旋转过程中点O所经过的路线长为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，一个半径为的定滑轮由绳索带动重物上升，如果该定滑轮逆时针旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，那么重物上升的高度是（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 3．如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动．则重物上升了 ．（结果保留） 4．如图，一个半径长为1厘米的半圆面，将它沿直线作顺时针方向翻动，翻动一周，那么圆心所经过的路程是 厘米． 5．如图，在中，，且点的坐标为 (1)画出绕点逆时针旋转后的． (2)求点旋转到点所经过的路线长（结果保留） 【典型例题六 求扇形面积】 1．如图，正方形的边长为4，分别以点A，C为圆心，长为半径画弧，分别交对角线于点E，F，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以A为圆心，，夹角为，的长为，扇面的长为，则扇面的面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，，以点A为圆心，为半径画弧与交于点E，再以B为圆心，为半径画弧，刚好与也交于点E，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）． 4．如图①是某汽车的雨刮器，图②是雨刮器摆动的示意图．已知雨刮器的半径，刷子的长度．当雨刮器摆动时，最大旋转角，则雨刮器的刷子扫过的面积（图中阴影部分）为 （结果保留）． 5．如图，在中，，延长到点D，以为直径作，交的延长线于点E，延长到点F，使． (1)求证；是的切线； (2)若，求扇形的面积（结果保留π）． 【典型例题七 求图形旋转后扫过的面积】 1．贵州毕节风车草原成为近年来网红打卡地，云海风车更是吸引着全国各地的游客前来参观．风车扇叶示意图如图所示，扇叶的长为20米，当扇叶旋转至位置时，扇叶扫过的面积为（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 2．如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，中，是直角，，，将以点为中心顺时针旋转，使点旋转到边延长线上的处，则边扫过的图形中阴影部分的面积是 ． 4．如图为风力发电机的示意图，叶片外端A到旋转中心O的距离为20米，叶片当前在塔筒左侧且与塔筒夹角为．当叶片从当前位置顺时针旋转到点A与塔筒底端B距离最大时，叶片扫过的面积至少为 平方米．（结果保留） 5．如图，已知是等边三角形，边长为8，将绕点O顺时针旋转． (1)用尺规作出旋转后的三角形； (2)求点C的对应点的坐标； (3)求线段扫过的面积． 【典型例题八 求弓形面积】 1．《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积（弦矢矢）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦，“矢”指半径长与圆心O到弦的距离（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（    ） A．80 B．100 C．104 D．128 2．如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，在中，，，分别以的边为直径画半圆，则阴影部分的面积是 ． 4．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C三个点均在格点上，连接，并作，过点B．则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 5．如图所示， 以平行四边形的顶点A为圆心，为半径作圆，分别交，于点，， 延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求阴影部分弓形的面积． 【典型例题九 求其他不规则图形的面积】 1．如图，是的直径，弦，垂足为点，，，则图中阴影部分面积等于（      ） A． B． C． D． 2．如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，将其抽象绘制成右图所示的两个有公共圆心O的扇形，若， 则阴影部分面积为（   ）    A． B． C． D． 3．如图，在扇形中，，点为半径的中点，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，点为弧的中点，连接、．若，则阴影部分的面积为 ． 4．如图所示，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧长，以为直径作半圆，则阴影部分的面积为 ． 5．如图（1）是瓦片做成的窗花，可以从中分离出一朵“花”的图案，如图（2），它是由八片相同的瓦片组成，其中间四片“对扣”，外围截面恰好抽象成一个圆，如图（3），点A，B，C，D表示瓦片的交接点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)若厘米，求图（3）中阴影部分的面积．（结果保留π） 【变式训练1 弧长和扇形面积】 1．如图1所示，点C 是半圆上一个动点，点 C 从点 A 开始向终点 B 运动的整个过程中， 的长l与时间t（秒）的函数关系如图2所示，则点C 运动3秒时，扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，为圆O直径，且，点P为弧上一点，连接，将半圆沿直线折叠，使折叠后的圆弧恰好经过圆心O，则图中阴影部分的周长为 cm    3．如图，是的弦，切于点， 垂足为，是的半径，且， (1)求证：平分； (2)若点是弦所对的优弧上一点，且，求图中阴影部分面积（计算结果保留）． 【变式训练2 求弧长】 1．如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，是某十字路口机动车转弯时的示意图，设计转弯半径，转弯角度，大型机动车实际转弯时，转弯半径，转弯角度，则大型机动车转弯实际行驶路程（的长）与设计转弯行驶路程（的长）的差为 （结果保留）． 3．如图，在中，是直径，点C是圆上一点，在的延长线上取一点D，连接，使．    (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长（结果保留）． 【变式训练3 求扇形半径】 1．传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，该款裙子可以近似地看作扇环，如图2所示，其中，长度为米，长度为米，则裙长AB为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．一个扇形的面积是，圆心角是，则此扇形的半径是 ． 3．一弧长为18.84厘米，所对的圆心角为270°，求该弧所在圆的半径．（取3.14） 【变式训练4 求圆心角】 1．一个扇形的弧长是，半径是4，则该扇形的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如果一个扇形的弧长等于它所在圆周长的，那么此扇形称为“最美扇形”．那么“最美扇形”的圆心角是 度． 3．把一个圆分成三个扇形，其圆心角的度数之比为，求这三个扇形中最小的圆心角度数． 【变式训练5 求某点的弧形运动路径长度】 1．如图，一块含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到三角板的位置，若，则顶点A在旋转过程中所经过的路径长为（    ）    A． B． C． D． 2．已知钟面上的分针长9厘米，那么分针针尖经过40分钟滑过的弧线长为 厘米（结果保留）． 3．如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐 标系，的顶点均在格点上，点O 为原点，点A， B 的坐标分别是A，B    (1)若将向下平移3个单位，则点B 的对应点坐标为 ． (2)将绕点O 逆时针旋转后得到，请在图中作出，并求出这时点的坐标为 ． (3)求旋转过程中，线段扫过的图形的弧长． 【变式训练6 求扇形面积】 1．如图，在中，，若进行下列操作：①将 绕点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧；②以A为圆心，线段为半径得到弧，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图，是边长均为6的正八边形和正六边形的组合图形，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则阴影部分的弧长是 ． 3．如图，扇形的圆心角为，半径为． (1)求出此扇形的面积． (2)若将此扇形围成一个圆锥的侧面（不计接缝），求圆锥的底面半径． 【变式训练7 求图形旋转后扫过的面积】 1．如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 2．在平面内，将长度为6 的线段绕端点 A 按顺时针方向旋转，则线段扫过的图形的面积为 ． (结果保留) 3．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将绕原点顺时针方向旋转得到，画出． (2)在（1）的基础上，点旋转路径的长为______，线段扫过的区域面积为______． 【变式训练8 求弓形面积】 1．如图，是的直径，是的弦，连接，，若直径，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，有一个半径为的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过点和点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为 结果保留．    3．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积（弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长的弧田． （1）计算弧田的实际面积． （2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米?（取近似值为3，近似值为1.7） 【变式训练9 求其他不规则图形的面积】 1．如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在 中， ，半径为2的圆O与的各边均相切，连接，，则图中阴影部分的面积为 ．    3．如图，为的直径，的顶点D在上，边交于点C． (1)从①与相切；②；③是的平分线中选择合适的两个作为已知条件，余下的一个作为结论，编制一道题目，并完成证明过程； (2)在（1）的前提下，过点D作于点F，若，，求图中阴影部分的面积． 1．（2024·浙江温州·一模）点，，在上的位置如图所示，，的半径为3，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西阳泉·三模）荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画．将其视为如图2的扇形环面（由扇形挖去扇形），，的长度是，的长度是，则该环形荷花装饰挂画的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山西阳泉·模拟预测）中国古代的文人士大夫喜欢在折扇上题词作画，即使折扇受损失去其纳凉功能，也会被人们揭裱保存成为收藏品．如图是一把题了字画的折扇，折扇的骨柄长为，折扇张开后的扇形圆心角为，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏苏州·一模）如图，在中，点A、B、C在圆上，，的半径的长为2，则劣弧的长是（　　） A． B． C． D． 5．（2024·河南驻马店·二模）如图1所示，点C 是半圆上一个动点，点 C 从点 A 开始向终点 B 运动的整个过程中， 的长l与时间t（秒）的函数关系如图2所示，则点C 运动3秒时，扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·广东东莞·模拟预测）已知扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的弧长是 ． 7．（2024·青海果洛·二模）如图，，，两两不相交且半径都是3，则图中三个阴影扇形的弧长之和为 ． 8．（2024·四川自贡·中考真题）龚扇是自贡“小三绝”之一．为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图）．扇形外侧两竹条夹角为．长，扇面的边长为，则扇面面积为 （结果保留）． 9．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在扇形中，，点为半径的中点，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，点为弧的中点，连接、．若，则阴影部分的面积为 ． 10．（2024·湖南长沙·一模）如图，已知，，观察图中尺规作图痕迹，判断P点位置，求弧的长度．    11．（23-24九年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，以边为直径的与边分别交于点D、E．求的长． 12．（23-24九年级下·福建福州·阶段练习）如图，在中，是直径，点C是圆上一点，在的延长线上取一点D，连接，使．    (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长（结果保留）． 13．（2023·浙江金华·二模）如图，已知是半圆的直径，且，是半圆上任意一点（不与点、重合），沿着弦折叠半圆． (1)如图①，当折叠后的弧与相切时，求线段的长； (2)如图②，当时，求阴影部分的面积． 14．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点D，交于点E． (1)若点E是弧中点，求的长． (2)若，求弧的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 弧长与扇形面积（2大知识点+9大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 弧长和扇形面积 题型二 求弧长 题型三 求扇形半径 题型四 求圆心角 题型五 求某点的弧形运动路径长度 题型六 求扇形面积 题型七 求图形旋转后扫过的面积 题型八 求弓形面积 题型九 求其他不规则图形的面积 知识点一．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点二．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 【典型例题一 弧长和扇形面积】 1．点，，在上的位置如图所示，，的半径为3，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长计算公式，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握弧长公式，先根据圆周角定理求出，然后根据弧长计算公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的长为：， 故选：B． 2．如图，在中，点A、B、C在圆上，，的半径的长为2，则劣弧的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，先根据圆周角定理可得出，再根据弧长公式计算即可．解题关键是掌握弧长公式． 【详解】解：， ， 的半径是2， 劣弧的长是． 故选：B． 3．一个扇形的弧长是π，半径是2，则此扇形的圆心角为 度． 【答案】90 【分析】本题考查了弧长公式的计算问题．直接利用弧长公式，代入弧长，半径的值即可求解． 【详解】解：这里，，代入得，， 解得， 故答案为：90． 4．一个扇形的弧长为，这条弧所对的圆心角为，则这个扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是弧长公式以及扇形的面积公式．先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为r，则， 解得：， ∴扇形的面积， 故答案为：． 5．如图，扇形的圆心角是为，四边形是边长为1的正方形，点，分别在，，在弧上，求图中阴影部分的面积．（结果保留π） 【答案】 【分析】先利用正方形的性质得到，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算．本题考查了扇形面积的计算：扇形面积计算公式：设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则或（其中为扇形的弧长）．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了正方形的性质． 【详解】解：四边形是边长为1的正方形， ， 图中阴影部分的面积 ． ∴图中阴影部分的面积为． 【典型例题二 求弧长】 1．若扇形的半径为6，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了弧长公式，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意可得，的长为, 故选：C． 2．中国古代的文人士大夫喜欢在折扇上题词作画，即使折扇受损失去其纳凉功能，也会被人们揭裱保存成为收藏品．如图是一把题了字画的折扇，折扇的骨柄长为，折扇张开后的扇形圆心角为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式：(弧长为，圆心角度数为，圆的半径为)是解题的关键． 根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴的长为：． 故选：A． 3．若圆锥的底面半径为3，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的母线长是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了扇形的弧长的计算．设这个圆锥的母线长是，先求得扇形的弧长，再根据弧长公式即可求解，熟练掌握扇形的弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设这个圆锥的母线长是， 依题意得：圆锥的底面周长为：， 则展开后扇形的弧长为， 即：， 解得：， 这个圆锥的母线长是9． 故答案为：9． 4．已知扇形的半径是5，圆心角是，则扇形的弧长为 ．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题考查了弧长，根据弧长公式：求解即可． 【详解】解：扇形的弧长为， 故答案为：． 5．如图，在中，，以边为直径的与边分别交于点D、E．求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查圆周角定理，三线合一，求弧长，连接，根据圆周角定理和三线合一，推出，进而利用弧长公式进行求解即可． 【详解】解：连接，则． 是直径， ，即． ， ． ， ． ， ． 的长． 【典型例题三 求扇形半径】 1．已知一条圆弧的度数为，弧长为，则此圆弧的半径为（　　） A．15 B．30 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式的变形计算，根据公式，变形计算即可． 【详解】根据题意，得， 解得， 故选B． 2．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为1，扇形的圆心角等于90°，则扇形的半径是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了求弧长，圆锥的侧面展开图；设扇形的半径为r，利用圆锥底面周长等于圆锥侧面展开图扇形的弧长，即可求解． 【详解】解：设扇形的半径为r， 由题意得：， 解得：； 故选：B． 3．已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积公式，根据扇形面积公式直接代入求解即可得到答案． 【详解】解：∵一个扇形的面积是，弧长是， ∴， 解得：， 故答案为：． 4．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形的圆心角等于，则扇形的半径是 ．    【答案】4 【分析】本题主要考查扇形弧长计算，利用圆的周长就是扇形的弧长，根据弧长的计算公式即可求得半径的长． 【详解】解：设扇形的半径是， 则， 解得：， 扇形的半径是4． 故答案为：4． 5．已知圆上一段弧长为，它所对的圆心角为，求该圆的半径． 【答案】半径为 【分析】设该圆的半径为R，根据弧长公式列出方程，解方程可得． 【详解】解：设该圆的半径为Rcm， 根据题意，得：， 解得：R＝7.2， 答：该圆的半径为7.2cm． 【点睛】本题考查了弧长公式：（n为弧所对的圆心角的度数，R为弧所在圆的半径）． 【典型例题四 求圆心角】 1．如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品被传送，则为（    ） A．90 B．108 C．120 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的公式的应用，根据传送的距离等于转动了的圆弧的长，进而即可求得． 【详解】， 解得． 故选：B． 2．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：滑轮的直径是， 滑轮的半径是， 设旋转的角度是， 由题意得：， 解得：， 滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为， 故选：A． 3．在半径为的圆上有一段弧，弧长是，则该弧所对的圆周角的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义． 根据弧长的计算公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），代入即可求出圆心角的度数． 【详解】根据弧长的公式， 得到： ， 解得， 故圆周角为 故答案为：． 4．已知扇形的半径为6，面积为，则它的圆心角为 度． 【答案】120 【分析】本题主要考查了求扇形的圆心角度数，设该扇形的圆心角度数为，根据扇形面积公式（n为扇形圆心角度数，r为扇形半径）建立方程求解即可． 【详解】解：设该扇形的圆心角度数为， 由题意得，， 解得， ∴该扇形的圆心角度数为120度， 故答案为：120． 5．半径为的圆，一圆心角所对的弧长为，这个圆心角多少度？ 【答案】 【分析】根据弧长公式求解即可． 【详解】解：，， ∴． ∴这个圆心角为． 【点睛】本题考查了弧长公式，灵活应用弧长公式是解题的关键． 【典型例题五 求某点的弧形运动路径长度】 1．如图，在扇形纸片中，，，在桌面内的直线上，将扇形沿按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当第一次落在上时，停止旋转，则旋转过程中点O所经过的路线长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的计算公式，理解O运动的路线是关键．O点运动的路径是：旋转的路程的和是以为半径的半圆的弧长，平移的路线是的长，进行求解即可． 【详解】解：的长为； 以为半径的半圆的弧长：， ∴旋转过程中点O所经过的路线长为； 故选C． 2．如图，一个半径为的定滑轮由绳索带动重物上升，如果该定滑轮逆时针旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，那么重物上升的高度是（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式．利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，重物上升的高度为 ． 故选：B． 3．如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动．则重物上升了 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）． 利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，重物的高度为 故答案为：． 4．如图，一个半径长为1厘米的半圆面，将它沿直线作顺时针方向翻动，翻动一周，那么圆心所经过的路程是 厘米． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的周长公式的知识，熟练掌握相关公式是解题关键．根据题意可得，圆心所经过的路程是两个圆与两条等于圆弧长的线段的和，据此求解即可． 【详解】解：依题意得圆心所经过的路程是两个圆与两条等于圆弧长的线段的长度的和， ∴圆心所经过的路程是． 故答案为：． 5．如图，在中，，且点的坐标为 (1)画出绕点逆时针旋转后的． (2)求点旋转到点所经过的路线长（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查图形的旋转，勾股定理和扇形的弧长． （1）先找到绕点逆时针旋转后的对应点，顺次连接即可； （2）由勾股定理求得，再根据扇形的弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）在中，， ， 点旋转到点所经过的路线长. 【典型例题六 求扇形面积】 1．如图，正方形的边长为4，分别以点A，C为圆心，长为半径画弧，分别交对角线于点E，F，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，扇形面积计算，勾股定理，先根据正方形的性质，得出，，，根据勾股定理求出，得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 2．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以A为圆心，，夹角为，的长为，扇面的长为，则扇面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式，熟知扇形面积公式并能够将不规则图形的面积转化为已学图形的面积是解决本题的关键．根据扇形的面积公式，利用减去即可得扇面的面积． 【详解】解：，， ， ． 故选：C． 3．如图，在矩形中，，以点A为圆心，为半径画弧与交于点E，再以B为圆心，为半径画弧，刚好与也交于点E，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）． 【答案】8 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，勾股定理，矩形的性质，连接，根据矩形的性质得出，根据勾股定理求出，根据等腰三角形的性质求出，分别求出，，，最后求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：连接，如图所示： 根据作图可知：，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ， ∴ ． 故答案为：8． 4．如图①是某汽车的雨刮器，图②是雨刮器摆动的示意图．已知雨刮器的半径，刷子的长度．当雨刮器摆动时，最大旋转角，则雨刮器的刷子扫过的面积（图中阴影部分）为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．根据刷子扫过的面积为计算即可． 【详解】解：，， ， ， 刷子扫过的面积为， 故答案为：． 5．如图，在中，，延长到点D，以为直径作，交的延长线于点E，延长到点F，使． (1)求证；是的切线； (2)若，求扇形的面积（结果保留π）． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，求扇形面积： （1）连接，根据得，再根据，，从而得到，即可证明结论； （2）求出，再利用扇形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， ∵点E在上， ∴是的切线； （2）解： 在四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴扇形的面积为． 【典型例题七 求图形旋转后扫过的面积】 1．贵州毕节风车草原成为近年来网红打卡地，云海风车更是吸引着全国各地的游客前来参观．风车扇叶示意图如图所示，扇叶的长为20米，当扇叶旋转至位置时，扇叶扫过的面积为（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】C 【分析】 本题考查扇形的面积，根据扇形的面积公式（n为圆心角的度数，r为半径）求解即可． 【详解】解：由题意，扇叶扫过的图形为扇形，且，半径米， ∴扇叶扫过的面积为平方米， 故选：C． 2．如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积的计算；旋转的性质．由于将绕点C旋转得到，可见，阴影部分面积为扇形减扇形，分别计算两扇形面积，再计算其差即可． 【详解】解：如图： ； ； 则． 故选：D． 3．如图，中，是直角，，，将以点为中心顺时针旋转，使点旋转到边延长线上的处，则边扫过的图形中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是扇形面积的计算．由将以点为中心顺时针旋转，使点旋转到的延长线上的点处，可得，由题给图象可知：可得出阴影部分面积． 【详解】解：中，是直角，， ，． 将以点为中心顺时针旋转，使点旋转到的延长线上的点处， ． 所以 ． 故答案为：． 4．如图为风力发电机的示意图，叶片外端A到旋转中心O的距离为20米，叶片当前在塔筒左侧且与塔筒夹角为．当叶片从当前位置顺时针旋转到点A与塔筒底端B距离最大时，叶片扫过的面积至少为 平方米．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算，根据题意可得当A、O、B三点共线时，点A与塔筒底端B距离最大，则叶片扫过的扇形圆心角度数最少为，据此利用扇形面积计算公式求解即可． 【详解】解；当A、O、B三点共线时，点A与塔筒底端B距离最大， ∴叶片扫过的扇形圆心角度数最少为， ∴叶片扫过的面积至少为平方米， 故答案为：． 5．如图，已知是等边三角形，边长为8，将绕点O顺时针旋转． (1)用尺规作出旋转后的三角形； (2)求点C的对应点的坐标； (3)求线段扫过的面积． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据旋转前后图形是全等形的性质，且将绕点O顺时针旋转的条件，进行作图即可； （2）根据等边三角形的性质以及勾股定理，分别得出，结合点所在的象限，作进一步的分析，即可作答． （3）运用扇形面积公式代入数值进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如上图所示： 点C的对应点的坐标是点， ∵是等边三角形，边长为8， ∴ ∴ ∵点在第三象限 ∴； （3）解：∵是等边三角形，边长为8，将绕点O顺时针旋转 ∴ 【典型例题八 求弓形面积】 1．《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积（弦矢矢）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦，“矢”指半径长与圆心O到弦的距离（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（    ） A．80 B．100 C．104 D．128 【答案】D 【分析】本题考查了弧田面积计算问题，也考查了理解与运算能力．根据题意画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系求出矢和弦的值，代入公式计算求值即可． 【详解】解：如图，过点O作于点C， 由题意可知， ∴， 在中， ， ∴矢， ∴该弧田的面积为， 故选：D． 2．如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，求得，得到，因为，根据，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，    ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、扇形的面积公式、三角形的面积公式、根据转化思想求图形面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 3．如图，在中，，，分别以的边为直径画半圆，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弓形面积计算，阴影面积计算，勾股定理，设大阴影的面积为，小阴影的面积为，大弓形的面积为，小弓形的面积为，的面积为，得到；正确分割表示阴影的面积是解题的关键． 【详解】设大阴影的面积为，小阴影的面积为，大弓形的面积为，小弓形的面积为，的面积为， 根据题意，得，， ∴， ∵， ∴ ， ∵中，，， ∴， ． 故答案为：24． 4．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C三个点均在格点上，连接，并作，过点B．则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】 本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，圆周角定理的应用，弓形面积的计算，先证明，，再证明，再利用割补法求解阴影部分的面积即可． 【详解】解： 如图，连接， 由勾股定理可得：，， ∴， ∴， ∴为直径， ∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：． 5．如图所示， 以平行四边形的顶点A为圆心，为半径作圆，分别交，于点，， 延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求阴影部分弓形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）要证明，则要证明，由平行四边形的性质以及半径相等能够证明之； （2）先证明是等边三角形，利用，即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接． ∵A为圆心，∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 过点A作于点H， 则， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，圆周角定理，扇形面积公式等知识点的应用，关键是求出． 【典型例题九 求其他不规则图形的面积】 1．如图，是的直径，弦，垂足为点，，，则图中阴影部分面积等于（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，圆周角定理，连接．证明，推出即可解决问题． 【详解】解：连接． ， ，， ， ， ， ， ，都是等边三角形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 故选：A． 2．如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，将其抽象绘制成右图所示的两个有公共圆心O的扇形，若， 则阴影部分面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查与扇形相关的阴影部分面积计算，正确识别阴影部分面积为两个扇形面积之差，以及正确运用扇形面积公式进行计算是解题的关键． 阴影部分面积为扇形的面积与扇形的面积之差． 【详解】解： 故选：B． 3．如图，在扇形中，，点为半径的中点，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，点为弧的中点，连接、．若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，，，交于．证明，求出四边形的面积即可解决问题．本题考查扇形的面积，四边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：如图，连接，，，交于． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4．如图所示，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧长，以为直径作半圆，则阴影部分的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了扇形和三角形的面积计算方法．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．由图可知：图案的面积半圆的面积的面积扇形的面积，可根据各自的面积计算方法求出图案的面积． 【详解】解：在中，，， ， ，，； 所以阴影面积， 故答案为：2． 5．如图（1）是瓦片做成的窗花，可以从中分离出一朵“花”的图案，如图（2），它是由八片相同的瓦片组成，其中间四片“对扣”，外围截面恰好抽象成一个圆，如图（3），点A，B，C，D表示瓦片的交接点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)若厘米，求图（3）中阴影部分的面积．（结果保留π） 【答案】(1)四边形为正方形，理由见解析 (2)平方厘米 【分析】本题考查与圆有关的计算，正方形的判定和性质，掌握正方形的性质，圆面积、正方形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据圆周角定理以及正方形的判定方法进行解答即可； （2）根据圆面积，正方形的面积与阴影部分面积之间的关系进行计算即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形，理由如下： 如图，连接，，，，则， 由题意可知，， ，， ， ， 四边形是正方形； （2）解：在中，，， ， 平方厘米． 答：阴影部分面积为平方厘米． 【变式训练1 弧长和扇形面积】 1．如图1所示，点C 是半圆上一个动点，点 C 从点 A 开始向终点 B 运动的整个过程中， 的长l与时间t（秒）的函数关系如图2所示，则点C 运动3秒时，扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是动点问题的函数图象，弧长的计算，扇形的面积，先求解点C运动3 秒转过的圆心角以及半径，从而可得答案． 【详解】解：根据图2可知，当点C从点A开始向终点B运动用时12秒，转过的圆心角为180°， ∴点C运动3 秒转过的圆心角为 半圆长度， ∴． ∴扇形的面积为 故选 B． 2．如图，为圆O直径，且，点P为弧上一点，连接，将半圆沿直线折叠，使折叠后的圆弧恰好经过圆心O，则图中阴影部分的周长为 cm    【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，折叠问题，关键是求出，证明． 作半径于N，由折叠的性质得到，得到，由，求出，得到，由弧长公式求出的长，即可求出阴影的周长． 【详解】解：作半径于N，    由折叠的性质得到，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影的周长=++=+=． 故答案为：． 3．如图，是的弦，切于点， 垂足为，是的半径，且， (1)求证：平分； (2)若点是弦所对的优弧上一点，且，求图中阴影部分面积（计算结果保留）． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连结,由切线的性质得出,证出，由平行线的性质和等腰三角形的性质得出，即可证明． （2）由圆周角定理得出,由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出结果． 【详解】（1）证明：连结，如图所示， 切与点， ， ， ， ， ， 平分． （2）如图，过作与点 点是弦所对的优弧上一点，且， , ， ， ， ， ， 阴影部分面积等于扇形的面积与三角形的差，即为：． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、圆周角定理、扇形面积公式等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解决问题的关键． 【变式训练2 求弧长】 1．如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长计算，先根据圆周角定理得到角度，然后根据弧长公式计算即可求得结果，熟练掌握圆周角定理及弧长计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的半径为5， ∴的长为， 故选：C． 2．如图，是某十字路口机动车转弯时的示意图，设计转弯半径，转弯角度，大型机动车实际转弯时，转弯半径，转弯角度，则大型机动车转弯实际行驶路程（的长）与设计转弯行驶路程（的长）的差为 （结果保留）． 【答案】 【分析】此题考查了弧长的计算，熟记弧长计算公式是解题的关键，根据弧长计算公式求解即可． 【详解】解：，转弯角度，，转弯角度， 的长，的长， ， 大型机动车转弯实际行驶路程比设计转弯行驶路程多， 故答案为：． 3．如图，在中，是直径，点C是圆上一点，在的延长线上取一点D，连接，使．    (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，得到，圆周角定理得到，得到，进而得到，即可； （2）根据，得到，进而得到，进而得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，求出半径的长，根据弧长公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接，则：，    ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，弧长公式，等边对等角，含30度角的直角三角形．熟练掌握相关知识点，灵活运用，是解题的关键． 【变式训练3 求扇形半径】 1．传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，该款裙子可以近似地看作扇环，如图2所示，其中，长度为米，长度为米，则裙长AB为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查通过弧长计算半径，熟练掌握弧长公式是解题关键． 通过的长度算出，通过的长度算出，两者相减即可． 【详解】∵米，， ∴， ∴米， ∵米，， ∴， ∴米， ∴米． 故选：B． 2．一个扇形的面积是，圆心角是，则此扇形的半径是 ． 【答案】12 【分析】本题考查的已知扇形的面积求解扇形的半径，熟记扇形的面积公式是解本题的关键.设扇形的半径为，再由扇形的面积公式列方程可得，再解方程可得答案． 【详解】解：设扇形的半径为， 则， ， ， 解得：， 故答案为：． 3．一弧长为18.84厘米，所对的圆心角为270°，求该弧所在圆的半径．（取3.14） 【答案】4cm 【分析】根据弧长计算公式可进行求解． 【详解】解：设该弧所在圆的半径为rcm，由弧长公式，得 解得：； ∴该弧所在圆的半径为4cm． 【点睛】本题主要考查弧长计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键． 【变式训练4 求圆心角】 1．一个扇形的弧长是，半径是4，则该扇形的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用弧长公式求解即可． 【详解】解：设圆心角为，根据题意得： ， 解得：， ∴该扇形的圆心角的度数是，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式． 2．如果一个扇形的弧长等于它所在圆周长的，那么此扇形称为“最美扇形”．那么“最美扇形”的圆心角是 度． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，圆的周长等知识，根据题意列出式子即可求得结果，正确列出式子是解题的关键． 【详解】解：圆周长即为圆的周长，此时的圆周角为， ∵一个扇形的弧长等于它所在圆周长的， ∴“最美扇形”的圆心角为， 故答案为：． 3．把一个圆分成三个扇形，其圆心角的度数之比为，求这三个扇形中最小的圆心角度数． 【答案】 【分析】将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的和为，再由三个圆心角的度数比为，可求出最小的圆心角度数． 【详解】解：由题意可得，三个圆心角的和为， 三个圆心角的度数比为， 最小的圆心角度数为：． 【点睛】本题考查了角的概念．解答此题的关键是由题意得出三个圆心角的和为． 【变式训练5 求某点的弧形运动路径长度】 1．如图，一块含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到三角板的位置，若，则顶点A在旋转过程中所经过的路径长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题主要考查了求弧长，根据题意求出，再根据弧长公式进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴顶点A在旋转过程中所经过的路径长为， 故选：C． 2．已知钟面上的分针长9厘米，那么分针针尖经过40分钟滑过的弧线长为 厘米（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），知道分针1分钟转是解题的关键． 首先求出分针针尖经过40分钟时转过的圆心角为，代入弧长公式计算即可求解． 【详解】解：∵分针1分钟转， ∴分针针尖经过40分钟时转过的圆心角为， 分针针尖经过40分钟滑过的弧线长为：（厘米）． 故答案为：． 3．如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐 标系，的顶点均在格点上，点O 为原点，点A， B 的坐标分别是A，B    (1)若将向下平移3个单位，则点B 的对应点坐标为 ． (2)将绕点O 逆时针旋转后得到，请在图中作出，并求出这时点的坐标为 ． (3)求旋转过程中，线段扫过的图形的弧长． 【答案】(1) (2)图见解析， (3) 【分析】本题考查了作图-旋转变换，根据平移求得点的坐标，求扇形面积； （1）利用点平移的坐标特征写出点的对应点坐标即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点即可； （3）先利用勾股定理计算出，然后根据扇形面积公式计算． 【详解】（1）解：∵ ∴向下平移个单位后，点的对应点坐标为 故答案为： （2）如图所示即为所求    点的坐标为 （3）由图可知：， ∴线段扫过的图形的弧长． 【变式训练6 求扇形面积】 1．如图，在中，，若进行下列操作：①将 绕点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧；②以A为圆心，线段为半径得到弧，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出，，，，，再根据阴影部分的面积求解即可．此题考查了扇形面积的计算、等腰直角三角形，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：，， ， 根据题意得，，，，， 阴影部分的面积 ， 故选：A． 2．如图，是边长均为6的正八边形和正六边形的组合图形，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则阴影部分的弧长是 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算．根据正八边形、正六边形的性质求出它的内角的度数，进而求出阴影部分扇形的圆心角的度数，由扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：正八边形和正六边形， ，， ， ． 故答案为：． 3．如图，扇形的圆心角为，半径为． (1)求出此扇形的面积． (2)若将此扇形围成一个圆锥的侧面（不计接缝），求圆锥的底面半径． 【答案】(1)扇形的面积等于 (2)圆锥的底面半径为 【分析】本题考查了扇形的面积及求弧长： （1）利用扇形的面积公式即可求解； （2）先求得，再根据与圆锥的底面周长等于，进而可求解； 熟练掌握扇形的面积公式及弧长公式是解题的关键． 【详解】（1）解：扇形的圆心角为，半径为， 扇形的面积为：． （2）扇形的圆心角为，半径为， ， 圆锥的底面周长为， 圆锥的底面半径为：． 【变式训练7 求图形旋转后扫过的面积】 1．如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查扇形的面积．根据这扇车门底边扫过的区域是扇形，求出扇形的半径和圆心角，然后由扇形的面积公式计算即可． 【详解】 解：根据题意这扇车门底边扫过的区域是扇形， 其中扇形的半径为，圆心角最大角度为， ∴扇形的最大面积为：， 故选：B． 2．在平面内，将长度为6 的线段绕端点 A 按顺时针方向旋转，则线段扫过的图形的面积为 ． (结果保留) 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，根据题意可知线段扫过的图形的面积为一个半径为6且圆心角度数为120度的扇形面积，据此计算求解即可． 【详解】解；， ∴线段扫过的图形的面积为， 故答案为：． 3．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将绕原点顺时针方向旋转得到，画出． (2)在（1）的基础上，点旋转路径的长为______，线段扫过的区域面积为______． 【答案】(1)见详解 (2)， 【分析】本题考查作图旋转变换、弧长公式，扇形面积，勾股定理，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可． （2）利用弧长公式，扇形面积公式，代入数值，进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）， 点旋转路径的长度为， 扫过的区域面积． 【变式训练8 求弓形面积】 1．如图，是的直径，是的弦，连接，，若直径，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，根据，计算即可． 【详解】解：连接，，如图， ∵是直径，， ∴， ∵， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查扇形的面积，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 2．如图，有一个半径为的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过点和点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为 结果保留．    【答案】/ 【分析】连接、，过点作，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，再根据扇形面积公式求出，再根据三角形面积公式求出，进而求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接、，过点作于点，     由题意可知：， ， 为等边三角形， ， ， ， ，， ， ， 阴影部分的面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是扇形的面积，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键． 3．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积（弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长的弧田． （1）计算弧田的实际面积． （2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米?（取近似值为3，近似值为1.7） 【答案】（1）弧田的实际面积为；（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差． 【分析】（1）先利用勾股定理及含的直角三角形的性质求解AO与AB的长度，接着算出的面积，再通过扇形面积公式求解扇形AOB的面积，最后利用割补法求解弧田面积． （2）利用题中的公式求解出弧田面积，然后让该结果与题（1）中的结果相减，求出两者之差． 【详解】（1）解：弦AB， 由垂径定理可知：平分AB，并且OD还平分． ， 在中，对应的角的为 设，则． 由勾股定理可知： 解得（舍去） ，． ，扇形AOB的面积为 弧田实际面积为． （2）解：由题（1）可得圆心到弦的距离等于1，故矢长为1． 按照题中弧田的面积公式得：弧田面积为， ∴两者之差面积之差为． 【点睛】本题主要是考查了扇形面积公式以及圆和直角三角形的相关性质，注意此题利用了割补法求解弧田面积，这是初中数学求解面积常用的方法之一，一定要熟练掌握． 【变式训练9 求其他不规则图形的面积】 1．如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积的计算，勾股定理等知识．根据题意可得，由勾股定理得出，用矩形的面积减去2个扇形的面积即可得到结论． 【详解】解：连接， 根据题意可得， ∵矩形，∴，， 在中，， ∴图中阴影部分的面积． 故选：D． 2．如图，在 中， ，半径为2的圆O与的各边均相切，连接，，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，三角形内切圆的相关知识，设圆O与切于点E，连接，由已知条件可知平分，平分，求出，根据阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积即可求解． 【详解】解：设圆O与切于点E，连接，    ∵半径为2的圆O与的各边均相切， ∴平分，平分， 则 ∴阴影部分的面积为 故答案为：． 3．如图，为的直径，的顶点D在上，边交于点C． (1)从①与相切；②；③是的平分线中选择合适的两个作为已知条件，余下的一个作为结论，编制一道题目，并完成证明过程； (2)在（1）的前提下，过点D作于点F，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）②③作为条件，①为结论．连接，由角平分线的定义可出，等边对等角可得出，等量代换可得出，即可证，由平行线的性质可得出，进一步即可证明与相切． （2）由角平分线的性质定理可得出，，由圆周角定理和含直角三角形的性质可出，，由勾股定理求出，，最后由即可得出答案． 【详解】（1）（1）②③作为条件，①为结论． 证明如下：连接， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 又∵是的半径． ∴与相切． （答案不唯一：任意两个作为条件，都可以推出第三个） （2）∵是的平分线，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得∶，， ∴ 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，切线的性质判定以及性质，平线线的判定以及性质，圆周角定理，含直角三角形的性质，勾股定理，扇形的面积等知识，掌握这些性质是解题的关键． 1．（2024·浙江温州·一模）点，，在上的位置如图所示，，的半径为3，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长计算公式，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握弧长公式，先根据圆周角定理求出，然后根据弧长计算公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的长为：， 故选：B． 2．（2024·山西阳泉·三模）荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画．将其视为如图2的扇形环面（由扇形挖去扇形），，的长度是，的长度是，则该环形荷花装饰挂画的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了扇形面积，利用较大扇形面积减去较小扇形面积即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，该环形荷花装饰挂画的面积是： ， 故选：B 3．（2024·山西阳泉·模拟预测）中国古代的文人士大夫喜欢在折扇上题词作画，即使折扇受损失去其纳凉功能，也会被人们揭裱保存成为收藏品．如图是一把题了字画的折扇，折扇的骨柄长为，折扇张开后的扇形圆心角为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式：(弧长为，圆心角度数为，圆的半径为)是解题的关键． 根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴的长为：． 故选：A． 4．（2024·江苏苏州·一模）如图，在中，点A、B、C在圆上，，的半径的长为2，则劣弧的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，先根据圆周角定理可得出，再根据弧长公式计算即可．解题关键是掌握弧长公式． 【详解】解：， ， 的半径是2， 劣弧的长是． 故选：B． 5．（2024·河南驻马店·二模）如图1所示，点C 是半圆上一个动点，点 C 从点 A 开始向终点 B 运动的整个过程中， 的长l与时间t（秒）的函数关系如图2所示，则点C 运动3秒时，扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是动点问题的函数图象，弧长的计算，扇形的面积，先求解点C运动3 秒转过的圆心角以及半径，从而可得答案． 【详解】解：根据图2可知，当点C从点A开始向终点B运动用时12秒，转过的圆心角为180°， ∴点C运动3 秒转过的圆心角为 半圆长度， ∴． ∴扇形的面积为 故选 B． 6．（2024·广东东莞·模拟预测）已知扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的弧长是 ． 【答案】 【分析】根据弧长的计算公式计算即可． 本题考查了弧长的计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握弧长计算公式，难度一般． 【详解】弧长，其中，， ． 故答案为： 7．（2024·青海果洛·二模）如图，，，两两不相交且半径都是3，则图中三个阴影扇形的弧长之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，弧长公式；根据三角形的内角和是180°，以及弧长公式进行计算． 【详解】解：， ∴三个阴影扇形的弧长之和为． 故答案为：． 8．（2024·四川自贡·中考真题）龚扇是自贡“小三绝”之一．为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图）．扇形外侧两竹条夹角为．长，扇面的边长为，则扇面面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】根据扇形公式进行计算即可．本题考查了扇面面积计算，掌握扇面面积等于两个扇形面积相减是解题的关键． 【详解】解：扇面面积扇形的面积扇形的面积 ， 故答案为：． 9．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在扇形中，，点为半径的中点，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，点为弧的中点，连接、．若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，，，交于．证明，求出四边形的面积即可解决问题．本题考查扇形的面积，四边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：如图，连接，，，交于． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（2024·湖南长沙·一模）如图，已知，，观察图中尺规作图痕迹，判断P点位置，求弧的长度．    【答案】，详见解析 【分析】本题考查了作图−基本作图，弧长公式等知识点，由作图可知，点P在角的角平分线与弧的交点上，再根据弧长公式求解即可，熟记弧长公式是解题的关键． 【详解】由作图可知，点P在角的角平分线与弧的交点上， ∴， ∴弧的长． 11．（23-24九年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，以边为直径的与边分别交于点D、E．求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查圆周角定理，三线合一，求弧长，连接，根据圆周角定理和三线合一，推出，进而利用弧长公式进行求解即可． 【详解】解：连接，则． 是直径， ，即． ， ． ， ． ， ． 的长． 12．（23-24九年级下·福建福州·阶段练习）如图，在中，是直径，点C是圆上一点，在的延长线上取一点D，连接，使．    (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，得到，圆周角定理得到，得到，进而得到，即可； （2）根据，得到，进而得到，进而得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，求出半径的长，根据弧长公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接，则：，    ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，弧长公式，等边对等角，含30度角的直角三角形．熟练掌握相关知识点，灵活运用，是解题的关键． 13．（2023·浙江金华·二模）如图，已知是半圆的直径，且，是半圆上任意一点（不与点、重合），沿着弦折叠半圆． (1)如图①，当折叠后的弧与相切时，求线段的长； (2)如图②，当时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查切线的性质，扇形的面积，不规则图形面积的求法， （1）当折叠后的弧与相切时，设折叠后的弧所在圆的圆心为，由题意可得，、关于直线对称，即可得是等腰直角三角形，从而求出的长， （2）作关于的对称点，连接、，则阴影部分的面积等于即可解答． 正确作出辅助线是解题关键． 【详解】（1）解：当折叠后的弧与相切时，设折叠后的弧所在圆的圆心为，如图： ，、关于直线对称， 平分， ， ， 是等腰直角三角形． ， ， ， （2）作关于的对称点，连接、，如图： ， ， 则阴影部分的面积等于与弦所围成的图形的面积，即， ，， 过点作， ， ， ， ， 阴影部分的面积为， 14．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点D，交于点E． (1)若点E是弧中点，求的长． (2)若，求弧的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆周角定理，弧长的计算，等腰三角形的性质： （1）连接，，由圆周角定理可得，再根据勾股定理计算即可； （2）由等腰三角形的性质推出，得到，由平行线的性质推出，进而可得，再根据弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接，， 为直径，点E是弧中点， ， ， ； （2）解：， ， |， ， ， ， ， ， ， ， 弧的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$