精品解析：内蒙古乌兰浩特第四中学2023-2024学年高一下学期月考数学试题

乌四中2023~2024学年度下学期高一年级月考考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：必修第一册第五章5.5~5.7，必修第二册第六章~第七章7.2. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 中，角，，的对边分别为，若，，，则角为 A. B. 或 C. D. 3. 欧拉恒等式（i为虚部单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 4. 若满足，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 5. 已知，不共线，向量与方向相反，则实数等于（ ） A. 4 B. C. D. 1 6. 在中，，，是的中点，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知的外接圆圆心为O，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知四边形为平行四边形，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 11. 在中，角的对边分别为.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ） A. ，有唯一解 B. ，无解 C. ，有两解 D. ，有唯一解 12. 在中，内角所对的边分别为，其中，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 若为边的中点，则的最大值为3 D. 若为锐角三角形，则其周长的取值范围为 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知是虚数单位，复数z满足，则复数z的模为___________. 14. 已知向量，，，若，则_________. 15. 在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，若，，则______． 16. 如图，冠豸山上原有一条笔直的山路，现在又新架设了一条索道，小李在山脚处看索道，测得张角；从处攀登4千米到达处，回头看索道，测得张角；从处再攀登8千米方到达处，则索道的长为______________千米. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 17. 已知复数满足，． （1）求复数； （2）求复数的实部和虚部． 18. 已知在中，，，. （1）求边的长； （2）设为边上一点，且的面积为，求. 19. 已知sinα+cosα． （1）求sin2α的值； （2）若cos（2α+β），α∈[，]，β∈[0，]，求β的值． 20. 设向量，，. （1）当时，以为基底表示； （2）若的夹角为锐角，求实数的取值范围. 21. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且. （1）求角A的大小； （2）若边上的高为2，，求的周长， 22. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若为锐角三角形，，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌四中2023~2024学年度下学期高一年级月考考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：必修第一册第五章5.5~5.7，必修第二册第六章~第七章7.2. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算与减法运算得，进而根据复数的概念求解即可. 【详解】解：由题意可知， 所以，的虚部为1. 故选：C. 2. 中，角，，的对边分别为，若，，，则角为 A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由正弦定理，得sinA，所以A＝45°或135°．再结合三角形内角和定理得A＜120°，得135°不符合题意，则A可求 【详解】∵△ABC中， ∴sinA ∵，∴A＝45°或135° ∵B＝60°，得A+C＝120°，A＜120° ∴A＝45°（舍去135°） 故选C． 【点睛】本题着重考查了用正弦定理解三角形的知识，准确计算是关键，注意A的范围舍去135°是易错点． 3. 欧拉恒等式（i为虚部单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据欧拉公式得到复数的代数形式，结合诱导公式计算即可得答案. 【详解】， 则虚部为． 故选：C． 4. 若满足，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理化为边求解即可. 【详解】由余弦定理可得， 所以， 故， 即，所以三角形为等腰三角形. 故选：A 5. 已知，不共线，向量与方向相反，则实数等于（ ） A. 4 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意由共线向量定理列方程求解即可 【详解】因为，不共线，向量与方向相反， 所以存在唯一实数，使， 所以，解得（舍去），或， 故选：C 6. 在中，，，是的中点，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设 ，则 选B. 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由化简，求出的值，再由，代值化简即可 【详解】解：由，得，即， 解得， 所以， ， 故选：D 【点睛】此题考查两角和的正切公式的应用，考查同角三角函数的关系的应用，属于基础题 8. 已知的外接圆圆心为O，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得四边形OBAC为菱形且为正三角形，由菱形的特点即可得到所求投影向量. 【详解】..四边形OBAC为平行四边形， 又为的外接圆圆心，. 四边形OBAC为菱形且为正三角形. 且OA与BC互相平分. 在方向上的投影向量为. 故选：A 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据同角三角形函数的平方关系、商数关系，结合二倍角公式，转化求值即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知四边形为平行四边形，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用相等向量的定义可判断AB选项；利用平面向量的线性运算可判断CD选项. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，， 因此，，D对. 故选：ACD. 11. 在中，角的对边分别为.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ） A. ，有唯一解 B. ，无解 C. ，有两解 D. ，有唯一解 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三边确定可判断A选项；由正弦定理，在结合大边对大角可判断B，C，D选项. 【详解】解：选项A，，已知三边三角形确定，有唯一解，A正确； 选项B，由正弦定理得：，则，再由大边对大角可得，故可以为锐角，也可以为钝角，故三角形有两解，B错误； 选项C，由正弦定理得：，则，且，由大边对大角可得，则只能为锐角，故三角形有唯一解，C错误； 选项D，由正弦定理得：，，由于，则是锐角，有唯一解，D正确. 故选：AD. 12. 在中，内角所对的边分别为，其中，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 若为边的中点，则的最大值为3 D. 若为锐角三角形，则其周长的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A,用余弦定理可解；对于B，用面积公式，结合基本不等式可解；对于C，用两次余弦定理，互补角余弦值互为相反数来构造方程可解；对于D，周长问题，边化角，用三角函数解题． 【详解】对于A,由题意可知，利用余弦定理得，，因为，所以，故A正确； 对于B，由上述可知，的面积，且易知，解出，当且仅当时取等号，此时，故B错误； 对于C，在和中，对和利用余弦定理，，化简后有，由B知，的最大值为12，因此最大为3，故C正确； 对于D，利用正弦定理，，则，于是的周长， 由于是锐角三角形，因此即解出， 则则，则，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知是虚数单位，复数z满足，则复数z的模为___________. 【答案】 【解析】 【分析】化简求出，再代模长公式即可求解 【详解】由 ， 故答案为： 14. 已知向量，，，若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示求出t，再利用模的坐标表示计算作答. 【详解】向量，，而，则，解得，， 则有， 所以. 故答案为： 15. 在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，若，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】依据三点共线充要条件即可求得的值. 【详解】如图所示延长AD，BE交于点P， ∵，，E为CD中点， ， 又P，B，F三点共线，则，∴． 故答案为：2 16. 如图，冠豸山上原有一条笔直的山路，现在又新架设了一条索道，小李在山脚处看索道，测得张角；从处攀登4千米到达处，回头看索道，测得张角；从处再攀登8千米方到达处，则索道的长为______________千米. 【答案】 【解析】 【分析】在中根据，，利用内角和定理算出，从而千米，利用余弦定理算出．然后在中，根据两边、长和夹角，利用余弦定理解出值，从而得出． 【详解】解：在中，千米，， 得中，千米，（千米） 在中，千米， （千米） 千米． 故答案为：． 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 17. 已知复数满足，． （1）求复数； （2）求复数的实部和虚部． 【答案】（1） （2）复数的实部为，虚部为. 【解析】 【分析】（1）设复数，由，列方程组可求出的值，即可求出复数. （2）由复数的乘法运算即可求出，即可得到的实部和虚部. 【小问1详解】 设复数，则，由，解得：. 再由， ，解得：，故复数. 【小问2详解】 因为，，，复数的实部为，虚部为. 18. 已知在中，，，. （1）求边的长； （2）设为边上一点，且的面积为，求. 【答案】（1）3；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理，将转化为，化简已知条件求得，然后求得，利用等腰三角形求得的长.（2）利用三角形面积列方程，求得的值，利用余弦定理求得的值，利用正弦定理求得的值. 【详解】解：（1）由及， 得，展开得， 即，所以. 所以，即， 所以. （2）由，解得. 在中，，所以. 由，得， 所以. 【点睛】本小题主要考查三角形内角和定理，考查三角恒等变换，考查利用余弦定理和正弦定理解三角形，综合性较强，属于中档题. 19. 已知sinα+cosα． （1）求sin2α的值； （2）若cos（2α+β），α∈[，]，β∈[0，]，求β的值． 【答案】（1）sin2α（2） 【解析】 【分析】（1）把已知等式sinα+cosα两边平方，结合正弦的二倍角公式可得； （2）先确定角的范围，求出，然后由求出，从而可得． 【详解】（1）∵sinα+cosα， ∴sin2α+2sinαcosα+cos2α， ∴1+sin2α＝1， ∴sin2α； （2）∵，∴2， ∴cos2α， ∵，∴， 又cos（2α+β）0，故2， ∴， ∴cosβ＝cos（2α+β﹣2α）＝cos（2α+β）cos2α+sin（2α+β）sin2α， ∴． 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查二倍角公式、两角和与差的余弦公式，解题时注意分析已知角和待求角的关系，以确定选用的公式． 20. 设向量，，. （1）当时，以为基底表示； （2）若的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）且. 【解析】 【分析】（1）令，利用向量坐标运算求出待定系数即可作答. （2）根据给定条件利用向量的数量积及向量不共线列式计算作答. 【小问1详解】 当时，，设，即， 则有，解得， 所以. 【小问2详解】 因为的夹角为锐角，则，且不共线，又，， 因此，，且，解得且， 所以实数的取值范围为且. 21. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且. （1）求角A的大小； （2）若边上的高为2，，求的周长， 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式，结合两角和的余弦公式进行求解即可； （2）根据三角形面积公式和余弦定理进行求解即可. 【小问1详解】 ， ， 因为， 所以， 即，因为，所以； 【小问2详解】 因为边上的高为2， 所以， 由余弦定理可知：， 或舍去， 所以三角形周长为：. 22. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若为锐角三角形，，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再用余弦定理边化角，即可求出角； （2）由中线向量公式来计算中线长，再利用边化角得到中线与角的三角函数，再利用三角恒等变换，再结合锐角三角形得到角的范围，即可求出中线长的取值范围. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 所以， 由余弦定理得， 又，所以； 【小问2详解】 因为，所以． 因为D是线段AC的中点，所以， 所以， 由正弦定理得，所以，， 所以 , 又为锐角三角形，所以，解得，所以， 即，则，所以， 即，则BD的长的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $