广西壮族自治区南宁市银海三雅学校2023-2024学年九年级中考第四次模拟（收网考）数学试卷

广西壮族自治区南宁市银海三雅学校2023-2024学年九年级中考第四次模拟（收网考）数学试卷 一、单选题（每题3分，共36分） 1．（3分）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．如果大风车顺时针旋转66°，记作+66°，那么大风车逆时针旋转88°，记作（　　） A．﹣88° B．88° C．﹣22° D．22° 2．（3分）2024年的春晚节目《年锦》用东方美学风韵惊艳了观众，节目巧妙地选用了汉、唐、宋、明不同朝代寓意吉祥祝福的代表纹样，与华丽的舞美技术相融合，织出一幅跨越千载的纹样变迁图卷．下列几幅纹样是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）2024年政府工作报告中指出：2024年城镇新增就业将达12000000人以上，将数据12000000用科学记数法表示应为（　　） A．0.12×108 B．1.2×107 C．12×106 D．120×105 4．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝70°，则∠C的度数是（　　） A．70° B．90° C．110° D．140° 5．（3分）如图，l1∥l2，点O在直线l2上，将三角板的直角顶点放在点O处，三角板的两条直角边分别与l1交于A，B两点，若∠1＝46°，则∠2的大小为（　　） A．34° B．44° C．46° D．54° 6．（3分）下列事件中的必然事件是（　　） A．三角形三个内角和为180° B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．天空出现九个太阳 D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 7．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（　　） A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米 8．（3分）下列计算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．（﹣a3）2＝﹣a6 C．（2a）2＝2a2 D．a3÷a2＝a 9．（3分）为纪念北京奥运会成功举办，国务院批准从2009年起，将每年8月8日设置为“全民健身日”．因为为了认真发展体育运动，增强人民体质，贯彻执行《中华人民共和国体育法》，网上各种健身项目层出不穷．如图是侧抬腿运动，可以保证全身得到锻炼!已知小敏大腿根部距脚尖90cm，即OA＝90cm，当其完成图中一次动作时，脚尖划过的轨迹长度为（　　）cm． A． B． C．45π D． 10．（3分）我国古代数学名著《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：“现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？”设6210文能买x株椽，则据题意可列方程为（　　） A．＝3x﹣1 B．＝3（x﹣1） C．＝3x D．＝3（x﹣1） 11．（3分）如图，在∠AOB中，以点O为圆心，5为半径作弧，分别交射线OA，OB于点C，D，再分别以C，D为圆心，CO的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点E，作射线OE，若OE＝8，则C，D两点之间的距离为（　　） A．5 B．6 C． D．8 12．（3分）在二次函数y＝﹣x2+2x+3中，当0＜x＜3时，y的取值范围是（　　） A．0＜y＜3 B．1＜y＜4 C．0＜y≤4 D．﹣4≤y＜0 二、填空题（每题2分，共12分） 13．（2分）cos60°＝　 　． 14．（2分）因式分解：a2+3a＝　 　． 15．（2分）命题“等角的余角相等”是 　 　命题．（填“真”或“假”） 16．（2分）我国人工智能市场分为“决策类人工智能”、“人工智能机器人”、“语音及语义人工智能”、“视觉人工智能”四大类型，将四个类型的图标分别制成四张卡片（卡片背面完全相同），并把四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则抽到“视觉人工智能”的概率为 　 　． 17．（2分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A在反比例函数的图象上，AB⊥y轴于点B，连接OA，则△AOB的面积为 　 　． 18．（2分）在等腰直角三角形ABC中AC＝3，E为AC上靠近点A的三等分点．圆C半径为2，D为圆C上一动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AD′．连接ED′，则ED′的最小值为 　 　． 三、解答题（共72分） 19．（6分）计算：﹣1×4+22÷（5﹣3）． 20．（6分）先化简，再求值：（x+1）2+（2+x）（2﹣x），其中x＝1． 21．（10分）如图在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）． （1）画出△ABC向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到图形△A1B1C1； （2）画出△ABC关于x轴的对称图形△A2B2C2，并写出A2的坐标； （3）请在x轴上确定点P的位置，使得PA+PC最小． 22．（10分）快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势．网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： ①配送速度得分（满分10分）： 甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9；乙：8，8，6，7，9，7，9，8，8，9． ②服务质量得分统计图（满分10分）： ③配送速度和服务质量得分统计表： 快递公司统计量 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.9 m n 7 乙 7.9 8 8 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：m＝　 　，n＝　 　，比较大小：s甲2　 　s乙2（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司？请说明理由； （3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为小刘还应收集什么信息？（列出一条即可） 23．（10分）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为E． （1）求证：AD＝CD； （2）求证：DE为⊙O的切线． 24．（10分）2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受大家的喜爱．奥林匹克官方旗舰店有出售“冰墩墩”和“雪容融”的手办玩具和摆件，玩具A和摆件B是其中的两款产品，玩具A和摆件B的批发价和零售价格如下表所示． 名称 玩具A 摆件B 批发价（元/个） 60 50 零售价（元/个） 80 60 （1）若该旗舰店批发玩具A和摆件B一共100个，用去5650元钱，求玩具A和摆件B各批发了多少个？ （2）若该旗舰店仍然批发玩具A和摆件B一共100个（批发价和零售价不变），要使得批发的玩具A和摆件B全部售完后，所获利润不低于1400元，该旗舰店至少批发玩具A多少个？ 25．（10分）赛龙舟是我国传统的体育竞技项目，有着悠久的历史和广泛的群众基础．某龙舟队进行800米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程s（m）与时间t（s）的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为s＝kt2（k≠0）；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程s（m）与时间t（s）的函数表达式为s＝k（t﹣70）2+h（k≠0）．（1）求出k的值，并写出启航阶段自变量t的取值范围； （2）当t＝90s时，求该龙舟划行的总路程； （3）冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.85m/s，之后保持匀速划行至终点．求该龙舟队完成训练总路程所需时间． 26．（10分）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF． 独立思考：（1）试猜想EF与BF的数量关系：　 　； 实践探究：（2）希望小组将▱ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C′，连接DC′并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明； 问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，A的对应点为A'，使A′B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A′M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此▱ABCD的面积为20，边长AB＝5，，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你解答此问题． 参考答案与试题解析 一、单选题（每题3分，共36分） 1．（3分）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．如果大风车顺时针旋转66°，记作+66°，那么大风车逆时针旋转88°，记作（　　） A．﹣88° B．88° C．﹣22° D．22° 【解答】解：如果大风车顺时针旋转66°，记作+66°，那么大风车逆时针旋转88°，记作﹣88°， 故选：A． 2．（3分）2024年的春晚节目《年锦》用东方美学风韵惊艳了观众，节目巧妙地选用了汉、唐、宋、明不同朝代寓意吉祥祝福的代表纹样，与华丽的舞美技术相融合，织出一幅跨越千载的纹样变迁图卷．下列几幅纹样是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、图形是中心对称图形，符合题意； B、图形不是中心对称图形，不符合题意； C、图形不是中心对称图形，不符合题意； D、图形不是中心对称图形，不符合题意， 故选：A． 3．（3分）2024年政府工作报告中指出：2024年城镇新增就业将达12000000人以上，将数据12000000用科学记数法表示应为（　　） A．0.12×108 B．1.2×107 C．12×106 D．120×105 【解答】解：12000000＝1.2×107． 故选：B． 4．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝70°，则∠C的度数是（　　） A．70° B．90° C．110° D．140° 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠C＝180°， ∵∠A＝70°， ∴∠C＝110°， 故选：C． 5．（3分）如图，l1∥l2，点O在直线l2上，将三角板的直角顶点放在点O处，三角板的两条直角边分别与l1交于A，B两点，若∠1＝46°，则∠2的大小为（　　） A．34° B．44° C．46° D．54° 【解答】解：∵∠1＝46°， ∴∠3＝180°﹣46°﹣90°＝44°， ∵l1∥l2， ∴∠2＝∠3＝44°． 故选：B． 6．（3分）下列事件中的必然事件是（　　） A．三角形三个内角和为180° B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．天空出现九个太阳 D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 【解答】解：三角形三个内角和为180°是必然事件，所以A符合题意； 射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，所以B不符合题意； 天空出现九个太阳是不可能事件，所以C不符合题意； 经过有交通信号灯的路口遇到红灯是随机事件，所以D不符合题意． 故选：A． 7．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（　　） A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6米， ∵sin∠BAC＝＝sin37°≈0.6＝， ∴AB≈BC＝×6＝10（米）， 故选：D． 8．（3分）下列计算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．（﹣a3）2＝﹣a6 C．（2a）2＝2a2 D．a3÷a2＝a 【解答】解：∵a2•a3＝a5，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意； B．∵（﹣a3）2＝a6，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意； C．∵（2a）2＝4a2，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意； D．∵a3÷a2＝a，∴此选项计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 9．（3分）为纪念北京奥运会成功举办，国务院批准从2009年起，将每年8月8日设置为“全民健身日”．因为为了认真发展体育运动，增强人民体质，贯彻执行《中华人民共和国体育法》，网上各种健身项目层出不穷．如图是侧抬腿运动，可以保证全身得到锻炼!已知小敏大腿根部距脚尖90cm，即OA＝90cm，当其完成图中一次动作时，脚尖划过的轨迹长度为（　　）cm． A． B． C．45π D． 【解答】解；根据弧长公式L＝，n＝45°，r＝90代入公式得： L＝＝． 故选：A． 10．（3分）我国古代数学名著《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：“现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？”设6210文能买x株椽，则据题意可列方程为（　　） A．＝3x﹣1 B．＝3（x﹣1） C．＝3x D．＝3（x﹣1） 【解答】解：设6210文购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为， 由题意得：3（x﹣1）＝， 故选：B． 11．（3分）如图，在∠AOB中，以点O为圆心，5为半径作弧，分别交射线OA，OB于点C，D，再分别以C，D为圆心，CO的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点E，作射线OE，若OE＝8，则C，D两点之间的距离为（　　） A．5 B．6 C． D．8 【解答】解：连接CE，DE，CD，设CD与OE交于点F， 由作图可知，OC＝OD＝CE＝DE＝5， ∴四边形OCED为菱形， ∴CD⊥OE，OF＝EF＝OE＝4，CF＝DF， 由勾股定理得，CF＝＝3， ∴CD＝2CF＝6， 即C，D两点之间的距离为6． 故选：B． 12．（3分）在二次函数y＝﹣x2+2x+3中，当0＜x＜3时，y的取值范围是（　　） A．0＜y＜3 B．1＜y＜4 C．0＜y≤4 D．﹣4≤y＜0 【解答】解：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∵﹣1＜0，对称轴为x＝1， ∴当x＝1时，y有最大值，最大值为4， ∵3﹣1＞1﹣0， ∴当x＝3时，y有最小值0， ∴当0＜x＜3时，y的取值范围是0＜y≤4， 故选：C． 二、填空题（每题2分，共12分） 13．（2分）cos60°＝　　． 【解答】解：cos60°＝． 故答案为：． 14．（2分）因式分解：a2+3a＝　a（a+3）　． 【解答】解：a2+3a＝a（a+3）． 故答案为：a（a+3）． 15．（2分）命题“等角的余角相等”是 　真　命题．（填“真”或“假”） 【解答】解：命题“等角的余角相等”是真命题． 故答案为：真． 16．（2分）我国人工智能市场分为“决策类人工智能”、“人工智能机器人”、“语音及语义人工智能”、“视觉人工智能”四大类型，将四个类型的图标分别制成四张卡片（卡片背面完全相同），并把四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则抽到“视觉人工智能”的概率为 　　． 【解答】解：由概率的定义可知，抽到“视觉人工智能”的概率为． 故答案为：． 17．（2分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A在反比例函数的图象上，AB⊥y轴于点B，连接OA，则△AOB的面积为 　3　． 【解答】解：根据题意可知：S△ABO＝|k|＝＝3， 故答案为：3． 18．（2分）在等腰直角三角形ABC中AC＝3，E为AC上靠近点A的三等分点．圆C半径为2，D为圆C上一动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AD′．连接ED′，则ED′的最小值为 　　． 【解答】解：连接CD，BD′，BE， 由题意可知，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°， 由旋转可知，AD＝AD′，∠DAD′＝90°， 则∠CAD+∠BAD＝∠BAD+∠BAD′＝90°， ∴∠CAD＝∠BAD′， ∴△ACD≌△ABD′（SAS）， ∴CD＝BD′＝2， ∵E为靠近点A的三等分点， ∴， 则， 由三角形三边关系可知，（当D′在线段BE上时取等号）， 则ED′的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共72分） 19．（6分）计算：﹣1×4+22÷（5﹣3）． 【解答】解：原式＝（﹣1）×4+4÷2 ＝﹣4+2 ＝﹣2． 20．（6分）先化简，再求值：（x+1）2+（2+x）（2﹣x），其中x＝1． 【解答】解：（x+1）2+（2+x）（2﹣x） ＝x2+2x+1+4﹣x2 ＝2x+5， 当x＝1时，原式＝2+5＝7． 21．（10分）如图在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）． （1）画出△ABC向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到图形△A1B1C1； （2）画出△ABC关于x轴的对称图形△A2B2C2，并写出A2的坐标； （3）请在x轴上确定点P的位置，使得PA+PC最小． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，△A2B2C2即为所求，A2的坐标为（0，﹣3）； （3）如图，点P即为所求． 22．（10分）快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势．网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： ①配送速度得分（满分10分）： 甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9；乙：8，8，6，7，9，7，9，8，8，9． ②服务质量得分统计图（满分10分）： ③配送速度和服务质量得分统计表： 快递公司统计量 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.9 m n 7 乙 7.9 8 8 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：m＝　8　，n＝　9　，比较大小：s甲2　＜　s乙2（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司？请说明理由； （3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为小刘还应收集什么信息？（列出一条即可） 【解答】解：（1）将甲数据从小到大排列为：6，6，7，7，8，8，9，9，9，10， 从中可以看出一共10个数据，第5个和第6个数据均为8，所以这组数据的中位数为（8+8）÷2＝8，即m＝8， 其中9出现的次数最多，所以这组数据的众数为9，即n＝9， 从折线统计图中可以看出，甲的服务质量得分分布于5﹣8，乙的服务质量得分分布于4﹣10， 从中可以看出甲的数据波动更小，数据更稳定，即s甲2＜s乙2， 故答案为：8，9，＜． （2）小刘应选择甲公司，理由如下： 配送速度方面，甲乙两公司的平均分相同，中位数相同，但甲的众数高于乙公司，这说明甲在配送速度方面可能比乙公司表现的更好， 服务质量方面，二者的平均相同，但甲的方差明显小于乙，说甲的服务质量更稳定，因此应该选择甲公司． （3）根据题干可知，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势， 所以除了配送速度和服务质量，还应该收集两家公司的收费情况和投递范围（答案不唯一，言之有理即可）． 23．（10分）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为E． （1）求证：AD＝CD； （2）求证：DE为⊙O的切线． 【解答】（1）证明：∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°， ∵BA＝BC， ∴AD＝CD； （2）证明：连接OD，如图， ∵AD＝CD，AO＝OB， ∴OD为△BAC的中位线， ∴OD∥BC， ∴DE⊥BC， ∴OD⊥DE， ∵OD是半径， ∴DE为⊙O的切线． 24．（10分）2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受大家的喜爱．奥林匹克官方旗舰店有出售“冰墩墩”和“雪容融”的手办玩具和摆件，玩具A和摆件B是其中的两款产品，玩具A和摆件B的批发价和零售价格如下表所示． 名称 玩具A 摆件B 批发价（元/个） 60 50 零售价（元/个） 80 60 （1）若该旗舰店批发玩具A和摆件B一共100个，用去5650元钱，求玩具A和摆件B各批发了多少个？ （2）若该旗舰店仍然批发玩具A和摆件B一共100个（批发价和零售价不变），要使得批发的玩具A和摆件B全部售完后，所获利润不低于1400元，该旗舰店至少批发玩具A多少个？ 【解答】解：（1）设批发x个玩具A，y个摆件B，根据题意得： ， 解得：， 即玩具A批发了65个，摆件B批发了35个； （2）设至少批发m个玩具A，则批发了（100﹣m）个摆件B，根据题意得： （80﹣60）m+（60﹣50）（100﹣m）≥1400， 解得：x≥40， 即至少批发40个玩具A． 25．（10分）赛龙舟是我国传统的体育竞技项目，有着悠久的历史和广泛的群众基础．某龙舟队进行800米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程s（m）与时间t（s）的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为s＝kt2（k≠0）；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程s（m）与时间t（s）的函数表达式为s＝k（t﹣70）2+h（k≠0）．（1）求出k的值，并写出启航阶段自变量t的取值范围； （2）当t＝90s时，求该龙舟划行的总路程； （3）冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.85m/s，之后保持匀速划行至终点．求该龙舟队完成训练总路程所需时间． 【解答】解：（1）由题意，把A（20，50）代入s＝kt2 得50＝400k， ∴k＝． 又由函数图象可得，0＜t≤20． （2）由题意，设s＝5t+b，把（20，50）代入，得50＝5×20+b， ∴b＝﹣50． ∴s＝5t﹣50． 当t＝90时，s＝450﹣50＝400． ∴当t＝90s时，龙舟划行的总路程为400m． （3）加速期：由（1）可知k＝， 把（90，400）代入s＝（t−70）2+h， ∴h＝350． ∴函数表达式为s＝（t−70）2+350． 把t＝91代入s＝（t−70）2+350， ∴s＝405.125． ∴（800﹣405.125）÷5.85＝67.5（s）． ∴90+1+67.5＝158.5（s）． 答：该龙舟队完成训练所需时间为158.5s． 26．（10分）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF． 独立思考：（1）试猜想EF与BF的数量关系：　EF＝BF　； 实践探究：（2）希望小组将▱ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C′，连接DC′并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明； 问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，A的对应点为A'，使A′B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A′M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此▱ABCD的面积为20，边长AB＝5，，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你解答此问题． 【解答】解：（1）结论：EF＝BF． 理由：如图①中，作FH∥AD交BE于H． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵FH∥AD， ∴DE∥FH∥CB， ∵DF＝CF， ∴＝＝1， ∴EH＝HB， ∵BE⊥AD，FH∥AD， ∴FH⊥EB， ∴EF＝BF． 解法二：分别延长AD，BF相交于点M，类似于倍长中线法，直角三角形斜边中线性质解决问题． （2）结论：AG＝BG． 理由：如图②中，连接CC′． ∵△BFC′是由△BFC翻折得到， ∴BF⊥CC′，FC＝FC′， ∵DF＝FC， ∴DF＝FC＝FC′， ∴∠CC′D＝90°， ∴CC′⊥GD， ∴DG∥BF， ∵DF∥BG， ∴四边形DFBG是平行四边形， ∴DF＝BG， ∵AB＝CD，DF＝CD， ∴BG＝AB， ∴AG＝GB． （3）如图③中，过点D作DJ⊥AB于J，过点M作MT⊥AB于T． ∵S平行四边形ABCD＝AB•DJ， ∴DJ＝＝4， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝2，AB∥CD， ∴AJ＝＝＝2， ∵A′B⊥AB，DJ⊥AB， ∴∠DJB＝∠JBH＝∠DHB＝90°， ∴四边形DJBH是矩形， ∴BH＝DJ＝4， ∴A′H＝A′B﹣BH＝5﹣4＝1， ∵tanA＝＝＝2， 设AT＝x，则MT＝2x， ∵∠ABM＝∠MBA′＝45°， ∴MT＝TB＝2x， ∴3x＝5， ∴x＝， ∴MT＝， ∵tanA＝tanA′＝＝2， ∴NH＝2， ∴S△ABM＝S△A′BM＝×5×＝， ∴S四边形BHNM＝S△A′BM﹣S△NHA′＝﹣×1×2＝． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$