精品解析：广西壮族自治区贺州市昭平县昭平中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题

昭平中学2024年春季学期高一年级第一次月考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：必修第二册第六章~第八章8.3. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（ ） A. 相同的向量 B. 模相等的向量 C. 共线向量 D. 共起点的向量 【答案】B 【解析】 【分析】根据正三角形的中心到三个顶点的距离相等，得到这三个向量的模长相等，即可判断得解 【详解】是正的中心，向量分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量， 到三个顶点的距离相等，但向量，，不是相同向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量. 故选：B 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，进而求出. 【详解】因为，所以， 所以 故选：B 3. 已知向量满足，且，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件直接化简求解即可. 【详解】因为向量满足，且， 所以. 故选：C. 4. 在矩形中，为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量线性运算的数乘和减法、加法法则即可得解. 【详解】在矩形中，为的中点， 故选：C． 5. 已知平面向量满足，且，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设夹角为，根据向量数量积的运算律即可求解． 【详解】因为，所以，即， 设夹角为，则，， 又因为，所以， 故选：D． 6. 如图，为水平放置的斜二测画法的直观图，且，则的周长为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】 由斜二测画法的直观图与原图的关系，运算即可得解. 【详解】由直观图可得，在中，，且， 所以， 所以的周长为. 故选：D. 7. 平面内顺次连接所组成的图形是（ ） A. 平行四边形 B. 直角梯形 C. 等腰梯形 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，然后通过判断它们间的关系进行判断即可. 【详解】因为， 所以，， 所以，，∥， 所以四边形为直角梯形. 故选：. 8. 如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为，然后从点C处沿南偏东方向前进140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度是（ ） A. 70米 B. 80米 C. 90米 D. 100米 【答案】A 【解析】 【分析】先由题意得出，，再在中，由余弦定理即可求解. 【详解】由题， 所以， 故在中，由余弦定理得， 所以即， （舍去）或，故铁塔的高度是70米. 故选：A. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. 与互为共轭复数 B. C. 为纯虚数 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据共轭复数的定义分析判断，对于B，分别求出两复数的模进行判断，对于C，直接计算进行判断，对于D，直接计算判断. 【详解】对于A，因为的共轭复数为，所以与不互为共轭复数，所以不正确； 对于B，因为，所以B正确； 对于C，因为，为实数，所以C不正确； 对于D，因为，所以，所以D正确. 故选：BD 10. 如果一个几何体仅有5个面，则这个几何体可能是（ ） A. 三棱台 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 四棱柱 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据多面体的概念判断即可． 【详解】因为四棱柱有6个面，所以D项不正确，三棱台，四棱锥和三棱柱都有5个面， 故选：ABC． 11. 若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ） A. 可以表示平面内的所有向量 B. 对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对 C. ，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使 D. 若存在实数，，使，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理结合线性运算分析判断. 【详解】由题意可知：，可以看成一组基底向量， 根据平面向量基本定理可知：A，D正确，B不正确； 对于C，当时，则， 此时任意实数均有，故C不正确； 故选：BC． 12. 在中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的面积为2 C. 的外接圆直径是 D. 的内切圆半径是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二倍角公式求出，根据同角三角函数的基本关系求出，再由余弦定理求出，由正弦定理求出外接圆的直径，利用面积公式及等面积法判断B、D； 【详解】解：因为，所以， 所以，，故A、B正确； 由余弦定理，即，所以， 所以外接圆的直径，故C错误； 设的内切圆半径为，则，即，所以，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念，列出关系式，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，，解得. 故答案为：1. 14. 圆柱的底面圆周的半径为5，高为8，则该圆柱的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱的表面积公式即可代入求解. 【详解】因为圆柱的底面圆的半径为5、高为8，所以圆柱底面圆的周长为， 所以该圆柱的表面积为． 故答案为： 15. 已知向量，则与向量平行的单位向量为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】利用与向量平行的单位向量为，求解即可 【详解】因为，所以，所以与向量平行的单位向量为或. 故答案为：或 16. 已知中，角的对边分别为，且的面积为，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先利用三角形的面积列方程求出，再利用余弦定理求出，从而可求出的值. 【详解】，解得， ， . 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17. （1）已知单位向量与的夹角为，且，求； （2）已知，求. 【答案】（1）；（2）2 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，利用向量数量积的运算律展开，即可求解； （2）根据题意，对两边平方，并代入，即可求解. 【详解】（1）单位向量与的夹角为，则. . （2）由，即. 18. 已知向量，且. （1）求的值； （2）求向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用平面向量垂直的坐标公式计算即可. （2）运用平面向量夹角公式计算即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，解得. 故的值为3. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 所以， 所以. 故与的夹角的余弦值为. 19. 在中，内角的对边分别为，向量且. （1）求角； （2）若，求内切圆的半径. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示，结合正弦定理边角互化，求得，即可求得； （2）利用余弦定理求得，利用等面积法，结合三角形面积公式，即可求得内切圆半径. 【小问1详解】 因为向量与平行，所以， 由正弦定理得， 又，所以，所以， 又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理得，所以，解得或（舍）， 所以的面积， 设内切圆的半径为， 所以，解得. 20. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若为锐角三角形，，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再用余弦定理边化角，即可求出角； （2）由中线向量公式来计算中线长，再利用边化角得到中线与角的三角函数，再利用三角恒等变换，再结合锐角三角形得到角的范围，即可求出中线长的取值范围. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 所以， 由余弦定理得， 又，所以； 【小问2详解】 因为，所以． 因为D是线段AC的中点，所以， 所以， 由正弦定理得，所以，， 所以 , 又为锐角三角形，所以，解得，所以， 即，则，所以， 即，则BD的长的取值范围是． 21. 如图，在等腰三角形中，是线段上的动点（异于端点），. （1）若是边的中点，求的值； （2）当时，请确定点的位置. 【答案】（1） （2）是线段靠近处的四等分点 【解析】 【分析】（1）用、作为基底分别表示、，结合数量积运算即可. （2）设，则，结合数量积运算即可. 【小问1详解】 由题意知， 由于是边的中点，因此， 因此. 【小问2详解】 不妨设，因此， 又， 所以 解得，即， 故是线段靠近处的四等分点. 22. 在平面四边形中（在的两侧），. （1）若，求； （2）若，求四边形的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中用余弦定理求出，再由角度之间的关系，在中用正弦定理可求出； （2）将四边形，分成，，的面积为定值，的面积可用余弦定理与三角形面积公式求出最大值. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， 即. 因为，，所以， 又，所以. 在中，由正弦定理得， 所以， 又，所以，所以； 【小问2详解】 设，所以. 在中，由余弦定理得. 所以的面积 ， 所以，此时， 又的面积， 所以四边形的面积的最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昭平中学2024年春季学期高一年级第一次月考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：必修第二册第六章~第八章8.3. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（ ） A. 相同的向量 B. 模相等的向量 C. 共线向量 D. 共起点的向量 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，且，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 4. 在矩形中，为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量满足，且，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为水平放置的斜二测画法的直观图，且，则的周长为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 7. 平面内顺次连接所组成的图形是（ ） A. 平行四边形 B. 直角梯形 C. 等腰梯形 D. 以上都不对 8. 如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为，然后从点C处沿南偏东方向前进140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度是（ ） A. 70米 B. 80米 C. 90米 D. 100米 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. 与互为共轭复数 B. C. 为纯虚数 D. 10. 如果一个几何体仅有5个面，则这个几何体可能是（ ） A. 三棱台 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 四棱柱 11. 若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ） A. 可以表示平面内的所有向量 B. 对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对 C. ，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使 D. 若存在实数，，使，则 12. 在中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的面积为2 C. 的外接圆直径是 D. 的内切圆半径是 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为__________． 14. 圆柱的底面圆周的半径为5，高为8，则该圆柱的表面积为__________． 15. 已知向量，则与向量平行的单位向量为__________. 16. 已知中，角的对边分别为，且的面积为，则__________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17. （1）已知单位向量与的夹角为，且，求； （2）已知，求. 18. 已知向量，且. （1）求的值； （2）求向量与的夹角的余弦值. 19. 在中，内角的对边分别为，向量且. （1）求角； （2）若，求内切圆的半径. 20. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若为锐角三角形，，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围． 21. 如图，在等腰三角形中，是线段上的动点（异于端点），. （1）若是边的中点，求的值； （2）当时，请确定点的位置. 22. 在平面四边形中（在的两侧），. （1）若，求； （2）若，求四边形的面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $