2024年福建省福州市时代华威中学中考数学第二次模拟试卷

2024年福建省福州市时代华威中学中考数学第二次模拟试卷 一.选择题（共10小题，每小题4分） 1．（4分）2024的相反数是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 2．（4分）一个几何体如图水平放置，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）2024年3月5日，李强总理在十四届全国人大二次会议上提到2023年全国城镇新增就业1244万人．将数据12440000用科学记数法表示为（　　） A．1244×104 B．124.4×105 C．12.44×106 D．1.244×107 4．（4分）下列运算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．（﹣2a2）3＝﹣6a6 C．a4÷a＝a3 D．2a+3a＝5a2 5．（4分）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（　　） A．x﹣1＞y﹣1 B．x+1＞y+1 C．﹣2x＜﹣2y D．2x＜2y 6．（4分）小明收集整理了本校八年级1班20名同学的定点投篮比赛成绩（每人投篮10次），并绘制了折线统计图，如图所示．那么这次比赛成绩的中位数、众数分别是（　　） A．6，7 B．7，7 C．5，8 D．7，8 7．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知CE＝3，AB＝6，△AEB的面积为（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 8．（4分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少辆车？设共有x辆车，则（　　） A．3（x﹣2）＝2x+9 B．3（x+2）＝2x﹣9 C． D． 9．（4分）如图，△ABC的三个顶点均在⊙O上，BD是⊙O的直径．若∠BAC＝130°，则∠CBD的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 10．（4分）如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，将△BDE先向右平移得到△GFH，再绕顶点G逆时针旋转使得点F，H分别在边AB和AC上．现给出以下两个结论： ①仅已知△ABC的周长，就可求五边形DECHF的周长； ②仅已知△AFH的面积，就可求五边形DECHF的面积． 下列说法正确的是（　　） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②均正确 D．①②均错误 二.填空题（共6小题，每小题4分） 11．（4分）写出一个无理数x，使得1＜x＜4，则x可以是 　 　（只要写出一个满足条件的x即可）． 12．（4分）若反比例函数的图象经过点（2，3），（6，m），则m＝　 　． 13．（4分）正多边形的一个内角等于144°，则该正多边形的边数为 　 　． 14．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝4cm，则EF＝　 　cm． 15．（4分）若+＝3，则的值为 　 　． 16．（4分）已知y＝ax2﹣4ax（a＜0）上有A（m，y1）和B（2m，y2）两点．若点A，B都在直线y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，则m的取值范围是 　 　． 三.解答题（共9小题，共86分） 17．（8分）计算：． 18．（8分）如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝BC．求证：AD＝EB． 19．（8分）先化简，再求值：，其中b﹣a＝2． 20．（8分）某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，体能分为A、B、C，D四个等级．根据测试结果绘制了如图所示两幅不完整的统计图，根据图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样调查共抽取了 　 　名学生； （2）若该中学九年级共有600名学生，请你估计该中学九年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？ （3）若从体能为A等级的2名男生和2名女生中随机的抽取2名学生，代表学校参加比赛，求抽到两名学生都是女生的概率． 21．（8分）某书店准备购进A，B两种课外读物，已知课外读物每本的进价A种比B种多5元，用200元购进A种课外读物和用150元购进B种课外读物的数量相同． （1）A，B两种课外读物每本进价各是多少元？ （2）该书店计划用不超过1425元的资金购进A，B两种课外读物共80本，A，B两种课外读物的每本售价分别为30元和20元．若这两种课外读物全部售出，则该书店应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？ 22．（10分）如图，已知▱ABCD，∠ABC＝120°，点E为线段BC上的一点，连接AE． （1）将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AF，点E的对应点是点F，请用尺规作图作出线段AF（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：点F在∠ABC的平分线上． 23．（10分）根据以下素材，完成探索任务． 探究斜坡上两车之间距离 素材1 图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用BM表示，地面用AN表示，斜坡用AB表示．已知BM∥AN，高架路面BM离地面的距离BH为25米，斜坡AB长为65米． 素材2 如图②，矩形ECKG为一辆大巴车的侧面示意图，CK长为10米，EC长为3.5米．如图③，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形ECKG的顶点K与点B重合，点B与指示路牌底端P点之间的距离BP为6.5米，且BP⊥BM．小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小张的眼睛到斜坡的距离FD为1米． 问题解决 任务一 如图①，求斜坡AB的坡比． 任务二 如图③，当小张正好可以看到整个指示路牌（即P、E、F在同一条直线上）时，试求小张距大巴车尾EC的距离CD． 24．（12分）如图，抛物线y＝mx2﹣4mx+3m（m＞0）与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点坐标为D． （1）求点A和点B的坐标； （2）当∠OCA＝∠OBC时，求抛物线的解析式； （3）若△ABD为等边三角形，对于该抛物线上任意一点P（x0，y0），总有成立，求n的取值范围． 25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E为AB边上一点，过E、B、C三点的圆交线段AC于点D，点A关于直线BD的对称点F落在⊙O上，连CF． （1）求证：∠BCA＝45°； （2）若AB＝6，点E在运动过程中，当点F关于直线CD的对称点正好落在△BDF的边上时，求CD的长； （3）当tan∠CDF＝时，设△CDF的面积为S1，△BDE的面积为S2，求的值． 参考答案与试题解析 一.选择题（共10小题，每小题4分） 1．（4分）2024的相反数是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 【解答】解：2024的相反数是﹣2024， 故选：B． 2．（4分）一个几何体如图水平放置，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意知，该几何体的主视图为， 故选：B． 3．（4分）2024年3月5日，李强总理在十四届全国人大二次会议上提到2023年全国城镇新增就业1244万人．将数据12440000用科学记数法表示为（　　） A．1244×104 B．124.4×105 C．12.44×106 D．1.244×107 【解答】解：12440000＝1.244×107， 故选：D． 4．（4分）下列运算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．（﹣2a2）3＝﹣6a6 C．a4÷a＝a3 D．2a+3a＝5a2 【解答】解：A．a2•a3＝a5，故该选项不正确，不符合题意； B．（﹣2a2）3＝﹣8a6，故该选项不正确，不符合题意； C．a4÷a＝a3，故该选项正确，符合题意； D．2a+3a＝5a，故该选项不正确，不符合题意． 故选：C． 5．（4分）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（　　） A．x﹣1＞y﹣1 B．x+1＞y+1 C．﹣2x＜﹣2y D．2x＜2y 【解答】解：A、在不等式x＜y的两边同时减去1，不等号的方向不变，即x﹣1＜y﹣1，不符合题意； B、在不等式x＜y的两边同时加上1，不等号的方向不变，即x+1＜y+1，不符合题意； C、在不等式x＜y的两边同时乘﹣2，不等号法方向改变，即﹣2x＞﹣2y，不符合题意； D、在不等式x＜y的两边同时乘2，不等号的方向不变，即2x＜2y，符合题意． 故选：D． 6．（4分）小明收集整理了本校八年级1班20名同学的定点投篮比赛成绩（每人投篮10次），并绘制了折线统计图，如图所示．那么这次比赛成绩的中位数、众数分别是（　　） A．6，7 B．7，7 C．5，8 D．7，8 【解答】解：八年级1班20名同学的定点投篮比赛成绩按照从小到大的顺序排列如下： 3，3，5，5，5，5，6，6，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9， 这次比赛成绩的中位数是＝7，众数是7， 故选：B． 7．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知CE＝3，AB＝6，△AEB的面积为（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 【解答】解：由基本作图得到AE平分∠BAC， ∴点E为AC和AB的距离相等， ∴点E到AB的距离等于AC，即点E到AB的距离为3， ∴S△ABE＝×6×3＝9． 故选：B． 8．（4分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少辆车？设共有x辆车，则（　　） A．3（x﹣2）＝2x+9 B．3（x+2）＝2x﹣9 C． D． 【解答】解：由题意可得， 3（x﹣2）＝2x+9， 故选：A． 9．（4分）如图，△ABC的三个顶点均在⊙O上，BD是⊙O的直径．若∠BAC＝130°，则∠CBD的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 【解答】解：连接CD， ∵∠BAC＝130°， ∴∠D＝180°﹣130°＝50°， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， ∴∠CBD＝90°﹣50°＝40°， 故选：B． 10．（4分）如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，将△BDE先向右平移得到△GFH，再绕顶点G逆时针旋转使得点F，H分别在边AB和AC上．现给出以下两个结论： ①仅已知△ABC的周长，就可求五边形DECHF的周长； ②仅已知△AFH的面积，就可求五边形DECHF的面积． 下列说法正确的是（　　） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②均正确 D．①②均错误 【解答】解：∵△ABC，△BDE，△FGH都是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，BE＝DE＝BD＝FG＝FH＝GH，∠A＝∠B＝∠C＝∠GFH＝∠GHF＝∠FGH＝60°， ∵∠BFH＝∠A+∠AHF＝∠BFG+∠GFH， ∴∠BFG＝∠AHF， ∴△AFH≌△BGF（AAS）， 同理可证：△AFH≌△CGH， ∴CH＝AF＝BG，CG＝AH＝BF， ∴五边形DECHF的周长＝DF+DE+EC+CH+FH＝DF+AF+BD+BE+EC＝AB+BC， ∴仅已知△ABC的周长，就可求五边形DECHF的周长；故①正确； ∵△AFH≌△BGF，△AFH≌△CGH， ∴S△AFH＝S△BGF＝S△CGH， ∵S△FGH＝S△BDE＝S△ABC﹣3S△AFH， ∴S△ABC﹣S△BDE＝3S△AFH， ∴五边形DECHF的面积＝S△ABC﹣S△BDE﹣S△AFH＝2S△AFH， ∴仅已知△AFH的面积，就可求五边形DECHF的面积．故②正确， 故选：C． 二.填空题（共6小题，每小题4分） 11．（4分）写出一个无理数x，使得1＜x＜4，则x可以是 　　（只要写出一个满足条件的x即可）． 【解答】解：∵1＜2＜16， ∴1＜＜4， ∵是无理数， 故答案为：． 12．（4分）若反比例函数的图象经过点（2，3），（6，m），则m＝　1　． 【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（2，3），（6，m）， ∴2×3＝6m， 解得m＝1． 故答案为：1． 13．（4分）正多边形的一个内角等于144°，则该正多边形的边数为 　10　． 【解答】解：设这个多边形为n边形，由题意得， ＝144， 解得，n＝10， 即这个正多边形为正十边形． 故答案为：10． 14．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝4cm，则EF＝　4　cm． 【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线， ∴CD＝AB． 又∵E、F分别是BC、CA的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF＝AB． ∵CD＝4cm， ∴EF＝CD＝4cm． 故答案为：4． 15．（4分）若+＝3，则的值为 　　． 【解答】解：∵+＝3， ∴＝3，即b+a＝3ab， 则＝＝＝， 故答案为：． 16．（4分）已知y＝ax2﹣4ax（a＜0）上有A（m，y1）和B（2m，y2）两点．若点A，B都在直线y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，则m的取值范围是 　＜m＜　． 【解答】解：∵a＜0， ∴y＝﹣3a＞0， ∵A（m，y1）和B（2m，y2）两点都在直线y＝﹣3a的上方，且y1＞y2， ∴4am2﹣8am＞﹣3a， ∴4m2﹣8m+3＜0， ∴＜m＜①， ∵二次函数y＝ax2﹣4ax（a是常数，a＜0）的图象上有A（m，y1）和B（2m，y2）两点． ∴am2﹣4am＞4am2﹣8am， ∴3am2＜4am， ∵a＜0，m＞0， ∴am＜0， ∴m＞②， 由①②得＜m＜． 故答案为：＜m＜． 三.解答题（共9小题，共86分） 17．（8分）计算：． 【解答】解：原式＝2+﹣1 ＝1﹣． 18．（8分）如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝BC．求证：AD＝EB． 【解答】证明：∵BD∥CE， ∴∠ABD＝∠C， 在△ABD和△ECB中， ∴△ABD≌△ECB（SAS）， ∴AD＝EB． 19．（8分）先化简，再求值：，其中b﹣a＝2． 【解答】解：原式＝• ＝• ＝， 当b﹣a＝2 时，即b＝a+2，原式＝． 20．（8分）某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，体能分为A、B、C，D四个等级．根据测试结果绘制了如图所示两幅不完整的统计图，根据图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样调查共抽取了 　50　名学生； （2）若该中学九年级共有600名学生，请你估计该中学九年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？ （3）若从体能为A等级的2名男生和2名女生中随机的抽取2名学生，代表学校参加比赛，求抽到两名学生都是女生的概率． 【解答】解：（1）本次抽样调查共抽取了10÷20%＝50（名）学生． 故答案为：50． （2）600×＝48（名）． ∴估计该中学九年级学生中体能测试结果为D等级的学生约有48名． （3）列表如下： 男 男 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 共有12种等可能的结果，其中抽到两名学生都是女生的结果有2种， ∴抽到两名学生都是女生的概率为＝． 21．（8分）某书店准备购进A，B两种课外读物，已知课外读物每本的进价A种比B种多5元，用200元购进A种课外读物和用150元购进B种课外读物的数量相同． （1）A，B两种课外读物每本进价各是多少元？ （2）该书店计划用不超过1425元的资金购进A，B两种课外读物共80本，A，B两种课外读物的每本售价分别为30元和20元．若这两种课外读物全部售出，则该书店应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【解答】解：（1）设A种课外读物每本的进价是x元，则B种课外读物每本的进价是（x﹣5）元， 由题意得＝， 解得：x＝20， 经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意， x﹣5＝15， 答：A种课外读物每本的进价是20元，B种课外读物每本的进价是15元； （2）设购买A种课外读物a本，则购买B种课外读物（80﹣a）本， 由题意得 20a+15（80﹣a）≤1425， 解得：a≤45， 设利润为y元，y＝（30﹣20）a+（20﹣15）（80﹣a）＝5a+400， ∵k＝5＞0，即y随x的增大而增大， ∴当a＝45时，y最大值为625元， 答：书店购进A种课外读物45本，B种课外读物35本时获得利润最大，最大利润为625元． 22．（10分）如图，已知▱ABCD，∠ABC＝120°，点E为线段BC上的一点，连接AE． （1）将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AF，点E的对应点是点F，请用尺规作图作出线段AF（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：点F在∠ABC的平分线上． 【解答】（1）解：如图，线段AF即为所求。 （2）证明：在AD上取一点H,使得AH＝AB,连接BH,FH． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC, ∴∠DAB+∠ABC＝180°, ∵∠ABC＝120°, ∴∠BAH＝60°, ∵AH＝AB, ∴△ABH是等边三角形， ∴∠AHB＝∠ABH＝60°, ∵∠EAF＝60°, ∴∠EAF＝∠BAH, ∴∠FAH＝∠EAB, 在△FAH和△EAB中， , ∴△FAH≌△EAB(SAS0, ∴∠AHF＝∠ABE＝120°, ∴∠AHF+∠AHB＝180°, ∴B,H,F共线， ∵∠FBA＝∠FBE＝60°, ∴点F在∠ABC的角平分线上。 23．（10分）根据以下素材，完成探索任务． 探究斜坡上两车之间距离 素材1 图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用BM表示，地面用AN表示，斜坡用AB表示．已知BM∥AN，高架路面BM离地面的距离BH为25米，斜坡AB长为65米． 素材2 如图②，矩形ECKG为一辆大巴车的侧面示意图，CK长为10米，EC长为3.5米．如图③，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形ECKG的顶点K与点B重合，点B与指示路牌底端P点之间的距离BP为6.5米，且BP⊥BM．小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小张的眼睛到斜坡的距离FD为1米． 问题解决 任务一 如图①，求斜坡AB的坡比． 任务二 如图③，当小张正好可以看到整个指示路牌（即P、E、F在同一条直线上）时，试求小张距大巴车尾EC的距离CD． 【解答】解：任务一． 由题意得：BH⊥AH． ∴∠H＝90°． ∵BH＝25米，AB＝65米， ∴AH＝＝60（米）． ∴斜坡AB的坡比＝＝＝1：2.4． 答：斜坡AB的坡比为1：2.4； 任务二．作FM⊥EC于点E，延长EG交PB于点N，作PQ⊥GN于点Q． ∴∠FMC＝∠FME＝∠Q＝90°． 由题意得：∠H＝90°， ∴∠BDH+∠DBH＝90°． 由任务一得：BH：DH：BD＝5：12：13． 由题意得：∠GBM＝90°，GB＝EC＝3.5 m． ∴∠DBH+∠GBN＝90°． ∴∠BDH＝∠GBN． ∴tan∠BDH＝tan∠GBN． ∴＝． 解得：GN＝． 同理：cos∠BDH＝cos∠GBN． ∴＝． 解得：BN＝． ∵BP＝6.5 m， ∴PN＝﹣＝ m． 由题意得：∠EGB＝90°， ∴∠BGN＝90°． ∴BG∥QP． ∴∠NPQ＝∠GBN． ∴sin∠NPQ＝sin∠GBN． ＝NQ：． 解得：NQ＝（m）． ∴PQ＝＝＝2.5（m），EQ＝10++＝＝12.5（m）． 由题意得：∠MEG＝90°，四边形CDFM是矩形， ∴FM∥EQ，MC＝DF＝1 m，FM＝DC． ∴∠EFM＝∠PEQ． ∵EC＝3.5 m， ∴EM＝2.5（m）． ∴EM＝PQ． ∴△FEM≌△EPQ． ∴FM＝EQ＝12.5（m）． ∴CD＝12.5（m）． 答：小张距大巴车尾EC的距离CD为12.5m． 24．（12分）如图，抛物线y＝mx2﹣4mx+3m（m＞0）与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点坐标为D． （1）求点A和点B的坐标； （2）当∠OCA＝∠OBC时，求抛物线的解析式； （3）若△ABD为等边三角形，对于该抛物线上任意一点P（x0，y0），总有成立，求n的取值范围． 【解答】解：（1）根据题意，抛物线y＝mx2﹣4mx+3m（m＞0）与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C， 把y＝0代入y＝mx2﹣4mx+3m， 得mx2﹣4mx+3m＝0， ∵m＞0， ∴x2﹣4x+3＝0， 解得x1＝1，x2＝3． ∵点A在点B的左侧， ∴A（1，0），B（3，0）； （2）把x＝0代入y＝mx2﹣4mx+3m， 得y＝3m， ∴点C（0，3m）， ∴OC＝3m， ∵△OAC∽△OCB， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴抛物线的解析式为． （3）过点D作DE⊥x轴于点E，如图所示， ∵△ABD是等边三角形，AB＝3﹣1＝2， ∴，AD＝AB＝2，∠EAD＝60°， ∴， ∴， ∴， 把 代入＝mx2﹣4mx+3m， 得， 解， ∵对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有成立， ∴， 令w＝﹣﹣3y0﹣4（y0≥﹣）， 对称轴为， ∵， ∴当时，w随y0的增大而减小， ∴当时，w取最大值为﹣， ∵总有在成立， ∴， 解得． 25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E为AB边上一点，过E、B、C三点的圆交线段AC于点D，点A关于直线BD的对称点F落在⊙O上，连CF． （1）求证：∠BCA＝45°； （2）若AB＝6，点E在运动过程中，当点F关于直线CD的对称点正好落在△BDF的边上时，求CD的长； （3）当tan∠CDF＝时，设△CDF的面积为S1，△BDE的面积为S2，求的值． 【解答】（1）证明：∵点A、点F关于直线BD对称， ∴△ABD≌△FBD，∠A＝∠BFD， ∵∠BFD＝∠BCA， ∴∠A＝∠BCA， 又∵∠ABC＝90°， ∴∠BCA＝∠A＝45°； （2）解：由（1）得：∠ABD＝∠FBD＝∠DCF，∠BCA＝∠A＝45°， ∴AB＝BC， ∵∠BFC＝∠BDC＝∠A+∠ABD＝45°+∠ABD，∠BCF＝∠BCA+∠DCF＝45°+∠DCF， ∴∠BFC＝∠BCF， ∴BF＝BC＝AB＝6， 分两种情况： ①当点F关于直线CD的对称点正好落在△BDF的BD边上G点时，连接GF，如图1所示： 则∠FDC＝∠BDC， ∵∠FDC＝∠FBC，∠BDC＝∠CFB， ∴∠FBC＝∠CFB， ∴FC＝BC， ∴△BCF为等边三角形， ∴∠BDC＝∠CFB＝60°， 过B作BH⊥AC于H， 在Rt△CBH中，∠BCH＝45°， ∴CH＝BH＝BC＝3， 在Rt△DBH中，∠BDC＝60°， ∴∠DBH＝30°， ∴DH＝BH＝， ∴CD＝CH+DH＝3+； ②当点F关于直线CD的对称点正好落在△BDF的BF边上I点时，设BF与CD交于点M，连接DI，如图2所示： 则DI＝DF， ∵∠DFI＝∠BCA＝45°， ∴△DFI是等腰直角三角形， ∴△DMF、△BMC也是等腰直角三角形， ∴DM＝FM，BM＝CM， ∴CD＝BF＝AB＝6； 综上所述，当点F关于直线CD的对称点正好落在△BDF的边上时，CD的长为3+或6； （3）解：作BJ⊥CF交AC于J，连接FJ，作FL⊥DC于L，作DK⊥AB于K，如图3所示： ∵BF＝BC， ∴JF＝JC，∠BFC＝∠BCF， ∴∠JFC＝∠JCF， ∴∠BFJ＝∠BCJ＝45°， ∴∠DFJ＝45°+45°＝90°， ∵tan∠CDF＝＝， ∴设FJ＝4a， 则DF＝3a， 由勾股定理得：DJ＝＝＝5a， ∵JC＝JF＝4a， ∴DC＝5a+4a＝9a， ∵DF•FJ＝DJ•FL， ∴FL＝＝＝a， ∴S1＝×9a×a＝a2， ∵点A、点F关于直线BD对称， ∴AD＝DF，∠ABD＝∠FBD， ∴DE＝DF， ∴DE＝DF＝3a， ∵∠KED＝∠EBD+∠EDB＝∠DCB＝45°， ∴△DKE是等腰直角三角形， ∴DK＝DE＝×3a＝a， ∵DK⊥AB，∠ABC＝90°， ∴DK∥BC， ∴△ADK∽△ACB， ∴＝＝＝， ∴BC＝4KD＝4×a＝6a， ∴AB＝BC＝6a， ∵∠CDE+∠ABC＝180°，∠ABC＝90°， ∴∠CDE＝90°， ∴∠ADE＝90°， ∵∠A＝45°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴BE＝DE＝×3a＝3a， ∴BE＝AB﹣AE＝6a﹣3a＝3a， ∴S2＝×3a×a＝a2， ∴＝＝． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$