精品解析：河南省三门峡市渑池县第二高级中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

渑池二高2023-2024学年度下学期期中考试 高一数学试题 注意事项：考试时间120分钟，满分150分.答案写在答题卡，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡. 一、单选题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合复数的几何意义分析求解. 【详解】由题意可知：复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 2. 已知向量满足，，则（       ） A 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先利用两边平方得到，再算出即可得到答案 【详解】解：因为，， 所以，所以 所以即， 故选：C 3. 如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），，，则的面积为（ ） A. B. C. 24 D. 48 【答案】D 【解析】 【分析】由直观图得到平面图形，再求出相应的线段长，最后由面积公式计算可得. 【详解】由直观图可得如下平面图形： 其中，，，轴，且， 所以. 故选：D 4. 已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径，母线为，外接球的半径为，依题意求出、，即可得，最后由球的表面积公式计算可得. 【详解】依题意圆锥高，设圆锥的底面半径，母线为，圆锥的外接球的半径为， 因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，则，解得， 可知， 所以圆锥的外接球球的表面积. 故选：C. 5. 某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（ ） A. 该几何体的面是等边三角形或正方形 B. 该几何体恰有12个面 C. 该几何体恰有24条棱 D. 该几何体恰有12个顶点 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体的形状逐个选项判断即可. 【详解】据图可得该几何体的面是等边三角形或正方形，A正确；该几何体恰有14个面，B不正确；该几何体恰有24条棱，C正确；该几何体恰有12个顶点，D正确． 故选：B 6. 蒙古包（Mongolianyurts）是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称作穹庐､毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米，则该蒙古包（含底面）的表面积为（ ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可求出底面圆的半径，即可求出圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积公式以及圆柱的侧面积公式结合圆的面积公式，即可求得答案. 【详解】由题意知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米， 设底面圆的半径为r，则， 则圆锥的母线长为（米）， 故该蒙古包（含底面）的表面积为（平方米）， 故选：A 7. 正方形的边长为2，E是的中点，F是的中点，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助平面向量的线性运算与平面向量的数量积公式计算即可得. 【详解】 故选：D. 8. 在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理可判定选项A，利用正弦定理和大边对大角可判断选项B，C，D. 【详解】对于A，已知三角形三边，且任意两边之和大于第三边， 任意两边之差小于第三边，从而可由余弦定理求内角，只有一解，A错误； 对于B，根据正弦定理得，， 又，，B有两解，故B符合题意； 对于C，由正弦定理：得：， C只有一解，故C不符合题意. 对于D，根据正弦定理得，， 又，，D只有一解，故D不符合题意. 故选：B 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知向量，则下列说法不正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 与夹角为钝角时，则的取值范围为 D. 当时，在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用向量线性运算坐标表示列方程判断A；向量垂直的坐标表示列方程判断B；注意有向量反向共线判断C；根据投影向量定义求投影向量的坐标判断D. 【详解】A：由，则，不正确； B．由题意，则，正确； C：当时，即向量反向共线，此时夹角不钝角，不正确； D：时在上的投影向量为，不正确． 故选：ACD 10. (多选题)如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，以下说法正确的是（ ） A. BM∥平面ADE B. CN∥平面BAF C. 平面BDM∥平面AFN D. 平面BDE∥平面NCF 【答案】ABCD 【解析】 【分析】将正方体的平面展开图还原成直观图，结合线面平行和面面平行的判定定理，即可得出结论. 【详解】以ABCD为下底还原正方体，如图所示， 则有BM∥平面ADE，CN∥平面BAF，选项A,B正确； 在正方体中，BD∥FN， 平面平面， 所以BD∥平面AFN，同理BM∥平面AFN， 平面， 所以平面BDM∥平面AFN，同理平面BDE∥平面NCF， 选项C,D正确， 故选：ABCD. 11. 若复数满足，则可能为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】BC 【解析】 【分析】设，由复数的几何意义得出复数对应复平面的轨迹，再由距离公式结合圆的性质得出的范围. 【详解】设 表示以为圆心，为半径的圆 表示点到点之间距离 连接交圆于点，延长线交圆于点 ， 即 故选：BC 三、填空题：（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知中，内角，，的对边分别为，，，，则的形状是__________. 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】由正弦定理以及两角和的正弦公式整理可得，进一步有，即可求解. 【详解】由正弦定理以及，可得， 所以 ， 化简可得：， 因为，，所以，，则， 因为，所以，则的形状是直角三角形； 故答案为：直角三角形 13. 已知向量满足，则向量与的夹角为________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量夹角公式得，从而得解. 【详解】因为， 所以， 设向量与的夹角为， 则， 又，所以. 故答案为： 14. 已知向量（其中）.若与共线，则的最小值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意，由共线向量的坐标表示可得，再结合基本不等式代入计算，即可求解. 【详解】由与共线可得，即，且， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题 15. 如图，在菱形中，. （1）若，求的值； （2）若，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，即可求解； （2），从而即可求解. 【小问1详解】 因为在菱形中，. 故， 故，所以. 【小问2详解】 显然， 所以 ①， 因为菱形，且，， 故，. 所以. 故①式. 故. 16. 现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱 (如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. （1）若，，则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）明确柱体与锥体积公式的区别，分别代入对应公式求解； （2）先根据面积关系建立函数解析式，，然后利用二次函数性质求其最值. 【小问1详解】 由知. 因为， 所以正四棱锥的体积 正四棱柱的体积 所以仓库容积. 【小问2详解】 设，下部分的侧面积为， 则，， ， 设， 当，即时，，. 即当为时，下部分正四棱柱侧面积最大，最大面积是. 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且． （1）求C的大小； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将已知式子统一成角的形式，然后由三角函数恒等变换公式化简可求出C的大小， （2）利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求得三角形的面积 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 因为， 所以, 所以， 因为，所以， 因为，所以 【小问2详解】 由余弦定理得 ， 所以， 所以，解得， 所以 18. 如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点. （1）求证：B，C，H，G四点共面； （2）求证：平面； （3）若底面边长为2，，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1） 借助三角形的中位线，证明，可得B，C，H，G四点共面； （2） 证明，平面， （3）由，求三棱锥的体积. 【小问1详解】 ∵G，H分别是，的中点， ∴GH是的中位线，∴， 又在三棱柱中， ， ∴， ∴B，C，H，G四点共面． 【小问2详解】 ∵在三棱柱中，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面. 【小问3详解】 由题意，知 ． 19. 已知为中边上的中线，． （1）若，求的长； （2）若，求的值及的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】(1)根据题意结合边角关系分析可得为正三角形，进而可得结果； (2)根据结合余弦定理可得，再利用正弦定理可得，进而利用余弦定理运算求解. 【小问1详解】 设，则，． 因为，所以， 所以，所以， 所以，且为中边上的中线，所以， 则为正三角形，所以． 【小问2详解】 依题意可得，设， 因为，可得 由余弦定理得，则， 整理得，即． 由正弦定理得， 即，整理得， 则，则． 在，由余弦定理得， 则，整理得，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 渑池二高2023-2024学年度下学期期中考试 高一数学试题 注意事项：考试时间120分钟，满分150分.答案写在答题卡，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡. 一、单选题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量满足，，则（       ） A 8 B. 4 C. 2 D. 1 3. 如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），，，则的面积为（ ） A. B. C. 24 D. 48 4. 已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（ ） A. 该几何体的面是等边三角形或正方形 B. 该几何体恰有12个面 C. 该几何体恰有24条棱 D. 该几何体恰有12个顶点 6. 蒙古包（Mongolianyurts）是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称作穹庐､毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米，则该蒙古包（含底面）的表面积为（ ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 7. 正方形的边长为2，E是的中点，F是的中点，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 8. 在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解是（ ） A. ，， B. ，， C ，， D. ，， 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知向量，则下列说法不正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 与夹角为钝角时，则的取值范围为 D. 当时，在上的投影向量为 10. (多选题)如图是正方体平面展开图，在这个正方体中，以下说法正确的是（ ） A. BM∥平面ADE B. CN∥平面BAF C. 平面BDM∥平面AFN D. 平面BDE∥平面NCF 11. 若复数满足，则可能为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 三、填空题：（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知中，内角，，的对边分别为，，，，则的形状是__________. 13. 已知向量满足，则向量与的夹角为________． 14. 已知向量（其中）.若与共线，则的最小值为__________. 四、解答题 15. 如图，在菱形中，. （1）若，求的值； （2）若，，求. 16. 现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱 (如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. （1）若，，则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且． （1）求C的大小； （2）求的面积． 18. 如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点. （1）求证：B，C，H，G四点共面； （2）求证：平面； （3）若底面边长为2，，求三棱锥的体积. 19. 已知为中边上的中线，． （1）若，求的长； （2）若，求值及的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$