8.5.2直线与椭圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习

第2课时　直线与椭圆的位置关系 目 录 CONTENTS 2 3 课时 跟踪检测 考点 分类突破 2 PART 1 考点 分类突破 课堂演练 目录 直线与椭圆的位置关系 1. “ a ＝1”是“直线 y ＝ x ＋ a 与椭圆 C ： ＝1有公共点”的 （　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　由 a ＝1，得直线 y ＝ x ＋1过点（0，1）.又点（0，1）在 椭圆 C ： ＝1内部，故 a ＝1⇒直线 y ＝ x ＋ a 与椭圆 C ： ＝1有公共点，而直线 y ＝ x ＋ a 与椭圆 C ： ＝1有公共点 不一定有 a ＝1.所以“ a ＝1”是“直线 y ＝ x ＋ a 与椭圆 C ： ＝1有公共点”的充分不必要条件.故选A. 目录 高中总复习·数学（提升版） 2. 若直线 y ＝ kx ＋1与椭圆 ＝1总有公共点，则 m 的取值范围是 （　　） A. （1，＋∞） B. （0，＋∞） C. （0，1）∪（1，5） D. [1，5）∪（5，＋∞） 解析：　由消去 y 整理得（5 k 2＋ m ） x 2 ＋10 kx ＋5（1－ m ）＝0.由题意知Δ＝100 k 2－20（1－ m ）（5 k 2＋ m ）≥0对一切 k ∈R恒成立，即5 mk 2＋ m 2－ m ≥0对一切 k ∈R恒成 立，由于 m ＞0且 m ≠5，∴ m ≥1－5 k 2恒成立，∴ m ≥1且 m ≠5. 目录 高中总复习·数学（提升版） 3. 已知点 P （ x ， y ）是椭圆 ＝1上任意一点，则点 P 到直线 l ： y ＝ x ＋5的最大距离为（　　） A. B. C. 5 D. 5 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　设直线 y ＝ x ＋ m 与椭圆相切，由得13 x 2＋18 mx ＋9 m 2－36＝0，∴Δ＝（18 m ）2－4×13（9 m 2－36）＝0，解得 m ＝± ，切线方程为 y ＝ x ＋ 和 y ＝ x － ，与 l 距离较远的是 y ＝ x － ，∴所求最大距离为 d ＝ .故选A. 目录 高中总复习·数学（提升版） 练后悟通 研究直线与椭圆位置关系的方法 （1）研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆 方程组成的方程组解的个数问题； （2）对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定 直线和椭圆有交点. 目录 高中总复习·数学（提升版） 弦长问题 【例1】　如图，在平面直角坐标系 Oxy 中，椭圆 ＝1（ a ＞ b ＞0）的离心率为 ，过椭圆右焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB 与 CD . 当直线 AB 的斜率为0时，｜ AB ｜＝4. 目录 高中总复习·数学（提升版） （1）求椭圆的方程； 解：由题意知 e ＝ ，2 a ＝4. 又 a 2＝ b 2＋ c 2，解得 a ＝2， b ＝ ， 所以椭圆方程为 ＝1. 目录 高中总复习·数学（提升版） （2）若｜ AB ｜＋｜ CD ｜＝ ，求直线 AB 的方程. 解：①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦 所在直线的斜率不存在，由题意知｜ AB ｜＋｜ CD ｜＝7， 不满足条件. ②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线 AB 的方程为 y ＝ k （ x －1）， A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2）， 则直线 CD 的方程为 y ＝－ （ x －1）. 将直线 AB 的方程代入椭圆方程中并整理得（3＋4 k 2） x 2－8 k 2 x ＋4 k 2－12＝0， 目录 高中总复习·数学（提升版） 则 x 1＋ x 2＝ ， x 1· x 2＝ ， 所以｜ AB ｜＝ ｜ x 1－ x 2｜ ＝ · . 同理，｜ CD ｜＝ . 所以｜ AB ｜＋｜ CD ｜＝ ＝ ，解得 k ＝±1， 所以直线 AB 的方程为 x － y －1＝0或 x ＋ y －1＝0. 目录 高中总复习·数学（提升版） 解题技法 1. 弦长的求解方法 （1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式 求解； （2）当直线的斜率存在时，斜率为 k 的直线 l 与椭圆 ＝1（ a ＞ b ＞0）相交于 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2）两点，弦中点 M （ x 0， y 0），则：①弦长 l ＝ ｜ x 1－ x 2｜＝ ｜ y 1－ y 2｜；②直线 AB 的斜率 kAB ＝－ . 2. 注意两种特殊情况：（1）直线与椭圆的对称轴平行或垂直；（2） 直线过椭圆的焦点. 目录 高中总复习·数学（提升版） 在平面直角坐标系 Oxy 中，已知椭圆 C ： ＝1（ a ＞ b ＞0）过 点 P （2，1），且离心率 e ＝ . 目录 高中总复习·数学（提升版） （1）求椭圆 C 的方程； 解：∵ e 2＝ ， ∴ a 2＝4 b 2. 又椭圆 C ： ＝1（ a ＞ b ＞0）过点 P （2，1）， ∴ ＝1，∴ a 2＝8， b 2＝2. 故所求椭圆方程为 ＝1. 目录 高中总复习·数学（提升版） （2）直线 l 的斜率为 ，直线 l 与椭圆 C 交于 A ， B 两点.若｜ AB ｜＝ ，求直线 l 的方程. 解：设 l 的方程为 y ＝ x ＋ m ，点 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y2）， 联立整理，得 x 2＋2 mx ＋2 m 2－4＝0. 目录 高中总复习·数学（提升版） ∴Δ＝4 m 2－8 m 2＋16＞0，解得｜ m ｜＜2. ∴ x 1＋ x 2＝－2 m ， x 1 x 2＝2 m 2－4. 则｜ AB ｜＝ ＝ ，解得 m ＝± . 故所求直线 l 的方程为 y ＝ x ± . 目录 高中总复习·数学（提升版） 中点弦问题 【例2】　已知直线 l 与椭圆 ＝1相交于 A ， B 两点，且线段 AB 的中点为 P （1，1）. （1）求直线 l 的方程； 目录 高中总复习·数学（提升版） （2）求△ OAB 的面积. 解：法一　设 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2）. 代入椭圆方程得， ⇒ ＝0， 化简得，－ ＝ kAB ， ∵ x 1＋ x 2＝2， y 1＋ y 2＝2，∴ kAB ＝－ ， ∴直线 l 的方程为 y －1＝－ （ x －1），即3 x ＋4 y －7＝0. 目录 高中总复习·数学（提升版） 法二　由中点弦公式得， kAB ＝－ ＝－ ， ∴直线 l 的方程为 y －1＝－ （ x －1）， 即3 x ＋4 y －7＝0. 目录 高中总复习·数学（提升版） 解：将直线方程与椭圆方程联立，可得21 x 2－42 x ＋1＝0， Δ＝422－4×21＞0，∴ x 1＋ x 2＝2， x 1 x 2＝ . 由弦长公式得｜ AB ｜＝ ｜ x 1－ x 2｜＝ ， 由点到直线的距离公式得，坐标原点到直线 AB 的距离 d ＝ ， ∴△ OAB 的面积 S ＝ . 目录 高中总复习·数学（提升版） 解题技法 中点弦问题常用的求解方法 （1）点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入椭圆方程，并将两式 相减，式中含有 x 1＋ x 2， y 1＋ y 2， 三个未知量，这样就直 接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率； （2）根与系数的关系：即联立直线与椭圆的方程得到方程组，化为 一元二次方程后由根与系数的关系求解. 目录 高中总复习·数学（提升版） （1）（2024·苏州一模）已知椭圆 ＝1（ a ＞ b ＞0）的一条弦 所在的直线方程是2 x － y ＋9＝0，弦的中点坐标是 M （－4， 1），求椭圆的离心率； 目录 高中总复习·数学（提升版） 解：设直线2 x － y ＋9＝0与椭圆相交于 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2）两点，弦的中点坐标是 M （－4，1）， 则 x 1＋ x 2＝－8， y 1＋ y 2＝2，直线 AB 的斜率 k ＝ ＝2. 由 两式相减得 ＝0， ∴ ＝－ ＝2，∴ ， 故椭圆的离心率 e ＝ . 目录 高中总复习·数学（提升版） （2）已知 P （ ）为椭圆 ＋ y 2＝1内一定点，经过 P 引一条弦， 使此弦被 P 点平分，求此弦所在的直线方程. 解：法一　易知此弦所在直线斜率存在，设斜率为 k ，弦的两端 点为 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2）， 则有 ＝1， ＝1， 两式作差，得 ＋（ y 2－ y 1）（ y 2＋ y 1）＝0， ∵ x 1＋ x 2＝1， y 1＋ y 2＝1，∴ ＋（ y 2－ y 1）＝0， 目录 高中总复习·数学（提升版） 法二　由中点弦公式得， k ＝－ ＝－ ， ∴此弦所在的直线方程为 y － ＝－ （ x － ），即2 x ＋4 y －3＝0. ∴ k ＝ ＝－ ，经检验， k ＝－ 满足题意， ∴此弦所在的直线方程为 y － ＝－ （ x － ），即2 x ＋4 y －3＝0. 目录 高中总复习·数学（提升版） PART 2 课时 跟踪检测 关键能力 分层施练 素养重提升 课后练习 目录 1. 已知直线 l ： x ＋ y －3＝0，椭圆 ＋ y 2＝1，则直线与椭圆的位置 关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　联立消去 y ，整理得，5 x 2－24 x ＋32＝ 0，该方程判别式Δ＝（－24）2－4×5×32＝576－640＝－64＜0， 即直线和椭圆没有交点，故直线和椭圆相离.故选C. 目录 高中总复习·数学（提升版） 2. （2024·咸阳一模）已知直线 y ＝ kx ＋1，当 k 变化时，此直线被椭 圆 ＋ y 2＝1截得的最大弦长是（　　） A. 2 B. C. 4 D. 不能确定 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　直线恒过定点（0，1），且点（0，1）在椭圆上，可设 另外一个交点为（ x ， y ），则弦长为 （－1≤ y ≤1），当 y ＝ － 时，弦长最大为 . 目录 高中总复习·数学（提升版） 3. （2024·临泉一模）直线 x ＋4 y ＋ m ＝0交椭圆 ＋ y 2＝1于 A ， B 两 点，若线段 AB 中点的横坐标为1，则 m ＝（　　） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　∵ x ＋4 y ＋ m ＝0，∴ y ＝－ x － ，设 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2），由 两式相减得， ＝－ ＝－ ，由 x 1＋ x 2＝2，得 y 1＋ y 2＝ ，则 AB 中点的纵 坐标为 ，将（1， ）代入直线 y ＝－ x － ，解得 m ＝－2. 目录 高中总复习·数学（提升版） 4. 已知椭圆 C ： ＝1（ a ＞ b ＞0）， F 为其左焦点，直线 y ＝ kx （ k ＞0）与椭圆 C 交于点 A ， B ，且 AF ⊥ AB . 若∠ ABF ＝30°， 则椭圆 C 的离心率为（　　 ） A. B. C. D. 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　设椭圆的右焦点为 F 2，连接 AF 2， BF 2，故四边形 AFBF 2为平行四边形，设｜ AF ｜＝ m ，∠ ABF ＝30°，则｜ FB ｜＝2 m ，｜ BF 2｜＝｜ AF ｜＝ m ，｜ BF ｜＋｜ BF 2｜＝2 m ＋ m ＝2 a ， m ＝ a ，在△ BFF 2中，（2 c ）2＝（ a ）2＋ （ a ）2－2× a × a × cos 120°，整理得到4 c 2＝ ，即 c ＝ a ，故 e ＝ ，故选A. 目录 高中总复习·数学（提升版） 5. （多选）设椭圆 ＝1的右焦点为 F ，直线 y ＝ m （0＜ m ＜ ）与椭圆交于 A ， B 两点，则（　　） A. ｜ AF ｜＋｜ BF ｜为定值 B. △ ABF 的周长的取值范围是[6，12] C. 当 m ＝ 时，△ ABF 为直角三角形 D. 当 m ＝1时，△ ABF 的面积为 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　设椭圆的左焦点为 F '，则｜ AF '｜＝｜ BF ｜，∴｜ AF ｜＋｜ BF ｜＝｜ AF ｜＋｜ AF '｜＝6为定值，A正确；△ ABF 的 周长为｜ AB ｜＋｜ AF ｜＋｜ BF ｜，∵｜ AF ｜＋｜ BF ｜为定值 6，且｜ AB ｜的取值范围是（0，6），∴△ ABF 的周长的取值范围 是（6，12），B错误； 目录 高中总复习·数学（提升版） 设点 A 在点 B 的左侧，将 y ＝ 与椭圆方程联立，可解得 A ， B ，又∵ F （ ，0），∴ · ＝0.∴△ ABF 为直角三角形，C正确；将 y ＝1与椭 圆方程联立，解得 A （－ ，1）， B （ ，1），∴ S △ ABF ＝ ×2 ×1＝ ，D正确.故选A、C、D. 目录 高中总复习·数学（提升版） 6. 已知 F 1， F 2分别为椭圆 ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦点，｜ F 1 F 2｜＝2，过椭圆左焦点且斜率为2的直线交椭圆于 A ， B 两点， 若 ＝4，则弦长｜ AB ｜＝ 　2 　. 解析：∵ ＝4，∴ ×｜ F 1 F 2｜×｜ yA － yB ｜＝4，又∵｜ F 1 F 2｜＝2，∴｜ yA － yB ｜＝4，∵直线过椭圆左焦点且斜率为2， ∴｜ AB ｜＝ ｜ yA － yB ｜＝ ×4＝2 . 2 　 目录 高中总复习·数学（提升版） 7. 与椭圆 ＋ y 2＝1有相同的焦点且与直线 l ： x － y ＋3＝0相切的椭 圆的离心率为 ⁠. ​ 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：因为所求椭圆与椭圆 ＋ y 2＝1有相同的焦点，所以可设所 求椭圆的方程为 ＝1（ a ＞1），联立方程组 ⇒（2 a 2－1） x 2＋6 a 2 x ＋10 a 2－ a 4＝0，因为直 线 l 与椭圆相切，所以Δ＝36 a 4－4（2 a 2－1）（10 a 2－ a 4）＝0， 化简得 a 4－6 a 2＋5＝0，即 a 2＝5或 a 2＝1（舍）.则 a ＝ .又 c ＝ 1，所以 e ＝ . 目录 高中总复习·数学（提升版） 8. 已知椭圆 C ： ＝1（ a ＞ b ＞0）的一个顶点为 A （2，0）， 离心率为 .直线 y ＝ k （ x －1）与椭圆 C 交于不同的两点 M ， N . （1）求椭圆 C 的方程； 解：由题意得解得 b ＝ . 所以椭圆 C 的方程为 ＝1. 目录 高中总复习·数学（提升版） （2）当△ AMN 的面积为 时，求 k 的值. 解：由消去 y 得（1＋2 k 2） x 2－4 k 2 x ＋2 k 2－4 ＝0，显然Δ＞0. 设点 M ， N 的坐标分别为（ x 1， y 1），（ x 2， y 2）， 则 x 1＋ x 2＝ ， x 1 x 2＝ . 所以｜ MN ｜＝ ＝ . 目录 高中总复习·数学（提升版） 又因为点 A （2，0）到直线 y ＝ k （ x －1）的距离 d ＝ ， 所以△ AMN 的面积为 S ＝ ｜ MN ｜· d ＝ . 由 ，解得 k ＝±1. 目录 高中总复习·数学（提升版） 9. （2024·新高考Ⅱ卷5题）已知椭圆 C ： ＋ y 2＝1的左、右焦点分别 为 F 1， F 2，直线 y ＝ x ＋ m 与 C 交于 A ， B 两点，若△ F 1 AB 面积是 △ F 2 AB 面积的2倍，则 m ＝（　　） A. B. C. － D. － 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　由题意， F 1（－ ，0）， F 2（ ，0），△ F 1 AB 面 积是△ F 2 AB 面积的2倍，所以点 F 1到直线 AB 的距离是点 F 2到直线 AB 的距离的2倍，即 ＝2× ，解得 m ＝－ 或 m ＝－3 （舍去），故选C. 目录 高中总复习·数学（提升版） 10. 过椭圆内定点 M 且长度为整数的弦，称作该椭圆过点 M 的“好 弦”.在椭圆 ＝1中，过点 M （4 ，0）的所有“好弦”的 长度之和为（　　） A. 120 B. 130 C. 240 D. 260 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　由已知可得 a ＝8， b ＝4，所以 c ＝4 ，故 M 为椭圆 的右焦点，由椭圆的性质可得当过焦点的弦垂直 x 轴时弦长最短， 所以当 x ＝4 时，最短的弦长为 ＝4，当弦与 x 轴重合 时，弦长最长为2 a ＝16，则弦长的取值范围为[4，16]，故弦长为 4到16的所有整数，则“好弦”的长度和为4＋16＋（5＋6＋7＋… ＋15）×2＝240. 目录 高中总复习·数学（提升版） 11. 国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图①所示，内外两圈的钢 骨架是离心率相同的椭圆.某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同， 其平面图如图②所示，若由外层椭圆长轴一端点 A 和短轴一端点 B 分别向内层椭圆引切线 AC ， BD ，且两切线斜率之积等于－ ，则 椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　设内层椭圆方程为 ＝1（ a ＞ b ＞0），∵内外椭 圆离心率相同，∴外层椭圆可设成 ＝1（ m ＞ 1），设切线 AC 的方程为 y ＝ k 1（ x ＋ ma ），与 ＝1联立得 （ b 2＋ a 2 ） x 2＋2 ma 3 x ＋ m 2 a 4 － a 2 b 2＝0，由Δ＝0， 则 · ，同理可得 ·（ m 2－1），∴ · ＝ （－ ）2， 则 ，因此 e ＝ .故选D. 目录 高中总复习·数学（提升版） 12. （多选）设椭圆的方程为 ＝1，斜率为 k 的直线不经过原点 O ，而且与椭圆相交于 A ， B 两点， M 为线段 AB 的中点，下列结 论中正确的有（　　） A. 直线 AB 与 OM 垂直 B. 若点 M 坐标为（1，1），则直线方程为2 x ＋ y －3＝0 C. 若直线方程为 y ＝ x ＋1，则点 M 坐标为（ ） D. 若直线方程为 y ＝ x ＋2，则｜ AB ｜＝ 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　对于A项，当 k ≠0时，根据椭圆的中点弦的性质得 kAB · kOM ＝－ ＝－2≠－1，所以A项不正确；对于B项，根据 kAB · kOM ＝－2，所以 kAB ＝－2，所以直线方程为 y －1＝－2（ x － 1），即2 x ＋ y －3＝0，所以B项正确；对于C项，若直线方程为 y ＝ x ＋1，点 M （ ），则 kAB · kOM ＝1×4＝4≠－2，所以C项不 正确； 目录 高中总复习·数学（提升版） 对于D项，若直线方程为 y ＝ x ＋2，与椭圆方程 ＝1联立，得 到2 x 2＋（ x ＋2）2－4＝0，整理得3 x 2＋4 x ＝0，解得 x 1＝0， x 2＝－ ，所以｜ AB ｜＝ ×｜－ －0｜＝ ，所以D正确.故选B、D. 目录 高中总复习·数学（提升版） 13. 已知直线 x ＋3 y －7＝0与椭圆 ＝1（0＜ b ＜3）相交于 A ， B 两点，椭圆的两个焦点分别是 F 1， F 2，线段 AB 的中点为 C （1，2），则△ CF 1 F 2的面积为 ⁠. 2 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：设 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2），则 两式相 减，得 ＝－ ，因为直线 AB 的斜率为－ ，则 ＝－ ，线段 AB 的中点为 C （1，2），所以－ ＝－ ，解 得 b 2＝6.因为 a ＝3，所以 c ＝ ，故△ CF 1 F 2的面积为 ×2 ×2 ＝2 . 目录 高中总复习·数学（提升版） 14. 已知椭圆 ＝1（ a ＞ b ＞0）的一个顶点为 A （0，－3），右 焦点为 F ，且｜ OA ｜＝｜ OF ｜，其中 O 为原点. （1）求椭圆的方程； 解：由已知可得 b ＝3.记半焦距为 c ，由｜ OF ｜＝｜ OA ｜可得 c ＝ b ＝3. 又由 a 2＝ b 2＋ c 2，可得 a 2＝18. 所以椭圆的方程为 ＝1. 目录 高中总复习·数学（提升版） （2）已知点 C 满足3 ，点 B 在椭圆上（ B 异于椭圆的顶 点），直线 AB 与以 C 为圆心的圆相切于点 P ，且 P 为线段 AB 的中点，求直线 AB 的方程. 目录 高中总复习·数学（提升版） 解：因为直线 AB 与以 C 为圆心的圆相切于点 P ，所以 AB ⊥CP . 依题意，直线 AB 和直线 CP 的斜率均存在. 设直线 AB 的方程为 y ＝ kx －3. 由方程组消去 y ，可得（2 k 2＋1） x 2－12 kx ＝0， 解得 x ＝0或 x ＝ . 目录 高中总复习·数学（提升版） 依题意，可得点 B 的坐标为 . 因为 P 为线段 AB 的中点，点 A 的坐标为（0，－3），所以点 P 的 坐标为 . 目录 高中总复习·数学（提升版） 由3 ，得点 C 的坐标为（1，0），故直线 CP 的斜率为 ，即 kCP ＝ . 又因为 AB ⊥ CP ，所以 k · ＝－1，整理得2 k 2－3 k ＋1＝ 0，解得 k ＝ 或 k ＝1. 所以直线 AB 的方程为 y ＝ x －3或 y ＝ x －3. 目录 高中总复习·数学（提升版） 15. （多选）已知 O 为坐标原点，椭圆 T ： ＝1的右焦点为 F ， 过点 F 的直线交椭圆 T 于 A ， B 两点，则下列结论正确的是（　　） A. ｜ AB ｜的最小值为 B. 若 M （异于点 F ）为线段 AB 的中点，则直线 AB 与 OM 的斜率之积 为－ C. 若 ＝－2 ，则直线 AB 的斜率为± D. △ AOB 面积的最大值为3 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　对于A，易知当直线 AB 垂直于 x 轴时，｜ AB ｜取得最 小值，由椭圆 T 的方程知 F （1，0），当 x ＝1时， y ＝± ，所 以｜ AB ｜的最小值为3，故A错误； 目录 高中总复习·数学（提升版） 对于B，设 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2）， M （ x 0， y 0）， x 1≠ x 2， x 0≠1，因为 M 为线段 AB 的中点，所以 x 0＝ ， y 0＝ ，又点 A ， B 在椭圆 T 上，所以 ＝1， ＝1，两式相减得 ＝－ · ＝－ · ，所以 · ＝－ ，即直线 AB 与 OM 的斜 率之积为－ ，故B正确； 目录 高中总复习·数学（提升版） 对于C，易知直线 AB 的斜率存在且不为零，设直线 AB 的方程为 x ＝ my ＋1，代入椭圆 T 的方程得（3 m 2＋4） y 2＋6 my －9＝0，则 y 1＋ y 2 ＝ ， y 1 y 2＝ ，因为 ＝－2 ，所以 y 1＝－2 y 2，所以 y 1＋ y 2＝－ y 2＝ ，则 y 2＝ ， y 1＝ ，所以 y 1 y 2＝ · ，解得 m ＝± ，所以直线 AB 的斜率为± ， 故C正确； 目录 高中总复习·数学（提升版） 对于D，△ AOB 的面积 S ＝ ｜ OF ｜｜ y 1－ y 2｜＝ ｜ y 1－ y 2｜＝ ，令 ＝ t ，则 t ≥1， S ＝ ，因为函数 y ＝3 t ＋ 在 t ∈[1，＋∞）上单调递增，所 以当 t ＝1，即 m ＝0时，△ AOB 的面积取得最大值，且最大值为 ，故 D错误. 目录 高中总复习·数学（提升版） 16. 如图所示，设椭圆 ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦点分别为 F 1， F 2，点 D 在椭圆上， DF 1⊥ F 1 F 2， ＝2 ，△ DF 1 F 2 的面积为 . （1）求椭圆的标准方程； 目录 高中总复习·数学（提升版） 解：设 F 1（－ c ，0）， F 2（ c ，0），其中 c 2＝ a 2－ b 2. 由 ＝2 ，得｜ DF 1｜＝ c . ∵ ｜ DF 1｜｜ F 1 F 2｜＝ c 2＝ ，∴ c ＝1， ∴｜ DF 1｜＝ . 目录 高中总复习·数学（提升版） 由 DF 1⊥ F 1 F 2，得｜ DF 2｜2＝｜ DF 1｜2＋｜ F 1 F 2｜2＝ ， ∴｜ DF 2｜＝ ， ∴2 a ＝｜ DF 1｜＋｜ DF 2｜＝2 ， 故 a ＝ ， b 2＝ a 2－ c 2＝1. 因此，所求椭圆的标准方程为 ＋ y 2＝1. 目录 高中总复习·数学（提升版） （2）设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆在 x 轴的上方有两个交点，且 圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦 点，求圆 C 的半径. 目录 高中总复习·数学（提升版） 解：设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆 ＋ y 2＝1相交于点 P 1（ x 1， y1）， P 2（ x 2， y 2）， y 1＞0， y 2＞0， F 1 P 1， F 2 P 2是圆 C 的切线，且 F 1 P 1⊥ F 2 P 2. 由圆和椭圆的对称性易知， x 2＝－ x 1， y 1＝ y 2， ｜ P 1 P 2｜＝2｜ x 1｜. 目录 高中总复习·数学（提升版） 由（1）知 F 1（－1，0）， F 2（1，0）， ∴ ＝（ x 1＋1， y 1）， ＝（－ x 1－1， y 1）. 再由 F 1 P 1⊥ F 2 P 2，得－（ x 1＋1）2＋ ＝0， 即 ＝（ x 1＋1）2. 由椭圆方程，得1－ ＝（ x 1＋1）2，即3 ＋4 x 1＝0， 解得 x 1＝－ 或 x 1＝0. 当 x 1＝0时， P 1， P 2重合，此时题设要求的圆不存在. 目录 高中总复习·数学（提升版） 当 x 1＝－ 时，过 P 1， P 2分别与 F 1 P 1， F 2 P 2垂直的直线的交点 即为圆心 C . 由 F 1 P 1， F 2 P 2是圆 C 的切线，且 F 1 P 1⊥ F 2 P 2，知 CP 1⊥ CP 2. 又｜ CP 1｜＝｜ CP 2｜，故圆 C 的半径｜ CP 1｜＝ ｜ P 1 P 2｜＝ ｜ x 1｜＝ . 目录 高中总复习·数学（提升版） 感 谢 观 看! $$