微专题1 基本初等函数及其它重要函数 讲义——2021－2022学年高一上学期数学人教A版必修1

凌晨讲数学 微专题1:重要函数汇编及应用 在高一上期的学习中,总是会遇到形形色色的课本上没有但反复出现的函数,比如双钩函数,飘带函数等. 然而学生们对这些函数的学习却又及其零散,缺少无法系统的总结和练习. 即将期末,就有必要将这些函数整理汇总,总结其性质和常见题型,从而加深认识,巩固提升! 一.二次函数 二次函数以及和或者,. 函数 例1.若,求该函数的值域. 例2.求函数的值域. 二.双勾函数 1.对勾函数的定义:形如的函数,叫做对勾函数. 2.对勾函数的图象与性质 (1)定义域 (2)值域 当时,(当且仅当,即时取等号).当时,(当且仅当,即时取等号). 则:函数的值域为. (3)奇偶性 由于双勾函数定义域关于原点对称,,则对勾函数为奇函数. (4)单调性 函数在上为增函数,在上为减函数,在上为减函数,在上为增函数. (5)渐近线 当时,,当时,,说明函数的的图象在第一、第三象限. 当时,,说明函数在第一象限的图象在直线的上方,当时,,,说明函数在第三象限的图象在直线的下方. 双勾函数就是以轴和直线为渐近线的双曲线. 二.分式函数 (1) 型. 对于形如的函数,总可以变换成转化为反比例函数进行求解. (2) 型. 对于形如(分子分母均为一次的分式)的函数,通过换元 ,可转化为的形式,进而上述(1)中进行求解. (3) 型. 形如的函数可通过分离常数转化为的形式,进而可依靠的图像(即前面研究过的双勾函数、伪勾函数来研究),再求出值域. (4) 型. 形如可通过换元将问题转化为(3),然后进行求解. 小结:总结一下我们所遇到的常见分式类型及一般处理方法: ① :换元→分离常数→反比例函数模型. ② :换元→分离常数→(双勾函数、伪勾函数)模型. ③ :同时除以分子:→②的模型. ④ :分离常数→③的模型. 共同点:让分式的分子变为常数 上述函数多出现在二次函数恒成立或者存在性问题中,利用分离参数法,经常会得到上述分式函数. 例2. 求函数的值域 解析:设. 于是问题转化为求 的值域,由对勾函数当时取等号,即. 三.指数型函数 假设且. (1). 为偶函数 (2).为奇函数 (3).为奇函数 (4).可转化为(2)或(3) 例3.设,函数. (1)已知,求证:函数为定义域上的奇函数; (2)已知. (i)判断并证明函数的单调性; (ii)函数在区间上的值域是,求的取值