精品解析：云南省玉溪市江川区第一中学、通海县第一中学2023-2024 学年高二下学期四月联考数学试卷

玉溪市江川区第一中学､通海县第一中学 2023—2024学年下学期四月联考 高二年级数学试卷 命题人：张建伟 审题人：李明春 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列为等差数列，，则的公差为（ ） A. 2 B. 6 C. 1 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式的变形即可得解. 【详解】根据题意，因为等差数列中，， 所以公差. 故选：B． 2. 抛物线过点，则焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入所过的点可求的值，从而可求焦点坐标. 【详解】因为抛物线过点，所以，故， 故，故焦点坐标为， 故选：C. 3. 复数满足（为虚数单位），在复平面内的共轭复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据共轭复数的定义结合复数的几何意义即可得解. 【详解】由， 得， 所以，对应的点为位于第一象限. 故选：A. 4. 已知向量，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，然后求得. 【详解】因为，所以. 故选：D 5. 设，则函数的最小值为（     ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求解可得答案. 【详解】，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为， 故选：D. 6. 若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数与函数即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，只有在定义域内有不单调的函数才可能构造“同值函数”，即可求解. 【详解】对于A,函数在定义域上单调递减， 所以值域确定时定义域也确定且唯一，所以不能构造“同值函数”，故A错误； 对于B，函数在定义域上单调递增， 所以值域确定时定义域也确定且唯一，所以不能构造“同值函数”，故B错误； 对于C，函数在定义域上单调递增， 所以值域确定时定义域也确定且唯一，所以不能构造“同值函数”，故C错误； 对于D，当定义域分别为时，值域都为，故D正确. 故选:D. 7. 关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程有解可得，进而根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】关于的一元二次方程有实数解， 则，解得， 结合选项可知的一个必要不充分条件的是. 故选：A. 8. 由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中，．由右椭圆的焦点和左椭圆的焦点，确定叫做“果圆”的焦点三角形，若“果圆”的焦点为直角三角形．则右椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“果圆”关于轴对称，可得是以为底的等腰三角形，由是直角三角形，得出，.再建立关于，，之间的关系式，求出结果. 【详解】解：连接，，根据“果圆”关于轴对称， 可得是以为底的等腰三角形， 是直角三角形， ，. 又和分别是椭圆和 的半焦距， ，即. ，. 即，. 故选：B. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程与简单几何性质，属于中档题. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为2 B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在区间上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质检验各项选项即可判断. 【详解】，根据正弦函数的性质可知，时，函数取得最大值2，故正确； ，即函数的图象关于对称，故错误，正确； 令，则， 令，则 故函数在上单调递减，在上单调递增，故错误. 故选：AC. 10. 已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件： ①；②，当时，． 则下列选项成立的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据给定条件，确定函数的奇偶性及单调性，再逐项判断得解. 【详解】由条件①得连续函数是R上的奇函数，由条件②得函数在上单调递减， 则函数在上单调递减，因此函数在R上单调递减， 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，当时，，有，C错误； 对于D，由，得，解得，D错误. 故选：AB 11. 在棱长为2的正方体中，点，，分别是线段，线段，线段上的动点，且.则下列说法正确的有（ ） A. B. 直线与所成的最大角为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 当四棱锥体积最大时，该四棱锥的外接球表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】，可判断A；进而可得为中点时，直线与所成的角最大为，判断B；，可判断C；当为点时，四棱锥体积最大，计算可判断D． 【详解】对于A，由，可得， 因为，所以与不垂直，因此A不正确； 对于B，因为，所以， 因此直线与所成的角就是直线与所成的角， 当为中点时，此时,直线与所成的角最大为，因此B正确： 对于C，由于平面平面,平面,所以 为定值，C正确： 对于D，, 由于为上的点，故到平面的距离为定值，所以到平面的距离为定值， 要使最大，只需要最大，故当为点时，四棱锥体积最大， 该四棱锥的外接球即正方体的外接球， 直径为，所以，故其表面积为，因此D正确． 故选：BCD． 三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知， 的值为_________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用诱导公式化简，结合齐次式代入计算即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：2. 13. 已知是的极值点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数与极值点的关系求得，再进行检验即可得解. 【详解】因为，所以， 因为是的极值点，则，故， 当时，，则， 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，满足题意，故. 故答案为：. 14. 孪生素数是指相差2的素数对，例如5和7，“孪生素数猜想”正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以这样描述：存在无穷多个素数，使得是素数，素数对称为孪生素数.在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，则这两个数为孪生素数的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】结合古典概型求随机选取两个不同的数为孪生素数的概率即可． 【详解】由题意分析知：不超过20的素数有， 随机抽取两个不同的素数，基本事件总数， 取出的两个数是孪生素数包含的基本事件有： ,，,，,，,，共4个， 故两个数为孪生素数的概率是. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，求面积． 【答案】（1）（2) 【解析】 【分析】 （1）由已知利用平面向量平行的运算法则列出关系式，再利用正弦定理化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据不为0，求出的值，即可求出的度数； （2）由, 与的值，利用正弦定理列出关系式，求出值进而得C角，再由三角形面积公式即可求值． 【详解】解：（1）由得，， 由正弦定理可得，， 可得：，即：， 由，可得：， 又， 可得：． （2）由已知及正弦定理得即可得 即故 的面积． 【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基本题． 16. 已知各项均为正数的等比数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）由已知条件求出等比数列的公比，再求通项即可； （2）先由等差数列通项公式的求法求出数列的通项，然后由分组求和法及公式法求数列的前n项和即可. 【详解】解：（1）因为是正数等比数列，且 所以， 即 分解得， 又因为，所以， 所以数列的通项公式为； （2）因为是首项为1，公差为2的等差数列， 所以， 所以， 所以 . 【点睛】本题考查了等比数列及等差数列的通项公式的求法，重点考查了利用分组求和法及公式法求数列的前n项和，属中档题. 17. 在如图所示的圆柱中，为圆的直径，是的两个三等分点，都是圆柱的母线. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1）连接，因为都是圆柱的母线， 所以， 又平面平面，所以平面； 因为为圆的直径，是的两个三等分点， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面平面，所以平面； 又，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）通过面面平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，因为为圆的直径，所以， 因为平面平面，所以， 以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 因为，所以， 则， ， 设平面的法向量为， 则，取，得， 平面的一个法向量为， 所以二面角的余弦值为. 【点睛】 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，若函数有最小值2，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，求导，得到，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求定义域，求导，得到函数单调性和最小值，得到，构造，求导得到函数单调性，结合特殊点的函数值，得到答案. 【小问1详解】 当时，的定义域为， 则，则， 由于函数在点处切线方程为，即. 【小问2详解】 的定义域为， ， 当时，令，解得：；令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，，即 则令，设， 令，解得：；令，解得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，解得：. 19. 已知双曲线经过点，离心率为，直线过点且与双曲线交于两点（异于点）. （1）求双曲线的方程； （2）求证：直线与直线的斜率之积为定值，并求出该定值. 【答案】（1） （2）法一：显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 由消去得， 设，则， 直线的斜率分别为， 法二：①当直线垂直于轴时，的方程为，易得 ②当直线不垂直于轴时，设直线的方程为， 由,消去得：, 设，则： 直线的斜率分别为， 【解析】 【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及，，之间的关系，列出方程从而可求出双曲线的方程； （2）设出直线方程，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理以及斜率公式再进行求解即可. 【小问1详解】 令双曲线半焦距为，依题意，， 由，解得， 则双曲线的方程为， 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪市江川区第一中学､通海县第一中学 2023—2024学年下学期四月联考 高二年级数学试卷 命题人：张建伟 审题人：李明春 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列为等差数列，，则的公差为（ ） A. 2 B. 6 C. 1 D. 14 2. 抛物线过点，则焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 复数满足（为虚数单位），在复平面内的共轭复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知向量，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 设，则函数的最小值为（     ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 11 6. 若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数与函数即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ） A. B. C. D. 8. 由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中，．由右椭圆的焦点和左椭圆的焦点，确定叫做“果圆”的焦点三角形，若“果圆”的焦点为直角三角形．则右椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为2 B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在区间上单调递增 10. 已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件： ①；②，当时，． 则下列选项成立的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 11. 在棱长为2的正方体中，点，，分别是线段，线段，线段上的动点，且.则下列说法正确的有（ ） A. B. 直线与所成的最大角为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 当四棱锥体积最大时，该四棱锥的外接球表面积为 三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知， 的值为_________. 13. 已知是的极值点，则________. 14. 孪生素数是指相差2的素数对，例如5和7，“孪生素数猜想”正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以这样描述：存在无穷多个素数，使得是素数，素数对称为孪生素数.在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，则这两个数为孪生素数的概率为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，求面积． 16. 已知各项均为正数的等比数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和. 17. 在如图所示的圆柱中，为圆的直径，是的两个三等分点，都是圆柱的母线. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，若函数有最小值2，求的值. 19. 已知双曲线经过点，离心率为，直线过点且与双曲线交于两点（异于点）. （1）求双曲线的方程； （2）求证：直线与直线的斜率之积为定值，并求出该定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $