组合数进阶性质讲义-2025届高三数学一轮复习

组合数进阶性质 组合数性质1： 性质2： 性质3： 性质4： 性质5： 性质6： 性质7： 性质8： 性质9： 典型例题1【性质4】：已知函数. (1)当时，求在的展开式中第5项的二项式系数； (2)求证：. 典型例题2【性质2和7】在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其它没一个数值是它肩上的两个数之和，这三角形数阵开头几行如图所示． （1）证明：； （2）求证：第m斜列中（从右上到左下）的前K个数之和一定等于第m+1斜列中的第K个数，即 典型例题3【性质8】例题：在等式的两边求导，得：，由求导法则，得，化简得等式：． 利用上述的想法，结合等式（，正整数）． (1)求的值． (2)求证：． 典型例题4【性质5和8】已知. (1)求的值； (2)①证明：，其中，，，…，； ②利用①的结论求的值. 【对标训练】 1．（1）已知、为正整数，，求证：： （2）已知、为正整数，求证：； （3）、为正整数，，求证：． 2．（1）求证：； （2）利用等式可以化简：；类比上述方法，化简下式：. （3）已知等差数列的首项为，公差为，求证：对于任意正整数，函数总是关于的一次函数. 3．设，，. （1）求证：①； ②（其中）； （2）化简：. 4．已知 （1）求及的值； （2）求证：（），并求的值. （3）求的值. 5． 设，证明 学科网（北京）股份有限公司 $$ 组合数进阶性质 组合数性质1： 性质2： 性质3： 性质4： 性质5： 性质6： 性质7： 性质8： 性质9： 典型例题1【性质4】：已知函数. (1)当时，求在的展开式中第5项的二项式系数； (2)求证：. 【详解】（1）当时，函数为，展开式中第5项的二项式系数为 （2）因为， 所以当时，， 所以， 因为 所以 . 典型例题2【性质2和7】在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其它没一个数值是它肩上的两个数之和，这三角形数阵开头几行如图所示． （1）证明：； （2）求证：第m斜列中（从右上到左下）的前K个数之和一定等于第m+1斜列中的第K个数，即 【详解】解：（1）=+ =+ = = =． 所以原式成立． （2）由（1）得 左边= = =… = ==右边∴原命题成立 典型例题3【性质8】例题：在等式的两边求导，得：，由求导法则，得，化简得等式：． 利用上述的想法，结合等式（，正整数）． (1)求的值． (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：在等式（，正整数）， 两边对求导得：①， 令，，可得. （2）证明：①式两边同时乘以x得②， ②式两边对求导得：， 令，得. 典型例题4【性质5和8】已知. (1)求的值； (2)①证明：，其中，，，…，； ②利用①的结论求的值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②. 【详解】（1）等式两边同时对求导， 所以有， 令，有， 所以. （2）①因为 ， . ②由①得， 因为 . 【对标训练】 1．（1）已知、为正整数，，求证：： （2）已知、为正整数，求证：； （3）、为正整数，，求证：． 【详解】（1）， . （2）由知， . （3）由（1）可知，时，， 而， 故， ， 故，其中. 2．（1）求证：； （2）利用等式可以化简：；类比上述方法，化简下式：. （3）已知等差数列的首项为，公差为，求证：对于任意正整数，函数总是关于的一次函数. 【详解】证明：（1）因为、，， 由组合数公式可得，故结论成立； （2）因为、，， 则， 则 ； （3）因为等差数列的首项为，公差为，则， 则 ， 所以， 总是关于的一次函数. 3．设，，. （1）求证：①； ②（其中）； （2）化简：. 【详解】（1）① ，所以，即. ② ， 所以，即（其中）； （2）当时，由二项式定理，有， 两边同乘以，得， 两边对求导，得 ， 两边再同乘以，得 ， 两边再对求导，得 令，得， 即， 即. 4．已知 （1）求及的值； （2）求证：（），并求的值. （3）求的值. 【详解】（1）当时，（*） 在（*）中，令得 在（*）中，令得，所以 （2）证明： 因为 ， 由二项式定理可得 所以 因为， 所以 （3）法一：由（2）知 因为， 所以 + 则，所以 法二：将两边求导， 得 令得；① 令得.② ①②得解得 ， 所以. 5．设，证明：. 【详解】一方面，展开式中的系数是； 另一方面，中， 若，的系数是， 若，的系数是． 所以，. 学科网（北京）股份有限公司 $$