第四节直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习

第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 1. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 目 录 CONTENTS 1 2 3 知识 体系构建 微专题11 隐圆问题 考点 分类突破 4 课时 跟踪检测 3 PART 1 知识 体系构建 必备知识 系统梳理 基础重落实 课前自修 目录 目录 高中总复习·数学（提升版） 1. 直线 y ＝ x ＋1与圆 x 2＋ y 2＝1的位置关系为（　　） A. 相切 B. 相交但直线不过圆心 C. 直线过圆心 D. 相离 解析：　圆心为（0，0），到直线 y ＝ x ＋1即 x － y ＋1＝0的距离 d ＝ ，而0＜ ＜1，所以直线与圆相交，但直线不过圆心. 目录 高中总复习·数学（提升版） 2. 圆 O 1： x 2＋ y 2－2 y ＝0与圆 O 2： x 2＋ y 2－4＝0的位置关系是（　　） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含 解析：　两圆方程可化为 x 2＋（ y －1）2＝1， x 2＋ y 2＝4.两圆圆 心分别为 O 1（0，1）， O 2（0，0），半径分别为 r 1＝1， r 2＝2.因 为｜ O 1 O 2｜＝1＝ r 2－ r 1，所以两圆内切. 目录 高中总复习·数学（提升版） 3. 过点（0，1）且倾斜角为 的直线 l 交圆 x 2＋ y 2－6 y ＝0于 A ， B 两 点，则弦 AB 的长为 ⁠. 解析：过点（0，1）且倾斜角为 的直线 l ： y －1＝ x ，即 x － y ＋1＝0.∵圆 x 2＋ y 2－6 y ＝0，即 x 2＋（ y －3）2＝9，∴圆心坐 标为（0，3），半径 r ＝3，圆心到直线 l 的距离 d ＝ ＝1， ∴直线被圆截得的弦长｜ AB ｜＝2× ＝4 . 4 目录 高中总复习·数学（提升版） 4. 已知圆 C ： x 2＋ y 2＝9，过点 P （3，1）作圆 C 的切线，则切线方程 为 ⁠. 解析：由题意知点 P 在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为 x ＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为 k ，所以切线方程为 y －1＝ k （ x －3），即 kx － y ＋1－3 k ＝0，所以 ＝ 3，解得 k ＝－ ，所以切线方程为4 x ＋3 y －15＝0.综上，切线方程 为 x ＝3或4 x ＋3 y －15＝0. x ＝3或4 x ＋3 y －15＝0 目录 高中总复习·数学（提升版） 1. 圆的切线方程常用结论 （1）过圆 x 2＋ y 2＝ r 2上一点 P （ x 0， y 0）的圆的切线方程为 x 0 x ＋ y 0 y ＝ r 2； （2）过圆（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r 2上一点 P （ x 0， y 0） 的圆的切线方程为（ x 0－ a ）·（ x － a ）＋（ y 0－ b ）·（ y － b ）＝ r 2； （3）过圆 x 2＋ y 2＝ r 2外一点 P （ x 0， y 0）作圆的两条切线，则两 切点所在直线方程为 x 0 x ＋ y 0 y ＝ r 2. 目录 高中总复习·数学（提升版） 2. 两圆相交时公共弦的方程 设圆 C 1： x 2＋ y 2＋ D 1 x ＋ E 1 y ＋ F 1＝0，　① 圆 C 2： x 2＋ y 2＋ D 2 x ＋ E 2 y ＋ F 2＝0，　② 若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程可由①－② 所得，即：（ D 1－ D 2） x ＋（ E 1－ E 2） y ＋（ F 1－ F 2）＝0. 目录 高中总复习·数学（提升版） 3. 圆系方程 （1）同心圆系方程：（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r 2（ r ＞0），其中 a ， b 是定值， r 是参数； （2）过直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0与圆 x 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0交点的 圆系方程： x 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＋λ（ Ax ＋ By ＋ C ）＝0 （λ∈R）； 目录 高中总复习·数学（提升版） （3）过圆 C 1： x 2＋ y 2＋ D 1 x ＋ E 1 y ＋ F 1＝0和圆 C 2： x 2＋ y 2＋ D 2 x ＋ E 2 y ＋ F 2＝0交点的圆系方程： x 2＋ y 2＋ D 1 x ＋ E 1 y ＋ F 1 ＋λ（ x 2＋ y 2＋ D 2 x ＋ E 2 y ＋ F 2）＝0（λ≠－1）（该圆系不 含圆 C 2，解题时，注意检验圆 C 2是否满足题意，以防漏解）. 目录 高中总复习·数学（提升版） 1. 过点（2，2）作圆（ x －1）2＋ y 2＝5的切线，则切线方程为 （　　） A. x －2 y ＋2＝0 B. 3 x ＋2 y －10＝0 C. x ＋2 y －6＝0 D. x ＝2或 x ＋2 y －6＝0 解析：　显然点（2，2）在圆上，由结论1可得（2－1）（ x － 1）＋（2－0） y ＝5，即 x ＋2 y －6＝0，故选C. 目录 高中总复习·数学（提升版） 2. 圆 x 2＋ y 2－4＝0与圆 x 2＋ y 2－4 x ＋4 y －12＝0的公共弦长为 ⁠ ⁠. 解析：联立由结论2得两圆公共弦所 在直线方程为 x － y ＋2＝0.又圆 x 2＋ y 2＝4的圆心到直线 x － y ＋2＝ 0的距离为 .由勾股定理得弦长的一半为 ，则所 求弦长为2 . 2 目录 高中总复习·数学（提升版） 3. 经过两圆 x 2＋ y 2＋6 x －4＝0和 x 2＋ y 2＋6 y －28＝0的交点，并且圆 心在直线 x － y －4＝0上的圆的方程为 ⁠. 解析：由结论3，设所求圆的方程为（ x 2＋ y 2＋6 x －4）＋λ（ x 2＋ y 2＋6 y －28）＝0，λ≠－1，即（1＋λ） x 2＋（1＋λ） y 2＋6 x ＋6λ y －4－28λ＝0，圆心坐标为 ，得－ －4＝ 0，求得λ＝－7，故所求的圆的方程为 x 2＋ y 2－ x ＋7 y －32＝0. x 2＋ y 2－ x ＋7 y －32＝0 目录 高中总复习·数学（提升版） PART 2 考点 分类突破 精选考点 典例研析 技法重悟通 课堂演练 目录 直线与圆的位置关系判断 1. “ a ＝3”是“直线 y ＝ x ＋4与圆（ x － a ）2＋（ y －3）2＝8相切” 的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　若直线 y ＝ x ＋4与圆（ x － a ）2＋（ y －3）2＝8相切， 则有 ＝2 ，即｜ a ＋1｜＝4，所以 a ＝3或－5.故“ a ＝ 3”是“直线 y ＝ x ＋4与圆（ x － a ）2＋（ y －3）2＝8相切”的充分 不必要条件. 目录 高中总复习·数学（提升版） 2. （2024·衡水模拟）直线 l ： mx － y ＋1－ m ＝0与圆 C ： x 2＋（ y － 1）2＝5的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 解析：　法一（代数法）　由消去 y ，整 理得（1＋ m 2） x 2－2 m 2 x ＋ m 2－5＝0，因为Δ＝16 m 2＋20＞0，所 以直线 l 与圆相交. 法二（几何法）　由题意知，圆心（0，1）到直线 l 的距离 d ＝ ＜1＜ ，故直线 l 与圆相交. 目录 高中总复习·数学（提升版） 3. （2024·武汉模拟）若直线 x － y ＋1＝0与圆（ x － a ）2＋ y 2＝2有公 共点，则实数 a 的取值范围是 ⁠. 解析：由题意可得，圆的圆心为（ a ，0），半径为 ， ∴ ，即｜ a ＋1｜≤2，解得－3≤ a ≤1. [－3，1] 目录 高中总复习·数学（提升版） 练后悟通 判断直线与圆的位置关系的常见方法 （1）几何法：利用 d 与 r 的关系判断； （2）代数法：联立方程之后利用Δ判断； （3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断 直线与圆相交. 提醒　上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适 用于动直线问题. 目录 高中总复习·数学（提升版） 直线与圆的综合问题 考向1　圆的弦长问题 【例1】　（1）（多选）已知圆 C ：（ x －1）2＋（ y －1）2＝16，直 线 l ：（2 m －1） x ＋（ m －1） y －3 m ＋1＝0.下列说法正确的是（　） A. 直线 l 恒过定点（2，1） B. 圆 C 被 y 轴截得的弦长为2 C. 直线 l 被圆 C 截得的弦长存在最大值，此时直线 l 的方程为2 x ＋ y － 3＝0 D. 直线 l 被圆 C 截得的弦长存在最小值，此时直线 l 的方程为 x －2 y － 4＝0 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：对于A，将直线 l 的方程整理为 m （2 x ＋ y －3）＋ （－ x － y ＋1）＝0，由无论 m 为何值，直线 l 恒过定点（2，－1），故A不正确；对于B，将 x ＝0代入圆 C 的方程，得（ y －1）2＝15，解得 y ＝1± ，故 圆 C 被 y 轴截得的弦长为2 ，故B正确；对于C，无论 m 为何 值，直线 l 不过圆心（1，1），即直线 l 被圆 C 截得的弦长不存 在最大值，故C不正确；对于D，当截得的弦长最短时，直线 l 垂直于圆心与定点的连线，则直线 l 的斜率为 ，此时直线 l 的方程为 y ＋1＝ （ x －2），即 x －2 y －4＝0，故D正确.综上所述，选B、D. 目录 高中总复习·数学（提升版） （2）（2024·新高考Ⅱ卷15题）已知直线 x － my ＋1＝0与☉ C ：（ x － 1）2＋ y 2＝4交于 A ， B 两点，写出满足“△ ABC 面积为 ”的 m 的一个值 ⁠. －2（或－ 或2，填写任意一个均可） 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：依题意可得圆 C 的圆心为 C （1，0），半径 r ＝2， 则圆心 C （1，0）到直线 x － my ＋1＝0的距离 d ＝ ， ｜ AB ｜＝2 ，所以 S △ ABC ＝ × d ×｜ AB ｜＝ ，解得 m ＝2或 m ＝－2或 m ＝ 或 m ＝－ .填写任意一个均可. 目录 高中总复习·数学（提升版） 解题技法 直线被圆截得的弦长的两种求法 目录 高中总复习·数学（提升版） 考向2　圆的切线问题 【例2】　（1）已知点 M （3，1），圆 C ：（ x －1）2＋（ y －2）2＝ 4，则过点 M 的圆 C 的切线方程为 ；其切 线长 l ＝ ⁠. x －3＝0或3 x －4 y －5＝0　 1 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：∵（3－1）2＋（1－2）2＝5＞4，∴点 M 在圆 C 外. 当过点 M 的直线的斜率不存在时，直线方程为 x ＝3，即 x －3＝ 0.又点 C （1，2）到直线 x －3＝0的距离 d ＝3－1＝2＝ r ，∴直 线 x ＝3是圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线方程为 y －1 ＝ k （ x －3），即 kx － y ＋1－3 k ＝0，由圆心 C 到切线的距离d' ＝ ＝ r ＝2，解得 k ＝ .∴切线方程为 y －1＝ （ x －3），即3 x －4 y －5＝0.∵｜ MC ｜＝ ，∴过点 M 的圆 C 的切线长 l ＝ ＝1. 目录 高中总复习·数学（提升版） （2）由直线 x ＋2 y －7＝0上一点 P 引圆 x 2＋ y 2－2 x ＋4 y ＋2＝0的一 条切线，切点为 A ，则｜ PA ｜的最小值为 ⁠. 解析：化圆的方程为标准方程，得（ x －1）2＋（ y ＋2）2＝3， 则该圆的圆心 C 的坐标为（1，－2）.易知当 PC 与直线 x ＋2 y － 7＝0垂直时，｜ PC ｜取得最小值，且｜ PC ｜min＝ ＝2 .由切线的性质得｜ PA ｜2＝｜ PC ｜2－3，所以｜ PA ＝｜ PC －3＝17，所以｜ PA ｜的最小值为 . ​ 目录 高中总复习·数学（提升版） 解题技法 解决直线与圆相切问题的策略 目录 高中总复习·数学（提升版） 1. （2024·北京高考9题）已知圆 C ： x 2＋ y 2＝4，直线 l ： y ＝ kx ＋ m ，当 k 变化时， l 截得圆 C 弦长的最小值为2，则 m ＝（　　） A. ±2 B. ± C. ± D. ±3 解析：　由题可得圆心为（0，0），半径为2，则圆心到直线的距 离 d ＝ ，则弦长为2 ，则当 k ＝0时，弦长取得最小 值为2 ＝2，解得 m ＝± .故选C. 目录 高中总复习·数学（提升版） 2. （2024·新高考Ⅰ卷6题）过点（0，－2）与圆 x 2＋ y 2－4 x －1＝0相 切的两条直线的夹角为α，则 sin α＝（　　） A. 1 B. C. D. 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　由 x 2＋ y 2－4 x －1＝0，得（ x －2）2 ＋ y 2＝5，所以圆心为点（2，0），半径为 . 如图易知点（2，0）与点（0，－2）的距离为2 ，所以点（0，－2）与切点的距离为 ，所以 sin ，cos ，所以 sin α＝2 sin cos ＝2× .故选B. 目录 高中总复习·数学（提升版） 3. 若圆 x 2＋ y 2＝ r 2（ r ＞0）上恒有4个点到直线 l ： x － y －2＝0的距 离为1，则实数 r 的取值范围是 ⁠. 解析：计算得圆心到直线 l 的距离为 ＞1，如图，直线 l ： x － y －2＝0与圆相交， l 1， l 2与 l 平行，且与直线 l 的距离为1，故可 以看出，圆的半径应该大于圆心到直线 l 2的距离 ＋1. （ ＋1，＋∞） 目录 高中总复习·数学（提升版） 圆与圆的位置关系 【例3】　（1）已知圆 C ：（ x －1）2＋（ y ＋2 ）2＝16和两点 A （0，－ m ）， B （0， m ），若圆 C 上存在点 P ，使得 AP ⊥ BP ，则 m 的最大值为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：因为两点 A （0，－ m ）， B （0， m ），点 P 满足 AP ⊥ BP ，故点 P 的轨迹 C 1是以 A ， B 为直径的圆（不包含 A ， B ），故其轨迹方程为 x 2＋ y 2＝ m 2（ x ≠0），又圆 C ：（ x －1）2＋（ y ＋2 ）2＝16上存在点 P ，故两圆有交点，又｜ CC 1｜＝ ＝3，则｜4－｜ m ｜｜≤3≤4＋｜ m ｜，解得｜ m ｜∈[1，7]，则 m 的最大值为7. 目录 高中总复习·数学（提升版） （2）已知圆 C 1： x 2＋ y 2＋2 x ＋2 y －8＝0与圆 C 2： x 2＋ y 2－2 x ＋10 y －24＝0相交于 A ， B 两点，则公共弦 AB 的长为 ，经过 A ， B 两点且面积最小的圆的方程为 ⁠ ⁠. 2 （ x ＋2）2＋（ y －1）2＝ 5 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：两圆的方程作差可得 x －2 y ＋4＝0.∴圆 C 1与圆 C 2的公共 弦 AB 所在的直线方程为 x －2 y ＋4＝0，联立 解得不妨 设 A （－4，0）， B （0，2），∴｜ AB ｜＝ ＝2 ，以 AB 为直径的圆即为面积 最小的圆，方程为（ x ＋2）2＋（ y －1）2＝5. 目录 高中总复习·数学（提升版） 解题技法 圆与圆位置关系相关问题的求解策略 （1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距 离与两圆半径之间的关系； （2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作 差消去 x 2， y 2项得到. 目录 高中总复习·数学（提升版） 1. 已知圆 C 1：（ x －3）2＋（ y ＋4）2＝1与 C 2：（ x － a ）2＋（ y － a ＋3）2＝9恰好有4条公切线，则实数 a 的取值范围是（　　） A. （－∞，0）∪（4，＋∞） B. （－∞，1－ ）∪（1＋ ，＋∞） C. （0，4） D. （－∞，－1）∪（3，＋∞） 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　因为圆 C 1：（ x －3）2＋（ y ＋4）2＝1与 C 2：（ x － a ）2＋（ y － a ＋3）2＝9恰好有4条公切线，所以圆 C 1与 C 2外离，所以 ＞4，解得 a ＞3或 a ＜－1，即实数 a 的取值范围是（－∞，－1）∪（3，＋∞），故选D. 目录 高中总复习·数学（提升版） 2. （2024·新高考Ⅰ卷14题）写出与圆 x 2＋ y 2＝1和（ x －3）2＋（ y － 4）2＝16都相切的一条直线的方程 ⁠ ⁠. x ＝－1或7 x －24 y －25＝0或3 x ＋4 y －5＝0（答案不唯一） 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：法一　如图，因为圆 x 2＋ y 2＝1的圆心为 O （0，0），半径 r 1＝1，圆（ x －3）2＋（ y －4）2＝16的圆心为 A （3，4），半径 r 2＝4，所以｜ OA ｜＝5， r 1＋ r 2＝5，所以｜ OA ｜＝ r 1＋ r 2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线 l 1的方程为 x ＝－1. 目录 高中总复习·数学（提升版） ②另一条公切线 l 2与公切线 l 1关于过两圆圆心的直线 l 对称.易知过 两圆圆心的直线 l 的方程为 y ＝ x ，由由对 称性可知公切线 l 2过点 ，设公切线 l 2的方程为 y ＋ ＝ k （ x ＋1）， 目录 高中总复习·数学（提升版） 则点 O （0，0）到 l 2的距离为1，所以1＝ ，解得 k ＝ ，所以 公切线 l 2的方程为 y ＋ （ x ＋1），即7 x －24 y －25＝0.③还有 一条公切线 l 3与直线 l ： y ＝ x 垂直，设公切线 l 3的方程为 y ＝－ x ＋ t ，易知 t ＞0，则点 O （0，0）到 l 3的距离为1，所以1＝ ，解得 t ＝ 或 t ＝－ （舍去），所以公切线 l 3的方 程为 y ＝－ x ＋ ，即3 x ＋4 y －5＝0.综上，所求直线方程为 x ＝－ 1或7 x －24 y －25＝0或3 x ＋4 y －5＝0. 目录 高中总复习·数学（提升版） 法二　根据题意，精确作出两圆（需用到尺规），由图形可直观快速 看出直线 x ＝－1是两圆的一条公切线，经验证符合题意. 目录 高中总复习·数学（提升版） PART 3 微专题11 隐圆问题 目录 　　隐圆问题是近几年新高考的热点，难度中等.所谓隐圆就是在题设 中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转 化，发现圆（或圆的方程），从而利用圆的知识来解决问题. 目录 高中总复习·数学（提升版） 一、利用圆的定义（动点到定点的距离为定值或垂直关系）确定隐圆 【例1】　（1）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 1： kx － y ＋2＝0与 直线 l 2： x ＋ ky －2＝0相交于点 P ，则当实数 k 变化时，点 P 到直线 x － y －4＝0的距离的最大值为（　　） A. B. 2 C. 3 D. 4 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：直线 l 1， l 2分别经过定点 A （0，2）， B （2，0），且 l 1⊥ l 2，所以点 P 在以 AB 为直径的圆 C 上.圆 C 的圆心为 C （1，1），半径 r ＝ .因为圆心 C 到直线 l ： x － y －4＝0的距离为 d ＝ ＝2 ，所以点 P 到直线 l 的距离的最大值为 d ＋ r ＝3 . 目录 高中总复习·数学（提升版） （2）已知圆 O ： x 2＋ y 2＝1，圆 M ：（ x － a ）2＋（ y － a ＋4）2＝1. 若圆 M 上存在点 P ，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点分别为 A ， B ，使得∠ APB ＝60°，则实数 a 的取值范围为 ⁠ ⁠. ［2－ ，2＋ ］ 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：由题意得圆心 M （ a ， a －4）在直线 x － y －4＝0上运 动，所以动圆 M 是圆心在直线 x － y －4＝0上，半径为1的圆； 又因为圆 M 上存在点 P ，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点分别为 A ， B ，使∠ APB ＝60°，所以 OP ＝2，即点 P 也在 x 2＋ y 2＝4 上，于是2－1≤ ≤2＋1，即1≤ ≤3，解之得实数 a 的取值范围是［2－ ，2＋ ］. 目录 高中总复习·数学（提升版） 二、由两定点 A ， B ，动点 P 满足 · ＝λ（λ为常数）确定隐圆 【例2】　（1）已知点 A （－1，0）， B （1，0），若圆（ x － a ＋ 1）2＋（ y － a －2）2＝1上存在点 M 满足 · ＝3，则实数 a 的取 值范围是（　　） A. [－2，0） B. [－2，1] C. （0，1] D. （1，3] 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：设 M （ x ， y ），因为 · ＝3，所以点 M 的轨 迹方程为（－1－ x ，－ y ）·（1－ x ，－ y ）＝3即 x 2＋ y 2＝4， 表示圆.又因为点 M 在圆（ x － a ＋1）2＋（ y － a －2）2＝1上， 所以两圆有交点，所以2－1≤ ≤1＋2，即解得－2≤ a ≤1. 目录 高中总复习·数学（提升版） （2）在平面直角坐标系 xOy 中， A （－12，0）， B （0，6），点 P 在圆 O ： x 2＋ y 2＝50上，若 · ≤20，则点 P 的横坐标的取 值范围是 ⁠. [－5 ，1] 解析：设 P （ x ， y ），由 · ≤20，易得2 x － y ＋5≤0，由 可得由2 x － y ＋5≤0得 P 点在直线2 x － y ＋5＝0左边圆弧上，结合限制条件－5 ≤ x ≤5 ，可得点 P 横坐标的取值范围为[－5 ，1]. 目录 高中总复习·数学（提升版） 三、由两定点 A ， B ，动点 P 满足｜ PA ｜2＋｜ PB ｜2是定值确定隐圆 【例3】　（1）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C ：（ x ＋1）2＋ y 2＝2，点 A （2，0），若圆 C 上存在点 M ，满足｜ MA ｜2＋｜ MO ｜ 2≤10，则点 M 的纵坐标的取值范围是 ⁠； ［－ ］ 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：设 M （ x ， y ），因为｜ MA ｜2＋｜ MO ｜2≤10， 所以（ x －2）2＋ y 2＋ x 2＋ y 2≤10，化简得 x 2＋ y 2－2 x － 3≤0，则圆 C ： x 2＋ y 2＋2 x －1＝0与圆C'： x 2＋ y 2－2 x －3＝0 有公共点，将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程为 x ＝ － ，代入 x 2＋ y 2－2 x －3≤0可得－ ≤ y ≤ ，所以点 M 的 纵坐标的取值范围是［－ ］. 目录 高中总复习·数学（提升版） （2）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C ：（ x － a ）2＋（ y － a ＋ 2）2＝1，点 A （0，2），若圆 C 上存在点 M ，满足｜ MA ｜2 ＋｜ MO ｜2＝10，则实数 a 的取值范围是 ⁠. 解析：设 M （ x ， y ），由｜ MA ｜2＋｜ MO ｜2＝10，可得 x 2＋ （ y －1）2＝4，∴ M 点在圆 x 2＋（ y －1）2＝4上，故圆 x 2＋（ y －1）2＝4和圆（ x － a ）2＋（ y － a ＋2）2＝1相交或相切， ∴1≤ ≤3，∴0≤ a ≤3. [0，3] 目录 高中总复习·数学（提升版） 四、由两定点 A ， B ，动点 P 满足 ＝λ（λ＞0，λ≠1）确定隐圆 （阿波罗尼斯圆） 【例4】　（1）已知点 M 与两个定点 O （0，0）， A （3，0）的距离 之比为 ，则点 M 的轨迹方程为（　　） A. （ x ＋1）2＋ y 2＝4 B. x 2＋（ y ＋1）2＝4 C. （ x ＋1）2＋ y 2＝2 D. x 2＋（ y ＋1）2＝2 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：（1）如图所示，设动点 M （ x ， y ）， 连接 MO ， MA ，有｜ MA ｜＝2｜ MO ｜，即 ＝2 ，化简得 x 2＋ y 2＋2 x －3＝0，即（ x ＋1）2＋ y 2＝4. 目录 高中总复习·数学（提升版） （2）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A （0，3），直线 l ： y ＝2 x －4. 设圆 C 的半径为1，圆心在 l 上.若圆 C 上存在点 M ，使｜ MA ｜ ＝2｜ MO ｜，则圆心 C 的横坐标的取值范围是 ⁠. ［0， ］　 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：点 C 在直线 l ： y ＝2 x －4上，故设 C 的坐标为（ a ，2 a － 4）.因为半径 r 1＝1，所以圆 C 的方程是（ x － a ）2＋[ y －（2 a －4）]2＝1.设点 M （ x ， y ），则由｜ MA ｜＝2｜ MO ｜可得点 M 的轨迹是阿波罗尼斯圆 D ，即 ＝2 ，化简整理得 x 2＋（ y ＋1）2＝4.所以点 M （ x ， y ）在以 D （0，－1）为圆心， r 2＝2为半径的圆上.又点 M （ x ， y ）在圆 C 上，所以两圆有公共点的条件是｜ r 1－ r 2｜≤｜ DC ｜≤｜ r 1＋ r 2｜，即1≤5 a 2－12 a ＋9≤9，解得0≤ a ≤ .即 a 的取值范围是［0， ］. 目录 高中总复习·数学（提升版） PART 4 课时 跟踪检测 关键能力 分层施练 素养重提升 课后练习 目录 1. （2024·合肥模拟）已知两圆方程分别为 x 2＋ y 2＝4和（ x －3）2＋ （ y －4）2＝9，则两圆的公切线有（　　） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 解析：　两圆的圆心分别为（0，0）和（3，4），半径分别为 2和3，圆心距为 ＝5＝2＋3，则两圆外切，公切线有3 条.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 目录 高中总复习·数学（提升版） 2. （2024·新昌模拟）若直线 y ＝ x ＋ m 与圆（ x ＋1）2＋（ y ＋2）2＝1 交于 A ， B 两点，且｜ AB ｜＝2，则 m ＝（　　） A. －1 B. －2 C. 1 D. 2 解析：　由圆的标准方程可知圆的圆心为（－1，－2），直径为 2，因为｜ AB ｜＝2，所以直线过圆的圆心，将圆心坐标代入直线 方程，得－2＝－1＋ m ，解得 m ＝－1.故选A. 目录 高中总复习·数学（提升版） 3. 圆 Q ： x 2＋ y 2－4 x ＝0在点 P （1， ）处的切线方程为（　　） A. x ＋ y －2＝0 B. x ＋ y －4＝0 C. x － y ＋4＝0 D. x － y ＋2＝0 解析：　圆 Q 的标准方程为（ x －2）2＋ y 2＝4.∵ P （1， ）在 圆 Q 上，∴所求切线方程为（1－2）·（ x －2）＋（ －0）（ y － 0）＝4，即 x － y ＋2＝0. 目录 高中总复习·数学（提升版） 4. （多选）已知直线 l 与圆 C ： x 2＋ y 2＋2 x －4 y ＋ a ＝0相交于 A ， B 两点，弦 AB 的中点为 M （0，1），则下列结论正确的是（　　） A. 实数 a 的取值范围为（－∞，3） B. 实数 a 的取值范围为（－∞，5） C. 直线 l 的方程为 x ＋ y －1＝0 D. 直线 l 的方程为 x － y ＋1＝0 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　若弦 AB 的中点为 M （0，1），则点 M （0，1）一定在 圆内，且方程表示圆，即得 a ＜3，故A正确；由 圆的方程得，圆心坐标为 C （－1，2），又 M （0，1），则 kCM ＝ －1，则 kAB ＝1，由点斜式得，直线 l 的方程为 y －1＝ x ，即 x － y ＋1＝0，故D正确. 目录 高中总复习·数学（提升版） 5. （多选）已知圆 O 1： x 2＋ y 2－2 x －3＝0和圆 O 2： x 2＋ y 2－2 y －1 ＝0的交点为 A ， B ，则（　　） A. 两圆的圆心距｜ O 1 O 2｜＝2 B. 直线 AB 的方程为 x － y ＋1＝0 C. 圆 O 2上存在两点 P 和 Q 使得｜ PQ ｜＞｜ AB ｜ D. 圆 O 1上的点到直线 AB 的最大距离为2＋ 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　由圆 O 1： x 2＋ y 2－2 x －3＝0和圆 O 2： x 2＋ y 2－2 y －1 ＝0，可得圆 O 1：（ x －1）2＋ y 2＝4和圆 O 2： x 2＋（ y －1）2＝2， 则圆 O 1的圆心坐标为（1，0），半径为2，圆 O 2的圆心坐标（0， 1），半径为 .对于A，两圆的圆心距｜ O 1 O 2｜＝ ，故A错误；对于B，将两圆方程作 差可得－2 x ＋2 y －2＝0，即得公共弦 AB 的方程为 x － y ＋1＝0，故 B正确；对于C，直线 AB 经过圆 O 2的圆心（0，1），所以线段 AB 是圆 O 2的直径，故圆 O 2中不存在比 AB 长的弦，故C错误；对于D，圆 O 1的圆心到直线 AB ： x － y ＋1＝0的距离为 ，所以圆 O 1上的点到直线 AB 的最大距离为2＋ ，故D正确.故选B、D. 目录 高中总复习·数学（提升版） 6. （2024·广州模拟）直线 x － y ＝0截圆（ x －2）2＋ y 2＝4所得劣 弧所对的圆心角是 ⁠. 解析：画出图形，如图，圆心（2，0）到直线的 距离为 d ＝ ＝1，∴ sin ∠ AOC ＝ ，∴∠ AOC ＝ ，∴∠ CAO ＝ ， ∴∠ ACO ＝π－ . ​ 目录 高中总复习·数学（提升版） 7. 若 A 为圆 C 1： x 2＋ y 2＝1上的动点， B 为圆 C 2：（ x －3）2＋（ y ＋ 4）2＝4上的动点，则线段 AB 长度的最大值是 ⁠. 解析：圆 C 1： x 2＋ y 2＝1的圆心为 C 1（0，0），半径 r 1＝1，圆 C 2：（ x －3）2＋（ y ＋4）2＝4的圆心为 C 2（3，－4），半径 r 2＝ 2，所以｜ C 1 C 2｜＝5.又 A 为圆 C 1上的动点， B 为圆 C 2上的动点， 所以线段 AB 长度的最大值是｜ C 1 C 2｜＋ r 1＋ r 2＝5＋1＋2＝8. 8 目录 高中总复习·数学（提升版） 8. 已知圆 C ：（ x －2）2＋（ y －3）2＝4外有一点 P （4，－1），过 点 P 作直线 l . （1）当直线 l 与圆 C 相切时，求直线 l 的方程； 目录 高中总复习·数学（提升版） 解：由题意可得 C （2，3），直线 l 与圆 C 相切， 当斜率不存在时，直线 l 的方程为 x ＝4，满足题意. 当斜率存在时，设直线 l 的方程为 y ＋1＝ k （ x －4），即 kx －y －4 k －1＝0， ∴ ＝2，解得 k ＝－ ， ∴直线 l 的方程为3 x ＋4 y －8＝0， ∴直线 l 的方程为 x ＝4或3 x ＋4 y －8＝0. 目录 高中总复习·数学（提升版） （2）当直线 l 的倾斜角为135°时，求直线 l 被圆 C 所截得的弦长. 解：当直线 l 的倾斜角为135°时，直线 l 的方程为 x ＋ y －3＝0， 圆心 C （2，3）到直线 l 的距离为 ， ∴弦长为2 ＝2 . 目录 高中总复习·数学（提升版） 9. “ b ＝± ”是“直线 x ＋ y ＋ b ＝0与圆 C ：（ x ＋1）2＋（ y － 1）2＝5相切”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　由直线 x ＋ y ＋ b ＝0与圆 C ：（ x ＋1）2＋（ y －1）2＝5 相切，得圆心 C （－1，1）到直线 x ＋ y ＋ b ＝0的距离 d ＝ ，所以｜ b ｜＝ ，即 b ＝± ，所以“ b ＝± ”是“直 线 x ＋ y ＋ b ＝0与圆 C ：（ x ＋1）2＋（ y －1）2＝5相切”的充要条 件，故选C. 目录 高中总复习·数学（提升版） 10. （多选）已知圆 M ：（ x －3 k ）2＋（ y －4 k －2）2＝1＋ k 2，则下 列四个命题中真命题有（　　） A. 若圆 M 与 y 轴相切，则 k ＝± B. 圆 M 的圆心到原点的距离的最小值为 C. 若直线 y ＝ x 平分圆 M 的周长，则 k ＝2 D. 圆 M 与圆（ x －3 k ）2＋ y 2＝4 k 2可能外切 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　圆 M ：（ x －3 k ）2＋（ y －4 k －2）2＝1＋ k 2的圆心 坐标为 M （3 k ，4 k ＋2），半径为 r ＝ .若圆 M 与 y 轴相 切，则｜3 k ｜＝ ，解得 k ＝± ，所以A为真命题；因为（3 k ）2＋（4 k ＋2）2＝25 k 2＋16 k ＋4＝ ，所以｜ OM ｜≥ ，所以B为真命题；若直线 y ＝ x 平分圆 M 的周长，则3 k ＝4 k ＋2，即 k ＝－2，所以C为假命题； 目录 高中总复习·数学（提升版） 若圆 M 与圆（ x －3 k ）2＋ y 2＝4 k 2外切，则｜4 k ＋2｜＝ ，设函数 f （ k ）＝｜4 k ＋2｜－ ，因为 f （0） ＝1＞0， f （－1）＝－ ＜0，所以 f （ k ）在（－1，0）内必有零点，则方程｜4 k ＋2｜＝ 有解，所以D为真命题.故选A、B、D. 目录 高中总复习·数学（提升版） 11. （多选）（2024·新高考Ⅰ卷11题）已知点 P 在圆（ x －5）2＋（ y － 5）2＝16上，点 A （4，0）， B （0，2），则（　　） A. 点 P 到直线 AB 的距离小于10 B. 点 P 到直线 AB 的距离大于2 C. 当∠ PBA 最小时，｜ PB ｜＝3 D. 当∠ PBA 最大时，｜ PB ｜＝3 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　设圆（ x －5）2＋（ y －5）2＝16的圆心为 M （5，5），由题易知直线 AB 的方程为 ＝1，即 x ＋2 y －4＝0，则圆心 M 到直线 AB 的距离 d ＝ ＞4，所以直线 AB 与圆 M 相离，所以点 P 到直线 AB 的距离的最大值为4＋ d ＝4＋ ，4＋ ＜5＋ ＝10，故A正确.易知点 P 到直线 AB 的距离的最小值为 d －4＝ －4， －4＜ －4＝1，故B不正确. 目录 高中总复习·数学（提升版） 过点 B 作圆 M 的两条切线，切点分别为 N ， Q ，如图 所示，连接 MB ， MN ， MQ ，则当∠ PBA 最小时，点 P 与 N 重合，｜ PB ｜＝ ＝3 ，当∠ PBA 最大时，点 P与 Q 重合，｜ PB ｜＝3 ，故C、D都正确.综上，选A、C、D. 目录 高中总复习·数学（提升版） 12. （2024·新高考Ⅱ卷15题）设点 A （－2，3）， B （0， a ），若直 线 AB 关于 y ＝ a 对称的直线与圆（ x ＋3）2＋（ y ＋2）2＝1有公共 点，则 a 的取值范围是 ⁠. ​ 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：法一　由题意知点 A （－2，3）关于直线 y ＝ a 的对称点为 A'（－2，2 a －3），所以 k A'B＝ ，所以直线A'B的方程为 y ＝ x ＋ a ，即（3－ a ） x －2 y ＋2 a ＝0.由题意知直线A'B与圆（ x ＋3）2＋（ y ＋2）2＝1有公共点，易知圆心为（－3，－2），半 径为1，所以 ≤1，整理得6 a 2－11 a ＋3≤0，解得 ≤ a ≤ ，所以实数 a 的取值范围是 . 目录 高中总复习·数学（提升版） 法二　易知（ x ＋3）2＋（ y ＋2）2＝1关于 y 轴对称的圆的方程为（ x －3）2＋（ y ＋2）2＝1，由题意知该对称圆与直线 AB 有公共点.设直 线 AB 的方程为 y －3＝ k （ x ＋2），即 kx － y ＋3＋2 k ＝0，因为对称 圆的圆心为（3，－2），半径为1，所以 ≤1，解得－ ≤ k ≤－ ，又 k ＝ ，所以－ ≤－ ，解得 ≤ a ≤ ，所以实 数 a 的取值范围是 . 目录 高中总复习·数学（提升版） 13. 已知直线 x － y ＋ m ＝0与圆 C ：（ x －2）2＋ y 2＝1交于 M ， N 两 点，则 · 的取值范围为 ⁠. 解析：设 M （ x 1， y 1）， N （ x 2， y 2），联立消去 y ，可得（ x －2）2＋（ x ＋ m ）2＝1，化简可得：2 x 2＋（2 m －4） x ＋3＋ m 2＝0，则Δ＝（2 m －4）2－4×2×（3＋ m 2）＞0，即 m 2＋4 m ＋2＜0，解得－2－ ＜ m ＜－2＋ ，由根与系数的关系得 [2，5＋2 ） 目录 高中总复习·数学（提升版） x 1＋ x 2＝2－ m ， x 1 x 2＝ · ＝ x 1 x 2＋ y 1 y 2＝ x 1 x 2＋（ x 1＋ m ）（ x 2＋ m ）＝2 x 1 x 2＋ m （ x 1＋ x 2）＋ m 2＝3＋ m 2＋2 m － m 2＋ m 2＝（ m ＋1）2＋2，又－2－ ＜ m ＜－2＋ ，所以 · ＝（ m ＋1）2＋2∈[2，5＋2 ）. 目录 高中总复习·数学（提升版） 14. 已知 A （2，0），直线4 x ＋3 y ＋1＝0被圆 C ：（ x ＋3）2＋（ y － m ）2＝13（ m ＜3）所截得的弦长为4 ，且 P 为圆 C 上任意一点. （1）求｜ PA ｜的最大值与最小值； 目录 高中总复习·数学（提升版） 解：∵直线4 x ＋3 y ＋1＝0被圆 C ： （ x ＋3）2＋（ y － m ）2＝13（ m ＜3）所截得的弦长为4 ， ∴圆心到直线的距离 d ＝ ＝1. ∵ m ＜3，∴ m ＝2， ∴｜ AC ｜＝ ， ∴｜ PA ｜的最大值与最小值分别为 . 目录 高中总复习·数学（提升版） （2）圆 C 与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的 内切圆的半径. 解：由（1）可得圆 C 的方程为（ x ＋3）2＋（ y －2）2＝13， 令 x ＝0，得 y ＝0或4；令 y ＝0，得 x ＝0或－6， ∴圆 C 与坐标轴相交于三点 M （0，4）， O （0，0）， N （－6，0）， ∴△ MON 为直角三角形，斜边｜ MN ｜＝2 ， ∴△ MON 内切圆的半径为 ＝5－ . 目录 高中总复习·数学（提升版） 15. 已知 P （ x ， y ）是直线 kx ＋ y ＋3＝0（ k ＞0）上一动点， PA ， PB 是圆 C ： x 2＋ y 2－2 y ＝0的两条切线， A ， B 是切点，若四边形 PACB 的最小面积是 ，则 k 的值为（　　） A. B. C. 2 D. 2 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　如图，圆 C ： x 2＋ y 2－2 y ＝0的 圆心为（0，1），半径是 r ＝1，由圆的性质 知： S 四边形 PACB ＝2 S △ PBC ，四边形 PACB 的 最小面积是 ，∴ rd （ d 是切线长），∴ d min＝ .∴｜ PC ｜ 的最小值为 ＝2，∴2＝ ，∴ k ＝± ，∵ k ＞0，∴ k ＝ .故选A. 目录 高中总复习·数学（提升版） 16. 如图，一个湖的边界是圆心为 O 的圆，湖的一侧有一条直线型公 路 l ，湖上有桥 AB （ AB 是圆 O 的直径）.规划在公路 l 上选两个点 P ， Q ，并修建两段直线型道路 PB ， QA ，规划要求：线段 PB ， QA 上的所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径.已知点 A ， B 到 直线 l 的距离分别为 AC 和 BD （ C ， D 为垂足），测得 AB ＝10， AC ＝6， BD ＝12（单位：百米）. （1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长； 目录 高中总复习·数学（提升版） 解：如图，过 O 作 OH ⊥ l ，垂足为 H .以 O 为坐标原点，直线 OH 为 y 轴，建立平面直角坐标系.因为 BD ＝12， AC ＝6，所以 OH ＝9，直线 l 的方程为 y ＝9，点 A ， B 的 纵坐标分别为3，－3. 因为 AB 为圆 O 的直径， AB ＝10， 所以圆 O 的方程为 x 2＋ y 2＝25. 目录 高中总复习·数学（提升版） 从而 A （4，3）， B （－4，－3）， 直线 AB 的斜率为 . 因为 PB ⊥ AB ，所以直线 PB 的斜率为－ ， 直线 PB 的方程为 y ＝－ x － . 所以 P （－13，9），｜ PB ｜＝ ＝15. 因此道路 PB 的长为15百米. 目录 高中总复习·数学（提升版） （2）在规划要求下， P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处？并说 明理由； 解：均不能.理由如下： ①若 P 在 D 处，取线段 BD 上一点 E （－4，0），则 EO ＝4＜5，所以 P 选在 D 处不满足规划要求. ②若 Q 在 D 处，连接 AD ，由（1）知 D （－4，9），又 A （4，3），所以线段 AD ： y ＝－ x ＋6（－4≤ x ≤4）. 目录 高中总复习·数学（提升版） 在线段 AD 上取点 M ， 因为｜ OM ｜＝ ＝5， 所以线段 AD 上存在点 M 到点 O 的距离小于圆 O 的半径. 因此 Q 选在 D 处也不满足规划要求. 综上， P 和 Q 均不能选在 D 处. 目录 高中总复习·数学（提升版） （3）在规划要求下，若道路 PB 和 QA 的长度均为 d （单位：百 米），求当 d 最小时， P ， Q 两点间的距离. 解：先讨论点 P 的位置. 当∠ OBP ＜90°时，线段 PB 上存在点到点 O 的 距离小于圆 O 的半径，点 P 不符合规划要求； 目录 高中总复习·数学（提升版） 当∠ OBP ≥90°时，对线段 PB 上任意一点 F ， OF ≥ OB ，即线段 PB 上所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径，点 P 符合规 划要求. 当∠ OBP ＝90°时，设 P 1为 l 上一点，且 P 1 B ⊥ AB ，由（1）知， P 1 B ＝15，此时 P 1（－13，9）； 当∠ OBP ＞90°时，在△ PP 1 B 中， PB ＞ P 1 B ＝15. 由上可知， d ≥15. 再讨论点 Q 的位置. 目录 高中总复习·数学（提升版） 由（2）知，要使得 QA ≥15，且 QA 上的所有点到点 O 的距离均不 小于圆 O 的半径，点 Q 只有位于点 C 的右侧，才能符合规划 要求.当 QA ＝15时，设 Q （ a ，9）（ a ＞4）， 由｜ AQ ｜＝ ＝15， 得 a ＝4＋3 ，所以 Q （4＋3 ，9）. 此时，线段 QA 上所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径. 综上，当 P （－13，9）， Q （4＋3 ，9）时， d 最小，此时 P ， Q 两点间的距离｜ PQ ｜＝4＋3 －（－13）＝17＋3 .因此， d 最小时， P ， Q 两点间的距离为（17＋3 ）百米. 目录 高中总复习·数学（提升版） 感 谢 观 看! $$