精品解析：2024年广东省惠州市仲恺高新区中考二模数学试题

2024年广东省初中学业考试模拟卷（二） 数 学 （全卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟） 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 今年哈尔滨旅游火出圈了，截止元旦假日第3天，哈尔滨市累计接待游客3047900人次，其中3047900这个数字用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 3. 剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 为深入落实“立德树人”的根本任务，坚持德、智、体、美、劳全面发展，某学校积极推进学生综合素质评价改革，某同学在本学期德智体美劳的评价得分如图所示，则该同学五项评价得分的众数，中位数，平均数分别为（ ） A. 8，8，8 B. 7，7，7.8 C. 8，8，8.6 D. 8，8，8.4 5. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 6. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是(　　) A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 八边形 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝122°，则∠2＝（　　） A. 61° B. 58° C. 48° D. 41° 9. 2024年3月17日惠州举办了首届马拉松，本届赛事以“畅跑山海惠州，尽享东坡文化”为主题，以弘扬惠州东坡文化为主旨，是一场体现文旅体深度融合“嘉年华”赛事．已知总赛程约为，在同一场比赛中A选手的平均速度是B选手的1.2倍，最终A选手冲刺终点的时间比B选手提前20分钟，若设B选手的平均速度是，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A B. ﹣1 C. D. 二、填空题（本大题5小题，每题3分，共15分） 11 因式分解：__________ 12. 反比例函数y＝的图像经过点（－2，3），则k的值为_______． 13. 如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A1，则此时线段CA扫过的图形的面积为___________． 14. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，则∠BOD＝__°． 15. 七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为6的正方形ABCD可以制作一副如图中图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图中图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q，R分别与图2中的点E，G重合，点P在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是_____． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 16. 计算： 17. 如图，在平行四边形ABCD中，AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形． 18. 某校九年级举行了“中国梦”演讲比赛活动，学校团委根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下两个不完整的两种统计图． 根据图中提供的信息，回答下列问题 （1）参加演讲比赛的学生共有　 　人，并把条形图补充完整； （2）扇形统计图中，m＝　 　；C等级对应的扇形的圆心角为　 　度． （3）学校准备从获得A等级的学生中随机选取2人，参加全市举办的演讲比赛，请利用列表法或树状图法，求获得A等级的小明参加市比赛的概率． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，求这栋高楼BC的高度． 20. 某商店销售十台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和十台B型的电脑利润为3500元． （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中，B型电脑的进货量不超过A型电脑的两倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售利润为y元， ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型，B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ 21. 欧几里德，古希腊著名数学家．被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”． 如图1，设点P是已知点，圆O是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图： ①连接，作线段的中点A； ②以A为圆心，以为半径作圆A，与圆O交于两点Q和R； ③连接，则是圆O的切线． （1）按照上述作图步骤在图1中补全图形（保留作图痕迹，痕迹要清晰）； （2）为了说明上述作图的正确性，需要对其证明，请写出证明“是圆O的切线”的过程； （3）如图2，连接并延长交圆O于点B，连接，已知，圆O的半径，求． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 综合与实践 问题情境 在综合与实践课上，老师出示了两张全等的三角形纸片，其中 ，，．如图，三角形纸片与三角形纸片重合，然后将纸片绕点顺时针旋转（旋转角不超过），与交于点，与交于点． 操作与计算 （）如图，当时，求的长． 深度思考 （）“雄鹰”小组受到了启发，提出了问题：如图，当 时，试猜想与的数量关系，并说明理由． 拓展探究 （）“智慧”小组进一步研究．如图，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，连接．当 时，直接写出四边形的面积． 23. 定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）． （1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标． （2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值． （3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年广东省初中学业考试模拟卷（二） 数 学 （全卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟） 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：有理数2024的相反数是， 故选：B． 2. 今年哈尔滨旅游火出圈了，截止元旦假日第3天，哈尔滨市累计接待游客3047900人次，其中3047900这个数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将原数写成（，n为整数）的形式，确定a和n的值是解答本题的关键．将3047900写成（，n为整数）的形式即可． 【详解】解：， 故选：C． 3. 剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意，选项正确； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意，选项错误； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 故选：A． 4. 为深入落实“立德树人”的根本任务，坚持德、智、体、美、劳全面发展，某学校积极推进学生综合素质评价改革，某同学在本学期德智体美劳的评价得分如图所示，则该同学五项评价得分的众数，中位数，平均数分别为（ ） A. 8，8，8 B. 7，7，7.8 C. 8，8，8.6 D. 8，8，8.4 【答案】D 【解析】 【分析】先从图中读取该同学五项评价得分，再根据众数、中位数、平均数的定义，依次计算即可． 【详解】解：该同学五项评价得分分别为7，8，8，9，10， 出现次数最多的数是8，所以众数为8， 这组数据从小到大排列后，位于中间位置的数是8，所以中位数是8， 平均数为， 故选：D． 【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数的定义，注意在求一组数据的中位数时，应先将这组数按从小到大或从大到小的关系排序，再求出这组数的中位数． 5. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据整式的运算法则逐项进项计算，即可判断． 【详解】、与不是同类项，不能合并， ，故错误； 、，故 错误； 、，故 正确； 、，故 错误； 故选：． 【点睛】本题考查了合并同类项、单项式除法、积的乘方、单项式乘法等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 6. 一个多边形内角和是外角和的2倍，这个多边形是(　　) A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 八边形 【答案】C 【解析】 【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解． 【详解】解：设所求多边形边数为n，由题意得 （n﹣2）•180°＝360°×2 解得n＝6． 则这个多边形是六边形． 故选C． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于360°，n边形的内角和为（n﹣2）•180°． 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，并将不等式组解集在数轴上表示出来，先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律；同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解，找出不等式组的解集，将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解①得：， 解②得：， 可以在数轴上表示： 故选：D 8. 光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝122°，则∠2＝（　　） A. 61° B. 58° C. 48° D. 41° 【答案】B 【解析】 【分析】由水面和杯底互相平行，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠3的度数，由水中的两条折射光线平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠2的度数． 【详解】如图， ∵水面和杯底互相平行， ∴∠1+∠3＝180°， ∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣122°＝58°． ∵水中的两条折射光线平行， ∴∠2＝∠3＝58°． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”是解题的关键． 9. 2024年3月17日惠州举办了首届马拉松，本届赛事以“畅跑山海惠州，尽享东坡文化”为主题，以弘扬惠州东坡文化为主旨，是一场体现文旅体深度融合的“嘉年华”赛事．已知总赛程约为，在同一场比赛中A选手的平均速度是B选手的1.2倍，最终A选手冲刺终点的时间比B选手提前20分钟，若设B选手的平均速度是，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用——行程问题．熟练掌握路程与速度和时间的关系列代数式，时间差列方程，是解决问题的关键． 20分钟化为小时，根据时间差20分钟列出方程，逐一判断即得． 【详解】∵在同一场比赛中A选手的平均速度是B选手的1.2倍， B选手的平均速度是， ∴A选手的平均速度为， ∵总赛程约为，最终A选手冲刺终点的时间比B选手提前20分钟， ， ∴． 故选：B． 10. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A. B. ﹣1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值. 【详解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝， 故选：B. 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形. 二、填空题（本大题5小题，每题3分，共15分） 11. 因式分解：__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 反比例函数y＝的图像经过点（－2，3），则k的值为_______． 【答案】-7 【解析】 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到k+1=-2×3，然后解方程即可． 【详解】∵反比例函数y=的图象经过点（-2，3）， ∴k+1=-2×3， ∴k=-7． 故答案为-7． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k． 13. 如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A1，则此时线段CA扫过的图形的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】求线段CA扫过的图形的面积，即求扇形ACA1的面积． 【详解】解：由题意，知AC=4，BC=4-2=2，∠A1BC=90°． 由旋转的性质，得A1C=AC=4． 在Rt△A1BC中，cos∠ACA1=． ∴∠ACA1=60°． ∴扇形ACA1的面积为． 即线段CA扫过的图形的面积为． 故选：D． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算和解直角三角形，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键． 14. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，则∠BOD＝__°． 【答案】140 【解析】 【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠C的度数，再由圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°， ∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣110°＝70°， ∴∠BOD＝2∠C＝140°． 故答案为：140． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质,圆周角与圆心角的关系定理，熟练掌握两个性质是解题的关键． 15. 七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为6的正方形ABCD可以制作一副如图中图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图中图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q，R分别与图2中的点E，G重合，点P在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意连接EG，GM⊥EN交EN的延长线于M，利用勾股定理解决问题即可． 【详解】解：如图2中，连接EG，作GM⊥EN交EN的延长线于M． ∵正方形ABCD的边长为6， ∴PD=DR=RC=， ∴PR==6，PQ=RQ=3， ∴GM＝PR=6，EM＝3+3+6+6＝18， ∴EG＝， ∴EH＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，七巧板，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数计算，特殊角三角函数值，二次根式计算等．根据题意先将每项化简，再从左到右依次计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 17. 如图，在平行四边形ABCD中，AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形，判断出AB//CD，且AB=CD，然后根据AE=CF，判断出BE=DF，即可推得四边形BFDE是平行四边形． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，且AB＝CD， 又∵AE＝CF， ∴BE＝DF， ∴BE∥DF且BE＝DF， ∴四边形BFDE是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质定理是解题的关键. 18. 某校九年级举行了“中国梦”演讲比赛活动，学校团委根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下两个不完整的两种统计图． 根据图中提供的信息，回答下列问题 （1）参加演讲比赛的学生共有　 　人，并把条形图补充完整； （2）扇形统计图中，m＝　 　；C等级对应的扇形的圆心角为　 　度． （3）学校准备从获得A等级的学生中随机选取2人，参加全市举办的演讲比赛，请利用列表法或树状图法，求获得A等级的小明参加市比赛的概率． 【答案】（1）32，见解析（2）37.5，135；（3）见解析， 【解析】 【分析】（1）根据D等级人数和所占的百分比可以求得参加演讲比赛的学生，从而求得B等级的学生数，进而将条形统计图补充完整； （2）根据统计图中的数据可以求得m的值和C等级对应的扇形的圆心角的度数； （3）根据题意可以画出树状图，从而可以求得相应的概率. 【详解】解：（1）参加演讲比赛的学生共有：8÷25%＝32（人）， B等级的人数为：32﹣4﹣12﹣8＝8， 补全的条形统计图如右图所示； （2）m%＝×100%＝37.5%， 即m＝37.5， C等级对应的扇形的圆心角为：360°×＝135°， 故答案为：37.5，135； （3）设小明用a表示，另外三名学生用b、c、d表示，树状图如下图所示， 则获得A等级的小明参加市比赛的概率是， 即获得A等级的小明参加市比赛的概率是． 【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图的综合，以及列表法和树状图法.解（3）的关键是正确画出树状图或表格，然后用符合条件的情况数m除以所有等可能发生的情况数n即可,即. 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，求这栋高楼BC的高度． 【答案】这栋高楼的高度是 【解析】 【分析】过A作AD⊥BC，垂足为D，在直角△ABD与直角△ACD中，根据三角函数的定义求得BD和CD，再根据BC=BD+CD即可求解． 【详解】过点A作AD⊥BC于点D, 依题意得，，，AD=120， 在Rt△ABD中， ∴， 在Rt△ADC中， ∴， ∴ ， 答：这栋高楼的高度是. 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，难度适中．对于一般三角形的计算，常用的方法是利用作高线转化为直角三角形的计算． 20. 某商店销售十台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和十台B型的电脑利润为3500元． （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中，B型电脑的进货量不超过A型电脑的两倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售利润为y元， ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型，B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）每台型电脑销售利润为100元，每台型电脑的销售利润为150元 （2）①；②购进34台型电脑和66台型电脑的销售利润最大，最大利润是13300元 【解析】 【分析】（1）设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元；然后根据销售10台型和20台型电脑的利润为4000元，销售20台型和10台型电脑的利润为3500元列出方程组，然后求解即可； （2）①根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；②根据型电脑的进货量不超过型电脑的2倍列不等式求出的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可． 【小问1详解】 解：设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元； 根据题意得，解得． 答：每台型电脑销售利润为100元，每台型电脑的销售利润为150元； 【小问2详解】 ①根据题意得，， 即； ②根据题意得，， 解得， ， 随的增大而减小， 为正整数， 当时，取最大值，则， 此时最大利润是． 即商店购进34台型电脑和66台型电脑的销售利润最大，最大利润是13300元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程组是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握． 21. 欧几里德，古希腊著名数学家．被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”． 如图1，设点P是已知点，圆O是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图： ①连接，作线段的中点A； ②以A为圆心，以为半径作圆A，与圆O交于两点Q和R； ③连接，则是圆O的切线． （1）按照上述作图步骤在图1中补全图形（保留作图痕迹，痕迹要清晰）； （2）为了说明上述作图的正确性，需要对其证明，请写出证明“是圆O的切线”的过程； （3）如图2，连接并延长交圆O于点B，连接，已知，圆O的半径，求． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】此题考查圆的综合应用，相似三角形的判定和性质、切线的判定等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． （1）根据题意画图即可； （2）连接，由等边对等角得到，进一步得到，则，由是圆半径，即可得到结论； （3）连接交于点，连接，求出，证明，得到，求出，在中，，代入数值即可求出答案． 【小问1详解】 如图， 【小问2详解】 连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵是圆半径， ∴是圆的切线， 同理可得，是圆的切线． 【小问3详解】 连接交于点，连接， ∵、是圆的切线， ∴ ∵ ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴是的中位线 ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∵圆O的半径， ∴， 在中，， ∴，解得（负值舍去） 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 综合与实践 问题情境 在综合与实践课上，老师出示了两张全等的三角形纸片，其中 ，，．如图，三角形纸片与三角形纸片重合，然后将纸片绕点顺时针旋转（旋转角不超过），与交于点，与交于点． 操作与计算 （）如图，当时，求的长． 深度思考 （）“雄鹰”小组受到了启发，提出了问题：如图，当 时，试猜想与的数量关系，并说明理由． 拓展探究 （）“智慧”小组进一步研究．如图，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，连接．当 时，直接写出四边形的面积． 【答案】（）；（），理由见解析；（）． 【解析】 【分析】（）利用勾股定理求出，利用三角形面积求出，可得，由得到，即可求解； （）．连接，由，，可得，即得，，进而得，即可求证； （）先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为矩形，可得，，得到，即可得， 得到，由可得，由，，得到，推导出，进而得到，可得，，，由得到，得到，求出，再利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】（）解：如图， 当，有，， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （）解：，理由如下： 如图，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，平行公理的推理，余角性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 23. 定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）． （1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标． （2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值． （3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2+x﹣1，G（0，﹣3） （2） （3）存在，（﹣2，0）或（﹣﹣2，0） 【解析】 【分析】（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函数的解析式． （2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，），N（t，0），分别求出MN，DM，再求比值即可． （3）先求出E（﹣2，﹣1），设F（x，0），分来两种情况讨论：①当EG＝EF时，，可得F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②当EG＝FG时，2＝，F点不存在． 小问1详解】 解：将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中， ∴， 解得， ∴y＝x2+x﹣1， 在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3， ∴G（0，﹣3）． 小问2详解】 设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，），N（t，0）， ∴NM＝﹣t2﹣2t+3，， ∴＝． 【小问3详解】 存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形，理由如下： 由（1）可得y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1， ∵E点与H点关于对称轴x＝﹣1对称， ∴E（﹣2，﹣1）， 设F（x，0）， ①当EG＝EF时， ∵G（0，﹣3）， ∴EG＝2， ∴2＝， 解得x＝﹣2或x＝﹣﹣2， ∴F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）； ②当EG＝FG时，2＝， 此时x无解； 综上所述：F点坐标为（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$