专题20 随机事件的独立性- 【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020，上海专用）

专题20 随机事件的独立性 1、通过具体事例，理解随机事件独立性的含义； 2、结合古典概型，利用独立性计算概率. 【知识点1】 两个事件A与B（相互）独立是指它们同时发生的概率等于它们各自发生概率的乘积，即 事件的独立性是概率中一个很直观的重要概念，在经典概率问题的计算时非常有用. 【知识点2】 当两个事件的独立性不能像上一节那样可以通过随机试验的独立性来判断时，我们就要直接用等式 是否成立来检验两个事件A与B是否独立. 考点剖析 【例1】抛掷10枚硬币，求 （1）都是正面朝上的概率； （2）恰有1枚反面朝上的概率 【例2】证：如果A与B两个事件独立，那么A与也独立. 【练1】掷两颗骰子，试用独立性求： （1）它们的点数都是偶数概率； （2）它们的点数是一奇一偶的概率. 【练2】已知事件A与事件B相互独立，如果，，那么___________，___________. 【例3】 （1）从一副去掉大小王的52张扑克牌中随机抽取一张牌，用A、B分别表示“取得的牌面数是10”和“取得的牌的花色是红桃”这两个事件.验证A、B是独立的； （2）掷一颗骰子，用A、B分别表示事件“结果是偶数”与事件“结果是奇数”.验证A、B不是独立的. 【练3】掷黑、白两颗骰子. （1）验证事件“两颗骰子的点数和为7”与事件“白色骰子的点数是1”是独立的； （2）验证事件“两颗骰子的点数和为7”与事件“两颗骰子中至少有一颗的点数是1”不是独立的. 【练4】甲、乙两人的罚球命中率分别是p与q.两人各投篮一次，求： （1）都投中的概率； （2）都没投中的概率； （3）至少一人投中的概率； （4）至多一人投中的概率. 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高二上·上海·期末）袋内有质地均匀且大小相同的3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是（    ） A．互斥事件 B．相互独立事件 C．对立事件 D．不相互独立事件 2．（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）小明在某比赛活动中已经进入前四强，他遇到其余四强的三人之一的获胜概率分别为、、，若小明等可能遇到其他选手，获胜则进入决赛，反之被淘汰，则小明进入决赛的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·上海杨浦·期中）若，，则是事件A与事件B相互独立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高三上·上海·期中）存在两个事件A和B，且，，若A与B是两个①事件，则；若A与B是两个②事件，则；其中（    ） A．（1）互斥（2）独立 B．（1）互斥（2）对立 C．（1）独立（2）互斥 D．（1）对立（2）互斥 5．（23-24高二下·上海静安·期末）同时投掷2枚硬币，若事件的概率，则事件为 （写出一个事件即可）；若事件的概率，则事件为 （写出一个事件即可）． 6．（23-24高二上·上海·期末）已知事件与事件相互独立，且，，则 . 7．（23-24高二上·上海·阶段练习）如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是．现从甲乙口袋各摸一个球，求下面四个事件的概率： (1)2个球都是红球； (2)2个球中恰好有1个红球； (3)2个球不都是红球； (4)至少有1个是红球． 8．（23-24高二上·上海虹口·期中）两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的．求 (1)甲和乙同时命中的概率； (2)甲和乙都不命中的概率； (3)甲和乙至少一人命中的概率． B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 9．（23-24高三下·上海·阶段练习）一名工人维护甲乙两台机床，在一小时内，甲需维护和乙需维护相互独立，它们的概率分别是，，则至少有一台需要维护的概率为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·上海青浦·期末）如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是 ．11．（23-24高二下·上海·期中）A、B相互独立，，，则 . 12．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知事件A与事件B相互独立，若，，则 . 13．（23-24高三下·上海杨浦·阶段练习）已知事件与事件相互独立，如果，，那么 . 14．（23-24高二下·上海杨浦·期末）某篮球特色学校调查学生投篮技能情况，请每个学生投篮5次并记录进球数，随机抽取高一年级和高二年级各100名学生的进球数作为样本，结果统计如下（其中，）； 进球数 0 1 2 3 4 5 高一人数 4 2 b 42 12 高二人数 3 1 12 44 33 7 (1)请写出高二年级样本的中位数； (2)若高一年级样本的平均数为，求的值； (3)在这200名学生中，高一高二年级各选取1人，若“至少有一个人的进球数为2”的概率是，求的值； 15．（23-24高二下·上海·期中）有个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字．设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”． (1)写出这个试验的样本空间； (2)判断事件和事件是否相互独立，并说明理由． 16．（23-24高二下·上海·期中）某次数学考试中只有两道题目，甲同学答对每题的概率均为，乙同学答对每题的概率均为，且每人各题答题结果互不影响.已知每题甲､乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为. (1)求和的值； (2)设事件“甲同学答对了道题”，事件“乙同学答对了道题”，其中，试求甲答对的题数比乙多的概率. C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 17．（23-24高二下·上海·期中）掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（    ） A．与是对立事件 B．与是互斥事件 C．与是相互独立事件 D．与是相互独立事件 18．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）袋子中有大小和质地相同的12个小球，分别为红球、黄球、绿球、黑球，从中任取一个球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，问得到黄球的概率是（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高二上·上海·期末）设、分别是事件A、B的对立事件，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B．若A、B是互斥事件，则 C． D．若A、B是独立事件，则 20．（23-24高三下·上海·阶段练习）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面朝上”，事件B是“第二枚为正面朝上”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的有 （用数字①②③作答） ①事件A与事件B；②事件A与事件C；③事件C与事件B. 21．（23-24高二下·上海·阶段练习）红袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，此时取到白球的人胜利，每个球在每一次被取出的机会是等可能的 (1)求袋中原有白球的个数； (2)求甲取得胜利的概率 (3)另有一黄袋中有2个白球2个黑球，从黄袋中取出1球放入红袋，再从红袋中取出1球，求取出的球为白球的概率 22．（23-24高三下·上海·阶段练习）三位好友进行乒乓球循环赛，先进行一局决胜负，负者下，由挑战､的胜者，继续进行一局决胜负，负者下，胜者下一局再接受第三人的挑战，依此进行.假设三人水平接近，任意两人的对决获胜的概率都是且不受体力影响，已知三人共比赛了3局，那么这3局中三人各胜一局的概率为 . 23．（23-24高二上·上海·期末）一个袋子中装有标号为1，2，3，4，5的5个球，除标号外没有其他差异． (1)采取不放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“两次摸出球的标号之和大于5”，写出等可能性的样本空间并求事件发生的概率； (2)采取有放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“第一次摸出球的标号是奇数”，设事件“第二次摸出球的标号是偶数”，那么事件与事件是否相互独立？ D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】 24．（23-24高二上·上海长宁·期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高二上·浙江杭州·期中）在信道内传输0， 1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为， 收到1的概率为. (1)重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率； (2)依次发送1，1， 0， 判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号； ②事件B：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明. 26．（23-24高二上·湖南·阶段练习）甲、乙两位同学参加某种科学知识比赛进入了决赛阶段，决赛规则如下：最多进行两轮比赛，每人每轮比赛在规定时间内答两道选择题，答对一道得3分，不作答得1分，答错得分．第一轮结束总得分高的胜出，得分相同则进行第二轮比赛．对于一道选择题，假设甲选择作答且答对的概率为，选择作答且答错的概率为，选择不作答的概率为，乙选择作答且答对的概率为，选择作答且答错的概率为，选择不作答的概率为．又假设甲答不同的题、乙答不同的题及甲、乙之间的答题均互不影响． (1)若，，，，，，求： ①第一轮比赛结束甲得分为2分的概率； ②第一轮比赛结束甲、乙的得分相等且概率相等的概率； (2)若，求第一轮结束时乙不需要进行第二轮比赛的概率． 27．（23-24高二上·湖北黄冈·阶段练习）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办，本届亚运会共设40个竞赛大项．其中首次增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？    这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时AB同组，CD同组． (1)若，在淘汰赛赛制下，A、C获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题20 随机事件的独立性 1、通过具体事例，理解随机事件独立性的含义； 2、结合古典概型，利用独立性计算概率. 【知识点1】 两个事件A与B（相互）独立是指它们同时发生的概率等于它们各自发生概率的乘积，即 事件的独立性是概率中一个很直观的重要概念，在经典概率问题的计算时非常有用. 【知识点2】 当两个事件的独立性不能像上一节那样可以通过随机试验的独立性来判断时，我们就要直接用等式 是否成立来检验两个事件A与B是否独立. 考点剖析 【例1】抛掷10枚硬币，求 （1）都是正面朝上的概率； （2）恰有1枚反面朝上的概率 【答案】解：（1）抛掷10枚硬币，其中每一枚正面朝上的概率是，而它们相互之间是独立的，所以所求的概率为10枚硬币各自都是正面朝上的概率之乘积，即 （2）在考虑这个问题时，抛掷10枚硬币与依次抛掷1枚硬币10次是一样的.按照后一种情况，将恰有1次反面朝上这个事件记作A，它可以按哪一次反面朝上来分解：若第n次反面朝上而其他9次都是正面朝上，记为，其中1≤n≤10.A发生相当于之一发生，由独立性，就有 再利用概率的可加性，推出 【例2】证：如果A与B两个事件独立，那么A与也独立. 【证明】首先，因为，所以由概率性质3（可加性），得 ， 再应用A与B的独立性，得 因此A与独立. 【练1】掷两颗骰子，试用独立性求： （1）它们的点数都是偶数概率； （2）它们的点数是一奇一偶的概率. 【答案】（1）；（2） 【练2】已知事件A与事件B相互独立，如果，，那么___________，___________. 【答案】 0.18，0.12 【例3】 （1）从一副去掉大小王的52张扑克牌中随机抽取一张牌，用A、B分别表示“取得的牌面数是10”和“取得的牌的花色是红桃”这两个事件.验证A、B是独立的； （2）掷一颗骰子，用A、B分别表示事件“结果是偶数”与事件“结果是奇数”.验证A、B不是独立的. 【答案】解：（1）在这副扑克牌中，有4张10、13张红桃，所以 ，， 另外，A与B同时发生是指取得的牌是红桃10，它只有一张，所以 这样， 从而事件A、B是独立的. （2）这时A与B不可能同时发生，即，而. 所以 即A与B不独立. 【练3】掷黑、白两颗骰子. （1）验证事件“两颗骰子的点数和为7”与事件“白色骰子的点数是1”是独立的； （2）验证事件“两颗骰子的点数和为7”与事件“两颗骰子中至少有一颗的点数是1”不是独立的. 【答案】 （1）；（2）略 【练4】甲、乙两人的罚球命中率分别是p与q.两人各投篮一次，求： （1）都投中的概率； （2）都没投中的概率； （3）至少一人投中的概率； （4）至多一人投中的概率. 【答案】 （1）pq； （2）(1-p)(1-q)； （3）1-(1-p)(1-q)； （4）p (1-q)+ q (1-p)+ (1-p)(1-q). 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高二上·上海·期末）袋内有质地均匀且大小相同的3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是（    ） A．互斥事件 B．相互独立事件 C．对立事件 D．不相互独立事件 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的定义判断即得. 【详解】依题意，有放回地摸球，事件A与B可以同时发生，因此事件A与B不互斥，更不对立，AC错误； 显然，，因此A与B是相互独立事件，B正确，D错误. 故选：B 2．（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）小明在某比赛活动中已经进入前四强，他遇到其余四强的三人之一的获胜概率分别为、、，若小明等可能遇到其他选手，获胜则进入决赛，反之被淘汰，则小明进入决赛的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据独立事件与互斥事件的概率计算公式得出答案. 【详解】设小明遇到的三人分别为，，， 则小明遇到三人的概率都为， 若小明与比赛获胜的概率为，与比赛获胜的概率为，与比赛获胜的概率为， 则小明进入决赛的概率为， 故选：A. 3．（23-24高三上·上海杨浦·期中）若，，则是事件A与事件B相互独立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出，再利用相互独立事件的定义，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由，得，因此，即事件A与事件B相互独立， 反之亦然，所以是事件A与事件B相互独立的充要条件. 故选：C 4．（23-24高三上·上海·期中）存在两个事件A和B，且，，若A与B是两个①事件，则；若A与B是两个②事件，则；其中（    ） A．（1）互斥（2）独立 B．（1）互斥（2）对立 C．（1）独立（2）互斥 D．（1）对立（2）互斥 【答案】A 【分析】由概率的性质有，结合互斥事件定义确定①答案；根据独立事件的判定确定②答案. 【详解】由，仅当时， 所以A与B是两个互斥事件， 由独立事件的判定知：，即A与B是两个独立事件. 故选：A 5．（23-24高二下·上海静安·期末）同时投掷2枚硬币，若事件的概率，则事件为 （写出一个事件即可）；若事件的概率，则事件为 （写出一个事件即可）． 【答案】 两枚硬币同时正面向上 两枚硬币中至少有一枚正面向上 【分析】利用互相独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式求解. 【详解】同时投掷2枚硬币，设事件为两枚硬币同时正面向上，则; 同时投掷2枚硬币，设事件为两枚硬币中至少有一枚正面向上，则包含两个正面、一正一反、一反一正三种情况，. 6．（23-24高二上·上海·期末）已知事件与事件相互独立，且，，则 . 【答案】/ 【分析】利用相互独立事件概率乘法公式求解. 【详解】因为事件与事件相互独立， 所以，即. 故答案为：. 7．（23-24高二上·上海·阶段练习）如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是．现从甲乙口袋各摸一个球，求下面四个事件的概率： (1)2个球都是红球； (2)2个球中恰好有1个红球； (3)2个球不都是红球； (4)至少有1个是红球． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）利用独立事件、互斥事件以及对立事件的概率求法求各事件对应概率即可. 【详解】（1）甲乙各摸一个球相互独立，2个球都是红球概率为； （2）2个球中恰好有1个红球概率为； （3）由（1），根据对立事件概率求法，2个球不都是红球概率为； （4）由（1）（2）知：根据互斥事件概率求法，至少有1个是红球概率为. 8．（23-24高二上·上海虹口·期中）两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的．求 (1)甲和乙同时命中的概率； (2)甲和乙都不命中的概率； (3)甲和乙至少一人命中的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式结合对立事件即可. 【详解】（1）设甲命中为事件，概率为，乙罚球时命中为事件，概率为， 则设甲和乙同时命中为事件,则. （2）设甲和乙都不命中为事件，则. （3）甲和乙至少一人命中为事件，. B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 9．（23-24高三下·上海·阶段练习）一名工人维护甲乙两台机床，在一小时内，甲需维护和乙需维护相互独立，它们的概率分别是，，则至少有一台需要维护的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记至少有一台需要维护为事件，根据相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得. 【详解】记至少有一台需要维护为事件， 则. 故选：A 10．（23-24高二下·上海青浦·期末）如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是 ． 【答案】 【分析】根据相互独立事件概率乘法公式求解． 【详解】从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是， 现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率． 故答案为：． 11．（23-24高二下·上海·期中）A、B相互独立，，，则 . 【答案】/ 【分析】由并事件的概率和相互独立事件的概率公式计算可得. 【详解】因为A、B相互独立，，， 所以， 所以， 故答案为：. 12．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知事件A与事件B相互独立，若，，则 . 【答案】/ 【分析】利用独立事件和对立事件概率公式求解即可. 【详解】已知事件A与事件B相互独立，可推出事件A与事件相互独立， 故，解得， 故. 故答案为： 13．（23-24高三下·上海杨浦·阶段练习）已知事件与事件相互独立，如果，，那么 . 【答案】/ 【分析】根据事件独立可得概率之间的关系，从而可求. 【详解】由题意知：， 因为事件与事件相互独立，故， 又，故，. 故答案为： 14．（23-24高二下·上海杨浦·期末）某篮球特色学校调查学生投篮技能情况，请每个学生投篮5次并记录进球数，随机抽取高一年级和高二年级各100名学生的进球数作为样本，结果统计如下（其中，）； 进球数 0 1 2 3 4 5 高一人数 4 2 b 42 12 高二人数 3 1 12 44 33 7 (1)请写出高二年级样本的中位数； (2)若高一年级样本的平均数为，求的值； (3)在这200名学生中，高一高二年级各选取1人，若“至少有一个人的进球数为2”的概率是，求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据中位数的定义求解； （2）利用平均数的定义得到关于、的方程组，解得 即可； （3）利用独立事件的概率乘法公式求解． 【详解】（1）因为高二年级进球数不超过个的人数为人， 不超过个的人数为人， 所以高二年级样本的中位数为个； （2）因为高一年级样本的平均数为3.2， 所以， 即， 又因为， 所以， 联立方程，解得， 即的值为； （3）由题意可知，高一人中进球数为的有人， 则随机抽一人进球数为的概率为； 高二人中进球数为的有12人， 则随机抽一人进球数为的概率为， 所以“至少有一个人的进球数为”的概率， 解得． 15．（23-24高二下·上海·期中）有个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字．设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”． (1)写出这个试验的样本空间； (2)判断事件和事件是否相互独立，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)事件和事件相互独立，理由见解析 【分析】（1）依题意逐一列出基本事件即可得到样本空间； （2）根据古典概型的概率公式求出，，，再根据独立事件的定义判断． 【详解】（1）依题意试验的样本空间，，，，，，，，； （2）事件和事件相互独立，理由如下： 因为，，，，，， 所以，， 因为， 所以， 因为， 所以事件和事件相互独立． 16．（23-24高二下·上海·期中）某次数学考试中只有两道题目，甲同学答对每题的概率均为，乙同学答对每题的概率均为，且每人各题答题结果互不影响.已知每题甲､乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为. (1)求和的值； (2)设事件“甲同学答对了道题”，事件“乙同学答对了道题”，其中，试求甲答对的题数比乙多的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相互独立事件乘法公式和互斥事件加法公式列式求解即可； （2）先求出甲答对1道和答对2到的概率，乙答对0道和答对1到的概率，再结合题意根据互斥事件加法公式和独立事件乘法公式求解即可. 【详解】（1）设甲同学答对第一题乙同学答对第一题，则. 设甲､乙二人均答对第一题甲､乙二人中恰有一人答对第一题， 则. 由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以与相互独立，与相互互斥， 所以 由题意可得，即，解得或， 由于，所以. （2）由题意得，， 设{甲答对的题数比乙多，则.由于和相互独立，与，彼此互斥， 所以 所以甲答对的题数比乙多的概率为. C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 17．（23-24高二下·上海·期中）掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（    ） A．与是对立事件 B．与是互斥事件 C．与是相互独立事件 D．与是相互独立事件 【答案】D 【分析】选项A和B，根据条件，利用互斥事件的概念，即可判断出选项A和B的正误；选项C和D，利用相互独立的判断方法，计算各自发生的概率及同时发生的概率，即可判断出正误，从而得出结果. 【详解】对于选项A，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶， 即一次试验，事件和事件可以都不发生，所以选项A错误； 对于选项B，因为即两个点数都是偶数，即与可以同时发生，所以选项B错误， 对于选项C，因为，，又，所以，故选项C错误， 对于选项D，因为，，所以，所以选项D正确， 故选：D. 18．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）袋子中有大小和质地相同的12个小球，分别为红球、黄球、绿球、黑球，从中任取一个球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，问得到黄球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出事件，由已知条件得出事件的概率，根据对立事件以及互斥事件的概率性质，即可得出答案. 【详解】从袋中任取一球，记事件“得到红球”，“得到黑球”，“得到黄球”，“得到绿球”分别为A，B，C，D，则事件A，B，C，D彼此互斥. 由已知可得，，，， 则，即， 所以，则， 故从中任取一球，得到黄球的概率分别是， 故选：A. 19．（23-24高二上·上海·期末）设、分别是事件A、B的对立事件，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B．若A、B是互斥事件，则 C． D．若A、B是独立事件，则 【答案】B 【分析】利用对立概率公式判断选项AC；依据互斥事件概率公式判断选项B；依据独立事件概率公式判断选项D. 【详解】选项A：是事件A的对立事件，则.判断正确； 选项B：若A、B是互斥事件，则， 又，则.判断错误； 选项C：因为与A对立，.判断正确； 选项D：若A、B是独立事件，则.判断正确. 故选：B 20．（23-24高三下·上海·阶段练习）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面朝上”，事件B是“第二枚为正面朝上”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的有 （用数字①②③作答） ①事件A与事件B；②事件A与事件C；③事件C与事件B. 【答案】①②③ 【分析】利用古典概型分别求得事件的概率，再利用独立事件的概率公式逐一判断即可得解. 【详解】依题意，， ， 对于①，，所以与是相互独立本件； 对于②，，所以与是相互独立事件； 对于③，，所以与是相互独立事件. 故答案为：①②③. 21．（23-24高二下·上海·阶段练习）红袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，此时取到白球的人胜利，每个球在每一次被取出的机会是等可能的 (1)求袋中原有白球的个数； (2)求甲取得胜利的概率 (3)另有一黄袋中有2个白球2个黑球，从黄袋中取出1球放入红袋，再从红袋中取出1球，求取出的球为白球的概率 【答案】(1)3； (2)； (3) 【分析】 （1）设袋中原有个白球，利用古典概型得到关于的方程，解之即可得解. （2）根据题意得到甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，再计算即可. （3）分两种情况，从黄袋中取出的是白球和从黄袋中取出的是黑球，再求解即可. 【详解】（1） 设袋中原有个白球，由题意知， 则得或（舍去）， 所以袋中原有3个白球． （2） 因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球， 记甲取到白球为事件， 由题意可得：或或. 因为事件或或两两互斥， 所以. （3） 若从黄袋中取出的是白球，再从红袋中取出1球， 则取出的球为白球的概率为； 若从黄袋中取出的是黑球，再从红袋中取出1球， 则取出的球为白球的概率为； 则所求概率为. 22．（23-24高三下·上海·阶段练习）三位好友进行乒乓球循环赛，先进行一局决胜负，负者下，由挑战､的胜者，继续进行一局决胜负，负者下，胜者下一局再接受第三人的挑战，依此进行.假设三人水平接近，任意两人的对决获胜的概率都是且不受体力影响，已知三人共比赛了3局，那么这3局中三人各胜一局的概率为 . 【答案】/ 【分析】根据相互独立事件和概率的加法公式进行计算可得答案. 【详解】设比赛A获胜为事件M，比赛C获胜为事件N，比赛B获胜为事件Q， 且相互独立，则， 设三人共比赛了3局，三人各胜一局的概率为D， 则 . 故答案为：. 23．（23-24高二上·上海·期末）一个袋子中装有标号为1，2，3，4，5的5个球，除标号外没有其他差异． (1)采取不放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“两次摸出球的标号之和大于5”，写出等可能性的样本空间并求事件发生的概率； (2)采取有放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“第一次摸出球的标号是奇数”，设事件“第二次摸出球的标号是偶数”，那么事件与事件是否相互独立？ 【答案】(1)样本空间见解析， (2)相互独立 【分析】（1）首先列举样本空间，再求事件，根据古典概型概率公式，即可求； （2）利用样本空间法，求，，以及，判断是否等于，即可判断是否独立. 【详解】（1）5球中不放回的摸出2球，这个实验的样本空间 ，其中， 事件，其中 所以. （2）5球中不放回的摸出2球，这个实验的样本空间 ，其中， 事件 ，其中， ，其中， 事件，, 所以，，, 因为，所以事件与事件相互独立. D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】 24．（23-24高二上·上海长宁·期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为，根据题意列出的所有可能，结合独立事件乘法公式即可求解. 【详解】设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为， 则甲最终获胜的概率为 . 故选：D. 【点睛】关键点睛：将甲最终获胜事件拆解为互斥事件的和，利用加法公式、乘法公式进一步得解. 25．（23-24高二上·浙江杭州·期中）在信道内传输0， 1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为， 收到1的概率为. (1)重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率； (2)依次发送1，1， 0， 判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号； ②事件B：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明. 【答案】(1)； (2)事件A与事件B不互相独立，证明见解析. 【分析】（1）利用事件的相互独立求“至少收到两次1”的概率； （2）利用事件的相互独立性计算，，，利用独立事件的概率公式验证. 【详解】（1）重复发送信号1三次，“至少收到两次1”的可能情况为： (1，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)， 因为信号的传输相互独立， 故“至少收到两次1”的概率为：. （2）事件A与事件B不互相独立，证明如下： 若依次发送1，1， 0， 则三次都没收到正确信号的概率为， 故至少收到一个正确信号的概率为； 若依次发送1，1，0，“至少收到两个0”的可能情况为： (0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性， 故， 若依次发送1，1，0，“至少收到两个0且至少收到一个正确信号”的可能情况为： (0，0，0)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性， 故， 因为，所以事件A与事件B不互相独立. 26．（23-24高二上·湖南·阶段练习）甲、乙两位同学参加某种科学知识比赛进入了决赛阶段，决赛规则如下：最多进行两轮比赛，每人每轮比赛在规定时间内答两道选择题，答对一道得3分，不作答得1分，答错得分．第一轮结束总得分高的胜出，得分相同则进行第二轮比赛．对于一道选择题，假设甲选择作答且答对的概率为，选择作答且答错的概率为，选择不作答的概率为，乙选择作答且答对的概率为，选择作答且答错的概率为，选择不作答的概率为．又假设甲答不同的题、乙答不同的题及甲、乙之间的答题均互不影响． (1)若，，，，，，求： ①第一轮比赛结束甲得分为2分的概率； ②第一轮比赛结束甲、乙的得分相等且概率相等的概率； (2)若，求第一轮结束时乙不需要进行第二轮比赛的概率． 【答案】(1)① ；② (2) 【分析】（1）①甲答题得2分的情况分两种情形讨论，结合概率的公式求解即可；②讨论出甲乙都答了2题，且都是1对1错，结合概率公式即可. （2）乙不需要进行第二轮比赛即甲乙得分不相同. 【详解】（1）①因为甲答不同的题互不影响，所以甲可能：2道题中对1题错1题，或者2题都不答， 即， 所以第一轮比赛结束甲得分为2分的概率为． ②由已知得，第一轮比赛结束甲、乙的得分相等的情形：都答对2题分，都答错2题，2题都不答，这些情形概率不相等； 所以甲、乙都是选择作答2题，一题答对一题答错， 因为甲答不同的题、乙答不同的题及甲、乙之间的答题均互不影响， 所以第一轮比赛结束甲、乙得分相等且概率相等的概率为 ． （2）因为，故在第一轮比赛时甲、乙都选择作答每道题， 所以在第一轮比赛结束时每个人的得分可以是6分，2分和分， 因为甲答不同的题、乙答不同的题及甲、乙之间的答题均互不影响， 所以第一轮结束时乙不需要进行第二轮比赛的概率即甲乙得分不相同的概率为 ． 27．（23-24高二上·湖北黄冈·阶段练习）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办，本届亚运会共设40个竞赛大项．其中首次增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？    这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时AB同组，CD同组． (1)若，在淘汰赛赛制下，A、C获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 【答案】(1)获得冠军的概率分别为，； (2)淘汰赛赛制下获得冠军的概率为，“双败赛制”赛制下获得冠军的概率为，双败赛制下对强者更有利. 【分析】（1）利用独立事件乘法、互斥事件加法公式求获得冠军的概率； （2）分别求出不同赛制下获得冠军的概率，研究哪种赛制下获得冠军的概率更大，即可得结论. 【详解】（1）获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 获得冠军的概率为， 获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 获得冠军的概率为. （2）淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为， “双败赛制”赛制下，讨论A进入胜者组、败者组两种情况， 当A进入胜者组，若在胜者组A失败，后两局都胜，方可得冠军； 若在胜者组A胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军； 当A进入败者组，后三局都胜，方可得冠军； 综上，获得冠军的概率. 令， 若为强队，则，故， 所以，双败赛制下对强者更有利. 【点睛】关键点点睛：第二问，根据“双败赛制”赛制的描述讨论A进入胜者组、败者组两种情况，分别求出得冠军的概率为关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$