专题18 古典概率- 【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020，上海专用）

专题18 古典概率 1、理解组成古典概率模型的两个基本条件 2、掌握互斥事件、对立事件的概念 3、通过具体实例，理解概率的意义 4、掌握并应用概率的基本性质及运算法则 5、通过事件关系和运算，计算古典概型中简单随机事件的概率 【知识点1】 一般地，若一个随机试验的所有结果出现的可能性都一样，一般地，若一个随机试验的所有结果出现的可能性都一样，则称之为具有等可能性，它在最常见也是最简单的概率模型. 如果一个随机试验满足下面两个条件：（1）包含有限个可能出现的结果（基本事件）；（2）这些结果出现是等可能的，那么这样的随机试验就称为古典概率模型，它是常见也是最简单的概率模型. 在一个古典概率模型中，是一个有限等可能的样本空间.这里等可能的样本空间是指该样本空间中的每个基本事件出现的可能性相同.因为依照习惯约定为必然事件的概率是1，所以每个基本事件发生的概率自然是基本事件总数的倒数.由于一般的随机事件是基本事件的某个集合，即样本空间的一个子集，用符号表示事件发生的概率，那么事件发生的概率为 其中，表示事件中的基本事件个数，而表示样本空间中的基本事件个数.上式说明概率是事件中的元素个数与样本空间中元素个数的比值. 根据概率的定义，容易得到以下两个简单的性质： 概率性质1：必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，即 ， 概率性质2：设是一个事件，那么 【知识点2】 我们通常要将一个随机试验依次分解为若干个等可能的随机试验来处理，方法如下： 设一个随机试验分两步完成，第一步有个等可能的结果，记作 ，，…，； 而对第一步得到的每个结果，第二步总有个等可能的结果，记作 ，，…，； 那么，该随机试验的样本空间就是 ， 【知识点3】 事件之间是有关系的.设事件A对应于子集A，事件B对应于子集B.如果A的基本事件都在B中，那么A发生必然B发生.此时，称B包含A或者A包含于B，即.其次，事件是可以运算的.“两个事件A、B至少有一个发生”，这本身也是一个事件，是指在两个事件所包含的基本事件中至少有一个发生，其对应的子集是.同样地，“两个事件A、B同时发生”也是一个事件，是指两个事件的某个共同的基本事件发生，其对应子集是.因此，“两个事件至少有一个发生”对应于相应集合的并，而“两个事件同时发生”则对应于相应集合的交. 如果A与B没有共同的基本事件，即两个子集不相交：，那么这两个事件不可能同时发生，或者说互斥. “事件A发生”的否定就是“事件A不发生”，它也是一个事件，称为事件A的对立事件，简称为“非A”.对应的子集是不属于A的基本事件全体，从而是A在样本空间中的补集.则会有 ， 成立. 且还有另外两个公式成立： ， 上面两个公式是对两个事件来陈述的，实际上对任意多个事件同样成立. 【知识点4】 设事件A、B不同时发生，即成立.而A与B至少有一个发生的事件是.因为A与B中没有共同的元素，所以并集的元素个数就是A与B的元素个数之和，即成立 因此 即得到概率的可加性： 概率性质3（可加性）：两个不可能同时发生的事件至少有一个发生的概率是这两个事件的概率之和.换言之，如果，那么 将上述可加性用于特殊情况，由于，就得到概率性质4：对于一给定事件，其发生的概率与不发生的概率的和总是1.换言之，有 考点剖析 【例1】同时掷2颗骰子，求： （1）所得点数和为6的概率； （2）所得点数和不大于6的概率； 【练1】同时掷3枚硬币，求下列事件的概率： （1）恰有2枚正面朝上； . （2）最多1枚正面朝上； . 【例2】从一个放有两个白球、一个黑球的罐子中任意摸两个球，写出其样本空间并思考：这个样本空间是否有两个不同的写法？写出其样本空间有等可能性？并求至少摸到一个黑球的概率. 【练2-1】掷两颗骰子，点数之和出现哪个数的可能性最大？ 【练2-2】三个人抽签，三个签上事先分别写上了各自的名字.求下面事件的概率： ：没有人抽到写有自己名字的签； ：恰有一个人抽到写有自己名字的签； ：恰有两个人抽到写有自己名字的签； ：三个人都抽到写有自己名字的签； 【例3】掷两颗骰子，观察掷得的点数.设A：至少有一个是偶数，B：至少有一个是奇数，C：两个点数的乘积是偶数，D：两个点数的和是奇数.讨论： （1）A与B的关系； （2）A与C的关系； （3）A、B、D之间的关系； （4）C与D的关系 【练3】把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写在10张一样的卡片上，并随机抽取1张.设A：出现偶数，B：出现3的倍数.写出下面两个事件的对应集合： （1）A、B至少有一个发生； （2）A、B同时发生. 【例4】已知A、B、C是三个两两互斥的事件，求证： 【练4】已知A、B是两个事件，求证： 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高二下·上海·阶段练习）如果事件与事件互斥，那么（    ）条件. A． B． C．与一定互斥 D．与一定独立 2．（23-24高二上·上海长宁·期末）掷一枚骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数；：落地时向上的点数是3的倍数；：落地时向上的点数是2；：落地时向上的点数是2的倍数，则下列说法中，错误的是（    ） A．和有可能同时发生 B．和是对立事件 C．和是对立事件 D．和是互斥事件 3．（23-24高二下·上海杨浦·期末）某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下： 命中环数 6 7 8 9 10 频率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2 如果这名运动员只射击一次，命中的环数大于8环的概率是 ． 4．（23-24高二下·上海·期中）从1、2、3、4、5五个数中任取一个数，则这个数是奇数的概率 . 5．（23-24高二下·上海·期中）若事件与互斥，且，，则 ． 6．（23-24高二下·上海·期中）设事件是互斥事件，且，则 . 7．（23-24高二下·上海·阶段练习）设是一个随机试验中的两个事件，且，则 ． 8．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和大于6的概率是 . B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 9．（23-24高二下·上海杨浦·期末）已知事件与互斥，它们都不发生的概率为，且，则（    ）． A． B． C． D． 10．（23-24高二下·上海虹口·期末）已知事件和事件互斥，若且，则 . 11．（23-24高二下·上海·阶段练习）从0，1，2，3这四个数字中，不放回地取两次，每次取一个.构成数对，x为第一次取到的数字，y为第二次取到的数字．设事件“第一次取出的数字是1”，“第二次取出的数字是2”． (1)写出此试验的样本空间及的值； (2)判断A与B是否为互斥事件，并求． 12．（23-24高二下·上海·期中）一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，一次选取一张． (1)若标签的选取是无放回的，写出该随机试验的一个等可能的样本空间，并求两张标签上的数字为相邻整数的概率； (2)若标签的选取是有放回的，写出该随机试验的一个等可能的样本空间，并求两张标签上的数字为相邻整数的概率． 13．（23-24高二下·上海·期中）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4．现从盒子中随机抽取． (1)若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率； (2)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取的卡片上数字之和大于7的概率． 14．（23-24高二下·上海·阶段练习）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，． (1)用卡片上的数字列出所有可能的结果； (2)求“抽取的卡片上的数字满足”的概率； (3)求“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”的概率 C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 15．（23-24高二上·上海黄浦·期末）从正方体的8个顶点中任取4个点组成一个四面体，将形状完全相同的四面体视为同一个四面体，若从这些不同的四面体中任取一个，则取出的四面体存在相邻的两个面互相垂直的概率为 ． 16．（23-24高二上·上海·阶段练习）桌上有三个纸杯，正中间那一个有巧克力，现采取如下操作：将正中间那个纸杯和左右两边中的任意一个纸杯互换，记为一次操作，重复上述操作4次，则正中间纸杯中有巧克力的概率是 . 17．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知事件与事件互斥，如果，，那么 . 18．（23-24高二下·上海静安·期末）口袋里装有4个大小相同的小球．，其中两个标有数字1，两个标有数字2． (1)第一次从口袋里任意取一球，放回口袋里后第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为．当为何值时，其发生的概率最大？说明理由； (2)第一次从口袋里任意取一球，不再放回口袋里，第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为．求大于2的概率． 19．（23-24高二上·上海·期末）在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个．试求： (1)取得两个红球的概率； (2)取得两个同颜色的球的概率； (3)至少取得一个红球的概率． 20．（23-24高二上·上海·期末）某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分组，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)分别求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若产品的质量指数在[8，10]内，则该产品为优等品．现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率． D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】 21．（22-23高二下·上海杨浦·期中）小明同时掷3个骰子，在掷完后，小明有一次重掷的机会，即可以选择三个骰子中的任意多个进行重掷（可以是0个），并保留剩下骰子的点数，若最后点数之和为7则取得胜利．为了取得胜利，则小明会选择2个骰子进行重掷的概率为 ． 22．九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，这5个数字未知，且为奇数，则的概率为 . 9 7 4 5 23．A与B二人进行“抽鬼牌”游戏，游戏开始时，A手中有3张两两不同的牌，B手上有4张牌，其中3张牌与A手中的牌相同，另一张为“鬼牌”，与其他所有牌都不同．游戏规则为： （ⅰ）双方交替从对方手中抽取一张牌，A先从B手中抽取； （ⅱ）若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致，则将两张牌丢弃； （ⅲ）最后剩一张牌（鬼牌）时，持有鬼牌的玩家为输家； 假设每一次抽牌从对方手上抽到任一张牌的概率都相同，则A获胜的概率为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 古典概率 1、理解组成古典概率模型的两个基本条件 2、掌握互斥事件、对立事件的概念 3、通过具体实例，理解概率的意义 4、掌握并应用概率的基本性质及运算法则 5、通过事件关系和运算，计算古典概型中简单随机事件的概率 【知识点1】 一般地，若一个随机试验的所有结果出现的可能性都一样，一般地，若一个随机试验的所有结果出现的可能性都一样，则称之为具有等可能性，它在最常见也是最简单的概率模型. 如果一个随机试验满足下面两个条件：（1）包含有限个可能出现的结果（基本事件）；（2）这些结果出现是等可能的，那么这样的随机试验就称为古典概率模型，它是常见也是最简单的概率模型. 在一个古典概率模型中，是一个有限等可能的样本空间.这里等可能的样本空间是指该样本空间中的每个基本事件出现的可能性相同.因为依照习惯约定为必然事件的概率是1，所以每个基本事件发生的概率自然是基本事件总数的倒数.由于一般的随机事件是基本事件的某个集合，即样本空间的一个子集，用符号表示事件发生的概率，那么事件发生的概率为 其中，表示事件中的基本事件个数，而表示样本空间中的基本事件个数.上式说明概率是事件中的元素个数与样本空间中元素个数的比值. 根据概率的定义，容易得到以下两个简单的性质： 概率性质1：必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，即 ， 概率性质2：设是一个事件，那么 【知识点2】 我们通常要将一个随机试验依次分解为若干个等可能的随机试验来处理，方法如下： 设一个随机试验分两步完成，第一步有个等可能的结果，记作 ，，…，； 而对第一步得到的每个结果，第二步总有个等可能的结果，记作 ，，…，； 那么，该随机试验的样本空间就是 ， 【知识点3】 事件之间是有关系的.设事件A对应于子集A，事件B对应于子集B.如果A的基本事件都在B中，那么A发生必然B发生.此时，称B包含A或者A包含于B，即.其次，事件是可以运算的.“两个事件A、B至少有一个发生”，这本身也是一个事件，是指在两个事件所包含的基本事件中至少有一个发生，其对应的子集是.同样地，“两个事件A、B同时发生”也是一个事件，是指两个事件的某个共同的基本事件发生，其对应子集是.因此，“两个事件至少有一个发生”对应于相应集合的并，而“两个事件同时发生”则对应于相应集合的交. 如果A与B没有共同的基本事件，即两个子集不相交：，那么这两个事件不可能同时发生，或者说互斥. “事件A发生”的否定就是“事件A不发生”，它也是一个事件，称为事件A的对立事件，简称为“非A”.对应的子集是不属于A的基本事件全体，从而是A在样本空间中的补集.则会有 ， 成立. 且还有另外两个公式成立： ， 上面两个公式是对两个事件来陈述的，实际上对任意多个事件同样成立. 【知识点4】 设事件A、B不同时发生，即成立.而A与B至少有一个发生的事件是.因为A与B中没有共同的元素，所以并集的元素个数就是A与B的元素个数之和，即成立 因此 即得到概率的可加性： 概率性质3（可加性）：两个不可能同时发生的事件至少有一个发生的概率是这两个事件的概率之和.换言之，如果，那么 将上述可加性用于特殊情况，由于，就得到概率性质4：对于一给定事件，其发生的概率与不发生的概率的和总是1.换言之，有 考点剖析 【例1】同时掷2颗骰子，求： （1）所得点数和为6的概率； （2）所得点数和不大于6的概率； 【答案】 （1）；（2） 【练1】同时掷3枚硬币，求下列事件的概率： （1）恰有2枚正面朝上； . （2）最多1枚正面朝上； . 【答案】 （1）；（2） 【例2】从一个放有两个白球、一个黑球的罐子中任意摸两个球，写出其样本空间并思考：这个样本空间是否有两个不同的写法？写出其样本空间有等可能性？并求至少摸到一个黑球的概率. 【答案】 把两个白球分别标记为A、B，而黑球标记为C.样本空间 是等可能的.如果只关心摸到的白球个数，那么只看到两个结果：两个白球、一黑一白、这不是等可能的.最后从第一个样本空间看，事件“至少摸到一个黑球”包含4个基本事件，因此其概率为. 【练2-1】掷两颗骰子，点数之和出现哪个数的可能性最大？ 【答案】点数之和为7的概率最大，等于. 【练2-2】三个人抽签，三个签上事先分别写上了各自的名字.求下面事件的概率： ：没有人抽到写有自己名字的签； ：恰有一个人抽到写有自己名字的签； ：恰有两个人抽到写有自己名字的签； ：三个人都抽到写有自己名字的签； 【答案】，，，， 【例3】掷两颗骰子，观察掷得的点数.设A：至少有一个是偶数，B：至少有一个是奇数，C：两个点数的乘积是偶数，D：两个点数的和是奇数.讨论： （1）A与B的关系； （2）A与C的关系； （3）A、B、D之间的关系； （4）C与D的关系 【答案】 （1）A发生，B不一定发生；B发生，A不一定发生，因此A、B互不包含.此外，A、B有可能同时发生，所以它们也不互斥. （2）两个点数的乘积是偶数当且仅当其中至少一个是偶数，即. （3）两个点数的和是奇数当且仅当一个是奇数一个是偶数，即. （4）若两个点数的和是奇数，肯定是一奇一偶，所以其乘积一定是偶数；反过来，乘积是偶数说明两个点数中至少一个是偶数.因此，且因为（2），故，但两者不等. 【练3】把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写在10张一样的卡片上，并随机抽取1张.设A：出现偶数，B：出现3的倍数.写出下面两个事件的对应集合： （1）A、B至少有一个发生； （2）A、B同时发生. 【答案】 （1）. （2）. 【例4】已知A、B、C是三个两两互斥的事件，求证： 【答案】 因为A、B、C两两互斥，则有： 因此， 【练4】已知A、B是两个事件，求证： 【答案】 证明：， ， 所以，即 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高二下·上海·阶段练习）如果事件与事件互斥，那么（    ）条件. A． B． C．与一定互斥 D．与一定独立 【答案】B 【分析】根据题意，结合实例，利用互斥事件的定义，独立事件的定义，以及概率的意义，逐项判定，即可求解. 【详解】例如：口袋中由3个红球、2个白球和1个黄球，从而任取一个球， 事件“表示取到的是红球”，事件“表示取到得是白球”，事件“表示取到的是黄球”， 此时，事件，事件和事件是互斥事件，所以事件不可能同时发生， 且， 对于A中，由，所以A不正确； 对于B中，由事件与事件不可能同时发生，可得，所以B正确； 对于C中，由事件；“取得一个球不是红球”，事件：“取得一个球不是白球”， 当取得到的一个球为黄球时，此时事件和事件同时发生， 所以与事件不一定互斥，所以C不正确； 对于D中，由，，可得， 此时事件和事件不独立事件，所以D错误. 故选：B. 2．（23-24高二上·上海长宁·期末）掷一枚骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数；：落地时向上的点数是3的倍数；：落地时向上的点数是2；：落地时向上的点数是2的倍数，则下列说法中，错误的是（    ） A．和有可能同时发生 B．和是对立事件 C．和是对立事件 D．和是互斥事件 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的意义逐项判断得解. 【详解】依题意，事件， 对于A，事件和有相同的基本事件：点数3，A正确； 对于B，事件和不能同时发生，但必有一个发生，则和是对立事件，B正确； 对于C，事件和不能同时发生，但可以同时不发生，则和不是对立事件，C错误； 对于D，事件和不能同时发生，它们是互斥事件，D正确. 故选：C 3．（23-24高二下·上海杨浦·期末）某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下： 命中环数 6 7 8 9 10 频率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2 如果这名运动员只射击一次，命中的环数大于8环的概率是 ． 【答案】/ 【分析】利用互斥事件概率加法公式计算可得． 【详解】用频率估计概率，可知这名运动员只射击一次，命中的环数大于8环的概率. 故答案为： 4．（23-24高二下·上海·期中）从1、2、3、4、5五个数中任取一个数，则这个数是奇数的概率 . 【答案】/0.6 【分析】利用古典概型的概率公式即可求. 【详解】从1、2、3、4、5五个数中任取一个数，共有5种取法，其中“这个数为奇数”有3种， 故这个数是奇数的概率为：. 故答案为： 5．（23-24高二下·上海·期中）若事件与互斥，且，，则 ． 【答案】/0.7 【分析】根据互斥事件的概率公式以及对立事件的概率即可求解. 【详解】由于事件与互斥，且，所以, 故,所以， 故答案为： 6．（23-24高二下·上海·期中）设事件是互斥事件，且，则 . 【答案】/0.5 【分析】根据给定条件，利用互斥事件的加法公式直接计算得解. 【详解】事件是互斥事件，且，所以. 故答案为： 7．（23-24高二下·上海·阶段练习）设是一个随机试验中的两个事件，且，则 ． 【答案】 【分析】由可得答案. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 8．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和大于6的概率是 . 【答案】/0.1875 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可. 【详解】两次抽取的试验的样本空间，共16个， 两次抽取的卡片数字之和大于6的事件，共3个， 所以两次抽取的卡片数字之和大于6的概率是. 故答案为： B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 9．（23-24高二下·上海杨浦·期末）已知事件与互斥，它们都不发生的概率为，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互斥事件及所给条件求出，即可求出，从而得解. 【详解】因为事件与互斥，它们都不发生的概率为，且， ，解得， ， 则． 故选：C． 10．（23-24高二下·上海虹口·期末）已知事件和事件互斥，若且，则 . 【答案】/ 【分析】先求出，再根据互斥事件的和事件概率加法公式求解. 【详解】因为随机事件A和B互斥，且， 所以， 而， 所以. 故答案为： 11．（23-24高二下·上海·阶段练习）从0，1，2，3这四个数字中，不放回地取两次，每次取一个.构成数对，x为第一次取到的数字，y为第二次取到的数字．设事件“第一次取出的数字是1”，“第二次取出的数字是2”． (1)写出此试验的样本空间及的值； (2)判断A与B是否为互斥事件，并求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意直接写出样本空间的所有基本事件，再分析满足的基本事件求解即可； （2）判断是否能同时发生即可判断与是否为互斥事件，再结合（1）可得； 【详解】（1）样本空间：， 所以.因为，， 所以，.从而，. （2）因为，故与不是互斥事件. 又.所以. 从而. 12．（23-24高二下·上海·期中）一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，一次选取一张． (1)若标签的选取是无放回的，写出该随机试验的一个等可能的样本空间，并求两张标签上的数字为相邻整数的概率； (2)若标签的选取是有放回的，写出该随机试验的一个等可能的样本空间，并求两张标签上的数字为相邻整数的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）利用列举法列出样本空间，再由古典概型的概率公式计算可得； 【详解】（1）标签的选取是无放回的， 则样本空间， 其中两张标签上的数字为相邻整数的有，，，，，共个基本事件， 所以两张标签上的数字为相邻整数的概率. （2）标签的选取是有放回的， 则样本空间， 其中两张标签上的数字为相邻整数的有，，，，，共个基本事件， 所以两张标签上的数字为相邻整数的概率. 13．（23-24高二下·上海·期中）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4．现从盒子中随机抽取． (1)若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率； (2)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取的卡片上数字之和大于7的概率． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设表示事件“张卡片上数字之和大于”，列出符合题意的基本事件，再由古典概型的概率公式计算可得； （2）设表示事件“两次抽取的卡片上数字之和大于”，则事件只包含两次抽取的卡片均为这种可能结果，由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】（1）设表示事件“张卡片上数字之和大于”， 一次抽取张卡片，共有种可能结果， 而事件包含抽取、、和、、，这种可能结果， 所以； （2）设表示事件“两次抽取的卡片上数字之和大于”， 两次抽取卡片共有种可能结果， 而事件只包含两次抽取的卡片均为这种可能结果， 所以． 14．（23-24高二下·上海·阶段练习）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，． (1)用卡片上的数字列出所有可能的结果； (2)求“抽取的卡片上的数字满足”的概率； (3)求“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”的概率 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3). 【分析】（1）易知每次抽取的结果均有三种可能，即共27种，按规律列举即可； （2）易知满足的基本事件共3种，可得概率； （3）求得数字，，完全相同的概率，即可得出结论. 【详解】（1）由题意，，，所有的可能为： ，1，，，1，，，1，，，2，，，2，，，2，， ，3，，，3，，，3，，，1，，，1，，，1，， ，2，，，2，，，2，，，3，，，3，，，3，， ，1，，，1，，，1，，，2，，，2，，，2，， ，3，，，3，，，3，，共27种． （2）设“抽取的卡片上的数字满足”为事件， 则事件包括，1，，，2，，，1，，共3种， 所以， 因此，“抽取的卡片上的数字满足”的概率为． （3）设“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”为事件， 则事件包括，1，，，2，，，3，，共3种． 所以， 因此，“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”的概率为 C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 15．（23-24高二上·上海黄浦·期末）从正方体的8个顶点中任取4个点组成一个四面体，将形状完全相同的四面体视为同一个四面体，若从这些不同的四面体中任取一个，则取出的四面体存在相邻的两个面互相垂直的概率为 ． 【答案】 【分析】 从正方体的8个顶点中任取4个点组成一个四面体，将形状完全相同的四面体视为同一个四面体则不同的四面体有四个.但每个所占比例不同，找到每个四面体在总体中所占比例，然后求解. 【详解】从正方体的8个顶点中任取4个点组成一个四面体，形状不相同的有如图，，，四类，存在相互垂直两个平面的是图一和图二. 在总体中占份，图三类的有份，图四的份. 若从这些不同的四面体中任取一个， 则取出的四面体存在相邻的两个面互相垂直的概率为 故答案为： 16．（23-24高二上·上海·阶段练习）桌上有三个纸杯，正中间那一个有巧克力，现采取如下操作：将正中间那个纸杯和左右两边中的任意一个纸杯互换，记为一次操作，重复上述操作4次，则正中间纸杯中有巧克力的概率是 . 【答案】/0.375 【分析】 利用列举法即可求解. 【详解】经过第一次操作后，纸杯按从左到右的顺序情况为（有无无）和（无无有），概率各为， 根据对称，接下来只考虑（有无无）的情况， 经过第二次操作后，纸杯按从左到右的顺序情况为（无有无）和（有无无）， 经过第三次操作后，纸杯按从左到右的顺序情况为（有无无），（无无有），（无有无）和（有无无）， 经过第四次操作后，纸杯按从左到右的顺序情况为（无有无），（有无无），（无无有），（无有无），（有无无），（无无有），（无有无），（有无无） 所以操作4次，则正中间纸杯中有巧克力的情况有3种，故当（无无有）的情况时也有3种符合条件的情况， 故重复上述操作4次，则正中间纸杯中有巧克力的概率是， 故答案为： 17．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知事件与事件互斥，如果，，那么 . 【答案】/ 【分析】根据互斥得到，计算，得到答案. 【详解】事件与事件互斥，则，， 故. 故答案为：. 18．（23-24高二下·上海静安·期末）口袋里装有4个大小相同的小球．，其中两个标有数字1，两个标有数字2． (1)第一次从口袋里任意取一球，放回口袋里后第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为．当为何值时，其发生的概率最大？说明理由； (2)第一次从口袋里任意取一球，不再放回口袋里，第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为．求大于2的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为放回口袋里后第二次再任意取一球，根据题意利用列表法，结合古典概型分析判断； （2）因为不放回口袋里后第二次再任意取一球，根据题意利用列表法，结合古典概型分析判断. 【详解】（1）记第一次取到小球上的数字为，第二次取到小球上的数字为，样本空间为， 则， 因为放回口袋里后第二次再任意取一球，则有： 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 2 3 3 4 4 2 3 3 4 4 可知：， 所以当时，其发生的概率最大，最大为. （2）记第一次取到小球上的数字为，第二次取到小球上的数字为，样本空间为 则， 因为不再放回口袋里，第二次再任意取一球，则有： 1 1 2 2 1 ╱ 2 3 3 1 2 ╱ 3 3 2 3 3 ╱ 4 2 3 3 4 ╱ 可知：， 所以大于2的概率. 19．（23-24高二上·上海·期末）在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个．试求： (1)取得两个红球的概率； (2)取得两个同颜色的球的概率； (3)至少取得一个红球的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据古典概率模型，先求出所有基本事件的总数，再求出满足事件条件的基本事件数，从而确定事件的概率； （2）根据题意取得两个同颜色的球分为取得两个红球和取得两个绿球两种情况，根据互斥事件概率计算公式，计算即可； （3）求出至少取得一个红球事件的对立事件即事件的概率，根据，为对立事件，有. 【详解】（1）设取得两个红球为事件，取得两个绿球为事件，至少取得一个红球为事件， 易知，为互斥事件，，为对立事件；7个红玻璃球，3个绿玻璃球， 从中无放回地任意抽取两次所有基本事件有（个）， 其中事件发生所包含的的基本事件有（个）， 事件发生所包含的的基本事件有（个）， 所以， 所以取得两个红球的概率为：. （2）取得两个同颜色的球的概率为：. （3）至少取得一个红球的概率为：. 20．（23-24高二上·上海·期末）某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分组，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)分别求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若产品的质量指数在[8，10]内，则该产品为优等品．现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由频率分布直方图直接求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数即可； （2）先确定甲、乙生产线的样品中抽取的优等品的个数，再利用列举法写出所有情况，利用古典概率模型求解即可． 【详解】（1）解：甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为： ； 乙生产线所生产产品的质量指数的平均数为： ． （2）由题意可知，甲生产线的样品中优等品有100×0.1×2＝20件， 乙生产线的样品中优等品有100×0.05×2＝10件． 从甲生产线的样品中抽取的优等品有件，记为a，b，c，d； 从乙生产线的样品中抽取的优等品有件，记为E，F； 从这6件产品中随机抽取2件的情况有： （a，b），（a，c），（a，d），（a，E），（a，F）， （b，c），（b，d），（b，E），（b，F）， （c，d），（c，E），（c，F）， （d，E），（d，F）， （E，F），共15种； 其中符合条件的情况有： （a，E），（a，F），（b，E），（b，F）， （c，E），（c，F），（d，E），（d，F），共8种． 故所求概率． D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】 21．（22-23高二下·上海杨浦·期中）小明同时掷3个骰子，在掷完后，小明有一次重掷的机会，即可以选择三个骰子中的任意多个进行重掷（可以是0个），并保留剩下骰子的点数，若最后点数之和为7则取得胜利．为了取得胜利，则小明会选择2个骰子进行重掷的概率为 ． 【答案】 【分析】 首先分析出小明选择重新投掷骰子的逻辑，投掷后，若点数和不为7，当3个骰子中，有2枚骰子的点数和小于7，则选择1个骰子进行重新投掷；当3个骰子中，任意2枚骰子的点数和大于6，则选择2枚或者3枚进行重掷，分析概率得投掷2枚骰子点数和为4，5或6的概率大于重新投掷3枚骰子使得点数和为7的概率，即可得出选择2个骰子重掷的种数，从而得出概率． 【详解】 三枚骰子和为7的情况共有15种， 投掷1枚骰子得到指定点数的概率为：， 投掷3枚骰子得到点数和为7的概率为：， 抛掷2枚骰子，只需要2枚骰子的点数和为2,3,4,5,6， 则投掷2枚骰子得到的点数和与概率如下表： 表1 抛掷2枚骰子的点数和 点数和情况 出现概率 2 3 4 5 6 可知，抛掷2枚骰子得到指定点数和的概率小于抛掷1枚骰子得到指定点数的概率， 且抛掷3枚骰子得到指定点数和7的概率小于抛掷1枚骰子得到指定点数的概率， 故小明会优先选择重新投掷1枚骰子从而使得3枚骰子的点数和为7， 则小明在抛掷后，出现的点数和不为7，且有2枚骰子的点数和小于7，会选择重新抛掷1枚骰子的情况如下表： 表2 第一枚点数 第二枚点数 第三枚点数 情况种数 1 1 1,2,3,4,6 30 2 1,2,3,5,6 3 1,2,4,5,6 4 1,3,4,5,6 5 2,3,4,5,6 6 1,2,3,4,5 2 1 1,2,3,5,6 28 2 1,2,4,5,6 3 1,3,4,5,6 4 2,3,4,5,6 5 1,2,3,4 6 1,2,3,4 3 1 1,2,4,5,6 24 2 1,3,4,5,6 3 2,3,4,5,6 4 1,2,3 5 1,2,3 6 1,2,3 4 1 1，3,4,5,6 19 2 2,3,4,5,6 3 1,2,3 4 1,2 5 1,2 6 1,2 5 1 2,3,4,5,6 16 2 1,2,3,4 3 1,2,3 4 1,2 5 1 6 1 6 1 1,2,3,4,5 15 2 1,2,3,4, 3 1,2,3 4 1,2 5 1 共132种情况； 当抛掷的3枚骰子中，出现的点数和不为7，任意2枚之和都大于6时，选择重新投掷2枚或3枚骰子，所有情况如下表： 表3 第一枚点数 第二枚点数 第三枚点数 情况种数 6 6 6,5,4,3,2,1 21 5 6,5,4,3,2 4 6,5,4,3 3 6,5,4 2 6,5 1 6 5 6 6,5,4,3,2 19 5 6,5,4,3,2 4 6,5,4,3 3 6,5,4 2 6,5 4 6 6,5，4,3 15 5 6,5，4,3 4 6,5，4,3 3 6,5，4 3 6 6,5,4 9 5 6,5,4 4 6,5,4 2 6 6,5 4 5 6,5 1 6 6 1 由表1可知，选择重新投掷2枚骰子出现点数和为4，5或6的概率大于重新投掷3枚骰子使得点数和为7的概率， 故当3枚骰子中出现点数3，2或1，且任意2枚骰子的点数和大于6时，选择重新投2枚骰子， 由表3可知，共有42种情况符合条件， 所以小明会选择2个骰子进行重掷的概率为：， 故答案为：． 【点睛】 方法点睛：利用古典概型求概率的方法及注意点 （1）用列举法把古典概型试验的基本事件一一列举出来，再利用公式求解，列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏． （2）事件A的概率的计算方法，关键要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少． 22．九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，这5个数字未知，且为奇数，则的概率为 . 9 7 4 5 【答案】 【分析】根据题意列出这个试验的等可能结果，然后求解概率即可； 【详解】这个试验的等可能结果用下表表示： a b c d e 2 1 6 3 8 2 1 8 3 6 6 1 2 3 8 6 1 8 3 2 8 1 2 3 6 8 1 6 3 2 2 3 6 1 8 2 3 8 1 6 6 3 2 1 8 6 3 8 1 2 8 3 2 1 6 8 3 6 1 2 共有12种等可能的结果，其中的结果有8种， 所以的概率为. 故答案为：. 23．A与B二人进行“抽鬼牌”游戏，游戏开始时，A手中有3张两两不同的牌，B手上有4张牌，其中3张牌与A手中的牌相同，另一张为“鬼牌”，与其他所有牌都不同．游戏规则为： （ⅰ）双方交替从对方手中抽取一张牌，A先从B手中抽取； （ⅱ）若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致，则将两张牌丢弃； （ⅲ）最后剩一张牌（鬼牌）时，持有鬼牌的玩家为输家； 假设每一次抽牌从对方手上抽到任一张牌的概率都相同，则A获胜的概率为 ． 【答案】/ 【分析】A获胜分为3种情况，利用概率的加法公式求解即可. 【详解】记初始手上张牌时， 胜的概率为， ①当手上有张牌，手上张牌，包含张“鬼牌”时，获胜的概率为 若抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜，其概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”， 甲不可能获胜，此情况不存在， 所以，解得, ②当手上有张牌，手上张牌，包含张“鬼牌”时，获胜的概率为 若抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜，其概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”， 甲不可能获胜，此情况不存在， 所以，解得, ③当手上有张牌，手上张牌，包含张“鬼牌”时，获胜的概率为 若抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜的概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”，此轮结束后有3张牌，包含一张“鬼牌”， 有2张牌，当再抽一次时，有2张牌，包含一张“鬼牌”， 有1张牌， 有2张牌，包含一张“鬼牌”， 有1张牌，此时胜的对立事件为当有1张牌， 有2张牌，包含一张“鬼牌”，此时胜， 则若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”， 胜的概率为， 所以，解得, 故答案为：. 【点睛】关键点睛：当遇到某个事件的概率不好求的时候，可以考虑求其对立事件的概率，利用该事件发生的概率与其对立事件发生的概率和为来求解，例如题目中，若有2张牌，包含一张“鬼牌”， 有1张牌，此时胜的概率就可以转化为求其对立事件当有1张牌， 有2张牌，包含一张“鬼牌”， 此时胜的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$