专题19 频率与概率- 【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020，上海专用）

专题19 频率与概率 1、结合实例，理解频率的意义，会用频率估计概率 2、了解伯努利大数定律的意义 【知识点1】 实际上，概率可以从频率的角度来检验.频率也是一个生活中常用的词.如果一个随机试验只有两种可能的结果，一个是“成功”，概率是p（0<p<1），一个是“失败”，概率是 1-p，那么这个随机试验称为伯努利试验.如果抛掷一枚硬币，把证明朝上称为成功，掷骰子把点数6向上称为成功，那么它们都可以看作伯努利试验.假设我们可以独立地重复一个伯努利试验n次，其中成功的次数记作，那么 就被称为（n次试验中）成功的频率.频率是一个数，依赖于试验次数n，它不是一个确定的数，而是一个随机的数. 通过大量的观察，人们发现了下面这个定律，它说明频率具有稳定性，在试验次数足够多时，会稳定地取向于概率.这给出了由概率来表示可能性大小的理由，或者说概率在某种意义上是可以检验的. 伯努利大数定律：独立地重复一个伯努利试验n次，当n很大时，频率逼近概率. 在实际中可以把频率作为概率（的估计值）来应用.频率也称为经验概率，计算它通常是为了估计概率P，为了区别于概率，经验概率用来表示. 考点剖析 【例1】某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表： 胆固醇降低的人数 没有起作用的人数 胆固醇升高的人数 307 120 73 求下列事件的经验概率： （1）使用药物后胆固醇降低； （2）使用药物后没有起作用； （3）使用药物后胆固醇升高. 【答案】解：（1）如果把“使用药物后胆固醇降低”记作事件A，那么 （2）如果把“使用药物后没有起作用”记作事件B，那么 （3）如果把“使用药物后胆固醇升高”记作事件C，那么 【练1】有一批种子，其中的种子可能1天发芽，也可能2天发芽……，下表是对不同发芽天数的种子数的记录： 发芽天数/天 1 2 3 4 5 6 7 ≥8 种子数/粒 18 36 20 11 9 3 1 0 （1）求发芽天数为2天或3天的频率（经验概率）； （2）求发芽天数超过4天的频率.（结果精确到0.01） 【答案】 （1）；（2） 【练2】管理人员为了了解水库里大概有多少鲤鱼王，拖网打捞出1000条鲤鱼王，在鲤鱼王身处打上一个不会掉落的印记，再放回水库.一个月后再次捕捞1000条鲤鱼王，发现其中有15条有印记的鲤鱼王.问：这个水库里大概有多少条鲤鱼王？ 【答案】 .设水库中有鲤鱼王n条，那么，得n条 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．抛掷硬币试验，设“正面朝上”，则下列论述正确的是（    ） A．投掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为 B．投掷10次硬币，事件A发生的次数一定是5 C．投掷硬币20次，事件A发生的频率等于事件A发生的概率 D．投掷硬币1万次，事件A发生的频率接近0.5 【答案】D 【分析】列出试验的所有基本事件，求得事件包含的基本事件数，利用古典概率公式求解即可排除A，对于B,C,D项，只需理解试验中事件发生的频率值是试验值，而事件发生的概率值是稳定值，概率是频率的趋近值，即可一一判断. 【详解】对于A，投掷2次硬币，试验结果有“两个正面朝上，一个正面且一个反面朝上，一个反面且一个正面朝上和两个反面朝上，”四种情况， 故事件“一个正面，一个反面”发生的概率为0.5，故A错误； 对于B，每次抛掷硬币，事件A发生的概率都是0.5，故事件A发生的次数可以是中的任何一个，故B错误； 对于C，投掷硬币20次，事件A发生的概率都是0.5，而事件A发生的频率根据试验结果得到，只能说趋近于0.5，故C错误； 对于D，投掷硬币1万次，事件A发生的频率接近于事件A发生的概率0.5，故D正确. 故选：D. 2．随机事件的运算 （1）交（积）事件：由事件A与事件B都发生所构成的事件，记作 （或AB）． （2）并（和）事件：由事件A和事件B至少有一个发生（即只A发生，或只B发生，或A，B都发生）所构成的事件，记作 ． （3）互斥事件：不能同时发生的两个事件 ． （4）对立事件： ，且 ，事件A的对立事件记作． 【答案】 【分析】由交事件，并事件，互斥事件及对立事件的概念依次求解. 【详解】解：结合交事件，并事件，互斥事件及对立事件的概念， 故答案为： ① ② ③ ④ ⑤ 3．有以下说法： ①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的； ②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖； ③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为； ④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品． 其中错误说法的序号是 . 【答案】①②③ 【分析】根据概率的概念、概率与频率的关系逐一判断即可. 【详解】①中降水概率为95%，仍有不降水的可能，故①错误； ②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会中奖，故②错误； ③中正面朝上的频率为，概率仍为，故③错误； ④中次品率为2%，但50件产品中可能没有次品，也可能有1件或2件或3件…50次品，故④正确. 故答案为：①②③ 4．袋中有10个球，有红球和黄球两种类型.小明有放回地取10000次，有6973次取到红球，有3027次取到黄球，那么红球最有可能有 个． 【答案】7 【分析】利用频率近似红球的所占比例可得答案. 【详解】因为红球所占比例为， 所以红球的个数最有可能有. 故答案为:7 5．某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域（不考虑指针落在分界线上的情况）就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据． 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”区域的频率 (1)计算并完成表格； (2)请估计，当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？ (3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？ 【答案】(1)答案见解析； (2)0.7； (3)0.7. 【分析】（1）根据表格数据，按照频率公式直接计算可得； （2）通过观察表中频率变化可得； （3）根据频率与概率的关系可知. 【详解】（1）通过计算可得： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.705 0.701 （2）当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近0.7. （3）由表格可知，随着转动转盘次数越来越大，频率越来越稳定在0.7附近， 所以，获得铅笔的概率约是0.7. 6．如图，A地到火车站共有两条路径和，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下： 所用时间（分钟） 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择的人数 6 12 18 12 12 选择的人数 0 4 16 16 4 (1)分别求通过路径和所用时间落在上表中各时间段内的频率； (2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径（将频率视为概率）． 【答案】(1)答案见解析 (2)甲应选择路径；乙应选择路径. 【分析】（1）根据频数计算频率即可； （2）分别计算两个时间段的概率，比较概率的大小可得结论. 【详解】（1）选择的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为 所用时间（分钟） 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 （2）设分别表示甲选择和时，在40分钟内赶到火车站； B1，B2分别表示乙选择和时，在50分钟内赶到火车站． 由（1），知， ， 因为，所以甲应选择路径； ， ， 因为，所以乙应选择路径. 7．某公司在过去几年内使用某种型号的灯管支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：百小时）进行了统计，统计结果如表所示： 分组 频数 频率 (1)将各组的频率填入表中； (2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足小时的概率. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据表格中的频数结合样本总数可求每组频率，填入表格即可； （2）根据（1）中的频率可求前4组的频率之和即为所求概率. 【详解】（1） 分组 频数 频率 （2）样本中灯管使用寿命不足小时的频率是, 即灯管使用寿命不足小时的概率约为. B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 8．两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验是（   ）    A．抛一枚硬币，正面朝上的概率； B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率； C．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率； D．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率． 【答案】D 【分析】先根据频率和概率的关系得到概率为，再对四个选项一一判断得到D正确. 【详解】根据统计图可知，实验结果在0.33附近波动，即其概率， 选项A，掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； 选项B，掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意； 选项C，转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率为，故此选项不符合题意； 选项D，从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率为， 故此选项符合题意； 故选：D 9．掷两颗均匀骰子，已知一颗掷出6点，问“掷出点数之和不小于10”的概率是 ． 【答案】/ 【分析】根据题意求得基本事件的总数和所求事件包含基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，同时抛掷两枚均匀的骰子，已知第一枚掷出的点数为6， 则基本事件的总数为个，分别为，，，， ，； 其中两枚骰子掷出点数之和不小于10包含的基本事件为， ，； 共有个，所以两枚骰子掷出点数之和不小于10的概率为. 故答案为： 10．判断正误，正确的写正确，错误的写错误． （1）用计算机进行随机模拟，可以在短时间内多次重复来做实验，应用很广泛．( ) （2）用计算器或计算机产生随机数，既能保证操作简单，省时省力，又能保证等可能性．( ) （3）随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化.( ) （4）概率能反映随机事件发生可能性的大小，而频率则不能.( ) （5）在用计算器模拟抛硬币试验时，假设计算器只能产生0～9之间的随机数，则可以用4，5，6，7，8，9来代表正面.( ) （6）用随机模拟试验估计事件的概率时，试验次数越多，所得的估计值越接近实际值.( ) 【答案】 正确 正确 错误 错误 错误 正确 【分析】根据计算机进行随机模拟的优点以及频率和概率等相关概念的含义，一一判断每个小题，即可得答案. 【详解】对于（1），（2），由计算机进行随机模拟的优点，可知正确； 对于（3），随机事件的频率随着试验次数的变化而变化，而概率是频率的稳定值，是不变的，（3）错误； 对于（4），概率和频率都能反映随机事件发生可能性的大小，（4）错误； 对于（5），由于正面出现的概率为，故应该用其中的5个数表示正面，（5）错误； 对于（6），用随机模拟试验估计事件的概率时，试验次数越多，结果越精确， 所得的估计值越接近实际值，（6）正确， 故答案为：（1）正确；（2）正确；（3）错误；（4）错误；（5）错误；（6）正确； 11．有人对甲、乙两名网球运动员训练中一发成功次数做了统计，结果如下表： 一发次数n 10 20 50 100 200 500 甲一发成功次数 9 17 44 92 179 450 一发成功的频率 一发次数n 10 20 50 100 200 500 乙一发成功次数 8 19 44 93 177 453 一发成功的频率 请根据以上表格中的数据回答下列问题： (1)分别计算出两位运动员一发成功的频率，完成表格； (2)根据（1）中计算的结果估计两位运动员一发成功的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2)0.9 【分析】（1）根据频率、频数和总数之间的关系完善表格； （2）利用频率与概率之间的关系即可得出结论. 【详解】（1） 一发次数n 10 20 50 100 200 500 甲一发成功次数 9 17 44 92 179 450 一发成功的频率 0.9 0.85 0.88 0.92 0.895 0.9 一发次数n 10 20 50 100 200 500 乙一发成功次数 8 19 44 93 177 453 一发成功的频率 0.8 0.95 0.88 0.93 0.885 0.906 （2）由（1）知，随着一发次数的增多，两位运动员一发成功的频率都越来越集中在0.9附近， 所以估计两人一发成功的概率均为0.9. 12．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球各若干个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求任取一球得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？ 【答案】，， 【分析】利用互斥事件概率的加法公式将题干中已知条件转化为关于的方程，用方程的思想，解方程组，得到所求概率. 【详解】从袋中任取一球，记“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”，分别为事件A，B，C，D，则事件A，B，C，D两两互斥． 根据题意有，， ，． 联立方程，得 解得 所以任取一球得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，, 故答案为：，，. 13．某射击运动员进行双向飞碟射击训练，七次训练的成绩记录如下： 射击次数n 100 120 150 100 150 160 150 击中飞碟次数 81 95 120 81 119 127 121 (1)求各次击中飞碟的频率；（保留三位小数） (2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？ 【答案】(1)0.810，0.792，0.800，0.810，0.793，0.794，0.807 (2)0.800 【分析】（1）根据射击次数及击中飞碟次数计算频率即可； （2）根据频率与概率的关系可得解. 【详解】（1）根据表格中数据，击中飞碟的频率依次为 ， . （2）由（1）可知该射击运动员在同一条件下击中飞碟的频率都在0.800附近摆动， 所以该运动员击中飞碟的概率约为0.800. 14．甲､乙两人准备参加某电视台举办的地理知识抢答赛.比赛规则为：每轮比赛每人随机在题库中抽取一道题作答，答对得1分，答错或不答得0分，最后得分多的获胜.为了在比赛中取得比较好的成绩，甲､乙两人在比赛前进行了针对性训练，训练后的答题情况如下表： 甲 乙 练习题目个数 120 120 答错个数 24 20 若比赛中每个人回答正确与否相互之间没有影响，且用频率代替概率. (1)估计甲､乙两人在比赛时答对题的概率； (2)设事件“某轮比赛中甲得1分或乙得1分”，求. 【答案】(1)甲､乙两人在比赛时答对题的概率分别为 (2) 【分析】（1）根据题中条件计算出频率，用频率代替概率即可； （2）根据互斥事件的概率加法公式进行计算即可. 【详解】（1）由题意，可以估计甲在比赛时答对题的概率为： ， 乙在比赛时答对题的概率为： . （2）设事件“某轮比赛中甲得1分”，事件“某轮比赛中乙得1分”， 则事件， 所以. （或）. 15．从三名男生（记为，，）、两名女生（记为，）中任意选取两人. (1)在有放回的选取中，写出样本空间，并计算选到两人都是男生的概率； (2)在不放回的选取中，写出样本空间，并计算选到至少有一名女生的概率. 【答案】(1)样本空间见解析， (2)样本空间见解析，. 【分析】根据题意用数组表示样本点，写出样本空间，利用古典概型计算公式求解概率； 【详解】（1）样本空间， 记抽到两人都是男生的事件为A，事件A包含的基本事件有: 共9个， 则. （2）样本空间， 记抽到至少有一名女生的事件为B，事件B包含的基本事件有： ，共7个，则. 16．同时抛掷两枚均匀的骰子，观察并记录两枚骰子掷出的点数之和． (1)两枚骰子掷出的点数之和有多少种可能？ (2)重复抛掷两枚骰子次，根据试验结果，分别估计“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的概率； (3)汇总全班同学的数据，得到至少次试验结果，用上述结果对上述概率重新进行估计； (4)为了对上述事件的概率给出比较好的估计，你需要怎么做？ (5)你认为“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的概率相等吗？ 【答案】(1)有，，，，，，，，，，共种可能 (2)分别约为，， (3)分别约为，，，且比第（2）问结果更加接近，， (4)可增加重复试验的次数 (5)不相等 【分析】动手试验，观察、记录数据，根据题意进行计算，由频率估计出相应概率，依次解答即可. 【详解】（1）同时抛掷两枚均匀的骰子，经过观察、记录，两枚骰子掷出的点数之和有，，，，，，，，，，，共有种可能. 实际上，由古典概型知识，抛掷两枚均匀的骰子，用有序数对将可能出现的点数表示为： ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共种可能， 并可由此求得两枚骰子掷出的点数之和有，，，，，，，，，，，共有种可能. （2）重复抛掷两枚骰子次，分别观察、记录， 记“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的频数分别为，，，（不同同学得到的结果可能会不一样）. 由此可以分别求出“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的频率分别为（），（），（），（不同同学得到的结果可能会不一样）. 由频率估计概率，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的概率分别约为（），（），（），（不同同学得到的结果可能会不一样）. 实际上，由古典概型知识可以求得， “掷出的点数之和为”有，，共种可能，概率为，故， “掷出的点数之和为”有，，，，，共种可能，概率为，故， “掷出的点数之和为”有，，共种可能，概率为，故. （3）汇总全班同学的数据，对“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”进行估计，所得结果会更加接近，，（随着重复试验次数的增加，频率逐渐稳定于概率）. （4）为了对上述事件的概率给出比较好的估计，可以增加重复试验的次数，也可以采用计算机模拟试验的方法实现. （5）由试验结果可知，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的概率不相等. 实际上，可以由第（2）问中古典概型计算结果进行确认. C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 17．敏感性问题多属个人隐私．对敏感性问题的调查方案，关键是要使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密．例如为了调查中学生中的早恋现象，现有如下调查方案：在某校某年级，被调查者在没有旁人的情况下，独自一人回答问题．被调查者从一个罐子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题A；若抽到红球，则回答问题B．且罐中只有白球和红球． 问题A：你的生日是否在7月1日之前?（本次调查中假设生日在7月1日之前的概率为） 问题B：你是否有早恋现象？ 已知一次实际调查中，罐中放有白球2个，红球3个，调查结束后共收到1585张有效答卷，其中有393张回答“是”，如果以频率替代概率，则该校该年级学生有早恋现象的概率是（    ）（精确到0.01） A．0.08 B．0.07 C．0.06 D．0.05 【答案】A 【分析】根据古典概型分别求出抽到红球的概率和抽到白球的概率，并且计算出回答问题A、B的人数，从而可分别计算出回答问题A、B的人中答 “是” 的人数以及比例. 【详解】从罐子中随机抽一个球, 抽到红球的概率为， 抽到白球的概率为， 所以回答问题A的人数是人 回答问题B的人数是人， 回答问题A的人中答 “是” 的人数是， 所以回答问题B的人中答 “是” 的人数是， 则估计该校该年级学生有早恋现象的概率为， 故选：A 18．下列说法中，正确的是（    ） A．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖 B．做7次拋硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 C．若事件两两互斥，则 D．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是3的倍数的概率是 【答案】D 【分析】根据随机事件的概念即可说明A、B；举例即可说明C项；列举出事件包含的样本点的个数，根据古典概型的概率公式，计算即可得出D项. 【详解】对于A项，由于事件结果的随机性，购买100张彩票不一定会中奖，故A错误； 对于B项，做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是，不是概率为，故B错误； 对于C项，事件两两互斥，比如投掷质地均匀的骰子试验中，三个事件：投掷出1点，2点，3点，这三个事件两两互斥，但这三个事件的和事件发生的概率为，故C错误； 对于D项，任意投掷两枚质地均匀的骰子共包含36个等可能的样本点， 其中点数和是3的倍数的情况有，共12个样本点， 根据古典概型的概率公式，可得概率是，故D正确. 故选：D. 19．下列命题中正确的是（    ） A．有一批产品的次品率为0.05，则从中任意取出200件产品中必有10件是次品 B．抛100次硬币，结果51次出现正面，则出现正面的概率是0.51 C．随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率 D．掷骰子100次，得点数为6的结果有20次，则出现6点的频率为0.2 【答案】D 【分析】根据频率与概率的区别，概率的定义和性质进行判断． 【详解】对于A，实验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动， 并不是一个确定的值，一批产品次品率为0.05， 则从中任取200件，次品的件数在10件左右，而不一定是10件，A错误； 对于B，100次并不是无穷多次， 只能说明这100次试验出现正面朝上的频率为，故B错误； 对于C，根据定义，随机事件的频率只是概率的近似值，它并不等于概率，C错误； 对于D，频率估计概率，频率为出现的次数与重复试验的次数的比值， 抛掷骰子100次，得点数是6的结果有20次，则出现1点的频率是，D正确. 故选：D. 20．一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为 ． 【答案】15 【分析】根据频率与概率的关系得出概率，再据此即可列式求红球的个数. 【详解】设盒子中红球的个数为， 由摸到黑球的频率稳定在0.25左右知，摸到黑球的概率为0.25， 则， 解得， 即盒子中红球个数大约15个. 故答案为：15 21．为响应垃圾分类处理，改善生态环境，某小区将生活垃圾分成三类：厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为a，b，c.并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱，“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C. (1)若小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱，请写出投放正确的概率； (2)为了了解居民生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了某天三类垃圾箱中总共100吨的生活垃圾，数据统计如下（单位：吨） A B C a 40 10 10 b 3 24 3 c 2 2 6 ①请根据以上信息，试估计“厨余垃圾”投放正确的概率； ②调查发现，在“可回收垃圾”中塑料类垃圾占，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料，某城市每天大约产生2000吨生活垃圾.假设该城市对每天产生的垃圾箱中的垃圾全部分类处理，那么按样本中的投放垃圾与按规范投放垃圾相比，每月（按30天）流失掉多少吨塑料类垃圾的二级原料？ 【答案】(1) (2)①；②252 【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出垃圾投放正确的情况数，即可求出所求的概率. （2）①利用频率估计概率求解可得. ②首先求得可回收垃圾量，然后求得二级原料即可. 【详解】（1）列表如下： a b c A B C 所有等可能的情况数有9种， 其中垃圾投放正确的有，，共3种， 所以垃圾投放正确的概率为. （2）①.估计“厨余垃圾”投放正确的概率为， ②.由（吨）， 答：每月（按30天）流失掉252吨塑料类垃圾的二级原料. 22．鲁班锁是一种广泛流传于中国民间的智力玩具，相传由春秋末期到战国初期的鲁班发明，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧，易拆难装，十分巧妙，每根木条上的花纹是卖点，也是手工制作的关键．某玩具公司开发了甲、乙两款鲁班锁玩具，各生产了100件样品，样品分为一等品、二等品、三等品，根据销售部市场调研分析，得到相关数据如下（单件成本利润率＝利润÷成本）： 甲款鲁班锁玩具 一等品 二等品 三等品 单件成本利润率 10% 8% 4% 频数 10 60 30 乙款鲁班锁玩具 一等品 二等品 三等品 单件成本利润率 7.5% 5.5% 3% 频数 50 30 20 (1)用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，求该产品是一等品的概率； (2)若甲、乙两款鲁班锁玩具的投资成本均为20000元，且每件的投资成本是相同的，分别求投资这两款鲁班锁玩具所获得的利润． 【答案】(1) (2)甲鲁班锁玩具所获得的利润1400元；乙鲁班锁玩具所获得的利润1200元 【分析】（1）用频率估计概率,利用频率公式即可求； （2）分别求出甲、乙两种鲁班锁一等品、二等品、三等品的利润，进而得到两款鲁班锁玩具所获得的利润. 【详解】（1）用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，该产品是一等品的概率为． （2）甲款鲁班锁玩具一等品的利润为（元）， 二等品的利润为（元）， 三等品的利润为（元）， 故100件甲款鲁班锁玩具的利润为（元）． 乙款鲁班锁玩具一等品的利润为（元）， 二等品的利润为（元）， 三等品的利润为（元）， 故100件乙款鲁班锁玩具的利润为（元）． D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】 23．排球比赛实行“每球得分制”，即每次发球后，谁取胜谁就得1分，得分的队有发球权，最后先得25分的队获得本局比赛胜利，若出现比分24：24，要继续比赛至某队领先2分才能取胜，该局比赛结束，甲、乙两队进行一局排球比赛，已知甲队发球时甲队获胜的概率为，乙队发球时甲队获胜的概率为，且各次发球的胜负结果相互独立.若此时甲、乙两队双方比分为24：24平，且甲队拥有发球权，则两队共再发2次球就结束比赛的概率为 ；若此时甲、乙两队双方比分为22：22平，且甲队拥有发球权，则甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率为 . 【答案】 【分析】填空(1)：先确定后两队共发2次球就结束比赛，包含这两个球均由甲队得分和这两个球均由乙队得分两个事件，再利用事件的相互独立性求概率； 填空(2)：先确定时，甲队得25分且取得该局比赛胜利，包含甲以25：22取得比赛胜利和甲以25：23取得胜利两个事件，再利用事件的相互独立性求概率. 【详解】后两队共发2次球就结束比赛，则这两个球均由甲队得分，或均由乙队得分，且两者互斥． 记事件“后两队共发2次球就结束比赛”，因为各次发球的胜负结果相互独立，所以． 即后两队共发2次球就结束比赛的概率为． 时，甲队得25分且取得该局比赛胜利，则甲以25：22或25：23取得该局胜利． 记事件“甲以25：22取得该局胜利”，“甲以25：23取得该局胜利”， “时，甲队得25分且取得该局比赛胜利”， 因为各次发球的胜负结果相互独立，且B，C互斥，所以 ， ， ． 所以时，甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率为. 故答案为：，. 24．将连续正整数1，2，3，，从小到大排列构成一个，为这个数的位数．例如：当时，此时为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． (1)求； (2)当时，求得表达式； (3)令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时，的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 （1）计算，数字0的个数为11，得到概率. （2）考虑，，，四种情况，依次计算得到答案. （3）考虑时，当时，当时三种情况，得到和的解析式，得到，再计算概率的最值得到答案. 【详解】（1）当时，， 即这个数中共有192个数字，其中数字0的个数为11， 则恰好取到0的概率为； （2）当时，这个数有1位数组成，； 当时，这个数有9个1位数组成，个两位数组成，则； 当时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，个三位数组成，； 当时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成个四位数组成，； 综上所述：， （3）时，， 当时，； 当时，，即， 同理有， 由，可知， 所以当时，， 当时，，当时，， 当时，， 由关于k单调递增， 故当时，有的最大值为， 又，所以当时，的最大值为． 【点睛】关键点点睛：函数的解析式，概率的计算，最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论的思想是解题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 频率与概率 1、结合实例，理解频率的意义，会用频率估计概率 2、了解伯努利大数定律的意义 【知识点1】 实际上，概率可以从频率的角度来检验.频率也是一个生活中常用的词.如果一个随机试验只有两种可能的结果，一个是“成功”，概率是p（0<p<1），一个是“失败”，概率是 1-p，那么这个随机试验称为伯努利试验.如果抛掷一枚硬币，把证明朝上称为成功，掷骰子把点数6向上称为成功，那么它们都可以看作伯努利试验.假设我们可以独立地重复一个伯努利试验n次，其中成功的次数记作，那么 就被称为（n次试验中）成功的频率.频率是一个数，依赖于试验次数n，它不是一个确定的数，而是一个随机的数. 通过大量的观察，人们发现了下面这个定律，它说明频率具有稳定性，在试验次数足够多时，会稳定地取向于概率.这给出了由概率来表示可能性大小的理由，或者说概率在某种意义上是可以检验的. 伯努利大数定律：独立地重复一个伯努利试验n次，当n很大时，频率逼近概率. 在实际中可以把频率作为概率（的估计值）来应用.频率也称为经验概率，计算它通常是为了估计概率P，为了区别于概率，经验概率用来表示. 考点剖析 【例1】某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表： 胆固醇降低的人数 没有起作用的人数 胆固醇升高的人数 307 120 73 求下列事件的经验概率： （1）使用药物后胆固醇降低； （2）使用药物后没有起作用； （3）使用药物后胆固醇升高. 【练1】有一批种子，其中的种子可能1天发芽，也可能2天发芽……，下表是对不同发芽天数的种子数的记录： 发芽天数/天 1 2 3 4 5 6 7 ≥8 种子数/粒 18 36 20 11 9 3 1 0 （1）求发芽天数为2天或3天的频率（经验概率）； （2）求发芽天数超过4天的频率.（结果精确到0.01） 【练2】管理人员为了了解水库里大概有多少鲤鱼王，拖网打捞出1000条鲤鱼王，在鲤鱼王身处打上一个不会掉落的印记，再放回水库.一个月后再次捕捞1000条鲤鱼王，发现其中有15条有印记的鲤鱼王.问：这个水库里大概有多少条鲤鱼王？ 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．抛掷硬币试验，设“正面朝上”，则下列论述正确的是（    ） A．投掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为 B．投掷10次硬币，事件A发生的次数一定是5 C．投掷硬币20次，事件A发生的频率等于事件A发生的概率 D．投掷硬币1万次，事件A发生的频率接近0.5 2．随机事件的运算 （1）交（积）事件：由事件A与事件B都发生所构成的事件，记作 （或AB）． （2）并（和）事件：由事件A和事件B至少有一个发生（即只A发生，或只B发生，或A，B都发生）所构成的事件，记作 ． （3）互斥事件：不能同时发生的两个事件 ． （4）对立事件： ，且 ，事件A的对立事件记作． 3．有以下说法： ①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的； ②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖； ③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为； ④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品． 其中错误说法的序号是 . 4．袋中有10个球，有红球和黄球两种类型.小明有放回地取10000次，有6973次取到红球，有3027次取到黄球，那么红球最有可能有 个． 5．某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域（不考虑指针落在分界线上的情况）就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据． 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”区域的频率 (1)计算并完成表格； (2)请估计，当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？ (3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？ 6．如图，A地到火车站共有两条路径和，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下： 所用时间（分钟） 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择的人数 6 12 18 12 12 选择的人数 0 4 16 16 4 (1)分别求通过路径和所用时间落在上表中各时间段内的频率； (2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径（将频率视为概率）． 7．某公司在过去几年内使用某种型号的灯管支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：百小时）进行了统计，统计结果如表所示： 分组 频数 频率 (1)将各组的频率填入表中； (2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足小时的概率. B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 8．两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验是（   ）    A．抛一枚硬币，正面朝上的概率； B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率； C．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率； D．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率． 10．判断正误，正确的写正确，错误的写错误． （1）用计算机进行随机模拟，可以在短时间内多次重复来做实验，应用很广泛．( ) （2）用计算器或计算机产生随机数，既能保证操作简单，省时省力，又能保证等可能性．( ) （3）随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化.( ) （4）概率能反映随机事件发生可能性的大小，而频率则不能.( ) （5）在用计算器模拟抛硬币试验时，假设计算器只能产生0～9之间的随机数，则可以用4，5，6，7，8，9来代表正面.( ) （6）用随机模拟试验估计事件的概率时，试验次数越多，所得的估计值越接近实际值.( ) 11．有人对甲、乙两名网球运动员训练中一发成功次数做了统计，结果如下表： 一发次数n 10 20 50 100 200 500 甲一发成功次数 9 17 44 92 179 450 一发成功的频率 一发次数n 10 20 50 100 200 500 乙一发成功次数 8 19 44 93 177 453 一发成功的频率 请根据以上表格中的数据回答下列问题： (1)分别计算出两位运动员一发成功的频率，完成表格； (2)根据（1）中计算的结果估计两位运动员一发成功的概率． 12．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球各若干个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求任取一球得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？ 13．某射击运动员进行双向飞碟射击训练，七次训练的成绩记录如下： 射击次数n 100 120 150 100 150 160 150 击中飞碟次数 81 95 120 81 119 127 121 (1)求各次击中飞碟的频率；（保留三位小数） (2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？ 14．甲､乙两人准备参加某电视台举办的地理知识抢答赛.比赛规则为：每轮比赛每人随机在题库中抽取一道题作答，答对得1分，答错或不答得0分，最后得分多的获胜.为了在比赛中取得比较好的成绩，甲､乙两人在比赛前进行了针对性训练，训练后的答题情况如下表： 甲 乙 练习题目个数 120 120 答错个数 24 20 若比赛中每个人回答正确与否相互之间没有影响，且用频率代替概率. (1)估计甲､乙两人在比赛时答对题的概率； (2)设事件“某轮比赛中甲得1分或乙得1分”，求. 15．从三名男生（记为，，）、两名女生（记为，）中任意选取两人. (1)在有放回的选取中，写出样本空间，并计算选到两人都是男生的概率； (2)在不放回的选取中，写出样本空间，并计算选到至少有一名女生的概率. 16．同时抛掷两枚均匀的骰子，观察并记录两枚骰子掷出的点数之和． (1)两枚骰子掷出的点数之和有多少种可能？ (2)重复抛掷两枚骰子次，根据试验结果，分别估计“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的概率； (3)汇总全班同学的数据，得到至少次试验结果，用上述结果对上述概率重新进行估计； (4)为了对上述事件的概率给出比较好的估计，你需要怎么做？ (5)你认为“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的概率相等吗？ C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 17．敏感性问题多属个人隐私．对敏感性问题的调查方案，关键是要使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密．例如为了调查中学生中的早恋现象，现有如下调查方案：在某校某年级，被调查者在没有旁人的情况下，独自一人回答问题．被调查者从一个罐子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题A；若抽到红球，则回答问题B．且罐中只有白球和红球． 问题A：你的生日是否在7月1日之前?（本次调查中假设生日在7月1日之前的概率为） 问题B：你是否有早恋现象？ 已知一次实际调查中，罐中放有白球2个，红球3个，调查结束后共收到1585张有效答卷，其中有393张回答“是”，如果以频率替代概率，则该校该年级学生有早恋现象的概率是（    ）（精确到0.01） A．0.08 B．0.07 C．0.06 D．0.05 18．下列说法中，正确的是（    ） A．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖 B．做7次拋硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 C．若事件两两互斥，则 D．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是3的倍数的概率是 19．下列命题中正确的是（    ） A．有一批产品的次品率为0.05，则从中任意取出200件产品中必有10件是次品 B．抛100次硬币，结果51次出现正面，则出现正面的概率是0.51 C．随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率 D．掷骰子100次，得点数为6的结果有20次，则出现6点的频率为0.2 20．一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为 ． 21．为响应垃圾分类处理，改善生态环境，某小区将生活垃圾分成三类：厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为a，b，c.并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱，“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C. (1)若小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱，请写出投放正确的概率； (2)为了了解居民生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了某天三类垃圾箱中总共100吨的生活垃圾，数据统计如下（单位：吨） A B C a 40 10 10 b 3 24 3 c 2 2 6 ①请根据以上信息，试估计“厨余垃圾”投放正确的概率； ②调查发现，在“可回收垃圾”中塑料类垃圾占，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料，某城市每天大约产生2000吨生活垃圾.假设该城市对每天产生的垃圾箱中的垃圾全部分类处理，那么按样本中的投放垃圾与按规范投放垃圾相比，每月（按30天）流失掉多少吨塑料类垃圾的二级原料？ 22．鲁班锁是一种广泛流传于中国民间的智力玩具，相传由春秋末期到战国初期的鲁班发明，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧，易拆难装，十分巧妙，每根木条上的花纹是卖点，也是手工制作的关键．某玩具公司开发了甲、乙两款鲁班锁玩具，各生产了100件样品，样品分为一等品、二等品、三等品，根据销售部市场调研分析，得到相关数据如下（单件成本利润率＝利润÷成本）： 甲款鲁班锁玩具 一等品 二等品 三等品 单件成本利润率 10% 8% 4% 频数 10 60 30 乙款鲁班锁玩具 一等品 二等品 三等品 单件成本利润率 7.5% 5.5% 3% 频数 50 30 20 (1)用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，求该产品是一等品的概率； (2)若甲、乙两款鲁班锁玩具的投资成本均为20000元，且每件的投资成本是相同的，分别求投资这两款鲁班锁玩具所获得的利润． D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】23．排球比赛实行“每球得分制”，即每次发球后，谁取胜谁就得1分，得分的队有发球权，最后先得25分的队获得本局比赛胜利，若出现比分24：24，要继续比赛至某队领先2分才能取胜，该局比赛结束，甲、乙两队进行一局排球比赛，已知甲队发球时甲队获胜的概率为，乙队发球时甲队获胜的概率为，且各次发球的胜负结果相互独立.若此时甲、乙两队双方比分为24：24平，且甲队拥有发球权，则两队共再发2次球就结束比赛的概率为 ；若此时甲、乙两队双方比分为22：22平，且甲队拥有发球权，则甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率为 . 24．将连续正整数1，2，3，，从小到大排列构成一个，为这个数的位数．例如：当时，此时为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． (1)求； (2)当时，求得表达式； (3)令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时，的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$