专题14 组合- 【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020，上海专用）

专题14 组合 一【新课导入】 1、组合的概念： 问题： （1）从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ （2）从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合。 2、组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示。 3、组合数公式的推导： 一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步： ①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数； ②求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：＝。 4、组合数的公式： 或。 规定：。 5、组合数的性质 （1）． （2）＝+ 考点剖析 【难度系数：★★ 参考时间：30分钟】 【例1】求证：。 【变式训练】 1．设，求的值。 【例2】 （1）6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？ （2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？ 【变式训练】 2．6本相同的书分给4名同学，每人至少一本，有多少种不同的分法？ 【例3】求方程的非负整数解的个数。 【变式训练】 3．5名学生分12本相同的书，每人至少2本，有多少种不同的分法？ 【例4】（1）计算：； （2）求证：＝++。 【变式训练】 4．解方程：（1）； （2）解方程：。 【例5】从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？ 【变式训练】 5．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？ 【例6】甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表 ？ 【例7】（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？ （2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？ 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．化简：=（   ）. A． B． C． D． 3．若，则的值为 . 4．某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的选法有 种.（用数字作答） 5．已知，则正整数 ． 6．甲、乙、丙、丁4支篮球队举行单循环赛（即任意两支球队都要比赛一场）. (1)写出每场比赛的两支球队； (2)写出冠亚军的所有可能情况. 7．已知有5个男生和个女生，若从中选择2个男生和1个女生在狂欢节中表演一个小品节目，共有30种不同的选法，则 ． 8．有12名翻译人员，其中3人只能翻译英语，4人只能翻译法语，其余5人既能翻译英语，也能翻译法语．从这12名翻译人员中任选6人，其中3人翻译英语，3人翻译法语，有多少种不同的选法？ B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 9．某同学要从物理、化学、生物、思想政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，若要求物理和历史这两门学科至少要选一门，则这名同学选科组合方式共有的种数是（   ） A．12 B．16 C．20 D．32 10．“”是“”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 11．若则正整数n的值为 ． 12．已知，关于n的方程有且仅有一个解，则实数 ． 13．从2男4女中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆1人，且至少有1位男生入选，不同的安排方法有 种. 14．在《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种. 15．已知（），则 . 16．某同学决定用圆周率的不足近似值3.14159中出现的这六个数字编成一组六位数的开锁密码（每个数字用一次），则两个数字“1”不相邻的不同密码共有 组. 17．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙至少一人入选的选法有 种 C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 18．将1，2，3，…，50这50个正整数分成甲、乙两组，每组各25个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则不同的分组方法数是（    ） A． B． C． D． 19．用1~9这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数共有 个 20．建平中学“9.30”活动需要4个不同节目的志愿者服务队，有7名志愿者被分配到这4个服务队，7人中有5名高二学生和2名高一学生，1名高一学生至少需要1名高二学生进行工作的传授，每个服务队至少需要1名高二学生，且2名高一学生不能分配到同一个服务队，则不同的分配方案种数是 . 21．关于的方程的正整数解是 22．满足方程的的值为 . 23．化简： . 24．某班级在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张．每个学生从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“龙”“迎”“春”张卡片，则额外获得2分． (1)求学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数； (2)求学生乙最终获得分的不同的抽法种数． 25．分别求下列情形的方法数：（用数字作答） (1)从4名男生4名女生中选出2男2女组成一个队伍； (2)8个人排成一排，其中甲乙二人必须站在一起； (3)8个人排成一排，甲乙丙三人互相不能相邻． D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】26．至少通过一个正方体的3条棱中点的平面个数为 ． 27．我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑（nào）”的几何体，它指的是由四个直角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的四面体中“鳖臑”的个数是 . 28．如图，在的方格表中按照下面的条件填入6个圆圈，满足各行．各列至少有一个圆圈；同一格不能填2个圆圈．则不同的符合条件的填入方法有 种． 29．规定，其中，m是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广． (1)求的值． (2)组合数的两个性质：①；②是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由； (3)已知组合数是正整数，证明：当，m是正整数时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 组合 一【新课导入】 1、组合的概念： 问题： （1）从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ （2）从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合。 2、组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示。 3、组合数公式的推导： 一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步： ①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数； ②求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：＝。 4、组合数的公式： 或。 规定：。 5、组合数的性质 （1）． （2）＝+ 考点剖析 【难度系数：★★ 参考时间：30分钟】 【例1】求证：。 证明：∵， ＝＝， ∴。 【变式训练】 1．设，求的值。 【答案】：由题意可得：，解得， ∵，∴或或， 当时原式值为4；当时原式值为7； 当时原式值为11。 【例2】 （1）6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？ （2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？ 【答案】：（1）； （2）第一类2名男生和2名女生参加，有中选法； 第二类3名男生和1名女生参加，有中选法，共有100种选法。 错解：种选法。 【变式训练】 2．6本相同的书分给4名同学，每人至少一本，有多少种不同的分法？ 【答案】：10 【例3】求方程的非负整数解的个数。 【答案】：66 【变式训练】 3．5名学生分12本相同的书，每人至少2本，有多少种不同的分法？ 【答案】：15种 【例4】（1）计算：； （2）求证：＝++。 【答案】：（1）原式； 证明：（2）右边左边。 【变式训练】 4．解方程：（1）； （2）解方程：。 【答案】：（1）由原方程得或，∴或， 又把和代入检验，满足， ∴原方程的解为或。 （2）原方程可化为，即，∴， ∴，∴，解得或，经检验：是原方程的解。 【例5】从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？ 【答案】：分为三类：1奇4偶有；3奇2偶有；5奇1偶有， ∴一共有++。 【变式训练】 5．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？ 【答案】：我们可以分为三类： ①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有； ②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有； ③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有， ∴一共有++＝42种方法。 【例6】甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表 ？ 【答案】解法一：（排除法）。 解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有； 另一类为甲不值周一，但值周六，有， ∴一共有+＝42种方法 【例7】（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？ （2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？ 【答案】：（1）根据分步计数原理：；（2）（捆绑法）：＝144。 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列数公式判断即可. 【详解】，， ，. 故选：D 2．化简：=（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用组合数的性质化简计算得解. 【详解】. 故选：D 3．若，则的值为 . 【答案】210 【分析】通过已知得出的值，即可利用公式计算得出答案. 【详解】， ，即， ， =210， 故答案为：210. 4．某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的选法有 种.（用数字作答） 【答案】96 【分析】分两种情况，结合组合知识进行求解 【详解】当所选3人中男生1人，女生2人，此时有种选择， 当所选3人中男生2人，女生1人，此时有种选择， 故共有种选择. 故答案为：96 5．已知，则正整数 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，结合组合数的性质列式计算即得. 【详解】由，得或，解得或， 经检验得. 故答案为：1 6．甲、乙、丙、丁4支篮球队举行单循环赛（即任意两支球队都要比赛一场）. (1)写出每场比赛的两支球队； (2)写出冠亚军的所有可能情况. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据组合知识列举所有情形即可； （2）根据排列知识列举所有情形即可. 【详解】（1）这是一个组合问题，将两支球队的组合用一个集合表示，共有6个组合： {甲，乙}、{甲，丙}、{甲，丁}、{乙，丙}、{乙，丁}、{丙，丁}. （2）这是一个排列问题，即从4支球队中任意选取2支，按照冠军和亚军顺序排列，共有12种排列方式 （符号（甲，乙）表示“甲是冠军，乙是亚军”）： （甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，丁）、 （乙，甲）、（丙，甲）、（丁，甲）、（丙，乙）、（丁，乙）、（丁，丙）. 7．已知有5个男生和个女生，若从中选择2个男生和1个女生在狂欢节中表演一个小品节目，共有30种不同的选法，则 ． 【答案】3 【分析】由分步乘法计数原理列式，再由组合数公式求解. 【详解】由题，，， 故答案为：3. 8．有12名翻译人员，其中3人只能翻译英语，4人只能翻译法语，其余5人既能翻译英语，也能翻译法语．从这12名翻译人员中任选6人，其中3人翻译英语，3人翻译法语，有多少种不同的选法？ 【答案】2174种 【分析】按只会英语的人进行分类即可求出答案. 【详解】解：由题意得： 这12名翻译人员中任选6人，其中3人翻译英语，3人翻译法语，可以分为下面4种情况： ①只会英语的3人都去翻译英语，有种； ②只会英语的2人去翻译英语，既能翻译英语，也能翻译法语的人中选取1人去翻译英语，有种； ③只会英语的1人去翻译英语，既能翻译英语，也能翻译法语的人中选取2人去翻译英语，有种； ④只会英语的没有人去翻译英语，既能翻译英语，也能翻译法语的人中选取3人去翻译英语，有种； 共有：种 综上：从这12名翻译人员中任选6人，其中3人翻译英语，3人翻译法语，有种不同的选法. B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 9．某同学要从物理、化学、生物、思想政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，若要求物理和历史这两门学科至少要选一门，则这名同学选科组合方式共有的种数是（   ） A．12 B．16 C．20 D．32 【答案】B 【分析】分物理和历史中选一门和物理和历史都选这两种情况分析，结合计数原理和组合知识即可求解. 【详解】分两种情况： ①物理和历史中选一门，其余两门从剩下的四门学科中选，则有种选法； ②物理和历史都选，剩下一门从剩下的四门学科中选，则有种选法. 由分类加法计数原理得选科组合方式共有种. 故选：B 10．“”是“”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据组合数知识得到方程，求出或3，得到答案. 【详解】，故或， 解得或3， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 11．若则正整数n的值为 ． 【答案】 【分析】由组合数的公式可得，解方程即可得出答案. 【详解】由可得， 则，解得：或. 故答案为：. 12．已知，关于n的方程有且仅有一个解，则实数 ． 【答案】252 【分析】根据给定条件，利用组合数的性质求解即得. 【详解】由组合数的性质知，，当时，使得的有两个， 当时，使得的只有一个，而关于n的方程有且仅有一个解， 所以. 故答案为：252 13．从2男4女中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆1人，且至少有1位男生入选，不同的安排方法有 种. 【答案】96 【分析】先按男生数量分类，再分配计算即可. 【详解】若选一男两女：种； 若选两男一女：种； 所以一共种， 故答案为：96. 14．在《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种. 【答案】12 【分析】根据题意，将香菌、新笋、豆腐干看成一个元素，共有4个元素排顺序，由特殊元素优先和分步计数原理计算可求解. 【详解】将香菌、新笋、豆腐干看成一个元素，与其他3种原料一起共有4个元素排顺序， 茄子净肉在鸡脯肉后下锅，有种顺序， 剩下两个元素放入最后2个位置，有种顺序， 则有种下锅顺序. 故答案为：12. 15．已知（），则 . 【答案】8 【分析】根据组合数性质有，再由即可得解. 【详解】由组合数性质知，，因为，所以， 所以，得. 故答案为：8. 16．某同学决定用圆周率的不足近似值3.14159中出现的这六个数字编成一组六位数的开锁密码（每个数字用一次），则两个数字“1”不相邻的不同密码共有 组. 【答案】240 【分析】先排除1外的另4个数字，再在形成的5个间隙中任取两个插入1，列式计算即得. 【详解】排除1外的另4个数字，有种方法， 在上述的每个排列形成的5个间隙（含两端）中任取两个插入1，有种方法， 所以两个数字“1”不相邻的不同密码共有（组）. 故答案为：240 17．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙至少一人入选的选法有 种 【答案】9 【分析】用全部的选法减去甲、乙都不选的选法即可. 【详解】从甲、乙等5名同学中随机选3名，全部的选法有种， 甲、乙都不选的选法有种， 则甲、乙至少一人入选的选法有种. 故答案为：9 C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 18．将1，2，3，…，50这50个正整数分成甲、乙两组，每组各25个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则不同的分组方法数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将1，2，3，…，50这50个正整数分成甲、乙两组，每组各25个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则每组个数据，每组中位数均为第个数，比它大的或比它小的数均为个数，所以甲组的中位数可能为或，进而按题意解出分组方法数即可. 【详解】将1，2，3，…，50这50个正整数分成甲、乙两组，每组各25个数， 使得甲组的中位数比乙组的中位数小2， 则每组个数据，每组中位数均为第个数，比它大的或比它小的数均为个数， 所以甲组的中位数可能为，而此时乙组的中位数一定是， 则一定在乙组数据中；此时不同的分组方法数为：； 甲组的中位数可能为，而乙组的中位数一定为，此时必须在甲组数据中， 此时不同的分组方法数为：； 所以不同的分组方法数为：. 故选：B. 19．用1~9这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数共有 个 【答案】840 【分析】根据题意先分类然后分步，进而结合排列、组合即可求解. 【详解】1~9这九个数字中由5个奇数和4个偶数， 要使四位数满足各个数位上数字和为偶数的奇数，则个位数字必须为奇数， 前三位数字由1个奇数和2个偶数或3个奇数组成， 所以，. 故答案为：. 20．建平中学“9.30”活动需要4个不同节目的志愿者服务队，有7名志愿者被分配到这4个服务队，7人中有5名高二学生和2名高一学生，1名高一学生至少需要1名高二学生进行工作的传授，每个服务队至少需要1名高二学生，且2名高一学生不能分配到同一个服务队，则不同的分配方案种数是 . 【答案】 【分析】先把5名高二学生分为人数为的四组，再分到4个不同节目的志愿者服务队，然后把2名高一学生分配到4个不同节目的志愿者服务队中的2个，由乘法原理计算可得． 【详解】根据题意，可先把5名高二学生分为人数为的四组，再分到4个不同节目的志愿者服务队，共有种分法， 然后把2名高一学生分配到4个不同节目的志愿者服务队中的2个，有种分法， 所以共有种不同的分配方案. 故答案为： 21．关于的方程的正整数解是 【答案】8 【分析】根据组合数的性质及排列数转化为的方程，解得即可． 【详解】因为，且， 所以， 所以， 解得． 故答案为：8． 22．满足方程的的值为 . 【答案】3或6 【分析】 根据组合数运算公式结合组合数性质求解即可. 【详解】 因为，所以或，所以或. 故答案为：3或6 23．化简： . 【答案】 【分析】由组合数公式可得，根据题意结合组合数的性质分析求解. 【详解】因为， 所以 . 故答案为：. 24．某班级在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张．每个学生从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“龙”“迎”“春”张卡片，则额外获得2分． (1)求学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数； (2)求学生乙最终获得分的不同的抽法种数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据组合数的知识求得正确答案. （2）根据分的组合情况进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】（1）学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数为种. （2）学生乙最终获得分，有两种情况： ①，抽到张“龙”卡以及其它任意张卡，方法数有种. ②，抽到抽中“福”“龙”“迎”“春”张卡片，方法数有种. 所以学生乙最终获得分的不同的抽法种数为种. 25．分别求下列情形的方法数：（用数字作答） (1)从4名男生4名女生中选出2男2女组成一个队伍； (2)8个人排成一排，其中甲乙二人必须站在一起； (3)8个人排成一排，甲乙丙三人互相不能相邻． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先从名男生中选出名，然后再从名女生中选出名，分步相乘从而即可求解； （2）先把甲乙捆绑看成一个整体，再和其他人一起排列即可求解； （3）先把其他人排列，然后将甲乙丙三人插空，即可求解. 【详解】（1）先从先从名男生中选出名，有种方法， 再从名女生中选出名，有种方法， 所以共有种方法. （2）先把甲乙捆绑看成一个整体有种方法，再和其他人一起排列有种方法， 所以8个人排成一排，其中甲乙二人必须站在一起的方法为. （3）先把其他人排列共有种方法，再把甲乙丙三人插空有， 所以个人排成一排，甲乙丙三人互相不能相邻的方法为. D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】 26．至少通过一个正方体的3条棱中点的平面个数为 ． 【答案】81 【分析】利用间接法，根据共面的条件，分析出重复的平面，即可求解. 【详解】共有12条棱，即有12个中点，根据任意3点不共线，故可得个平面， 其中，过4个中点的平面有：正方体的6个面，正方体的3个中截面，与面对角线和棱平行的面有个，共有个， 过6个中点的平面有4个， 所以重复的有个平面， 所以满足条件的平面有个. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用空间想象能力，将过4个点和过6个点的平面中与过3个点的平面重复的找出来. 27．我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑（nào）”的几何体，它指的是由四个直角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的四面体中“鳖臑”的个数是 . 【答案】 【分析】先以平面为基准，在平面内取三点，然后判断一次一共可以确定多少个“鳖（biē）臑（nào）”，然后类比推理，将重复计算的舍去即可. 【详解】（1）   （2）   （3）   （4）   如图以平面为基准，在平面内取三点，显然（1）（2）合题意，（3）（4）不合题意，同理，将换成，，，各能找到两个“鳖（biē）臑（nào）”，所以当三点确定在一个平面上时，可以确定8个“鳖（biē）臑（nào）”，共有6个面，所以可确定个“鳖（biē）臑（nào）”.但上图（1）在以平面为基准时又被算了一次，图（2）在以平面为基准时又被算了一次，所以每一种情况都被重复计算了一次，故共能确定个“鳖（biē）臑（nào）”. 故答案为：. 28．如图，在的方格表中按照下面的条件填入6个圆圈，满足各行．各列至少有一个圆圈；同一格不能填2个圆圈．则不同的符合条件的填入方法有 种． 【答案】4200 【分析】6个圆圈填入5行、5列的表格中，按照题目要求，易知必有某行2个，其他行1个；某列2个，其他列1个，据此分两类讨论，分别求出安排种数，再由分类加法计数原理得解. 【详解】6个圆圈填入5行、5列的表格中，按照题目要求，易知必有某行2个，其他行1个；某列2个，其他列1个. ①如果该行和该列的交界处有圆圈，则去掉这个圆圈恰好每行每列1个，有5!=120种，新增的这个交界处圆圈有20种填法，共计:120×20= 2400种; ②如果该行和该列的交界处没有圆圈，选定该行该列的方式有种，在该行该列分别填入2个圆圈的方法有种，最后再把剩下2个圆圈填入方格，有2种填法，共计: 种; 综上，不同的符合条件的填入方法有4200种. 故答案为：种 29．规定，其中，m是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广． (1)求的值． (2)组合数的两个性质：①；②是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由； (3)已知组合数是正整数，证明：当，m是正整数时，． 【答案】(1) (2)性质①不能推广，理由见解析；性质②能推广，证明见解析. (3)证明见解析. 【分析】（1）按题中定义计算即可； （2）由定义可知m是正整数，所以只需要判断①；②中的是否只能是整数即可； （3）分类讨论、、三种情况，其中当时可将的分子转换为正数进行计算证明. 【详解】（1） （2）性质①不能推广，例如当时有定义，但无意义； 性质②能推广，它的推广形式是：，，m是正整数 证明：当时，有， 当时， （3）当时，组合数； 当时，； 当时，由可知， 所以 因为组合数是正整数，所以 证毕. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$