专题13 排列- 【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020，上海专用）

专题13 排列 考点剖析 2 一、排列数及其性质 2 二、常见排列问题的解题策略 2 1、特殊元素特殊位置优先考虑 2 2、捆绑法 4 3、插空法 4 4、定序问题 4 5、直接法 5 6、间接法 5 过关检测 6 A组 双基过关 6 B组 巩固提高 7 C组 综合训练 10 D组 拓展延伸 12 一．【新课导入】 1、排列的概念 问题： （1）从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？ （2）从这四个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？ 从个不同元素中，任取（）个不同元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。 2、排列数的定义： 从个不同元素中，任取（）个不同元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示。 注意区别排列和排列数的不同：“排列”是指从个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序排成的一列元素；“排列数”是指从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数。 3、排列数公式及其推导：。 4、全排列数：，叫做n的阶乘。 规定。 5、排列数的另一个计算公式： 即=。 考点剖析 一、排列数及其性质 【例1】解方程：． 【变式训练1】与的大小关系是 （ ） A． B． C． D．大小关系不确定 【变式训练2】满足的 【例题2】 1．对于满足的正整数， （ ） A． B． C． D． 2.【变式训练3】 求证： 二、常见排列问题的解题策略 1、特殊元素特殊位置优先考虑 【例3】用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数___________个． 【变式训练4】某班5位同学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生甲只能安排到周一或周二，学生乙不能安排在周五，则他们不同的值日安排有 （ ） A．288种 B．72种 C．42种 D．36种 【变式训练5】2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为 （ ） A．36 B．42 C． 48 D．60 2、捆绑法 【例4】有8本不同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书连排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排成一起的排法有 种排法。 【变式训练6】4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？ 【变式训练7】停车站划出一排个停车位置，今有辆不同型号的车需要停放，若要求剩余的个空车位连在一起，则不同的停车方法共有__________种． 3、插空法 【例5】7个人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同的排法有 种。 【变式训练8】某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为 （ ） A. 12 B．16 C．24 D．32 【变式训练9】某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种． 【变式训练10】要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，排法种数有__________种． 4、定序问题 【例6】一天的课程表要排入语文，数学，物理，化学，英语，体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？ 【变式训练11】1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有 种排法。 【变式训练12】用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中， （1）若偶数2，4，6次序一定，有多少个？ （2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？ 5、直接法 【例7】某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为 【变式训练13】有四个停车位，停放四辆不同的车，有几种不同的停法？若其中的一辆车必须停放在两边的停车位上，共有多少种不同的停法？ 【变式训练14】用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 （1）数字1不排在个位和千位 （2）数字1不在个位，数字6不在千位． 【变式训练15】用数字可以组成没有重复数字，并且比大的五位偶数共有 （ ） A．个 B．个 C．个 D．个 6、间接法 【例8】设有编号为，，，，的五个球和编号为，，，，的五个盒子，现将这五个球放入个盒子内，没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ 【变式训练16】在由数字0，1，2，3，4所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有 个． 【变式训练17】从名志愿者中选出名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有 （ ） A．种 　 B．种 C．种 D．种 【变式训练18】有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲、乙必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．240 2．已知为正整数，则（    ） A． B． C． D． 3．8个人排成一排照相，其中甲乙丙三人中任意两人都不相邻的排法种数是（    ） A． B． C． D． 4．2位教师和3名学生站成一排，要求2位教师不相邻，则不同排法的种数为 . 5．现有4个医疗小组和4个需要援助的国家，若每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法共有 种. 6．若，则 . 7．从1、2、3、4、5这5个数字中，任取2个不同的数字作为一个点的坐标，一共可以组成多少个不同的点？ 8．已知n为不小于2的正整数，求证：． B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 9．某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻的不同排法有（    ） A．120种 B．240种 C．216种 D．256种 10．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”，为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（    ） A．120种 B．240种 C．480种 D．720种 11．A，B，C，D，E五人站成一排，如果A，B必须相邻，那么排法种数为（　　） A．24 B．120 C．48 D．60 12．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法种数 ．（用数字作答） 13．为庆祝70周年校庆，学校开设三门校史课程培训，现有甲､乙､丙､丁､戊､己六位同学报名参加学习，每位同学仅报一门，每门课至少有一位同学报名，则不同报名方法有 种. 14．2023年8月至10月贵州榕江举办了“超级星期六”全国美食足球友谊赛.已知第一赛季的第一个周六（8月26日）共报名了贵州贵阳烤肉队等3支省内和辽宁东港草莓队等3支省外美食足球代表队.根据赛程安排，在8月26日举行三场比赛，每支球队都要参赛，且省内代表队不能安排在同一场，则比赛的安排方式有 种.（用数字作答） 15．学校安排甲乙丙丁4名运动员参加米接力赛，其中甲不跑第一棒，则共有 种不同的接力方式. 16．从6人中选取4人分别去A、B、C、D四个城市游览，要求每个城市有一人游览，而每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人都不去A地游览．问：不同的选择方案共有多少种？ C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 17．某单位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天．若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天，丙不安排在5月3日，则不同的安排方案共有（    ） A．42种 B．40种 C．36种 D．30种 18．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（    ） A．180 B．120 C．90 D．240 19．某场中国队与巴西队的足球比赛进入了激动人心的点球大战，中国队需要从除守门员外的10名首发队员中选5名队员依次主罚点球. 已知除守门员外的10名首发队员中有2名前锋、4名中场、4名后卫，若要求2名前锋必须入选、且不能相邻，那么主罚点球人员的不同排列方法有 种.（不考虑是否踢进等问题） 20．4对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是 .（结果用数字作答） 21．为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为 22．5名男生，2名女生站成一排照相．求在下列约束条件下，有多少种站法？ (1)女生不站在两端； (2)女生相邻； (3)女生不相邻. 23．（1）配制某种染色剂，需要加入种有机染料、种无机染料和种添加剂，其中有机染料的添加顺序不可以相邻．为研究所有不同的添加顺序对染色效果的影响，总共要试验多少次？ （2）某展览馆计划展出幅不同的画，其中水彩画幅、油画幅、国画幅．现排成一排陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端．问：有多少种不同的陈列方式？ D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】 24．有个元素，将其中相同的元素归成一类，共有k类，这k类元素中每类分别中个，，将这个元素全部取出的排列叫做个不尽相异元素的全排列． (1)求上述个不尽相异的元素的全排列数． (2)由结论（1），回答“1个球队与10个球队各比赛1次，共有10场比赛，问五胜三负二平的可能情形有多少种？” 25．从7名男生和5名女生中选取3人依次进行面试． (1)若参加面试的人全是女生，则有多少种不同的面试方法？ (2)若参加面试的人中，恰好有1名女生，则有多少种不同的面试方法？ 26．三个女生和五个男生排成一排． (1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ (2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ (3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ (4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 排列 考点剖析 2 一、排列数及其性质 2 二、常见排列问题的解题策略 2 1、特殊元素特殊位置优先考虑 2 2、捆绑法 4 3、插空法 4 4、定序问题 4 5、直接法 5 6、间接法 5 过关检测 6 A组 双基过关 6 B组 巩固提高 7 C组 综合训练 10 D组 拓展延伸 12 一．【新课导入】 1、排列的概念 问题： （1）从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？ （2）从这四个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？ 从个不同元素中，任取（）个不同元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。 2、排列数的定义： 从个不同元素中，任取（）个不同元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示。 注意区别排列和排列数的不同：“排列”是指从个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序排成的一列元素；“排列数”是指从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数。 3、排列数公式及其推导：。 4、全排列数：，叫做n的阶乘。 规定。 5、排列数的另一个计算公式： 即=。 考点剖析 一、排列数及其性质 【例1】解方程：． 【答案】6 【变式训练1】与的大小关系是 （ ） A． B． C． D．大小关系不确定 【答案】D 【变式训练2】满足的 【答案】8 【例题2】 1．对于满足的正整数， （ ） A． B． C． D． 【答案】C 2.【变式训练3】 求证： 【解析】 =得证。 二、常见排列问题的解题策略 1、特殊元素特殊位置优先考虑 【例3】用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数___________个． 【答案】156 【变式训练4】某班5位同学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生甲只能安排到周一或周二，学生乙不能安排在周五，则他们不同的值日安排有 （ ） A．288种 B．72种 C．42种 D．36种 【答案】D 【变式训练5】2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为 （ ） A．36 B．42 C． 48 D．60 【答案】C 2、捆绑法 【例4】有8本不同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书连排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排成一起的排法有 种排法。 【答案】1440 【变式训练6】4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？ 【答案】576 【变式训练7】停车站划出一排个停车位置，今有辆不同型号的车需要停放，若要求剩余的个空车位连在一起，则不同的停车方法共有__________种． 【答案】362880 3、插空法 【例5】7个人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同的排法有 种。 【答案】3600 【变式训练8】某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为 （ ） A. 12 B．16 C．24 D．32 【答案】24 【变式训练9】某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种． 【答案】20 【变式训练10】要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，排法种数有__________种． 【答案】604800 4、定序问题 【答案】2520 【例6】一天的课程表要排入语文，数学，物理，化学，英语，体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？ 【答案】360 【变式训练11】1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有 种排法。 【答案】72 【变式训练12】用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中， （1）若偶数2，4，6次序一定，有多少个？ （2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？ 【答案】（1）840；（2）35 5、直接法 【例7】某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为 【答案】6 【变式训练13】有四个停车位，停放四辆不同的车，有几种不同的停法？若其中的一辆车必须停放在两边的停车位上，共有多少种不同的停法？ 【答案】24；12 【变式训练14】用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 （1）数字1不排在个位和千位 （2）数字1不在个位，数字6不在千位． 【答案】240；252 【变式训练15】用数字可以组成没有重复数字，并且比大的五位偶数共有 （ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 6、间接法 【例8】设有编号为，，，，的五个球和编号为，，，，的五个盒子，现将这五个球放入个盒子内，没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ 【答案】119 【变式训练16】在由数字0，1，2，3，4所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有 个． 【答案】72 【变式训练17】从名志愿者中选出名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有 （ ） A．种 　 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【变式训练18】有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ 【答案】432 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲、乙必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．240 【答案】B 【分析】由分步乘法原理计算，先排甲乙，再从剩下4名同学任选2人排列即可. 【详解】分步完成： 甲不担任四辩，共有3种选择， 又因为乙也不担任四辩，共有2种选择， 从剩下4名同学任选2人，且任意排序，共有种， 所以一共有种. 故选：B. 2．已知为正整数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列数的运算即可求解. 【详解】由， 得. 故选：D 3．8个人排成一排照相，其中甲乙丙三人中任意两人都不相邻的排法种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据插空法相关知识直接计算求解即可. 【详解】由题意，先排剩下的5个人，共有种排法， 再将甲乙丙三个人插入剩余的6个空位，共有种排法， 故总共有种排法. 故选：A 4．2位教师和3名学生站成一排，要求2位教师不相邻，则不同排法的种数为 . 【答案】72 【分析】利用插空法先排3名学生，再将老师插入到4个空位中即可. 【详解】采用插空法，先排3名学生有种，再排2位教师有种， 所以，不同排法的种数为种. 故答案为：72 5．现有4个医疗小组和4个需要援助的国家，若每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法共有 种. 【答案】 【分析】将个医疗小组全排列即可. 【详解】依题意将个医疗小组全排列即可，即不同的分配方法共有种. 故答案为：. 6．若，则 . 【答案】7 【分析】根据排列数的运算性质计算即可求解. 【详解】由题意知，，则， 由，解得. 故答案为：7 7．从1、2、3、4、5这5个数字中，任取2个不同的数字作为一个点的坐标，一共可以组成多少个不同的点？ 【答案】 【分析】根据坐标由横坐标和纵坐标组成，直接利用排列数即可求解. 【详解】因为坐标由横坐标和纵坐标组成，且有一定的顺序， 所以由排列数的定义可得满足条件的坐标有：个， 故一共可以组成个不同的点. 8．已知n为不小于2的正整数，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用全排列数的计算公式证明. 【详解】因为 所以 ， 命题得证. B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 9．某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻的不同排法有（    ） A．120种 B．240种 C．216种 D．256种 【答案】B 【分析】先将甲乙看作一个元素，再和其余4人一起排列. 【详解】先将甲、乙两名同学“捆绑”在一起看成一个元素，有种方法， 再与其余的个元素(同学)一起进行全排列有种方法， 所以这样的排法一共有种方法. 故选：B 10．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”，为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（    ） A．120种 B．240种 C．480种 D．720种 【答案】B 【分析】利用捆绑法即可求解. 【详解】“射”和“御”两次相邻，两者捆绑，与剩下的四艺排列， 则“六艺”讲座不同的次序共有. 故选：. 11．A，B，C，D，E五人站成一排，如果A，B必须相邻，那么排法种数为（　　） A．24 B．120 C．48 D．60 【答案】C 【分析】将捆绑在一起，计算得到答案. 【详解】将捆绑在一起，共有种排法. 故选：C. 12．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法种数 ．（用数字作答） 【答案】48 【分析】根据捆绑法求解即可. 【详解】由题意，先将甲乙捆绑排列，再跟剩下的人排列，故不同的排法种数有种. 故答案为：48 13．为庆祝70周年校庆，学校开设三门校史课程培训，现有甲､乙､丙､丁､戊､己六位同学报名参加学习，每位同学仅报一门，每门课至少有一位同学报名，则不同报名方法有 种. 【答案】540 【分析】将甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学分为三组，确定每组的人数，然后将这三组同学分配给三门校史课程培训，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】将甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学分为三组， 每组人数分别为4、1、1或3、2、1或2、2、2， 然后将这三组同学分配给三门校史课程培训， 由分步计数原理可知，不同的报名方法种数为 故答案为：540. 14．2023年8月至10月贵州榕江举办了“超级星期六”全国美食足球友谊赛.已知第一赛季的第一个周六（8月26日）共报名了贵州贵阳烤肉队等3支省内和辽宁东港草莓队等3支省外美食足球代表队.根据赛程安排，在8月26日举行三场比赛，每支球队都要参赛，且省内代表队不能安排在同一场，则比赛的安排方式有 种.（用数字作答） 【答案】 【分析】根据题意，可分为2步，先将3支省内代表队安排在三场比赛，再将3支外省的代表队安排在三场比赛，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，可分为2步进行分析： ①先将3支省内代表队安排在三场比赛，每场一支代表队，有种安排方法； ②再将3支外省的代表队安排在三场比赛，每场一支代表队，有种安排方法， 则有种不同的安排方式. 故答案为：. 15．学校安排甲乙丙丁4名运动员参加米接力赛，其中甲不跑第一棒，则共有 种不同的接力方式. 【答案】 【分析】甲先选择，然后乙丙丁再全排列，根据分步乘法计数原理可得结果. 【详解】甲先在第二、三、四棒中选一棒，有种选法， 乙丙丁三人选择除甲选择之外的三棒，全排列即可，有种选法， 所以一共有种接力方式， 故答案为：. 16．从6人中选取4人分别去A、B、C、D四个城市游览，要求每个城市有一人游览，而每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人都不去A地游览．问：不同的选择方案共有多少种？ 【答案】240 【分析】根据排列和分步计数原理即可求解. 【详解】先安排A城市的游览方法，从去掉甲乙的四个人中选一个人去A城市，则有4种， 再从剩下的5个人中选取三人分别安排到B,C,D城市，此时有种， 根据分步计数原理，不同的选择方案有种， C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 17．某单位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天．若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天，丙不安排在5月3日，则不同的安排方案共有（    ） A．42种 B．40种 C．36种 D．30种 【答案】B 【分析】利用相邻问题的排列数，减去甲乙相邻时丙排在5月3日的排列数得解. 【详解】甲乙相邻的排列数是，其中甲乙相邻且丙排在5月3日的排列数为， 所以不同的安排方案共有（种）. 故选：B 18．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（    ） A．180 B．120 C．90 D．240 【答案】A 【分析】由分步乘法原理计算，先排甲，再排其余5人即可. 【详解】分步完成： 甲不担任四辩，共有3种方法； 剩下5名同学任选3人，且任意排序，共有种， 所以一共有种， 故选：A. 19．某场中国队与巴西队的足球比赛进入了激动人心的点球大战，中国队需要从除守门员外的10名首发队员中选5名队员依次主罚点球. 已知除守门员外的10名首发队员中有2名前锋、4名中场、4名后卫，若要求2名前锋必须入选、且不能相邻，那么主罚点球人员的不同排列方法有 种.（不考虑是否踢进等问题） 【答案】4032 【分析】利用插空法，先从除2名前锋外的其余8名队员中选3人排列，产生4个空，然后2名前锋从4个空中选2个排列即可. 【详解】由题意得，先从除2名前锋外的其余8名队员中选3人排列，有种， 3人排列后有4个空，然后2名前锋从4个空中选2个排列，则有种， 所以由分步乘法原理可知共有种， 故答案为：4032 20．4对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是 .（结果用数字作答） 【答案】384 【分析】视每对双胞胎为一个整体作全排列，再排列各对双胞胎即得. 【详解】每对双胞胎视为一个整体作全排列，有种，而每对双胞胎的排列有， 所以不同的站法种数是是. 故答案为：384 21．为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为 【答案】504 【分析】符合要求的排法可以分为两类：第一类“射”排在第五周的排法，第二类“射”不在第二和第五周且“乐”不在第五周的排法，利用分步乘法原理求出各类的方法数，再利用分类加法原理求总的方法数. 【详解】“射”不在第二周且“乐”不在第五周的排法可以分为两类： 第一类“射”排在第五周的排法，排法有种， 第二类“射”不在第二和第五周且“乐”不在第五周的排法， ①若“乐”在第二周，则射有四种选法，然后剩余四项全排列，则共有种排法 ②若“乐”不在第二周，则“射”与乐共有种选法，然后剩余四项全排列则共有种， 由分类加法原理可得总的排法数为， 故答案为：504. 22．5名男生，2名女生站成一排照相．求在下列约束条件下，有多少种站法？ (1)女生不站在两端； (2)女生相邻； (3)女生不相邻. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先排两端再排中间即可得解. （2）用捆绑法即可得解. （3）使用插空法即可得解. 【详解】（1）先考虑两端站的人，再考虑其他位置，满足条件的站法有（种）. （2）将2名女生捆绑，当作一个对象，与其他对象一起全排列，可得满足条件的站法有（种）. （3）分两步：第一步，先排男生，有种站法， 第二步，将2名女生插入男生所形成的6个空（包括两端）中，有种站法， 由分步乘法计数原理知，满足条件的站法有（种）. 23．（1）配制某种染色剂，需要加入种有机染料、种无机染料和种添加剂，其中有机染料的添加顺序不可以相邻．为研究所有不同的添加顺序对染色效果的影响，总共要试验多少次？ （2）某展览馆计划展出幅不同的画，其中水彩画幅、油画幅、国画幅．现排成一排陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端．问：有多少种不同的陈列方式？ 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先将种无机染料和种添加剂进行排序，然后将种有机染料插入种无机染料和种添加剂所形成的个空位中的个，结合插空法可得出试验次数； （2）将幅油画捆绑，将幅国画捆绑，形成两个大元素，将水彩画放在“中间”，则油画、国画放在两端，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】解：（1）先将种无机染料和种添加剂进行排序， 然后将种有机染料插入种无机染料和种添加剂所形成的个空位中的个， 由分步乘法计数原理可知，试验次数为； （2）将幅油画捆绑，将幅国画捆绑，形成两个大元素，将水彩画放在“中间”， 将油画、国画放在两端， 故不同的陈列方式种数为种. D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】 24．有个元素，将其中相同的元素归成一类，共有k类，这k类元素中每类分别中个，，将这个元素全部取出的排列叫做个不尽相异元素的全排列． (1)求上述个不尽相异的元素的全排列数． (2)由结论（1），回答“1个球队与10个球队各比赛1次，共有10场比赛，问五胜三负二平的可能情形有多少种？” 【答案】(1) (2)2520 【分析】 （1）根据题意利用排列数的定义以及其运算方法，可得答案； （2）根据题意，利用（1）的公式，可得答案. 【详解】（1） 假定个不尽相异元素的所有排列数有种，在每种排列中，如果把相同的元素， 当成不相同的元素，则个元素的所有排列数可增加为种； 另一方面，个不同的元素的全排列有种， ∴即． 即得个不尽相异元素的全排列数． （2） 将比赛结果的胜、负、平看作三种元素，按题意，10场比赛的结果是五胜三负二平， 即是一个不尽相异元素的全排列，由（1）知，共有种可能情况． 25．从7名男生和5名女生中选取3人依次进行面试． (1)若参加面试的人全是女生，则有多少种不同的面试方法？ (2)若参加面试的人中，恰好有1名女生，则有多少种不同的面试方法？ 【答案】(1)60 (2)630 【分析】（1）直接由排列的意义以及排列数即可解决； （2）先组合，再排列，即利用到分步乘法计数原理，结合组合数、排列数即可解决. 【详解】（1）由题意从5名女生中选取3人依次进行面试，结合排列数的意义可知相当于从5名女生中选取3人依次进行排列， 此时对应有种不同的面试方法. （2）安排满足题意的面试顺序一共需要分以下两大步： 一方面：由题意先抽取符合题意的组合，这里可以分为两小步： 第一步从5名女生中选取1名女生；第二步从7名男生中选取名男生； 由分步乘法计数原理可得符合题意的组合有种. 另一方面：注意到3名面试者是依次进行面试的，即再对刚刚组合好的3名面试者进行一次排列， 有种排列方法.结合以上两方面且由分步乘法计数原理可知满足题意的不同的面试方法有 种. 26．三个女生和五个男生排成一排． (1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ (2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ (3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ (4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ 【答案】(1)4320 (2)14400 (3)14400 (4)36000 【分析】（1）捆绑法求解；（2）插空法解决；（3）可用位置分析法、间接法或者元素分析法解决； （4）可用位置分析法或者间接法解决. 【详解】（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有种不同的排法，对于其中的每一种排法，三个女生之间又有种不同的排法． 因此共有＝4320（种）不同的排法． （2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻，由于五个男生排成一排有种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有种排法. 因此共有＝14 400（种）不同的排法． （3）方法一：（位置分析法）因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有种不同的排法，对于其中的任意一种不同的排法，其余六个位置都有种不同的排法.所以共有＝14400（种）不同的排法． 方法二：（间接法）三个女生和五个男生排成一排共有种不同的排法，从中扣除女生排在首位的种排法和女生排在末位的种排法，但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有种不同的排法. 所以共有＝14400（种）不同的排法． 方法三：（元素分析法）从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，有种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余五个位置又都有种不同的排法. 所以共有＝14400（种）不同的排法． （4）方法一：（位置分析法）因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受条件限制了，这样可有种不同的排法；如果首位排女生，有种排法，那么末位就只能排男生，这样可有种不同的排法. 因此共有＝36000（种）不同的排法． 方法二：（间接法）三个女生和五个男生排成一排共有种不同的排法，从中扣除两端都是女生的排法种，就得到两端不都是女生的排法种数． 因此共有＝36000（种）不同的排法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$