专题12 对数函数- 【暑假自学课】2024年新高一数学暑假提升精品讲义（沪教版2020必修第一册，上海专用）

专题12 对数函数 一、复习引入 1 二、知识梳理 1 （一）对数函数的定义 1 （二）对数函数的图像 2 （三）对数函数的性质 2 考点剖析 3 过关检测 4 A组 双基过关 4 B组 巩固提高 4 C组 综合训练 6 D组 拓展延伸 7 【应知应会】 一、复习引入 【难度系数：★   参考时间：5 min】 1. 若，则 ；若，则 . 2. 已知，化简 . 3. 若，，则 . 二、知识梳理 【难度系数：★★   参考时间：45 min】 （一）对数函数的定义 定义：当底数固定，且，时，以为底的对数 确定了变量随变量变化的规律，称为底为的对数函数. 因为只有当时，才有意义，所以对数函数的定义域是全体正数. （二）对数函数的图像 分别描绘指数函数，，，的大致图像. 【提示】列表，描点，连线 （三）对数函数的性质 由前面的几种对数函数的图像，结合对数的运算性质，我们可以得到如下的性质： 1. 对数函数的图像总是经过 2. 当时，对数函数在上严格增 当时，对数函数在上严格减 3. 对数函数及的图像关于轴对称 关于对数函数的图像与性质的总结见下表： 图像 图像特征 （1）图像都在轴右侧，无限趋近于轴，但永不相交 （2）过点 （3）由左至右图像上升 （3）由左至右图像下降 函数性质 （1）定义域为，值域为 （2）当时， （3）在上严格增 （3）在上严格减 考点剖析 例1. 求下列函数的定义域： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 例2. 求列函数的定义域： （1）； （2）. 例3. 作出下列函数的大致图像： （1）； （2）； （3）； （4）. 例4. 利用对数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小. （1）和； （2）和. （3）和，其中且； （4）和. 例5. 已知，若，判断与的大小，并说明理由. 例6. 设函数的定义域是，求实数的取值范围. 例7. 设函数的值域是，求实数的取值范围. 例8. “学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度. 假设其函数表达式为，其中表示达到某一打字水平（字/分）所需的学习时间（分钟），表示每min打出的字数（字/分）. 分别计算打字水平达到20字/分、40字/分所需的学习时间. （精确到“分钟”） 例9. 设关于的方程的两个实根分别是. （1）求实数的取值范围； （2）求的取值范围. 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）设函数是R上严格增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海·期中）已知实数满足，则函数在上的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（23-24高一上·上海·期末）函数的定义域是 . 5．（23-24高一上·上海·期末）若函数（且）的图象恒过定点，则的坐标是 . 6．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数（且），则其必过定点坐标为 ． 7．（22-23高一上·上海徐汇·期末）设，则函数的定义域是 ． 8．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知对数函数（且）的图象经过点，且该函数图象经过点，则实数的值是 . 9．（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）已知常数，，假设无论为何值，函数的图象恒经过一个定点，则这个定点的坐标是 ． B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 10．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知为实数，则“”是“”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 11．（23-24高一上·上海·期末）已知函数（，且为实数），下列说法正确的是（ ） A．函数的单调性只与有关，与无关 B．函数的单调性只与有关，与无关 C．函数的单调性与都有关 D．函数的单调性与都无关 12．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 13．（23-24高一上·上海·期末）函数的定义域为 ． 14．（23-24高一·上海·假期作业）函数的值域是 ． 15．（23-24高一上·上海松江·期末）设为常数且，在上是严格增函数，则实数的取值范围是 16．（23-24高一上·上海·期末）已知，若，则 . 17．（23-24高一上·上海·期末）在下面的坐标系中画出下列函数的图像： (1) (2)． 18．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数. (1)求方程的解； (2)若关于x的方程在上有实数解,求实数的取值范围. C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 19．（23-24高一上·上海·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数（）的值域是，有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，.其中正确结论的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 21．（23-24高一上·上海·期末）中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（    ）． A．20% B．23% C．28% D．50% 23．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数，其中.若关于x的方程恰有四个不同的实数根，则该方程所有实数根之和的取值范围是 . 24．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数的定义域为. (1)若非空集合满足，求实数a的取值范围； (2)若，用定义证明：是定义域上的严格增函数. 25．（23-24高一上·上海·期末）解下列关于x的方程： (1)； (2)． 26．（23-24高一上·上海·期末）已知函数. (1)求该函数的定义域，并证明其为奇函数； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】27．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知函数（是自然对数的底数）的最小值为0，关于有如下4个命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则；     ④若，则. 其中真命题的个数为（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 28．（21-22高一上·上海闵行·期末）已知关于的不等式的解集是，不等式的解集是，有下列两个结论：①存在，使；②对任意的，都有；则（    ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 29．（23-24高一上·上海·期末）若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“H函数”． (1)试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由； (2)若函数是“H函数”，求实数a的取值范围； (3)若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，证明：对任意，都有． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 对数函数 一、复习引入 1 二、知识梳理 1 （一）对数函数的定义 1 （二）对数函数的图像 2 （三）对数函数的性质 2 考点剖析 3 过关检测 5 A组 双基过关 5 B组 巩固提高 7 C组 综合训练 12 D组 拓展延伸 18 【应知应会】 一、复习引入 【难度系数：★   参考时间：5 min】 1. 若，则 ；若，则 . 【答案】， 2. 已知，化简 . 【答案】 3. 若，，则 . 【答案】 二、知识梳理 【难度系数：★★   参考时间：45 min】 （一）对数函数的定义 定义：当底数固定，且，时，以为底的对数 确定了变量随变量变化的规律，称为底为的对数函数. 因为只有当时，才有意义，所以对数函数的定义域是全体正数. （二）对数函数的图像 分别描绘指数函数，，，的大致图像. 【提示】列表，描点，连线 （三）对数函数的性质 由前面的几种对数函数的图像，结合对数的运算性质，我们可以得到如下的性质： 1. 对数函数的图像总是经过 2. 当时，对数函数在上严格增 当时，对数函数在上严格减 3. 对数函数及的图像关于轴对称 关于对数函数的图像与性质的总结见下表： 图像 图像特征 （1）图像都在轴右侧，无限趋近于轴，但永不相交 （2）过点 （3）由左至右图像上升 （3）由左至右图像下降 函数性质 （1）定义域为，值域为 （2）当时， （3）在上严格增 （3）在上严格减 考点剖析 例1. 求下列函数的定义域： （1）； （2）； （3）； 【答案】（1） （2） （3） （4）； （5）； （6）. 【答案】（4） （5） （6）R 例2. 求列函数的定义域： （1）； （2）. 【答案】（1）； （2）当时，，函数的定义域为；当时，，函数的定义域为 例3. 作出下列函数的大致图像： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）渐近线； （2）渐近线； （3）渐近线； （4）渐近线（轴） 例4. 利用对数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小. （1）和； （2）和. （3）和，其中且； （4）和. 【答案】（1） （2） （3）①当时， （4） ②当时， 例5. 已知，若，判断与的大小，并说明理由. 【答案】I. 当时， ①若，在区间上是严格增函数，则 ②若，在区间上是严格减函数，则 II. 当时， 【科普】中点坐标公式，函数图像凹凸性 例6. 设函数的定义域是，求实数的取值范围. 【答案】 【提示】分类讨论 例7. 设函数的值域是，求实数的取值范围. 【答案】 【提示】由浅入深，先让学生求、、和的值域 【讲解要点】设，的范围记为集合，同时 简而言之，要使值域为，必须能够取遍所有的正数 例8. “学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度. 假设其函数表达式为，其中表示达到某一打字水平（字/分）所需的学习时间（分钟），表示每min打出的字数（字/分）. 分别计算打字水平达到20字/分、40字/分所需的学习时间. （精确到“分钟”） 【答案】16分钟，37分钟 【提示】 例9. 设关于的方程的两个实根分别是. （1）求实数的取值范围； （2）求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【细节之美】此题Why？？ 【解析】（1）设，则方程的两根为和， （2）由韦达定理，得 且，或或 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）设函数是R上严格增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数概念和对数函数单调性相关知识直接计算求解即可. 【详解】因为函数是R上严格增函数， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：A 2．（23-24高一上·上海·期中）已知实数满足，则函数在上的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数在上的单调性可求其最大值. 【详解】因为，则函数在上为减函数，则. 故选：A. 3．（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】根据相同函数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，的定义域是，，且定义域为，是相同函数，A选项正确. B选项，的定义域是，的定义域是，不是相同函数. C选项，的定义域是，的定义域是，不是相同函数. D选项，的定义域是，的定义域是，不是相同函数. 故选：A 4．（23-24高一上·上海·期末）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】利用对数的真数大于零可求得原函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 5．（23-24高一上·上海·期末）若函数（且）的图象恒过定点，则的坐标是 . 【答案】 【分析】令真数为，求出的值，再代入函数解析式可得出定点的纵坐标. 【详解】由，得， ，的坐标是， 故答案为：. 6．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数（且），则其必过定点坐标为 ． 【答案】 【分析】令，求出定点坐标. 【详解】令，即，此时， 故其必过定点坐标为. 故答案为： 7．（22-23高一上·上海徐汇·期末）设，则函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据对数的性质即可列不等式求解. 【详解】的定义域需满足， 由于，所以， 故定义域为， 故答案为： 8．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知对数函数（且）的图象经过点，且该函数图象经过点，则实数的值是 . 【答案】9 【分析】根据点在图象上可求出，进而可求解. 【详解】因为对数函数（且）的图象经过点， 所以解得， 所以， 因为该函数图象经过点，所以解得， 故答案为:9. 9．（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）已知常数，，假设无论为何值，函数的图象恒经过一个定点，则这个定点的坐标是 ． 【答案】 【分析】利用对数函数性质可知，令即可求出的图象恒过的定点的坐标. 【详解】因为的图象必过，即，当，即时，， 从而图象必过定点. 故答案为：. B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 10．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知为实数，则“”是“”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义以及对数函数的性质判断. 【详解】由或， 所以由推得出，故充分性成立， 由推不出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 11．（23-24高一上·上海·期末）已知函数（，且为实数），下列说法正确的是（ ） A．函数的单调性只与有关，与无关 B．函数的单调性只与有关，与无关 C．函数的单调性与都有关 D．函数的单调性与都无关 【答案】D 【分析】通过对进行讨论，再用复合函数的求单调性的方法，可知该函数的单调性与是否有关. 【详解】函数， 当时，，单调递增. 当时，单调递增. 则且，，的单调性都为单调递增. 所以函数的单调性与无关. 故选：D 12．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】 根据题意，将问题转化为恒成立求参数，再结合二次函数性质即求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以在上恒成立， 则当时，满足题意； 当时，，解得. 综上所述，，即. 故答案为：. 13．（23-24高一上·上海·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据对数型函数真数大于0即可得到不等式，解出即可. 【详解】由题意得，即，解得或， 则其定义域为， 故答案为：. 14．（23-24高一·上海·假期作业）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】先确定的定义域，再由复合函数的单调性确定出的单调性，则的值域可求. 【详解】由题意得，即，所以的定义域为， 因为对称轴为，且开口向下，且在定义域内单调递增， 由复合函数的单调性可知：在上单调递增，在上单调递减， 当（或）时，，当时，， 所以， 故答案为：． 15．（23-24高一上·上海松江·期末）设为常数且，在上是严格增函数，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据指数函数单调性和对数函数单调性相关知识计算求解即可. 【详解】因为在上是严格增函数， 所以， 因为，所以在单调递减， 所以， 又因为，所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 16．（23-24高一上·上海·期末）已知，若，则 . 【答案】 【分析】利用对数的运算性质推得，从而得解. 【详解】因为， 所以， 则，则， 又，所以. 故答案为：. 17．（23-24高一上·上海·期末）在下面的坐标系中画出下列函数的图像： (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）（2）利用描点法结合函数的性质求解. 【详解】（1） 1 2 3 4 5 6 1 由于的定义域为，且为偶函数，所以作图如下， （2）先作出的图象，然后将轴下方图象沿着轴翻折即可得， 故作图如下 18．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数. (1)求方程的解； (2)若关于x的方程在上有实数解,求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程即可求解. （2）将问题转化为在上有实数解,求函数在上的值域即可. 【详解】（1）由题得即 故方程的解为. （2）由,得 易知在上是严格增函数, 且当时,当时, 故 C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 19．（23-24高一上·上海·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据每个选项中函数的单调性求出实数的取值范围，再由函数（且）的图象与轴的交点，求出的取值范围，观察的范围能否一致，由此可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，函数为增函数，则，可得， 对于函数，令，可得， 可得，解得，合乎题意； 对于B选项，函数为减函数，则，可得， 对于函数，令，可得， 可得，解得，不合乎题意； 对于C选项，函数为减函数，则，可得， 对于函数，令，可得， 可得，可得，不合乎题意； 对于D选项，函数为增函数，则，可得， 对于函数，令，可得， 可得，可得，不合乎题意. 故选：A. 20．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数（）的值域是，有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，.其中正确结论的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】首先由函数的性质，结合函数的值域，画出函数的图象，并结合端点的取值，结合函数的图象，以及最值，即可判断的取值. 【详解】设 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以在单调递增，在单调递减， 所以当时，取得最大值， 单调递增， 所以的图象如图所示， 令，得或， 当时，的值域为，所以，故①正确； 当时， ，， 的值域为，所以,故②正确； ③当时，，而， 所以，故③正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的图象，以及最值问题，本题的关键是结合最值，画出函数的图象，并根据最值，分析端点值的取值范围. 21．（23-24高一上·上海·期末）中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（    ）． A．20% B．23% C．28% D．50% 【答案】B 【分析】由已知公式，将信噪比看作整体，分别取求出相应的值，再利用对数运算性质与换底公式变形求解增加率即可. 【详解】由题意，将信噪比从1000提升至5000， 则最大信息传递速率从增加至， 所以. 故选：B. 22．（23-24高一上·上海徐汇·期末）用函数的观点解不等式，该不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由不等式可得，令函数再根据函数单调性即可求解. 【详解】由不等式，得， 令函数，定义域为， 因为，均为定义域内的增函数， 所以在定义域内单调递增，且， 对应不等式即为，从而得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 23．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数，其中.若关于x的方程恰有四个不同的实数根，则该方程所有实数根之和的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，画出图像如图所示，利用数形结合思想，结合二次函数的对称性，对数函数的运算和性质，对勾函数的单调性求解. 【详解】，画出图像如图所示. 方程等价于，方程有4个不同的实数根，即函数的图象与水平直线有4个不同的交点，故. 设四个交点的横坐标从左到右依次为，如图所示，可知，， 结合,得所以. 又因为，所以，所以，所以， 由于函数在上单调递减，所以， ， 所以题设方程所有实数根之和的取值范围是. 故答案为： 24．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数的定义域为. (1)若非空集合满足，求实数a的取值范围； (2)若，用定义证明：是定义域上的严格增函数. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 （1）由的解析式可求出其定义域，由可知，由此列出相应不等式，即可求得答案； （2）由题意确定的表达式，根据函数单调性的定义，即可证明结论. 【详解】（1）由题意知函数，令， 即的定义域为， 又非空集合满足，则, 故，解得， 即实数a的取值范围为； （2），定义域为， 任取，且设， 则， 由于，且，则，， 故，即， 故是定义域上的严格增函数. 25．（23-24高一上·上海·期末）解下列关于x的方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或； (2)答案见解析. 【分析】（1）由对数运算性质有，应用因式分解及对数函数性质求解即可； （2）由题设可得或，讨论、、，结合指对数函数性质求解. 【详解】（1）由题设且，又，即， 所以，可得或， 所以或. （2）由 所以或， 当，则无解，此时； 当，则或； 当，则无解，此时； 综上，时， 时或， 时. 26．（23-24高一上·上海·期末）已知函数. (1)求该函数的定义域，并证明其为奇函数； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)该函数的定义域为，奇函数 (2)单调递增，证明过程见解析 (3) 【分析】（1）根据对数的性质，结合函数奇偶性的定义进行求解即可； （2）根据对数的单调性，结合函数单调性的定义进行判断说明即可； （3）根据函数单调性的性质，结合任意性的定义进行求解即可. 【详解】（1）由，或， 因此该函数的定义域为，显然关于原点对称， 因为， 所以该函数是奇函数； （2）函数在上单调递增，理由如下： 设，则有， 因为，所以， 因为函数是正实数集上的减函数， 所以有， 因此函数在上单调递增； （3）， 由（2）可知函数当时单调递增， 而函数当时也单调递增， 所以函数当时也单调递增， 显然当时，函数有最小值， 最小值为， 因此要想对于任意，不等式恒成立， 只需，即实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：利用函数单调性的性质，结合任意性的定义是解题的关键. D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】 27．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知函数（是自然对数的底数）的最小值为0，关于有如下4个命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则；     ④若，则. 其中真命题的个数为（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先得到当时，，从而只需当时，的值域为的子集，即，考虑，由的单调递减得到，①正确，②错误；考虑，由对勾函数的性质，分与两种情况，结合单调性得到的取值范围. 【详解】因为的最小值为0， 当时，，即， 故当时，的值域为的子集，即， 当时，为上的减函数，又， 则，即，①正确，②错误； 当时，对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 对于③，当时，对勾函数在上单调递增， 则在上单调递减，结合①中所求可知：，故③正确； 对于④，时，对勾函数在上单调递减， 则在上单调递增，故， 故，④正确. 综上：真命题的个数为3. 故选：C 28．（21-22高一上·上海闵行·期末）已知关于的不等式的解集是，不等式的解集是，有下列两个结论：①存在，使；②对任意的，都有；则（    ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【答案】D 【分析】由已知得，根据，若，则，结合函数的图象，可判断① 由，转化为对任意的，有，求得，只需作差比较与的大小可判断②. 【详解】由已知得，所以不等式的解集是， 不等式的解集是，所以， 若，则，结合函数的图象，不可能是， 故①错误； 因为， 则对任意的，有，解得， 即， 现比较与的大小， ，因为， 所以，所以对任意的，都有，②对. 故选：D. 29．（23-24高一上·上海·期末）若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“H函数”． (1)试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由； (2)若函数是“H函数”，求实数a的取值范围； (3)若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，证明：对任意，都有． 【答案】(1)是“H函数”， 不是“H函数”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据“H函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可； （2）根据函数是“H函数”列出不等式，转化为求最值问题即可； （3）由题意令，得到，进而得到和即可得证. 【详解】（1）对于任意，，， 所以， 即成立， 故是“H函数”； 对于， 取，则，． 因为，故不是“H函数” （2）因为函数是“H函数”， 所以对于任意的，有恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 又，故，则， 则，即，即实数a的取值范围为 （3）由函数为“H函数”，可知对于任意正数， 都有，，且， 令，可知，即， 故对于自然数k与正数s， 都有， 对任意，可得，又， 所以， 同理， 故 【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$