福建省部分地市校2023-2024学年高三上学期第一次质量检测数学试题

2023-2024学年福建省部分地市校高三上学期第一次质量检测数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知向量，满足，，，则与的夹角为(    ) A. B. C. D. 3.已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为(    ) A. B. C. D. 4.杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长8公里.从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑.假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有(    ) A. 288种 B. 360种 C. 480种 D. 504种 5.设，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，且，，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.若函数，，的值域为，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.已知，，，则(    ) A. B. C. D. 8.已知定义在R上的奇函数满足，则对所有这样的函数，由下列条件一定能得到的是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.在一次数学考试中，某班成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是(    ) A. 图中所有小长方形的面积之和等于1 B. 中位数的估计值介于100和105之间 C. 该班成绩众数的估计值为 D. 该班成绩的极差一定等于40 10.已知等差数列中，，公差为，，记为数列的前n项和，则下列说法正确的是(    ) A. B. C. 若，则 D. 若，则 11.已知圆和圆，则(    ) A. 圆的半径为4 B. y轴为圆与的公切线 C. 圆与公共弦所在的直线方程为 D. 圆与上共有6个点到直线的距离为1 12.定义在R上的函数的导函数为，对于任意实数x，都有，且满足，则(    ) A. 函数为奇函数 B. 不等式的解集为 C. 若方程有两个根，，则 D. 在处的切线方程为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.的展开式中的系数为__________用数字作答 14.与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的体积为__________. 15.已知等比数列满足且，则的取值范围是__________. 16.斜率为1的直线与双曲线交于两点A，B，点C是曲线E上的一点，满足，和的重心分别为P，Q，的外心为R，记直线OP，OQ，OR的斜率为，，，若，则双曲线E的离心率为__________. 四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题12分 设的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 若，求c的最小值; 求的值. 18.本小题12分 如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，平面平面ADEF，，，，，BE与CF交于点 若N是BF中点，求证： 求直线MD和平面ABE所成角的正弦值. 19.本小题12分 已知数列和，其中的前n项和为，且， 分别求出数列和的通项公式; 记，求证： 20.本小题12分 设a，b为实数，且，函数 讨论的单调性; 设，函数，试问是否存在极小值点?若存在，求出的极小值点;若不存在，请说明理由. 21.本小题12分 为了了解高中学生课后自主学习数学时间分钟/每天和他们的数学成绩分的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据表                                  表1 编号 1 2 3 4 5 学习时间x 30 40 50 60 70 数学成绩y 65 78 85 99 108 请根据所给数据求出x，y的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩：参考数据：，，的方差为 基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周未在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表表依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关.                                        表2 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末不在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附：，，，其中 22.本小题12分 已知抛物线上一点M纵坐标为3，点M到焦点距离为 求抛物线C的方程; 过点作直线交C于A，B两点，过点A，B分别作C的切线与，与相交于点D，过点A作直线垂直于，过点B作直线垂直于，与相交于点E，、、、分别与x轴交于点P、Q、R、记、、、的面积分别为、、、若，求直线AB的方程. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查交集运算，属于基础题. 化简集合B，由交集运算定义即可求解. 【解答】 解：， 则， 故选 2.【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查平面向量的数量积，属于基础题． 由题意利用两个向量的数量积的定义，求得的值，可得的大小． 【解答】 解：因为 ， 所以  解得 ， 设 与 的夹角为 ， 所以 ， 又 ， 故  故选 3.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查几何体与球的切接问题，考查球的表面积，属于基础题. 确定正六棱柱的外接球球心为上下底面中心连线的中点，计算半径得到表面积. 【解答】 解：正六棱柱的所有棱长均为2，故正六棱柱的外接球球心为上下底面中心连线的中点，设外接球的半径为r， 故  ，表面积为  . 故选： 4.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查不相邻的排列问题，属于基础题. 求出所有的情况减去甲乙相邻的情况，即可. 【解答】 解：甲乙相邻：， 随意排列：， 故符合题意的传递方案为： 5.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查充分条件，必要条件的判断，是基础题. 由空间中的线线、面面的位置关系，结合充分必要条件的判断得答案. 【解答】 解：由，得出，又，则， 所以“”是“”的充分条件； 反之，若，，，则a与b可能异面，可能平行，也可能相交， 故“”不是“”的必要条件， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选 6.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查由正弦型函数的值域求参，属于基础题. 利用  可得  ，再由三角函数图像性质可得 ，解不等式即可求得  的取值范围. 【解答】 解：根据题意可知当时 ， ； 显然当  时，可得  ， 由  的值域为  ，利用三角函数图像性质可得  ， 解得  ，即  的取值范围是  . 故选 7.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查利用导数比较大小，正切函数的性质，属于中档题. 由的单调性可比较a，b的大小，构造函数， ，，，借助函数的单调性可分别比较b，c大小与a、c的大小，进而可得结果. 【解答】 解：因为，且在上单调递增， 所以 ，即； 令，， 所以， 当 时， ， 所以在 上单调递减， 所以， 所以 ，而， 所以，即； 令，， 则， 令，，则， 所以函数在上单调递增，所以， 所以函数在上单调递增， 所以，即，即，所以， 综上可得，， 故选 8.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查函数的奇偶性和对称性，属于中档题. 举反例得到ABD错误，根据函数的奇偶性和对称性计算  ，且  ，得到答案. 【解答】 解：对选项A：取  ，满足函数为奇函数， 且  ， ，错误； 对选项B：取  ，满足函数为奇函数， 且  ，  ，错误； 对选项C：若  ，  为奇函数，且  ， 取  得到  ； 取  得到  ； 故  ，正确. 对选项D：取  ，满足函数为奇函数， 且  ，  ，错误； 故选： 9.【答案】ABC  【解析】【分析】 本题考查频率分布直方图，中位数、众数和极差，属于基础题. 利用频率分布直方图及性质依次判断各选项. 【解答】 解：对A选项，由频率分布直方图可知，所有小长方形的面积之和为1，故A正确； 对B选项，因为， 所以中位数在100和105之间，故B选项正确； 对C选项，由图可知，众数在95和100之间，估计值为，故C正确； 对D选项，当且仅当该班成绩的最小值为90，最大值为130时，极差为40， 所给条件无法确定最大值与最小值，故D不正确， 综上可知，答案为 10.【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查错位相减法与分组求和法求和，考查等差、等比数列的通项与求和，涉及正切函数值的诱导公式的应用，属较综合的题. 利用等差数列通项公式求得，进而求得判断将看成公比为的等比数列，利用等比数列求和判断B；利用错位相减法求和判断C；利用邻项合并的分组求和法，结合平方差公式，即可判断 【解答】 解：已知等差数列中，，公差为， 故， 则，故A错误； 由A可知：当n为偶数时，， 当n为奇数时，， ，故B正确； ， 则设 ， 则， 两式作差可得 ， ，故C正确； 由，可得， ， 则 … … … ，故D正确. 11.【答案】BD  【解析】【分析】 本题考查由圆的标准方程确定圆心和半径，以及圆的公共弦和公切线，属于中档题. 确定圆心和半径，得到A错误，计算圆与与y轴相切，B正确，计算公共弦所在直线得到C错误，确定直线过点，得到D正确，得到答案. 【解答】 解：圆：，圆心，半径； 圆：，圆心，半径； 对选项A：圆半径为，故A错误； 对选项B：y轴到圆心的距离为，即y轴与圆相切； y轴到圆心的距离为，即y轴与圆相切，故B正确； 对选项C：圆心距，，故两圆相交， 圆与公共弦所在的直线方程为， 整理得到，故C错误； 对选项D：过直线，故圆上到直线距离为1的点有2个； 过直线，故圆上到直线距离为1的点有4个，故共有6个点满足条件，故D正确； 故选： 12.【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查了抽象函数的奇偶性，考查了利用函数的单调性解不等式，属于难题. 根据条件解得，即可逐项判断. 【解答】 解：，函数定义域为R， 由，有， 即，函数为奇函数，故选项A正确; 由，得，即， 故设，C为常数，即， 又，故， 即，故， 故不等式，即为， 即，故， 即不等式的解集为，故B错误； 方程，即2， 令2，画出，图象如图， 若方程有两个根，，不妨令x12，则x12， 由2关于对称，而在R上单调递增， 可得成立，故C正确； ，，， 故在处的切线方程为，故D错误. 故选 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二项式定理的应用，属于基础题. 利用二项展开式可知，写出所有含  的项即可求得其系数为  . 【解答】 解：因为， 展开式中含有  项的为  ， 所以展开式中  的系数为  ； 故答案为：  14.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了圆台的内切球的问题，球的体积公式，属于中档题. 画出图形分析出，利用BD得出，即可求解出球的体积. 【解答】  解：如图，在轴截面梯形ABDC中， 设， 设球的半径为r，M为球与圆台的一个切点，根据题意可得 由切线长定理可知， 又因为，即， 所以， 所以该球体的体积为. 故答案为： 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了数列和导数综合，属于中档题. 利用等比数列公式代入化简，构造新函数，求导得到导函数，考虑  和  两种情况，计算函数最值得到  ，代入数据解不等式得到答案. 【解答】 解：  ，  ， 设 ， 则  ，  ，  ，故 ， 当  时，  恒成立，函数单调递增，  ，当 q 趋近  时，  趋近 ，故  有解，满足条件； 当  时，  时，  ，函数单调递增；  时，  ，函数单调递减； 故只需  ，即  ， 整理得到  ，解得  ，故  . 综上所述：  . 故答案为：  16.【答案】  【解析】【分析】 本题考查双曲线离心率的求解，考查利用点差法解决中点弦问题，属较难题. 设出A、B、C三点，代入双曲线方程，两两作差，可得，由题意可知，，即可得，，结合已知，即可求解离心率. 【解答】 解：设，，， 则AB中点为，AC中点为，BC中点为， 因为P、Q分别为，的重心， 故，， 因为，的外心为R，故R为AB中点， 则 由A、B、C三点均在双曲线上， ①，②，③， ①-②可得，即， 同理由②-③可得，④ 由①-③可得，⑤ 因为斜率为1的直线与双曲线交于A、B两点，故，则， 因为，所以， 故④⑤两式相乘可得，即， 故，则， 则， 故答案为 17.【答案】解：因为，， 由余弦定理可得 ，当且仅当时取等号， 所以c的最小值为； 由题意， 所以   【解析】本题考查余弦定理，基本不等式求最值，两角和差的余弦公式，属于中档题. 根据余弦定理可得，再利用基本不等式即可求得c的最小值； 由题意，再由两角和差的余弦公式展开可得答案. 18.【答案】解：证明：由平面平面ADEF，平面平面， ，平面ABCD， 所以平面ADEF，平面ADEF， 故， 在中，知， ，AB，平面ABCD， 从而平面ABCD，平面ABCD， 故，又， ，AF，平面BAF， 知平面BAF，平面BAF， 故，， 故， 又N是BF中点，，故， ，BC，平面BCEF， 进而平面BCEF，平面BCEF， 故 以A为坐标原点，分别以AB、AD、AF所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则、、、、， 则，， 设平面ABE的法向量为， 由，取得， 设直线MD和平面ABE所成角为， 则 即直线MD和平面ABE所成角的正弦值为  【解析】本题考查线面垂直的判定定理与性质定理，面面垂直的性质，利用空间向量求解线面角. 由面面垂直的性质得平面ADEF，，由勾股定理逆定理得，从而平面ABCD，，再证明平面BAF，得，，即可证明平面BCEF，得 以A为坐标原点，分别以AB、AD、AF所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角即可. 19.【答案】解：当时，， 所以，，①， 时，，②， ①-②得， 即，即， 所以是以首项为2，公比为2的等比数列， 所以，Snn， 所以； ， 即③， ④， ④-③，得 ， 因为，故，所以  【解析】本题考查数列的通项公式，错位相减法求和，是中档题． 由已知求出，当时，，，两式相减可得，，由此能求出数列的通项公式，再得出的通项公式; 易得，利用错位相减法能证明 20.【答案】解：由题，， 当时，恒成立，则在区间上单调递增； 当时，且时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减；在区间上单调递增. 当时，，故， 令，，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 又，， 故，使得 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增； 故存在极小值点，且极小值点为  【解析】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，零点存在定理，属于中档题. 直接利用导数研究函数的单调性即可； 由题，，令，利用导数可判断在上单调递减，在单调递增，且，利用零点存在定理可得，使得，结合函数的单调性，即可判断存在极小值点. 21.【答案】解：， ，又xi的方差为， 所以， ， 故， 当时，， 故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为分. 零假设为学生周末在校自主学习与成绩进步无关. 根据数据，计算得到： ， 因为， 所以依据的独立性检验，我们推断不成立，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关.  【解析】本题考查线性回归方程的求法以及应用，独立性检验，属于中档题. 根据已知数据，得到，，得回归直线方程，令进行预测； 零假设为学生周末在校自主学习与成绩进步无关，根据数据，代入计算，与比较得结论. 22.【答案】解：设， 由题意可得，即，解得或舍， 所以抛物线C的方程为 设直线AB方程为：，，， 与抛物线方程联立，可得，即， 则， 由题意得直线方程为， 令，得，即 直线方程为， 令，得，即 则， 联立两直线方程，解得，即， 则D到直线的距离 直线的方程为， 令，得，即 直线的方程为， 令，得，即 则， 联立两直线方程，解得， 整理后可得，即， 则E到直线的距离 由上可得， ， ， ， 所以，得， 所以直线AB的方程为：  【解析】本题考查了抛物线的定义与方程，直线与抛物线的位置关系，考查了运算能力，属于难题. 设，由题可得，解方程求得p即可； 设直线AB方程为：，，，与抛物线方程联立，求得直线、、、的方程，得到各点坐标，再表示出、、、，根据列出等式求得m即可. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$