浙江省上杭金湖四校2023-2024学年高三下学期第三次联考数学试卷

【新结构】2023-2024学年浙江省上杭金湖四校第三次联考数学试卷❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若集合，则(    ) A. B. C. D. 2.设，是非零向量，“”是“”的(    ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是(    ) A. B. C. D. 4.已知，，则(    ) A. B. C. D. 5.对于变量Y和变量x的成对样本观测数据，用一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如下图所示，模型误差(    ) A. 满足一元线性回归模型的所有假设 B. 不满足一元线性回归模型的的假设 C. 不满足一元线性回归模型的假设 D. 不满足一元线性回归模型的和的假设 6.已知一个等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为，则下列等式中恒成立的是(    ) A. B. C. D. 7.已知函数的零点分别为，则的值是(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8.半径为3的圆O内有一点A，，点P在圆O上，当最大时，PA的长等于(    ) A. B. 3 C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知长方体，则有(    ) A. 若与、、所成的角分别为，则 B. 若与面AC、面、面三侧面所成的角分别为则 C. 若则 D. 若则 10.瑞士数学家欧拉是史上最伟大的数学家之一，他发现了被人们称为“世界上最完美的公式”——欧拉公式：其中i是虚数单位，e是自然对数的底数，它也满足实数范围内指数的运算性质，下列结论正确的是(    ) A. ， B. ， C. 若复数的虚部为，，则的实部为， D. 已知，，复数，在复平面内对应的点分别为，，则三角形面积的最大值为 11.已知椭圆的左项点为A，上、下顶点分别为C，D，动点，在椭圆上点P在第一象限，点Q在第四象限，O是坐标原点，若的面积为1，则(    ) A. 与的面积和为定值 B. 与的面积相等 C. 为定值 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有__________种用数字作答 13.若，则__________ 14.在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，满足，则的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知等差数列的公差为d，且，设为的前n项和，数列满足 若且求n； 若数列也是公差为d的等差数列，求数列的前n项和 16.本小题15分 如图，三棱台，，，平面平面ABC，，，，与相交于点D，，且平面 求三棱锥的体积； 平面与平面ABC所成角为，与平面所成角为，求的值. 17.本小题15分 现有4个除颜色外完全一样的小球和3个分别标有甲、乙、丙的盒子，将4个球全部随机放入三个盒子中允许有空盒 记盒子乙中的小球个数为随机变量 X ，求 X 的数学期望； 对于两个不互相独立的事件 M，N ，若，称为事件 M，N 的相关系数． ①若，求证：； ②若事件盒子乙不空，事件至少有两个盒子不空，求 18.本小题17分 已知椭圆C：的离心率为，是C上一点. 求C的方程. 设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过点作斜率不为0的直线l，l与C交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为，BQ的斜率为证明：①为定值；②点M在定直线上. 19.本小题17分 已知函数 Ⅰ判断的单调性； Ⅱ设函数，记表示不超过实数x的最大整数，若对任意的正数x恒成立，求的值． 参考数据：， 答案和解析 1.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查交集运算，属于基础题. 求出集合  后可求  . 【解答】 解：  ，故  ， 故选： 2.【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题． 根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案． 【解答】 解：由表示单位向量相等，则同向，但不能确定它们模是否相等， 即由不能推出， 由表示同向且模相等，则， 所以“”是“”的必要而不充分条件． 故选： 3.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题. 由的图象知，为增函数，结合增长趋势即可判断. 【解答】 解：由的图象知，为增函数， 且在区间上增长速度越来越快， 而在区间上增长速度越来越慢． 故选 4.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式，属于基础题. 先求出，然后求解 ，再结合二倍角公式即可求解。 【解答】 解：因为， 而，因此， 则， 所以  故选： 5.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查一元线性回归模型的有关概念，属于基础题. 根据一元线性回归模型  有关概念即可判断. 【解答】 解：用一元线性回归模型  得到经验回归模型  ，根据对应的残差图，残差点比较均匀地分布在x轴两侧，但残差点随着x的增大逐渐偏离x轴，所以模型误差满足一元线性回归模型的 的假设，但不满足  的假设， 故选： 6.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查等比数列前n项和的性质，属于中档题. 讨论与，根据等比数列的前n项和公式逐个判断即可. 【解答】解：当时，， 当时，， 对于A：当时，， 取的情况，此时， 即，可知时，，故A错误; 对于B：当时，，故B错误; 对于C：当时，，故C错误; 对于D：当时，，， 当时，， 则，故D正确. 故选 7.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查函数的零点问题，指数函数与对数函数互为反函数，属于中档题. 令，利用指数函数与对数函数互为反函数和函数的对称性求出，即可求的值. 【解答】 解：由题意，， ， 令， 因为与互为反函数，两个函数的图象关于直线对称， 且的图象也关于直线对称， 设，， 则A，B关于直线对称， 所以且 由可得， 所以 由可得， 所以， 又代入上式可得， 则 故选： 8.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查与圆有关的最值问题，属于中档题. 判断出点A在以点O为圆心，半径的圆周上运动，点P在半径的圆O上运动，利用动点P沿大圆圆周移至点，使与小圆相切时最大，即可求解. 【解答】 解：由知点A在以点O为圆心，半径的圆周上运动， 如图所示： 而点P在半径的圆O上运动，不妨假设A为定点，P为动点， 取其与小圆相切的特例考察：直观上， 由切线得直角有，作于点H，， 因为，，所以， 即是的最大角， 此时 ， 故当最大时，PA的长等于 故选： 9.【答案】ABC  【解析】【分析】 本题考查直线与直线所成角的向量求法，直线与平面所成角的向量求法，属于中档题. 建立如图所示的空间直角坐标系，设，，，，利用空间向量法求出夹角的正弦或余弦值，依次判断选项即可. 【解答】 解：如图所示，以A为原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标， 设，，，， 则，，，，， 则，，，，， 对于A，， 同理可得，， 则，故A正确； 对于B，面AC、面、面的一个法向量分别为，，， 则， 同理可得，，则，故B正确； 对于C，， ， ， 故，C正确； 由C选项分析可知，， 则，即； 同理，， 而显然，故D错误； 故选 10.【答案】AB  【解析】【分析】 本题主要考查复数的有关概念，运算性质，属于较难题. 根据欧拉公式，将复数写成三角形式，逐项判断即可. 【解答】 解：对于A，由欧拉公式， 可得，所以， ，A对; 对于B，，B对; 对于C，，， 所以  则， 而，故实部为， ， 由， ，故C错; 对于D，由，， 可得， 点，都在圆心在原点，半径为1的圆上，由三角形面积公式，为与的夹角，可知面积最大值为，故D错误； 故选 11.【答案】BCD  【解析】【分析】 本题重点考查椭圆中的定值问题、面积问题，涉及向量的应用，属于较难题. 利用向量结合三角形面积推出，再结合点的坐标满足的方程可得，然后逐项推理计算判断即得. 【解答】 解：依题意，，， 则的面积 ， 即有， 由，两式同时平方相加， 得， 即， 因此， 令，， 即， 则，由， 得， 而，从而，即，C正确； ， 由 ， 得，而点C不在直线AQ上，因此，D正确； 显然，，， 因此与的面积相等，B正确； 由选项C知，，而， ， 由于，函数的值不是定值，A错误. 故选： 12.【答案】64  【解析】【分析】 本题主要考查至少至多的组合问题，属于基础题． 【解答】 解：当从这8门课中选修2门课时，共有当从这8门课中选修3门课时，共有综上，共有64种． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查不等式的性质及其应用，属于中档题. 设，由，，，即可求解. 【解答】 解：设， 所以，，， 所以， 则，即， 所以 故答案为： 14.【答案】1  【解析】【分析】 本题考查利用正弦定理解三角形，属于中档题. 根据正弦定理与一元二次方程根的判别式可得，进而可得答案. 【解答】 解：已知， 则由正弦定理得：，为外接圆半径， ，， ， ，，即， ，，， ，，， 故答案为： 15.【答案】解：等差数列的公差为d， ，，为的前n项和， ， ， ， ， ，， 当时，或2或3或 等差数列的公差为d，，为的前n项和， 且，数列也是公差为d的等差数列， ，对成立， ， ， 数列的前n项和， 当n为偶数时， ， 当n为奇数时， ，   【解析】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，分组并项法求和，属于中档题. 利用等差数列的通项公式和前n项和公式，二次函数的性质，即可求解； 由题设得对成立， 则，，由分组并项法求数列的前n项和 16.【答案】解：由题意， 平面平面ABC，且平面平面，，平面ABC， 平面， 平面， ， 又，，BC，平面ABC， 平面 连接， 平面，平面，平面平面， ， ， ， 三棱锥底面三角形的面积为 ，高， 其体积为： 由题意及得， 以B为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 如图，，，，，， 则，， 设平面的法向量为， 由，取，则， 平面ABC的一个法向量为， 所以 又因为，， 所以， 又， 所以  【解析】本题考查棱锥的体积，考查直线与平面，平面与平面所成角的向量求法，属于较难题. 通过证明线线和线面垂直，并结合已知条件即可得出三棱锥的体积； 建立空间直角坐标系，表达出各点的坐标，求出角与的正余弦值，即可解出. 17.【答案】解：由题意可知， X 的可能的取值为0，1，2，3，4，且  ，故  ； ①证明：因为  ，且  ， 所以  ，即  ，而  ， 所以  成立. ②事件 M ：盒子乙不空，则事件  ：盒子乙空， 由可知  ，所以  ， 事件 N ：至少有两个盒子不空，则事件  ：有一个盒子不空，  ，所以  事件 MN ：至少有两个盒子不空且盒子乙不空，分为两种情况，一种是三个盒子都不空，按照1、1、2分组；另一种是两个盒子不空且乙不空，此时甲或者丙是空的，故按照1、3或者2、2分组即可， 故  ， 所以  ， 化简得  .   【解析】本题考查二项分布和条件概率的计算，属于较难题. 每个小球的选择都是一次独立重复试验，而每个小球选择盒子乙的概率为  ，所以可知随机变量 X 服从二项分布； ①由条件概率的公式很容易证明；②主要是根据题意，确定是平均分组还是非平均分组，进而根据排列组合的公式即可得到相关事件的概率；由于某些分组情况比较复杂，因此考虑其对立事件，会减少计算量. 18.【答案】解：由题意，椭圆的离心率为，是椭圆C上一点， 所以，解得， 所以椭圆的方程为； 证明：①因为直线l过点且斜率不为0，所以可设l的方程为，代入椭圆方程，得，方程的判别式，设，，则 ， 两式相除得 ，即 因为A，B分别为椭圆C的左、右顶点，所以点A的坐标为，点B的坐标为，所以， 从而； ②由①知，设，则，所以直线AP的方程为：，直线BQ的方程为，联立，可得，所以直线AP与直线BQ的交点M的坐标为，所以点M在定直线上.   【解析】本题考查椭圆的方程，椭圆中的定点、定值问题，直线与椭圆的位置关系及其应用，是较难题. 由条件列出关于的方程，解方程可得，由此可得椭圆C的方程； ①联立方程组，利用设而不求法结合两点斜率公式求即可证明； ②求出直线AP与直线BQ方程，联立求点M的坐标，由此证明点M在定直线上. 19.【答案】 解：Ⅰ函数，定义域是， 则， 在上单调递减； Ⅱ函数，定义域是，  则， 令，解得；令，解得， 在上单调递增，在上单调递减， ，，， ，使，即，  当时，；当或时，， ，则当时，； 当或时，， 和是方程的两个不等实数根， ，则，， 解得，， ，， ， 又由，， 又， ， 则原式其中， 由Ⅰ知在区间上单调递减， 且， ， ， 则   【解析】本题主要考查了利用导数求函数的单调性，不等式恒成立问题，综合考查学生的转化能力、计算能力，属于较难题. Ⅰ对函数求导，可得，进而即可得解； Ⅱ由已知对函数求导，可得的单调性，由零点存在定理可得，使，且，利用单调性解不等式可得1和是方程的两个不等实数根，再由根与系数的关系可得，，可得，再由Ⅰ及， 可得即可得解. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$