精品解析：江苏省泰州市北片区部分学校2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题

2024年春学期八年级数学第二次大作业 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列四个“中国结“的图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 若把分式中x，y的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的4倍 B. 扩大为原来的2倍 C. 不变 D. 缩小为原来的 3. 关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 4. 定义：一个四边形中，若有一个角的两边相等，且与它的对角互补，则称这个四边形为“半等边四边形”，则下列四边形一定是“半等边四边形”的是( ) A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 5. 对于分式 的值，下列说法一定正确的是（ ） A. 不可能为 B. 比大 C. 可能为 D. 比大 6. 若，，三点在同一函数图像上，则该函数图像可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 7. “367 人中有 2 人同月同日生”是______事件．（填“不可能”、“必然”或“随机”） 8. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 9. 计算的结果是______． 10. 若，则的值是_____． 11. 在中，若，则 ______． 12. 若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为_____． 13. 对于函数，当函数值时，x的取值范围是_____． 14. 如图，在菱形中，，垂足为E．若，则 _________． 15. 如图，在正方形中，E，F分别是上的一点，且，若，则正方形的边长为______________．  16. 如图，在矩形中，， ，P是边上一个动点，过点P作 ，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为________． 三、解答题：（本大题共有10题，共102分） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： 19. 先化简，再求值：其中 20. 某校八年级体育活动课开设了篮球、羽毛球、乒乓球、排球、足球共5项球类体育活动．为了解学生对这5项球类体育活动的喜爱情况（每人只选一项），学校从八年级全体学生中随机抽查部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成以下统计表和扇形统计图： 调查结果统计表 项目 篮球 羽毛球 乒乓球 排球 足球 人数 请你根据以上信息回答问题： （1）参加问卷调查的学生人数为 名；在统计表 ， ； （2）在扇形统计图中，“乒乓球”部分对应的圆心角的度数为 ； （3）若该校八年级学生人数为人，试估计该校八年级学生喜欢“羽毛球”的学生有多少名？ 21. 如图，在四边形中，相交于点O． （1）给出下列信息：①；② ；③ ．请从上面三个选项中选出两个作为条件，一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．你选择的条件是______，结论是_________．(填序号) （2）在（1）的条件下，已知 ，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，顶点E，F分别在边上(保留作图痕迹，不要求写作法)． 22. 已知：如图，在中，点为边的中点，连接，，过点作交的延长线于点．且． （1）求的度数； （2）若，，求的面积． 23. 某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个． （1）篮球、排球的进价分别为每个多少元? （2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球? 24. 在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为 ．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离（）（ ），记录容器中加入的水的质量，得到下表： 托盘与点的距离 30 25 20 15 10 容器与水的总质量 10 12 15 20 30 加入的水的质量 5 7 10 15 25 把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象． （1）请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象； （2）观察函数图象，并结合表中的数据： ①猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式； ②求关于的函数表达式； ③当 时，随的增大而___________（填“增大”或“减小”），随的增大而___________（填“增大”或“减小”），的图象可以由的图象向___________（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到． （3）若在容器中加入的水的质量（g）满足 ，求托盘与点的距离（cm）的取值范围． 25. 如何通过代数推理证明反比例函数图象的性质？代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．我们不妨来试试． 【理解】反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点． 证明：在函数图象上任取一点，则点A关于原点对称的点B为（ ， ），因为 ，所以点也在反比例函数的图象上．因为A是反比例函数图象上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图象上，所以反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点． 【拓展】反比例函数的图象关于直线对称，关于直线 对称．请运用代数推理进行证明； 【提升】试证明：对于反比例函数，当时，y随x的增大而减小． 26. 【探究发现】如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作， ， 等大小的角，可以采用下面的方法取一张矩形的纸进行折叠，如图1，具体操作过程如下： 操作一：先把矩形对折，折痕为； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，连接，观察所得到的 ， ，，这三个角有什么关系？你能证明吗？ 【类比应用】 小明将矩形纸片换成边长为 的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． 如图2，当点在上时， ， ； 改变点在上的位置（点不与点，重合），如图3，试判断 的度数是否为定值，并说明理由． 【拓展延伸】在（2）的探究中，当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年春学期八年级数学第二次大作业 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列四个“中国结“的图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形，轴对称图形的概念分别分析并判断即可，轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：第一个图形既是中心对称图形，又是轴对称图形,符合题意； 第二个图形是中心对称图形，但不是轴对称图形,不符合题意； 第三个图形既是中线对称图形，又是轴对称图形,符合题意； 第四个图形既是中线对称图形，又是轴对称图形,符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查轴对称图形，中心对称图形的概念与判定，能够根据定义熟练判断图形是否属于中心对称图形或轴对称图形是解决本题的关键． 2. 若把分式中x，y的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的4倍 B. 扩大为原来的2倍 C. 不变 D. 缩小为原来的 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质进行化简即可得出答案． 【详解】解：由于x，y的值都扩大为原来的2倍， ∴， ∴分式的值缩小为原来的， 故选：D． 3. 关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了含参数的分式方程的求解，将分式方程转化为一元一次方程是解题关键．只需在方程两边乘，化为整式方程，求出，再根据解是正数得到且，即可求解． 【详解】解：方程两边乘，得， 解得：， 方程的解是正数， 且， 解得：且， 故选：D． 4. 定义：一个四边形中，若有一个角的两边相等，且与它的对角互补，则称这个四边形为“半等边四边形”，则下列四边形一定是“半等边四边形”的是( ) A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质．根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、平行四边形的邻边不一定相等，故本选项不符合题意； B、矩形的邻边不一定相等，故本选项不符合题意； C、菱形的对角不一定互补，故本选项不符合题意； D、正方形的邻边相等，对角互补，故本选项符合题意； 故选：D 5. 对于分式 的值，下列说法一定正确的是（ ） A. 不可能为 B. 比大 C. 可能为 D. 比大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的性质，分式的值为零逐项判断即可，解题的关键是熟练掌握分式的性质． 【详解】、当，当时，分式的值为，原选项说法错误，不符合题意； 、，可能比小，原选项说法错误，不符合题意； 、当时，，此时分母为零，原选项说法错误，不符合题意； 、，比大，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 6. 若，，三点在同一函数图像上，则该函数图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案． 由点，的坐标特点，可知函数图象关于y轴对称，再根据，的特点和函数的性质，可知在对称轴左侧y随x的增大而增大，由此得出答案． 【详解】解： ，， ∴点C与点B关于y轴对称； 由于A、C的图象关于原点对称，因此选项A、C错误； ， 由，可知，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， 对于二次函数只有时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 选项不正确， 故选：B． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 7. “367 人中有 2 人同月同日生”是______事件．（填“不可能”、“必然”或“随机”） 【答案】必然 【解析】 【分析】根据一年365天，判断已知事件即可． 【详解】解：“367人中有2人同月同日生”这一事件是必然事件， 故答案为：必然． 【点睛】此题考查了随机事件，不可能事件，必然事件，用到的知识点为：可能发生，也可能不发生的事件叫做随机事件；在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件； 在相同条件下每次试验一定不发生的事件叫做不可能事件． 8. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，，且， 解得 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 9. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接用平方差公式展开，再算减法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是运用平方差公式计算． 10. 若，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是将所求分式拆分为已知分式与常数的和． 将拆分为，结合已知代入计算即可． 【详解】解：， 因为，所以原式． 故答案为：． 11. 在中，若，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可知，，结合，求出的度数，即可得到 的度数． 【详解】解：∵在中， ∴，， 又∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等，邻角互补是解答本题的关键． 12. 若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为_____． 【答案】1或 【解析】 【详解】解：去分母得：x-3a=2a（x-3）， 整理得：（1-2a）x=-3a， 当1-2a=0时，方程无解，故a=； 当1-2a≠0时，x==3时，分式方程无解， 则a=1， ∴关于x的分式方程=2a无解，则a的值为：1或． 故答案为：1或． 13. 对于函数，当函数值时，x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比函数的性质得反比例函数的图象在第一、三象限内，在每一象限内随着x的增大，函数值逐渐减小，当时， ，则当时，，即可得． 【详解】解：∵反比例函数中的， ∴ 反比例函数的图象在第一、三象限内，在每一象限内随着x的增大，函数值逐渐减小， ∵当时， ， ∴当时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象性质． 14. 如图，在菱形 中，，垂足为E．若，则 _________． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，连接，先证明是等边三角形，得出 ，根据等边三角形的性质得出平分，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵在菱形 中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ， ∵， ∴平分， ∴， 故答案为：30． 15. 如图，在正方形中，E，F分别是上的一点，且，若，则正方形的边长为______________．  【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查矩形及正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形及等腰三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线是解题关键． 作的角平分线交的延长线于点G，过点G作交延长线于点H，得出，设，则，根据各角之间的关系得出，由全等三角形的判定和性质得出，再由等角对等边确定，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：作的角平分线交的延长线于点G，过点G作交延长线于点H，如图所示， ∴四边形为矩形， ∴， 设，则， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在矩形 中，， ，P是边上一个动点，过点P作 ，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线的性质，矩形的性质，含 角的直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题关键．延长 ，使得，连接， ，求出，得点在定直线上，利用中位线得，则当最小时，有最小值，而当时，最小，计算即可． 【详解】解：延长 ，使得，连接， ，如图， ∵ ，， ∴ ， ∴平分 ， ∵ ， ∴， ∴， ∴点在定直线上， ∵ 是的中点， ∴， ∴当最小时，有最小值， 当时，最小， 此时， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共有10题，共102分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减和乘除运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）根据二次根式的乘除法法则计算即可． 【小问1详解】 解： 原式 【小问2详解】 原式 18. 解方程： 【答案】原方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是关键．方程两边都乘化为整式方程，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 两边同乘得：， 展开：， 化简：， 解得， 检验：时，，故是增根， 所以原方程无解． 19. 先化简，再求值：其中 【答案】， 【解析】 【分析】先去括号，再把除法统一为乘法把分式化简，再把数代入． 【详解】解：原式 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的混合运算，通分、分解因式、约分是关键． 20. 某校八年级体育活动课开设了篮球、羽毛球、乒乓球、排球、足球共5项球类体育活动．为了解学生对这5项球类体育活动的喜爱情况（每人只选一项），学校从八年级全体学生中随机抽查部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成以下统计表和扇形统计图： 调查结果统计表 项目 篮球 羽毛球 乒乓球 排球 足球 人数 请你根据以上信息回答问题： （1）参加问卷调查的学生人数为 名；在统计表 ， ； （2）在扇形统计图中，“乒乓球”部分对应的圆心角的度数为 ； （3）若该校八年级学生人数为人，试估计该校八年级学生喜欢“羽毛球”的学生有多少名？ 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图结合统计表，涉及用样本估计总体，从不同的统计图（表）中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）由足球人数及其所占百分比可得问卷调查的学生人数；用问卷调查的学生人数乘 可得的值；进而得出的值； （2）用乘“乒乓球”人数所占百分比可得； （3）利用样本估计总体即可，即用乘样本中喜欢“羽毛球”的学生所占百分比可得答案． 【小问1详解】 解：参加问卷调查的学生人数为：（名）， 故（名）， ， 故答案为：，，； 【小问2详解】 在扇形统计图中，“乒乓球”部分对应的圆心角的度数为， 故答案为：； 【小问3详解】 （名）， 答：估计该校八年级学生喜欢“羽毛球”的学生大约有名． 21. 如图，在四边形 中，相交于点O． （1）给出下列信息：①；② ；③ ．请从上面三个选项中选出两个作为条件，一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．你选择的条件是______，结论是_________．(填序号) （2）在（1）的条件下，已知 ，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，顶点E，F分别在边上(保留作图痕迹，不要求写作法)． 【答案】（1） ①②，③； 证明：∵， ∴，， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ； ②③，①； 证明：∵ ， ， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴，四边形 是平行四边形， ∴； 故答案为：①②，③（答案不唯一）； （2） 菱形如图所示： ． 【解析】 【分析】（1）条件①②，结论③；或条件②③，结论①；都是真命题，证明全等三角形，推出四边形 是平行四边形，即可证明结论成立； （2）作线段 的垂直平分线分别交边于点E，F，则四边形为所作的菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，作线段的垂直平分线．掌握平行四边形的判定是解题的关键． 22. 已知：如图，在中，点 为边 的中点，连接，，过点作交的延长线于点．且． （1）求的度数； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，直角三角形斜边中线定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质，平行线的性质，结合已知，等量代换，计算的度数即可． （2）过点作于点 ，根据平行四边形的性质可推出，再根据直角三角形斜边中线定理，得到，推出 平分，根据角平分线的性质并结合已知可得，最后根据平行四边形的面积计算公式计算即可． 【小问1详解】 解：在中， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 如图，过点作于点 ， 四边形 是平行四边形， ，， ， ，点 为边 的中点， ， ， ， 平分， 又，， ， 的面积为． 23. 某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个． （1）篮球、排球的进价分别为每个多少元? （2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球? 【答案】（1）每个篮球的进价为120元，每个排球的进价为80元． （2）100个 【解析】 【分析】（1）设每个排球的进价为x元，则每个篮球的进价为1.5x元，根据“用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个”得到方程；即可解得结果； （2）设健身器材店可以购进篮球a个，则购进排球（300﹣a）个，根据题意得不等式组即可得到结果． 【小问1详解】 设每个排球的进价为x元，则每个篮球的进价为1.5x元 根据题意得． 解得x＝80． 经检验x＝80是原分式方程的解． ∴1.5x＝120（元）． ∴篮球的进价为120元，排球的进价为80元 答：每个篮球的进价为120元，每个排球的进价为80元． 【小问2详解】 设该体育用品商店可以购进篮球a个，则购进排球（300﹣a）个， 根据题意，得120a+80（300﹣a）≤28000． 解得a≤100． 答：该健身器材店最多可以购进篮球100个． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，分式方程的应用，找准数量关系是解题的关键． 24. 在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为 ．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离（）（ ），记录容器中加入的水的质量，得到下表： 托盘与点的距离 30 25 20 15 10 容器与水的总质量 10 12 15 20 30 加入的水的质量 5 7 10 15 25 把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象． （1）请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象； （2）观察函数图象，并结合表中的数据： ①猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式； ②求关于的函数表达式； ③当 时，随的增大而___________（填“增大”或“减小”），随的增大而___________（填“增大”或“减小”），的图象可以由的图象向___________（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到． （3）若在容器中加入的水的质量（g）满足 ，求托盘与点的距离（cm）的取值范围． 【答案】（1） 函数图象如图所示， （2）①；② ；③减小，减小，下； （3）． 【解析】 【分析】（1）将平面直角坐标系中的点用平滑曲线连接即可； （2）①观察图象可知，函数可能是反比例函数，设 ，把 ， 的坐标代入，得 ，再检验其余各个点是否满足即可；②根据 可能与成反比例，设 ，即可得解；③跟图像结合解析式作答即可． （3）利用反比例函数的性质即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①观察图象可知，可能是反比例函数，设 ， 把 的坐标代入，得 ， 经检验，其余各个点坐标均满足， ∴关于的函数表达式； ②观察表格以及①可知， 可能与成反比例，设 ， 把 的坐标代入，得 ， 经检验，其余各个点坐标均满足， ∴关于的函数表达式 ； ③由图图像可知，当 时，随的增大而减小，随的增大而减小，的图象可以由的图象向下平移得到， 故答案为：减小，减小，下； 【小问3详解】 解：当 时， 解得， 当 时， 解得， ∴托盘与点的距离（）的取值范围． 【点睛】本题考查反比例函数的应用、描点法画图等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，属于基础题，中考常考题型． 25. 如何通过代数推理证明反比例函数图象的性质？代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．我们不妨来试试． 【理解】反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点． 证明：在函数图象上任取一点，则点A关于原点对称的点B为（ ， ），因为 ，所以点也在反比例函数的图象上．因为A是反比例函数图象上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图象上，所以反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点． 【拓展】反比例函数的图象关于直线对称，关于直线 对称．请运用代数推理进行证明； 【提升】试证明：对于反比例函数，当时，y随x的增大而减小． 【答案】【理解】， 【拓展】证明见解析 【提升】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，坐标系中关于原点对称、关于直线对称和关于直线 对称的点的特征，准确写出关于原点、直线和直线 的对称点是解决本题的关键． （1）根据题意补充完整即可； （2）利用在平面直角坐标系中，设点，则点关于原点的对称点为，点关于直线的对称点为，点关于直线 的对称点为，在反比例函数的图象上任取一点，得出对称点，即可求解； （3）设点，都是反比例函数的图象上的点，且，判断与大小即可． 【详解】解：【理解】在函数图象上任取一点， 则点A关于原点对称的点B为， 因为， 所以点也在反比例函数的图象上． 因为A是反比例函数图象上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图象上， 所以反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点； 故答案为：，； 【拓展】①在反比例函数的图象上任取一点， 则点关于直线对称的点为， ∵， ∴点也在反比例函数的图象上， ∵点是反比例函数上的任意一点，它关于直线对称的点都在反比例函数的图象上， ∴反比例函数的图象关于直线对称； ②在反比例函数的图象上任取一点， 则点关于直线 对称的点为， ∵， ∴点也在反比例函数的图象上， ∵点是反比例函数上的任意一点，它关于直线 对称的点都在反比例函数的图象上， ∴反比例函数的图象关于直线 对称； 【提升】设点，都是反比例函数的图象上的点，且， ∵， ∴， 即对于反比例函数，当时，随的增大而减小． 26. 【探究发现】如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作， ， 等大小的角，可以采用下面的方法取一张矩形的纸进行折叠，如图1，具体操作过程如下： 操作一：先把矩形 对折，折痕为 ； 操作二：在上选一点 ，沿折叠，使点落在矩形内部点处，连接，观察所得到的 ， ，，这三个角有什么关系？你能证明吗？ 【类比应用】 小明将矩形纸片换成边长为 的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片 按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． 如图2，当点在 上时， ， ； 改变点 在上的位置（点 不与点，重合），如图3，试判断 的度数是否为定值，并说明理由． 【拓展延伸】在（2）的探究中，当时，请直接写出的长． 【答案】探究发现: ，证明见解析；类比应用：①，；②为定值，理由见解析；拓展延伸：或 【解析】 【分析】探究发现： 设 与交于点 ，由折叠可得： 是的中点，，，，推出 是的中点，得到，推出，再根据平行线的性质得到，即可证明； 类比应用：①根据折叠的性质可证明，得到， ，再根据勾股定理即可求解；②同探究发现可得：，再根据折叠的性质可证明，得到，最后根据即可求解； 拓展延伸：由（2）可得，分两种情况：当点在点的下方时，当点在点的上方时，设，分别表示，，，由勾股定理即可求解． 【详解】探究发现: ，证明如下： 如图，设 与交于点 ， 由折叠可得： 是的中点，，，， 是的中点， ， ， ， ， ， ； 类比应用：① 四边形 是正方形， ，， 由折叠可得： ，， ， ，， ， ， ， 同探究发现可得：， ； ， ， ， 在中， ， 由勾股定理得：，即， 解得：， ， 在中，， 由勾股定理得：，即， ， ， 故答案为：，； ②， 的度数为定值，理由如下： 如图3，延长 、交于点， 同探究发现可得：， 由折叠可得： ，， ， ，， ， ， ， 的度数为定值； 拓展延伸：当点在点的下方时，如图， ，，， ，， 由（2）可知，，设，， ，即， 解得：， ； 当点在点的上方时，如图， ，，， ，，， 由（2）可知，， 设，， ，即 解得：， ， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $