21.6一元二次方程的应用大题专练（十大类型培优提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

21.6一元二次方程的应用大题专练（十大类型培优提分练） 题型一、传播问题 1．（2023·贵州黔东南·一模）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感。 (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染个人． (2)． 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解． （1）设第一个人传染了人，根据两轮传染后共有人患了流感；列出方程，即可求解； （2）根据题意，求出三轮之后患流感的人数． 【详解】（1） 解：设每轮传染中平均一个人传染个人， 由题意得：， 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， 答：每轮传染中平均一个人传染个人． （2） 则第三轮的患病人数为：． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求主干长出了多少个支干？ 【答案】主干长出了6个支干 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设主干长出x个支干，则长出个小分支，根据主干、支干和小分支总数是43列出关于x的一元二次方程求解即可． 【详解】解：设主干长出x个支干，则长出个小分支， 根据题意得：， 即， 解得： 或（不合题意舍去）． 答：主干长出了6个支干． 3．（23-24九年级上·广西防城港·期末）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 【答案】5个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设这种植物每个支干长出x个小分支，依题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设这种植物每个支干长出x个小分支，依题意得 ， 解这个方程得，（不合题意，舍去） 答：这种植物每个支干长出5个小分支． 4．（23-24九年级上·江西赣州·期中）有一种传染性疾病，蔓延速度极快，据统计，在人群密集的城市里，通常情况下，每天一人能传染给若干人，现有一个人患了这种疾病，经过两轮传染后共有个人患有这种疾病． (1)设这种疾病每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后共有_______个人患病；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有_______个人患病．（用含x的式子表示） (2)求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据这种疾病每轮传染中平均一个人传染了x个人即可求解； （2）根据题意可列方程求解． 【详解】（1）解：∵这种疾病每轮传染中平均一个人传染了x个人， ∴一个人可致使x个人患这种疾病， ∴第一轮后共有个人患病， 同理：第二轮后共有个人患病， 故答案为：，； （2）解：列方程， 解方程，得（不合题意，舍去）， 故的值为． 5．（23-24九年级上·广东清远·期末）某教育局组织教职工男子篮球比赛． (1)本次比赛采用单循环赛制（参赛的每两支队之间要比赛一场），共安排了28场比赛，问：有多少支队参加比赛? (2)在比赛场地边，东南西北四个角落分别划分一个大小一样的正方形观众席，已知观众席的总面积是400平方米，求每个正方形的边长． 【答案】(1)有8支队参加比赛 (2)每个正方形的边长为米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，算术平方根的意义； （1）设有支队参加比赛，根据采用单循环赛制，共安排了28场比赛列方程求解即可； （2）先求出每个正方形的面积，再根据算术平方根的意义求出每个正方形的边长． 【详解】（1）解：设有支队参加比赛， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 答：有8支队参加比赛； （2）每个正方形的面积是平方米， 则每个正方形的边长为米． 题型二、增长率问题 6．（2024·江苏徐州·三模）用手机抢红包是大家春节期间进行交流联系、增强感情的一部分．下面是宁宁和她的妹妹在春节期间的对话 请问： (1)2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是多少？ (2)2024年除夕，宁宁和她妹妹用手机各抢到了多少元的红包？ 【答案】(1)2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是 (2)宁宁和她妹妹2024年除夕用手机抢到红包分别为180元和396元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用．对于增长率问题，增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量． （1）设2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是x，由此可列出方程，求解即可． （2）设宁宁在2024年除夕用手机抢到的红包为y元，则她妹妹收到微信红包为元，根据她们共收到微信红包576元列出方程并解答． 【详解】（1）解：设2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是x， 依题意得：， 解得：，（舍去）． 答：2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是． （2）解：设宁宁在2024年除夕用手机抢到的红包为y元， 依题意得：， 解得：， 所以， 答：宁宁和她妹妹2024年除夕用手机抢到红包分别为180元和396元． 7．（23-24九年级下·陕西商洛·期中）2024龙年春晚主题为“龙行龘龘(dá)，欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注，据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈．某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣12月份销售量为150件，2月份销售量为216件，求该款上衣销售量的月平均增长率． 【答案】该款上衣销售量的月平均增长率为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该款上衣销售量的月平均增长率为x，利用该款上衣2月份的销售量=该款上衣12月份的销售量该款上衣销售量的月平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设该款上衣销售量的月平均增长率为根据题意，得 ， 解得舍去)， 答:该款上衣销售量的月平均增长率为， 8．（2024九年级·浙江·专题练习）随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． (1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率； (2)如果平均每人每月最多可投递快递万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 【答案】(1)该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为 (2)至少还需增加2名业务员 【分析】本题考查了一元二次方程的应用： （1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为，根据今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和万件即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据3月份完成投递的快递总件数结合完成投递的快递总件数即可算出今年4月份的快递投递总件数，再根据投递快递总件数每人投递件数人数即可算出该公司现有的21名快递投递业务员最多能够完成的任务量，二者比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为，由题意，得 ， 解得：，（舍去）． 答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为． （2）4月：（万件）， ， 该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务． ， 至少还需增加2名业务员． 9．（2024·辽宁锦州·二模）为了改善人民群众的居住环境，建设美丽城市，近年来国家投入大量资金改造老旧小区．某市2021年投入资金5000万元，2023年投入资金9800万元． (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； (2)已知2023年改造老旧小区98个，如果投入资金年平均增长率和改造每个小区的平均费用保持不变，那么2024年计划投入的资金可以改造老旧小区多少个？ 【答案】(1)年平均增长率为 (2)137个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设该地区用于改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，利用该市改造老旧小区年投入资金该市改造老旧小区年投入资金（该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）利用年计划投入的资金可以改造老旧小区的数量该市改造老旧小区年投入资金改造每个小区的平均费用，即可得出答案． 【详解】（1）解：设该地区用于改造老旧小区投入资金的年平均增长率为， 依题意，得． 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为． （2）解：根据题意得：（个） 答：2024年计划投入的资金可以改造老旧小区137个． 10．（23-24九年级下·山东烟台·期中）“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． (1)求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． (2)市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？ 【答案】(1)该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为 (2)销售单价应定位元 【分析】（1）设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x，利用该基地2022年年底“阳光玫瑰”的种植面积=该基地2020年年底“阳光玫瑰”的种植面积乘上（该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率）的平方，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，利用总利润=每千克的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为； （2）解：设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得： ∵“阳光玫瑰”的售价为20元，使消费者尽可能获得实惠 ∴销售单价应定位元． 题型三、销售问题 11．（2024·山西太原·模拟预测）《2024年政府工作报告》明确提出优化消费环境的目标，开展了“消费促进年”活动和实施“放心消费行动”等多项举措，旨在引导消费市场正向发展．某文具店为回馈顾客一直以来的信赖与支持，特地推出了商品促销活动．顾客每购买一本笔记本便赠送两支铅笔，若顾客一次性购买支钢笔（为正整数），则每支钢笔的价格在售价的基础上降低元．已知一本笔记本比一支铅笔贵元，钢笔的售价为元/支． (1)小华到此文具店购买了本笔记本，支铅笔，共消费元，求此文具店所售卖笔记本和铅笔的单价． (2)小明计划到此文具店买支铅笔和笔记本若干，但身上只带了元，问小明最多可以买多少本笔记本？ (3)已知此文具店所售卖钢笔的进价为元/支，当顾客一次性购买多少只钢笔时，文具店此次交易的利润达到最大值？ 【答案】(1)一本笔记本的单价为 10 元，一支铅笔的单价为 2 元 (2)小明最多可以买6本笔记本 (3)当顾客一次性购买6只钢笔时，文具店此次交易的利润达到最大值，最大利润为144元 【分析】本题主要考查一元一次方程，一元一次不等式，二次函数求最值的综合，理解题目中数量关系，掌握解一元一次方程，不等式，二次函数最值的计算方法是解题的关键． （1）根据题意，设一本笔记本x元，则一支铅笔元，由此列式计算即可求解； （2）设购买了y本笔记本，且y为正整数，则赠送了支铅笔，先判定y的取值范围，再根据数量关系列不等式求解即可； （3）根据题意，设顾客一次性购买n支钢笔时利润为w，结合二次函数图象计算最值的方法即可求解． 【详解】（1）解：已知每购买一本笔记本赠送两只铅笔，一本笔记本比一支铅笔贵元， ∴设一本笔记本元，则一支铅笔元， ∴购买本笔记本，则赠送了支铅笔，则还需要购买（支）铅笔， ∴共消费的费用为， 解得，， ∴， ∴一本笔记本的单价为元，一支铅笔的单价为元； （2）解：设购买了本笔记本，且为正整数，则赠送了支铅笔， 当时，所需费用为元， ∵， ∴小明购买笔记本不能超过本， ∴， 解得，， ∴的最大值为, ∴小明最多可以买本笔记本； （3）解：已知一次购买支钢笔（为正整数），则每支钢笔的价格在售价的基础上降低元，每支钢笔的售价为元/支， ∴设顾客一次性购买支钢笔时利润为， ∴， 解得，， ∴利润为：， ∴当时，的值最大，且最大值为元， ∵， ∴当时，， ∴当顾客一次性购买只钢笔时，文具店此次交易的利润达到最大值，最大值为元． 12．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】(1)，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元 (2)这天售出了64辆轮椅 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （2）令，得到关于的一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； ∵每辆轮椅的利润不低于180元， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，每天的利润最大，为元； 答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元； （2）当时，， 解得：（不合题意，舍去）； ∴（辆）； 答：这天售出了64辆轮椅． 13．（23-24九年级·浙江金华·期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若每件衬衫降价5元，则商场平均每天可售出衬衫______件，每天获得的利润为______元． (2)若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？ (3)商场每天要获得利润有可能达到1400元吗？若能，请求出此时每件衬衫的利润；若不能，请说明理由． 【答案】(1)30，1050 (2)每件衬衫应降价20元 (3)无法达到，理由见解析 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键． （1）根据题意得到每天的销售量，然后由销售量×每件盈利进行解答． （2）设每件衬衫应降价x元，利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可． （3）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以． 【详解】（1）根据题意可得：商场平均每天可售出衬衫（件），每天获得的利润为（元）． 故答案为：30，1050； （2）设每件衬衫应降价x元，根据题意，得 ， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件衬衫应降价20元； （3）设每件衬衫应降价x元 ， 化简得， ， ∴方程无实根， ∴1400元的利润无法达到 14．（2024·辽宁锦州·二模）某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元． (1)如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？ (2)设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)60元 (2)当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是5000元 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用以及一元二次方程的应用． （1）根据题意用每千克得利润乘以销售量等于总利润列出一元二次方程，求解即可． （2）根据题意列出w关于x的二次函数关系，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解∶由题意得∶， 解得或， ∵3 ∴ ∴如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为60元． （2）由题意得，， ∵， ∴w有最大值， ∵． ∴当时，（元）． ∴当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是5000元 15．（2024·福建福州·模拟预测）重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉2024年五一假期依依同学旅游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍， (1)求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元； (2)两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元．求m的值． 【答案】(1)桂花鱼的单价是14元，大罗非的单价是21元； (2)m的值为2 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设桂花鱼的单价是x元，则大罗非的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出桂花鱼的单价，再将其代入中，即可得出大罗非的单价； （2）利用数量=总价÷单价，可求出第一次购买大罗非的数量，再利用总价=单价×数量，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设桂花鱼的单价是x元，则大罗非的单价是元， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：桂花鱼的单价是14元，大罗非的单价是21元； （2）第一次购买大罗非的数量是（斤）． 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：m的值为2． 题型四、面积问题 16．（2024年湖北省中考数学试题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． (1)求与与的关系式． (2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． (3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 【答案】(1)； (2)能， (3)的最大值为800，此时 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用： （1）根据可求出与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式； （2）令，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可 ； （3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可． 【详解】（1）解：∵篱笆长， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵墙长42m， ∴， 解得，， ∴； 又矩形面积 ； （2）解：令，则， 整理得：， 此时，， 所以，一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴围成的矩形花圃面积能为； ∴ ∴ ∵， ∴； （3）解： ∵ ∴有最大值， 又， ∴当时，取得最大值，此时， 即当时，的最大值为800 17．（2024九年级·浙江·专题练习）禽流感病毒是一种传染速度比较快的传染性病毒，一般多发生在每年春、冬两季．如图，在出现禽流感前，某农场主拟建了两间矩形饲养室，饲养室的一面靠墙，墙长为米，中间用一道墙隔开，并在如图所示的二处各留米宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为米．设边长为米． (1)用含的代数式表示的长； (2)饲养室总占地面积可能为平方米吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)饲养室总占地面积能为平方米，此时的长为米 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练运用矩形的面积公式建立方程是解题的关键． （1）利用BC边长可建围墙的总长边长，可用含的代数式表示的长； （2）根据饲养室总占地面积为平方米，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合墙长为米，即可确定结论． 【详解】（1）解：∵可建围墙（不包括门）的总长为米，且边长为米， ∴边长为：； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：饲养室总占地面积能为平方米，此时的长为米． 18．（2024·江苏无锡·二模）为了加强劳动教育，我校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28米），用长为39米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门，便于同学们进入． (1)若围成的菜地面积为120平方米，求此时边的长； (2)若每平方米可收获2千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？ 【答案】(1)菜地的面积能达到时的长为． (2)该片菜地最多可收获千克的菜． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握方程的应用和二次函数最值的应用是解题的关键． (1) 设，则，依题意列方程计算即可． (2) 设菜地的面积为，依题意构造二次函数计算即可． 【详解】（1）设，则，依题意，得： ， 即， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，． 答：菜地的面积能达到时的长为． （2）设菜地的面积为，依题意，得： ， ∴当时，y有最大值为147． 即菜地的最大面积是． ∴（千克）， 答：该片菜地最多可收获千克的菜． 19．（2024·湖南长沙·模拟预测）某校九年级学生在数学社团课上进行纸盒设计，利用一个边长为的正方形硬纸板，在正方形纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒． (1)若无盖纸盒的底面积为，则剪掉的小正方形的边长为多少？ (2)折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由． 【答案】(1)剪掉的小正方形的边长为 (2)无盖纸盒的侧面积有最大值，剪掉的小正方形的边长为时，有最大值，最大值为 【分析】本题主要考查一元二次方程与几何图形面积，二次函数最值，掌握一元二次方程的解法，二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意和图示，设剪掉的小正方形的边长为，列式求解即可； （2）根据题意，设剪掉的小正方形的边长为，无盖纸盒的侧面积为，结合几何图形面积的计算方法，二次函数图象最值的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：设剪掉的小正方形的边长为， ∴无盖纸盒的底面的边长为， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴剪掉的小正方形的边长为； （2）解：设剪掉的小正方形的边长为，无盖纸盒的侧面积为， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴无盖纸盒的侧面积有最大值，剪掉的小正方形的边长为时，有最大值，最大值为． 20．（2024·湖北宜昌·模拟预测）科技创新活动一直在路上．现将某品牌平面展示屏设计与生产过程中收集的精准数据统计如下： 信息数据一：屏占比，指的是屏幕面积与整个外观面积的比，计算公式为：屏占比 信息数据二：某厂商设计了该款版平面展示屏（如图），正面外观呈矩形，长，宽，正中央是长宽之比为的矩形屏幕，若要使屏占比达到，且左右边框等宽，均为，上下边框等宽，均为，应如何设计屏四周边框的宽度？ 信息数据三：在上述版平面展示屏的升级版版中，外观保持不变，对屏的长宽进行调整，调整之后使得左右边框的宽度各减少了，上下边框的宽度各减少了，从而使屏占比进一步提升至． (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）根据屏占比的计算公式列出方程组和方程，求解即可． （2）根据长和宽的边框减小后，通过屏占比列出方程，求解即可． 【详解】（1）由题可得的矩形屏幕的长为，宽为， ∵正中央是长宽之比为的矩形屏幕， ∴①， ∵外观呈矩形，长，宽， ∴，即②， 联列①②可解得，． （2）由题可得屏幕外观呈矩形，长，宽，原左右边框宽均为，上下边框等宽，均为，矩形屏幕的长为，宽为， ∴减小边框后，屏幕长为，屏幕宽为， ∴屏占比为， 解得，（舍）， 故． 题型五、几何动态问题 21．（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，； (3)当时，四边形的面积等于． 【分析】本题考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用，再解答时要注意所求的解使实际问题有意义． （1）根据路程速度时间就可以表示出，．再用就可以求出的值； （2）在中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值； （3）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出的值． 【详解】（1）解：由题意，得，． 故答案为：，； （2）解：在中，由勾股定理，得， 解得：，； （3）解：由题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时，的面积等于． 四边形的面积． 答：当时，四边形的面积等于． 22．（2024九年级·全国·专题练习）如图，为矩形的四个顶点，，cm，动点、分别从点、同时出发，都以1的速度运动，其中点由运动到停止，点由点运动到点停止． (1)求四边形的面积； (2)、两点从出发开始到几秒时，、、组成的三角形是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)秒或秒或秒或秒 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的定义和性质、一元二次方程的应用、一元一次方程的应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）设运动时间为，则，，进而可得，然后根据梯形面积公式求解即可； （2）设、两点从出发开始到秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形，根据题意可得，易得，然后分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为，则，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴四边形的面积； （2）设、两点从出发开始到秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形， ∵， ∴， ①当时， 如图1，过作于， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，可有， ∴， 解得，； ②当时， 如图2，过作于， 由①可知四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得； ③当时， ∴， ∴， 在中，可有， ∴， ∴． 综上所述，当秒或秒或秒或秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形． 23．（23-24九年级·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线先由A向D运动，再由D向C运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)两平行线与之间的距离是__________． (2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t的值． (3)，以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求t的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】此题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）过点作于点，由勾股定理可得出答案； （2）分两种情况，由平行四边形的性质可得出答案； （3）分两种情况，列出的方程可得出答案． 【详解】（1）过点作于点， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）在中， ，， ， ， Ⅰ．当四边形为平行四边形时，， ， ， Ⅱ．当四边形为平行四边形时，， ， ， 综上所述当点、与 的某两个顶点围成一个平行四边形时，或； （3）Ⅰ．当在边上时，边上的高是， ， 解得， 舍去）， Ⅱ．当在边上时， ， 解得． 综上所述或时，平行四边形的面积为． 24．（23-24九年级·河南安阳·期中）如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿边以的速度向点D移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为． (1) ， （用含x的代数式表示）； (2)当P、Q两点间的距离是时，求x的值； (3)填空：①当 时，四边形是菱形； ②当 时，四边形是矩形． 【答案】(1)，x (2)1 (3)①2；② 【分析】（）根据题意即可求解； （）过点作于，过点作的延长线于，可得四边形和四边形是矩形，得，，，可得，利用勾股定理得，在中，由勾股定理得，解方程得或，又根据，得，即可求解； （）由菱形的性质得，即，解方程即可求解； 由矩形的性质得，即，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，，， ∴， 故答案为：，； （2）解：过点作于，过点作的延长线于，则， ∵，， ∴， ∴，， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴不合，舍去， ∴； （3）解：要使四边形是菱形，则， 即， ∴， 故答案为：； 要使四边形是矩形，则， 即， ∴ 故答案为：，． 【点睛】本题考查了一元一次方程的几何应用，矩形的判定和性质，平行线的性质，解一元二次方程，勾股定理，不等式组的应用，菱形的性质，掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 25．（23-24九年级·安徽合肥·期中）如图，点B在射线上，过点B作射线，点C在射线上，且，点P由点A开始沿射线运动，点Q由点C开始沿射线运动，两点同时出发，速度都是，与直线相交于点D，设点P的运动时间为，的面积为． (1)当点在射线上时，，求的值． (2)求出关于的函数关系式． (3)当点运动多少秒时，． 【答案】(1) (2) (3)4秒、6秒或12秒 【分析】本题考查了三角形面积公式和一元二次方程的应用，根据已知进行分类讨论是解题的关键； （1）由题在射线上时，秒，此时，，此时，然后根据三角形面积计算公式计算即可得解； （2）分、，两种情况，根据三角形的面积公式求出关于的函数关系式； （3）由即可列出等式，当秒时，则，当秒时，则，解答得到相应的值即可。 【详解】（1）解：，， 为直角三角形， ， 当点在射线上时，， 点P由点A开始沿射线运动，点Q由点C开始沿射线运动，两点同时出发，速度都是， ，， ， ， ， 整理得：， 解得：（舍去负值）， ； （2），点P、Q运动速度是， 当秒时，P在线段上，此时，， ， 当秒时，P在射线上，此时，， ． 关于的函数关系式为：； （3），， 为直角三角形， ， ， 当秒时，， 整理得：， 解得，． 当秒时，， 整理得：， 解得， (不合题意，舍去)， ∴经过4秒、6秒或12秒时，． 题型六、数字问题 26．（2024九年级·全国·专题练习）一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数． 【答案】257 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．正确理解数字与每个位上的数字的关系是关键．设该三位数的百位数字是，则十位数字是，个位数字是．所以根据“这个三位数比个位数字的平方的5倍大12”列出方程． 【详解】解：设该三位数的百位数字是为正整数），则十位数字是，个位数字是．则： ， 整理，得：， 所以． 所以或， 解得，或（舍去）， 则，， 则该三位数是257． 答：这个数是257． 27．（2023·山东枣庄·模拟预测）第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． (1)请把八进制数换算成十进制数； (2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值（为正整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题关键是根据题意找到进制转化的方法． （1）根据题意，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以，，，，再把所得的结果相加即可； （2）根据进制数和十进制数的计算方法得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1） ． 故答案为：； （2）依题意有：， 解得，负值舍去． 故的值是． 28．（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）两个相邻偶数的平方和的平均数为，则一定是偶数．如：，，为偶数． (1)偶数12和14是否满足上述结论，请说明理由； (2)设两个相邻偶数为和，请论证上述结论； (3)若．求符合要求的偶数． 【答案】(1)满足上述结论，理由见详解 (2)见详解 (3)，；， 【分析】本题考查了整数规律问题及一元二次方程的应用； （1）根据已知条件进行运算，即可求解； （2）计算的结果是否能被整除，即可求解； （3）根据规律可得方程，解方程，即可求解； 理解规律，并能根据规律得到一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：满足上述结论； 理由如下： ， ， 为偶数； （2）解： ， 为偶数； 故上述结论正确； （3）解：由题意得 ， 整理得：， 解得：，， ，， 或，， 故符合要求的偶数为，；，． 29．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）阅读材料：200多年前，数学王子高斯用他独特的方法快速计算出的值．我们从这个算法中受到启发，用下面方法计算数列1，2，3，…，，…的前项和： 由    可知． 应用以上材料解决下面问题： (1)有一个三角点阵（如图），从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第行有个点，．若该三角点阵前行的点数和为325，求的值． (2)在第一问的三角点阵图形中，前行的点数和能是900吗？如果能，求出；如果不能，说明理由． (3)如果把上图中的三角点阵中各行的点数依次换为3，6，9，…，，…，前行的点数和能是900吗？如果能，求出；如果不能，说明理由． 【答案】(1)25 (2)不能，理由见解析 (3)能， 【分析】（1）直接由所给公式列一元二次方程求解即可； （2）由所给公式列方程整理后求解，根据为正整数判断即可； （3）根据题意列方程，提公因数3后利用所给公式和一元二次方程的解法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 即， 解得，（负值舍去）， 的值为25； （2）解：不能，理由为： 由得， ， ， 为正整数，是无理数， 不存在值，使前行的点数和是900． 即在第一问的三角点阵图形中，前行的点数不能是900； （3）解：能，，理由为： 由得， 则， ， 解得，（负值舍去）， 当时，前行的点数和是900． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题中公式，正确列出方程并会解一元二次方程是解答的关键． 30．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）下图是某一个月的日历表，在表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．请用方程知识解答下列问题： (1)若在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为84，求最小数． (2)在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能为33吗？请说明理由． 【答案】(1)6 (2)不能，理由见解析 【分析】（1）设左上角的数为x，则右下角的数为，列出方程求解即可； （2）设左上角的数为x，则右下角的数为，列出方程解，结合图形进行分析即可． 【详解】（1）解：设左上角的数为x，则右下角的数为， ， 解得：（舍去）， ∴最小的数为6． （2）解：设左上角的数为x，则右下角的数为， ， 解得：（舍去）， 由图可知，当最小的数为3时，不能圈出4个数， ∴最小数与最大数的乘积不能为33． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出方程求解． 题型七、行程问题 31．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 32．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 【答案】(1) (2)它们运动了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据等量关系，正确的列一元二次方程是解题的关键． （1）将代入，计算求解即可； （2）由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：当时，， 答：甲运动后的路程是； （2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆， ∴，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）． 答：它们运动了秒． 33．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 【答案】(1)小凤的跑步速度为每分钟； (2)小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【分析】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分．根据小鸣的跑步时间小凤的跑步时间列分式方程求解即可； （2）设小凤从地到地用时分钟，根据前30分钟消耗的热量分钟后的热量列方程解答即可． 【详解】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， 原方程的解为， ∴小凤的跑步速度为每分钟， 答：小凤的跑步速度为每分钟； （2）由（1）知，小凤的跑步速度为每分， 则小凤从地到地所用时间为（分钟）． 设小凤从地到地用时分钟， 根据题意，得， 解得或（舍去）， 则（分钟）． 答：小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程与分式方程的应用，读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系是解题的关键． 34．（22-23九年级上·重庆开州·期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 【答案】(1)张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米 (2)的值为 【分析】（1）设李大伯徒步走的速度为每分钟米，则张大伯每分钟走米，根据两人共走了米列方程，解得的值代入中计算即可； （2）结合（1）中所求可得到李大伯提高速度后每分钟走米，由已知条件可得张大伯走了分钟，李大伯走了分钟，根据两人又共走了米列方程，解方程并根据实际意义确定值即可． 【详解】（1）解：设李大伯徒步走的速度为每分钟米，得 解得 ∴（米） 所以，张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米； （2）解：依题意，得 整理得 解得（舍）， 答：的值为． 【点睛】本题考查了列一元一次方程解决问题，列一元二次方程解决问题，正确找到数量关系是解决问题的关键． 35．（2024·湖北宜昌·二模）一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行速度 60 57 54 51 48 已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度y（单位：）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系．而滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度． (1)直接写出y关于t的函数解析式和自变量的取值范围； (2)求飞机滑行的最远距离； (3)当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，求此时飞机的滑行速度； (4)若飞机在跑道起点处开始滑行时，发现前方有一辆通勤车正以的速度匀速同向行驶，试问飞机滑行过程中是否有碰撞通勤车的危险？ 【答案】(1) (2)飞机滑行的最远距离为 (3)此时飞机的滑行速度是 (4)飞机滑行过程中没有碰撞通勤车的危险 【分析】本题考查待定系数法确定函数解析式，求函数值、求自变量值；理解函数与方程的联系是解题的关键． （1）设y关于t的函数解析式为，利用待定系数法求解，令，即可求出t的取值范围即可； （2）根据滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度，代入数值计算即可求解； （3）根据行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度，即，建立关于t的一元二次方程即可求解； （4）设飞机滑行的距离为，求出飞机滑行的距离与时间t的关系式，由飞机滑行的时间内，根据通勤车与飞机之间的距离，建立关于t的方程，在飞机滑行的时间内，看飞机能否追上通勤车即可得出结论． 【详解】（1）解：设y关于t的函数解析式为， 将代入，得：， 解得：， y关于t的函数解析式为， 当时，则， 解得， y关于t的函数解析式； （2）解：根据题意：飞机滑行的最远距离为， 答：飞机滑行的最远距离为； （3）解：，， ，即， 解得：或（舍去）， 答：此时飞机的滑行速度是； （4）解：设飞机滑行的距离为， 则飞机滑行的距离与时间t的关系式为：， 通勤车与飞机之间的距离为：， 令通勤车与飞机之间的距离0，则，即， ， 方程无解， 在飞机滑行的时间内，飞机不会撞上通勤车， 飞机滑行过程中没有碰撞通勤车的危险． 题型八、工程问题 36．（22-23九年级上·四川成都·期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份． (1)求、两点各有多少名医护人员？ (2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？ 【答案】(1)A检测队有6人，B检测队有7人 (2)从B检测队中抽调了2人到A检测队 【分析】（1）设A点有x名医护人员，B点有y名医护人员，根据“A、B两个采样点共13名医护人员，且当天共采样9220份”，即可得出关于x，y的且当天共采样9220份，即可得出关于x， y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设从B点抽调了m名医护人员到A点，则B点平均每人采样份,根据重新规划后当天共采样9360份，即可得出关于m的一元_二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设A检测队有人，B检测队有人， 依题意得：，分解得： 答：A检测队有6人，B检测队有7人； （2）解：设从B检测队中抽调了人到A检测队，则B检测队人均采样人， 依题意得：， 解得：，解得：，， 由于从B对抽调部分人到A检测队，则故， 答：从B检测队中抽调了2人到A检测队． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 37．（22-23九年级上·重庆渝中·期末）某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米 (2)18 【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：，解方程即可解得答案； （2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案． 【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，由题意得 ， 解得， 米， 所以A型设备每小时铺设的路面110米； （2）根据题意得：， 解得，（舍去）， 答：m的值是18． 【点睛】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 38．（2022·重庆·一模）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万． (1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米． (2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值． 【答案】(1)甲最多施工2500米 (2)a的值为6 【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米， 依题意，得：12（5000-x）≥×10x， 解得：x≤2500， 答：甲最多施工2500米． （2）依题意，得： ， 整理，得：， 解得：，， 当时，总成本为：（万元）， ∵， ∴不符合题意舍去； 当时，总成本为：（万元）， ∵， ∴符合题意； 答：a的值为6． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 39．（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 40．（22-23九年级·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【分析】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解； （2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． 题型九、图表信息问题 41．（2024九年级·上海·专题练习）某商场销售一种商品，商品销售数（个与销售单价（元个）之间的关系如图所示． (1)求关于的函数关系式和自变量的取值范围； (2)如果商品的销售额为1250元，那么这件商品的销售单价为多少元个？ 【答案】(1) (2)销售单价为25元个 【分析】本题考查了一次函数以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出关于的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）观察函数图象，根据图象中点的坐标，利用待定系数法即可求出关于的函数关系式，再观察函数图象找出自变量的取值范围； （2）利用销售总额销售单价销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设关于的函数关系式为． 将，代入得：， 解得：， 关于的函数关系式为． （2）依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：这种商品的销售单价为25元个． 42．（2024·山东泰安·一模）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量（件）与每件的售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价（元件） 销售量（件） (1)求出与之间的函数表达式；不需要求自变量的取值范围 (2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利元，该如何给这种衬衫定价？ 【答案】(1) (2)这种衬衫应定价为每件元或元 【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式； （2）利用总利润每件的销售利润销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 将，代入得，解得， 与之间的函数表达式为； （2）解：依题意得， 整理得，解得，， 答：这种衬衫应定价为每件元或元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 43．（2021九年级·全国·专题练习）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． 【答案】（1）用户应交水费10+40a﹣5a2元；（2）a的值为3． 【分析】（1）根据总费用＝10+超出费用列出代数式即可； （2）根据题意分别列出5a（7﹣a）+10＝70，5a（5﹣a）+10＝40，取满足两个方程的a的值即为本题答案． 【详解】解：（1）3月份应交水费10+5a（8﹣a）＝（10+40a﹣5a2）元； （2）由题意得：5a（7﹣a）+10＝70， 解得：a＝3或a＝4 5a（5﹣a）+10＝40 解得：a＝3或a＝2， 综上，规定用水量为3吨． 则规定用水量a的值为3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准． 44．（2020·山西临汾·模拟预测）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数的最大数； （3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120．直接判断他的说法是否正确．（不必叙述理由） 【答案】（1）见解析；（2）29；（3）他的说法不正确 【分析】（1）设中间的数为a，则另外4个数分别为（a−7），（a−1），（a＋1），（a＋7），利用（a−1）（a＋1）−（a−7）（a＋7）＝48可证出结论； （2）设这5个数中最大数为x，则最小数为（x−14），根据两数之积为435，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （3）设这5个数中最大数为y，则最小数为（y−14），根据两数之积为120，可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值，由该值在第一列可得出小明的说法不正确． 【详解】（1）证明：设中间的数为， ∴ ． （2）解：设这五个数中最大数为， 由题意，得， 解方程，得，（不合题意，舍去）． 答：这5个数中最大的数是29． （3）他的说法不正确． 解：设这5个数中最大数为y，则最小数为（y−14）， 依题意，得：y（y−14）＝120， 解得：y1＝20，y2＝−6（不合题意，舍去）． ∵20在第一列， ∴不符合题意， ∴小明的说法不正确． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及菱形的性质，以及规律型：数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 45．（2024·安徽合肥·模拟预测）【观察思考】 【规律发现】 （）第个图案中“”的个数为______； （）第（为正整数）个图案中“○”的个数为_____“”的个数为_____（用含的式子表示） 【规律应用】 （）结合上面图案中“○”和“”的排列方式及规律，求正整数，使得“○”比“”的个数多． 【答案】（）；（），；（）． 【分析】（）根据前几个图案的规律，即可求解； （）根据题意，结合图形规律，即可求解； （）根据题意，列出方程，解方程即可求解； 本题考查了图形类规律以及解一元二次方程，根据图形找出规律是解题的关键． 【详解】解：（）第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， ∴第个图案中“”的个数是个， 故答案为：； （）第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数是个， ∴第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中有个○， 第个图案中有个○， 第个图案中有个○， 第个图案中有个○， 第个图案中“○”的个数是， ∴第个图案中“○”的个数是， 故答案为：，； 由题意可得，， 整理得，， 解得：（舍去）或． 题型十、项目设计方案问题 46．（23-24九年级·浙江湖州·期中）某校八年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】如何设计无盖长方体纸盒？ 【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题． 素材1 利用一边长为的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒． 素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒． 问题解决 任务1 设剪去的小正方形边长为，请用含的代数式表示折成的无盖长方体纸盒的侧面积． 任务2 若用上述方式折成的无盖长方体纸盒侧面积为，试求出此时纸盒的体积． 任务3 探究按上述方式折成的无盖长方体纸盒侧面积能否到达？若能，请求出此时剪去的小正方形边长；若不能，请说明理由． 【答案】任务1：；任务2：或；任务3：不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用 任务1：根据长方形的长乘以宽，即可求解； 任务2：根据侧面积为，进而解方程，求得边长，根据长方体的体积公式进行计算即可求解； 任务3：根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：任务1： 任务2：由题意得 解得 当时， 当时， 任务3：不能，当时，可得 整理得 因为 所以不能达到． 47．（2024九年级·浙江·专题练习）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润销售利润承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ 【答案】（1）；（2）符合要求；（3）40元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 （1）由“道路宽度x不超过12米，且不小于5米”，可得出x的取值范围； （2）根据中间种植的面积是，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合（1）的结论，即可得出路面设置的宽度符合要求； （3）设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，再根据总利润销售利润承包费列出方程求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：； （2）根据题意得： ， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∵， ∴路面设置的宽度符合要求； （3）设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵要让利于顾客， ∴． 答：每平方米草莓平均利润下调40元． 48．（23-24九年级·浙江金华·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 【答案】任务一：平均增长率为；任务二：该零件的实际售价应定为50元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，利用该车间6月份生产数量=该车间4月份生产数量×（1+该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）设该零件的实际售价m元，则每个的销售利润为元，利用总利润=每个的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽可能让车企得到实惠，即可确定结论． 【详解】解：（1）设车间4月份到6月份生产数量的平均增长率x， 由题意得， 解得或（舍去）． 答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； （2）设该零件的实际售价m元， 由题意得， 整理得， 解得或． ∵要尽可能让车企得到实惠， ∴． 答：该零件的实际售价应定为50元． 49．（23-24九年级·浙江金华·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？ 素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件． 素材2 该商品的网上销售价定为60元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为80元/件，平均每天销售量是100件．按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，网上销售每天平均多售出20件，实体店的销售受网上影响，平均每天销售量减少2件． 问题解决 任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为50元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？ 任务2 平衡市场方案 该商品的网上销售价每件_________元时，该公司网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润相等 任务3 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润＋实体店毛利润）达到8160元，求每件商品的网上销售价是多少元？ 【答案】（1）任务1：网上销售：4000元；实体店销售：3200元；（2）任务2：60或46；（3）任务3：58或56元 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元二次方程的应用，根据题意列出总毛利润的代数式是解答本题的关键． 任务1：根据毛利润单件毛利润销售数量求解即可； 任务2：设网上销售单价下降x元/件时，该公司网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润相等，分别算出网上销售和实体店销售的利润，根据相等列式求解即可； 任务3：设网上销售单价下降y元/件，分别算出网上销售和实体店销售的利润再算总利润等于8160，进行求解即可． 【详解】解：任务1：网上毛利润为：（元）， 实体店毛利润为：（元）； 任务2：设网上销售单价下降x元/件时，该公司网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润相等， 根据题意得： ， 整理得：，解得：或， 当网上销售单价下降0元或14元时，即售价为60元/件时，或46元/件时，该公司网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润相等； 任务3：设网上销售单价下降y元/件， 则网上毛利润为：， 实体店毛利润为：； 总毛利润为：， 根据题意， 解得：，， 或56， 则每件商品的网上销售价是58或56元． 50．（23-24九年级·浙江温州·期中）根据背景材料，探索问题． 清明果销售价格的探究 素材1 清明节来临之际，某超市以每袋30元的价格购进了500袋真空包装的清明果，第一周以每袋50元的价格销售了150袋． 素材2 第二周如果价格不变，预计仍可售出150袋，该超市经理为了增加销售，决定降价，据调查发现：每袋清明果每降价1元，超市平均可多售出10袋，但最低每袋要盈利15元，第二周结束后，该超市将对剩余的清明果一次性赔钱甩卖，此时价格为每袋25元． 解决问题 任务1 若设第二周单价为每袋降低x元，则第二周的单价每袋 元，销量是 袋． 任务2 ①经两周后还剩余清明果 袋．(用的代数式表示) ②若该超市想通过销售这批清明果获利元，那么第二周的单价每袋应是多少元？ 【答案】任务1：；；任务2：①；②第二周的单价每袋应是元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用； 任务1：依据题意，由每袋清明果每降价元，超市平均可多售出袋，又设第二周单价为每袋降低元，进而计算可以得解； 任务2：①依据题意，经两周后还剩余清明果为：，进而得解； ②依据题意，由第二周单价为每袋降低元，从而可得方程，解得值后再结合第二周最低每袋要盈利元，进而可以判断得解． 【详解】解：任务1：∵每袋清明果每降价元，超市平均可多售出袋， 又设第二周单价为每袋降低元， 第二周的单价为元，销量是袋． 故答案为：；． 任务：①由题意，经两周后还剩余清明果为： ． 故答案为：． ②由题意得，第二周单价为每袋降低元， ． 或． 又第二周最低每袋要盈利元， ． ． ． 第二周的单价每袋应是． 答：第二周的单价每袋应是元． ( 56 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.6一元二次方程的应用大题专练（十大类型培优提分练） 题型一、传播问题 1．（2023·贵州黔东南·一模）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感。 (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？ 2．（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求主干长出了多少个支干？ 3．（23-24九年级上·广西防城港·期末）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 4．（23-24九年级上·江西赣州·期中）有一种传染性疾病，蔓延速度极快，据统计，在人群密集的城市里，通常情况下，每天一人能传染给若干人，现有一个人患了这种疾病，经过两轮传染后共有个人患有这种疾病． (1)设这种疾病每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后共有_______个人患病；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有_______个人患病．（用含x的式子表示） (2)求x的值． 5．（23-24九年级上·广东清远·期末）某教育局组织教职工男子篮球比赛． (1)本次比赛采用单循环赛制（参赛的每两支队之间要比赛一场），共安排了28场比赛，问：有多少支队参加比赛? (2)在比赛场地边，东南西北四个角落分别划分一个大小一样的正方形观众席，已知观众席的总面积是400平方米，求每个正方形的边长． 题型二、增长率问题 6．（2024·江苏徐州·三模）用手机抢红包是大家春节期间进行交流联系、增强感情的一部分．下面是宁宁和她的妹妹在春节期间的对话 请问： (1)2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是多少？ (2)2024年除夕，宁宁和她妹妹用手机各抢到了多少元的红包？ 7．（23-24九年级下·陕西商洛·期中）2024龙年春晚主题为“龙行龘龘(dá)，欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注，据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈．某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣12月份销售量为150件，2月份销售量为216件，求该款上衣销售量的月平均增长率． 8．（2024九年级·浙江·专题练习）随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． (1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率； (2)如果平均每人每月最多可投递快递万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 9．（2024·辽宁锦州·二模）为了改善人民群众的居住环境，建设美丽城市，近年来国家投入大量资金改造老旧小区．某市2021年投入资金5000万元，2023年投入资金9800万元． (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； (2)已知2023年改造老旧小区98个，如果投入资金年平均增长率和改造每个小区的平均费用保持不变，那么2024年计划投入的资金可以改造老旧小区多少个？ 10．（23-24九年级下·山东烟台·期中）“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． (1)求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． (2)市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？ 题型三、销售问题 11．（2024·山西太原·模拟预测）《2024年政府工作报告》明确提出优化消费环境的目标，开展了“消费促进年”活动和实施“放心消费行动”等多项举措，旨在引导消费市场正向发展．某文具店为回馈顾客一直以来的信赖与支持，特地推出了商品促销活动．顾客每购买一本笔记本便赠送两支铅笔，若顾客一次性购买支钢笔（为正整数），则每支钢笔的价格在售价的基础上降低元．已知一本笔记本比一支铅笔贵元，钢笔的售价为元/支． (1)小华到此文具店购买了本笔记本，支铅笔，共消费元，求此文具店所售卖笔记本和铅笔的单价． (2)小明计划到此文具店买支铅笔和笔记本若干，但身上只带了元，问小明最多可以买多少本笔记本？ (3)已知此文具店所售卖钢笔的进价为元/支，当顾客一次性购买多少只钢笔时，文具店此次交易的利润达到最大值？ 12．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 13．（23-24九年级·浙江金华·期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若每件衬衫降价5元，则商场平均每天可售出衬衫______件，每天获得的利润为______元． (2)若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？ (3)商场每天要获得利润有可能达到1400元吗？若能，请求出此时每件衬衫的利润；若不能，请说明理由． 14．（2024·辽宁锦州·二模）某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元． (1)如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？ (2)设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 15．（2024·福建福州·模拟预测）重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉2024年五一假期依依同学旅游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍， (1)求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元； (2)两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元．求m的值． 题型四、面积问题 16．（2024年湖北省中考数学试题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． (1)求与与的关系式． (2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． (3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 17．（2024九年级·浙江·专题练习）禽流感病毒是一种传染速度比较快的传染性病毒，一般多发生在每年春、冬两季．如图，在出现禽流感前，某农场主拟建了两间矩形饲养室，饲养室的一面靠墙，墙长为米，中间用一道墙隔开，并在如图所示的二处各留米宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为米．设边长为米． (1)用含的代数式表示的长； (2)饲养室总占地面积可能为平方米吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 18．（2024·江苏无锡·二模）为了加强劳动教育，我校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28米），用长为39米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门，便于同学们进入． (1)若围成的菜地面积为120平方米，求此时边的长； (2)若每平方米可收获2千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？ 19．（2024·湖南长沙·模拟预测）某校九年级学生在数学社团课上进行纸盒设计，利用一个边长为的正方形硬纸板，在正方形纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒． (1)若无盖纸盒的底面积为，则剪掉的小正方形的边长为多少？ (2)折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由． 20．（2024·湖北宜昌·模拟预测）科技创新活动一直在路上．现将某品牌平面展示屏设计与生产过程中收集的精准数据统计如下： 信息数据一：屏占比，指的是屏幕面积与整个外观面积的比，计算公式为：屏占比 信息数据二：某厂商设计了该款版平面展示屏（如图），正面外观呈矩形，长，宽，正中央是长宽之比为的矩形屏幕，若要使屏占比达到，且左右边框等宽，均为，上下边框等宽，均为，应如何设计屏四周边框的宽度？ 信息数据三：在上述版平面展示屏的升级版版中，外观保持不变，对屏的长宽进行调整，调整之后使得左右边框的宽度各减少了，上下边框的宽度各减少了，从而使屏占比进一步提升至． (1)求，的值； (2)求的值． 题型五、几何动态问题 21．（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 22．（2024九年级·全国·专题练习）如图，为矩形的四个顶点，，cm，动点、分别从点、同时出发，都以1的速度运动，其中点由运动到停止，点由点运动到点停止． (1)求四边形的面积； (2)、两点从出发开始到几秒时，、、组成的三角形是等腰三角形？ 23．（23-24九年级·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线先由A向D运动，再由D向C运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)两平行线与之间的距离是__________． (2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t的值． (3)，以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求t的值． 24．（23-24九年级·河南安阳·期中）如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿边以的速度向点D移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为． (1) ， （用含x的代数式表示）； (2)当P、Q两点间的距离是时，求x的值； (3)填空：①当 时，四边形是菱形； ②当 时，四边形是矩形． 25．（23-24九年级·安徽合肥·期中）如图，点B在射线上，过点B作射线，点C在射线上，且，点P由点A开始沿射线运动，点Q由点C开始沿射线运动，两点同时出发，速度都是，与直线相交于点D，设点P的运动时间为，的面积为． (1)当点在射线上时，，求的值． (2)求出关于的函数关系式． (3)当点运动多少秒时，． 题型六、数字问题 26．（2024九年级·全国·专题练习）一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数． 27．（2023·山东枣庄·模拟预测）第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． (1)请把八进制数换算成十进制数； (2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值（为正整数）． 28．（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）两个相邻偶数的平方和的平均数为，则一定是偶数．如：，，为偶数． (1)偶数12和14是否满足上述结论，请说明理由； (2)设两个相邻偶数为和，请论证上述结论； (3)若．求符合要求的偶数． 29．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）阅读材料：200多年前，数学王子高斯用他独特的方法快速计算出的值．我们从这个算法中受到启发，用下面方法计算数列1，2，3，…，，…的前项和： 由    可知． 应用以上材料解决下面问题： (1)有一个三角点阵（如图），从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第行有个点，．若该三角点阵前行的点数和为325，求的值． (2)在第一问的三角点阵图形中，前行的点数和能是900吗？如果能，求出；如果不能，说明理由． (3)如果把上图中的三角点阵中各行的点数依次换为3，6，9，…，，…，前行的点数和能是900吗？如果能，求出；如果不能，说明理由． 30．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）下图是某一个月的日历表，在表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．请用方程知识解答下列问题： (1)若在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为84，求最小数． (2)在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能为33吗？请说明理由． 题型七、行程问题 31．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 32．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 33．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 34．（22-23九年级上·重庆开州·期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 35．（2024·湖北宜昌·二模）一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行速度 60 57 54 51 48 已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度y（单位：）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系．而滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度． (1)直接写出y关于t的函数解析式和自变量的取值范围； (2)求飞机滑行的最远距离； (3)当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，求此时飞机的滑行速度； (4)若飞机在跑道起点处开始滑行时，发现前方有一辆通勤车正以的速度匀速同向行驶，试问飞机滑行过程中是否有碰撞通勤车的危险？ 题型八、工程问题 36．（22-23九年级上·四川成都·期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份． (1)求、两点各有多少名医护人员？ (2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？ 37．（22-23九年级上·重庆渝中·期末）某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 38．（2022·重庆·一模）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万． (1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米． (2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值． 39．（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 40．（22-23九年级·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 题型九、图表信息问题 41．（2024九年级·上海·专题练习）某商场销售一种商品，商品销售数（个与销售单价（元个）之间的关系如图所示． (1)求关于的函数关系式和自变量的取值范围； (2)如果商品的销售额为1250元，那么这件商品的销售单价为多少元个？ 42．（2024·山东泰安·一模）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量（件）与每件的售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价（元件） 销售量（件） (1)求出与之间的函数表达式；不需要求自变量的取值范围 (2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利元，该如何给这种衬衫定价？ 43．（2021九年级·全国·专题练习）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． 44．（2020·山西临汾·模拟预测）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数的最大数； （3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120．直接判断他的说法是否正确．（不必叙述理由） 45．（2024·安徽合肥·模拟预测）【观察思考】 【规律发现】 （）第个图案中“”的个数为______； （）第（为正整数）个图案中“○”的个数为_____“”的个数为_____（用含的式子表示） 【规律应用】 （）结合上面图案中“○”和“”的排列方式及规律，求正整数，使得“○”比“”的个数多． 题型十、项目设计方案问题 46．（23-24九年级·浙江湖州·期中）某校八年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】如何设计无盖长方体纸盒？ 【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题． 素材1 利用一边长为的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒． 素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒． 问题解决 任务1 设剪去的小正方形边长为，请用含的代数式表示折成的无盖长方体纸盒的侧面积． 任务2 若用上述方式折成的无盖长方体纸盒侧面积为，试求出此时纸盒的体积． 任务3 探究按上述方式折成的无盖长方体纸盒侧面积能否到达？若能，请求出此时剪去的小正方形边长；若不能，请说明理由． 47．（2024九年级·浙江·专题练习）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润销售利润承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ 48．（23-24九年级·浙江金华·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 49．（23-24九年级·浙江金华·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？ 素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件． 素材2 该商品的网上销售价定为60元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为80元/件，平均每天销售量是100件．按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，网上销售每天平均多售出20件，实体店的销售受网上影响，平均每天销售量减少2件． 问题解决 任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为50元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？ 任务2 平衡市场方案 该商品的网上销售价每件_________元时，该公司网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润相等 任务3 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润＋实体店毛利润）达到8160元，求每件商品的网上销售价是多少元？ 50．（23-24九年级·浙江温州·期中）根据背景材料，探索问题． 清明果销售价格的探究 素材1 清明节来临之际，某超市以每袋30元的价格购进了500袋真空包装的清明果，第一周以每袋50元的价格销售了150袋． 素材2 第二周如果价格不变，预计仍可售出150袋，该超市经理为了增加销售，决定降价，据调查发现：每袋清明果每降价1元，超市平均可多售出10袋，但最低每袋要盈利15元，第二周结束后，该超市将对剩余的清明果一次性赔钱甩卖，此时价格为每袋25元． 解决问题 任务1 若设第二周单价为每袋降低x元，则第二周的单价每袋 元，销量是 袋． 任务2 ①经两周后还剩余清明果 袋．(用的代数式表示) ②若该超市想通过销售这批清明果获利元，那么第二周的单价每袋应是多少元？ ( 17 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$