21.5判别式及根与系数的关系大题专练（六大类型培优提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

21.5判别式及根与系数的关系大题专练 （六大类型培优提分练） 类型一、根据判别式的符号判断根的情况 1．（23-24九年级·安徽合肥·期中）已知：关于x的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求k的值； (2)求证：方程有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）把代入一元二次方程得到关于的一次方程，然后解一次方程即可； （2）先计算根的判别式的值得到，则可判断，然后根据根的判别式的意义得到结论． 【详解】（1）解：把代入得， 解得； （2）证明： ， 方程有两个不相等的实数根． 2．（2024·北京·三模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查根的判别式，因式分解法解方程： （1）求出判别式的符号，判断即可； （2）因式分解法解方程，再根据其中一个根是另一个根的3倍，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； （2）∵， ∴， ∴或， ∴， ∵方程的根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍， ∴或， 解得或（舍去）， ∴a的值为4． 3．（23-24九年级·江苏苏州·期中）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值时，方程总有实数根； (2)如果方程有两个实数根，当时，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．也考查了根的判别式． （1）先计算根的判别式的值得到，则，于是根据根的判别式的意义得到结论； （2）先利用根与系数的关系得，，再利用得到，然后解一次方程即可． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴无论m取何值时，方程总有实数根； （2）解：根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， 解得， 即m的值为． 4．（23-24九年级·山东淄博·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根为，且，求m的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据根的判别式得出，据此可得答案； （2）根据根与系数的关系得出，，代入得出关于的方程，解之可得答案． 本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，． 【详解】（1）证明： ， ∵ 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系，得，， 由，得， 解得． 5．（23-24九年级·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)当时，解这个方程； (2)试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由； (3)，是这个方程的两个实数根，若n、t为正整数，且，求n的值. 【答案】(1)， (2)方程有两个实数解．理由见详解 (3)的值为1或2 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）先计算根的判别式的值得到△，利用根的判别式的意义即可解答； （3）先利用公式法解方程得或，由于，所以或，当，则，利用整除性得当时，；当时，；当时，． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． 【详解】（1）解：当时，原方程化为， ， 或， ∴，； （2）解：方程有两个实数解． 理由如下： ， 当时，，方程有两个相等的实数解； 当时，，方程有两个不相等的实数解； 综上所述，方程有两个实数解； （3）依题意，解方程得或， ， 或， 当时，， 、为正整数， 当时，；当时，； 当时，， 综上所述，的值为1或2． 6．（23-24九年级·浙江杭州·期中）关于的方程． (1)已知，异号，试说明此方程根的情况； (2)若该方程的根是，，试求方程的根． 【答案】(1)理由见解析 (2)或 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程—因式分解法， （1）根据判别式公式得出，结合，异号，得到的正负情况，即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，把和用表示出来，代入方程，整理后，解之即可； 解题的关键：（1）正确掌握根的判别式公式，（2）正确掌握根与系数的关系，解一元二次方程的方法． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵，异号，，， ∴， ∴此方程有两个不等实数根； （2）∵关于的方程的根是，， ∴，， ∴，， ∵方程， ∴，即， ∴， ∴或， 解得：或， ∴方程的根为或． 类型二、已知根的情况求参数值或范围 7．（2023·湖北孝感·一模）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根， (1)求的取值范围： (2)若，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根，熟练掌握根的判别式是解题关键． （1）因为方程有两个实数根，得到，由此可求k的取值范围； （2）由一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系，得出两根之和与两根之差的关系，解出两根，进而求得k． 【详解】（1）解：方程中， ，，， 由题意可知：， 解得：； （2）∵是关于x的一元二次方程的根， ∴，即， ∵， ∴，即：①． ∵②， 联立①②解得： ∴， 解得：． 8．（23-24九年级·山东烟台·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根，满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式． （1）先把方程化为一般式得到，根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，，则，利用（1）的的范围去绝对值后解方程得到的值，然后根据（1）中的范围确定k的值． 解题的关键是掌握：若，是一元二次方程的两个实数根，则，．也考查了一元一次不等式及一元二次方程的解法． 【详解】（1）解：， 整理得：， ∵该方程有两个实数根，， ∴， 解得：， ∴实数的取值范围是； （2）∵，是方程的两实数根， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴可化简为：， ∴， 解得：（不合题意，舍去），， ∴的值为． 9．（2024·北京朝阳·二模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)给出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根． 【答案】(1)； (2)取，此时，．（答案不唯一） 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，根据一元二次方程根的情况求出m的值范围是解题的关键． （1）根据有两个不相等的实数根列出判别式，再解不等式即可得到答案； （2）按照（1）中的范围取m的值，代入原方程，解方程即可． 【详解】（1）解：依题意，得． ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴． 即． ∴． （2）取． 此时方程为 解得，． 10．（2024九年级·全国·专题练习）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了方程的根的定义以及根的判别式． （1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围． （2）是方程的一个实数根，则，则，代入，求得的值． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根 ∴， 解得； （2）解：∵是方程的一个实数根，则，则， 则，即， 解得：（舍去）或． 故的值为． 11．（23-24九年级·安徽安庆·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)在（1）中，设，是该方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，牢记当时，方程有两个实数根，和根与系数的关系是解题的关键是． （1）根据该方程有两个实数根，结合判别式公式，，得到关于的一元一次不等式，解之即可． （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到，，结合，得到关于的一元一次方程，解之即可． 【详解】（1）由一元二次方程的根的判别式，当时，方程有两个实数根， 解得：， 即的取值范围为：． （2）由一元二次方程的根与系数的关系，得，， ， ， 解得，即的值为． 12．（22-23九年级·浙江杭州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程的两个实数根分别为α，β，且，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围； （2）根据根与系数的关系即可得出，再由，求出，进而代入方程中，解之即可得出的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； （2）∵方程的两个实数根分别为α，β， ∴， 又， 解得：， ∴将代入中， 得， 解得：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系． 类型三、利用根与系数的关系求代数式的值 13．（2024·江苏盐城·二模）已知：，是方程有两个实数根．求出下列代数式的值 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． （1）根据根与系数的关系可得，，再将所求代数式变形，最后代入求解即可； （2）根据题意可得，，推出，再将所求式子变形，最后代入求解即可． 【详解】（1）解：，是方程有两个实数根， ，， ； （2），是方程有两个实数根， ， ， 14．（23-24九年级·浙江杭州·期中）已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为求代数式的值； (3)若，比较M与N的大小． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握相关结论即可． （1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． （2）若一元二次方程的两个根为，则． （3）判断的正负即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴方程总有两个不相等的实数根 （2）解：根据韦达定理可得， ∴ （3）解： ∴ 15．（23-24九年级·安徽池州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． (2)若该方程的两个根分别为，当时，求的值． 【答案】(1)且； (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据题意得到，，进而求解即可； （2）首先得到方程，然后利用根与系数的关系得到，，然后利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）由题意得，该方程有两个不相等的实数根 ，即， 解得， 则的取值范围为且； （2）当时，， ， ． 16．（23-24九年级·安徽阜阳·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有实数根，求m的取值范围． (2)若时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式： （1）先用的式子表示根的判别式，再根据方程有实数根知，列出不等式求解即可得的取值范围； （2）把代入方程，再根据根与系数的关系求得两根的和与积，再把变形，代入求解即可． 熟知一元二次方程根与系数的关系是关键． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， 则， 即， ， 的取值范围； （2）当时，， 设，是方程的两根， ，， ， ． 17．（23-24九年级下·北京顺义·阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求n的取值范围； (2)若n为符合条件的最小整数，且该方程的两个根的乘积大于1，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键 （1）由题意知，，计算求解，然后作答即可； （2）由题意知，，设方程的两根为，依题意得，，即，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 解得，， ∴n的取值范围为； （2）解：由题意知，， 设方程的两根为， 依题意得，，即， 解得，或， ∴m的取值范围为或． 18．（22-23九年级·浙江杭州·期中）已知是关于x的一元二次方程的两实数根． (1)求m的取值范围． (2)若，求m的值． (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)最小值为 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．以及一元二次方程根与系数关系：． （1）根据题意得出，即可解答； （2）先得出，再根据，列出方程求解即可； （3）先得出，再将代入，即可解答． 【详解】（1）解：∵是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴， ∴ 解得：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去），， ∴； （3）解： ∵ ∴当时，最小等于32 ∴的最小值为． 类型四、已知代数式的值求参数情况 19．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【详解】（1）证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 20．（23-24九年级·浙江宁波·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）根据方程的系数结合，可得出关于的方程，解之经检验后即可得出结论． 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：找出关于的方程． 【详解】（1）解： 关于的一元二次方程有实数根， ， ∴ 解得：． （2）解：原式 ∴ ∴ ∴ ∴（与相矛盾，故舍去）， 21．（23-24九年级·四川成都·期中）已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由关于的方程有两个实数根，得到判别式非负，解不等式即可得到答案； （2）根据根与系数关系得到，代入，解方程得或5，再由（1）中即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， ，解得； （2）解：由根与系数的关系得， ∴ ∵， ∴， ，解得或5， 由（1）知，则． 【点睛】本题考查一元二次方程综合，涉及由一元二次方程根的情况求参数范围、解不等式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解决问题的关键． 22．（2024·四川南充·三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围， (2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）时，方程变为，利用根与系数的关系得到，，再将变形代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）解：时，方程变为， 设方程的两个实数根分别为，， ，， ． 23．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． （）利用根和系数的关系即可求解； （）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得； （）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解． 【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （3）解：由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 24．（2024·四川南充·三模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程中根与系数的关系，掌握根的判别式，韦达定理是解题的关键． （1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式大于零，由此即可求解； （2）根据韦达定理，通过配方法，用含的式子表示出两个的和，解参数方程并结合k的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，，， ∴， ∴，整理得，， ∴， 故实数的取值范围为． （2）解：∵方程的两个根分别为， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ 解得，， ∵， ∴． 类型五、根与系数的关系与几何问题 25．（2024九年级·浙江·专题练习）附加题：已知，是关于的一元二次方程的两个根，且，是直角三角形的两直角边，斜边的长为．求，，的值． 【答案】，，；，， 【分析】本题主要考查利用根与系数的关系求解．根据根与系数的关系可得、的值，然后再联合已知中的，，可求出、、的值． 【详解】解：由题意得：，，，， ， ， ， ， ，，，． ，，；，，． 26．（23-24九年级·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程有两个实根和． (1)求实数的取值范围； (2)是否存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了根与系数的关系和根的判别式，勾股定理，能熟记根与系数的关系和根的判别式的内容是解此题的关键． （1）求出的值，根据已知得出不等式，求出即可； （2）根据根与系数的关系得出，，根据已知得出，变形后代入求出的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实根和， ， 解得：； （2）和一元二次方程的两根， ，， 和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为， ， ， ， 解得：， ，， 不符合题意， 不存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为． 27．（23-24九年级·江苏南通·期中）已知：平行四边形的两边的长是关于x的方程的两个实数根． (1)当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； (2)若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ (3)如果这个方程的两个实数根分别为，且，求m的值． 【答案】(1)，四边形是菱形，边长 (2)5 (3) 【分析】（1）根据菱形的性质可知方程有两个相等的实数根，由根的判别式求出m，进而可求出方程的根； （2）由的长为2，可知2是方程的一个根，代入方程求出m，进而求出方程的根，即可求出平行四边形的周长； （3）利用一元二次方根与系数的关系得到，，将变形为，再将，代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：四边形是菱形时，则， 方程有两个相等的实数根， ，即， 解得：， ， 解得：， ，四边形是菱形，边长； （2）解：根据题意得：， 解得：，则， 解得：， 的长为2， ， 平行四边形的周长是； （3）解：方程的两个实数根分别为， ，， ， ， 解得：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，一元二次方程根的判别式以及根据系数的关系，解一元二次方程，综合运用各知识点是解答本题的关键． 28．（23-24九年级·浙江金华·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； (2)设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值． 【答案】(1)详见解析 (2)或 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式和勾股定理． （1）计算根的判别式的值得到，利用非负数的性质得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）解方程得，或，，再利用勾股定理得到或，然后分别解关于的方程即可． 【详解】（1）证明： ， 这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）解：解方程得，， 即，或，， ，，分别是一个直角三角形的三边长， 或， 解方程得，（舍去）， 解方程得，（舍去）． 即的值为或． 29．（23-24九年级·山东烟台·期中）已知关于x的一元二次方程：． (1)求证：不论m为何实数，方程总有实数根； (2)当方程的两个根均为正数时， ①求m的取值范围； ②若分别是菱形的两条对角线的长，求菱形的边长（用含m的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①m的取值范围为；②菱形的边长为 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，也考查了根的判别式和菱形的性质，灵活运用所学知识是关键． （1）计算判别式的值即可判定方程实数根的情况； （2）①根据根与系数关系可得，即可求出m的取值范围；②根据菱形边长和对角线的关系即可求出，再根据根与系数关系即可求解． 【详解】（1）证明：∵        ∴不论m为何实数，方程总有实数根。 （2）解：①由题意得：   解得：，   ∴m的取值范围为 ②设菱形的边长为a，则 ∵ ∴ ∴ （舍） 所以，菱形的边长为 30．（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)当m为何值时，是以为斜边的直角三角形； (3)当m为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)11或13 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，勾股定理及等腰三角形的性质： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据勾股定理结合根与系数的关系进行求解即可； （3）分为腰和为底边两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）由题意，得：， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴ ， 解得：或（不合题意，舍去）； ∴； （3）①当为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得： ， ∴， ∴方程为：， 解得：， ∴等腰三角形的三边为：， ∴周长为：； ②当为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴， ∴， ∴方程为：， 解得：， ∴等腰三角形的周长为：； 综上：周长为11或13． 类型六、一元二次方程的新定义压轴问题 31．（23-24九年级·山东泰安·期中）阅读材料：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”，如方程就是一个连根方程． (1)问题解决：请你判断方程是否是连根方程； (2)问题拓展：若关于x的一元二次方程（m是常数）是连根方程，求m的值； (3)方法总结：如果关于x的一元二次方程（b、c是常数）是连根方程，请直接写出b、c之间的关系式． 【答案】(1)方程是连根方程 (2) (3) 【分析】本题考查解一元二次方程、根与系数之间的关系等知识点，掌握“连根方程”的定义是解题的关键． （1）先用因式分解法解方程，再根据“连根方程”的定义进行判断即可； （2）根据方程为“连根方程”，设其中一个根为a，则另一个根为，再根据根与系数的关系进行求解即可； （3）根据“连根方程”的定义和根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：， ∵， ∴是连根方程． （2） 解：∵方程（是常数）是“连根方程”， 设的两个根为， ∴， ∴， ∴， 解得：． （3）解：方程（b、c是常数）是“连根方程”， 设方程的两个根为：，且， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴． 32．（23-24九年级·北京·期中）定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)下列方程是“差积方程”的是 ； ① ② ③ (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明． 【答案】(1)①② (2)或， (3) 【分析】（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）根据求根公式求得，根据新定义列出方程即可求解． 本题考查了新定义运算，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①， 即， 解得：， ， 是差积方程； ②， 即， 解得， ， 是差积方程； ③， 即， 解得：，，故③不是差积方程； 故答案为：①②； （2）解：， 即， 解得：，， 是差积方程， ， 即或． 解得：或， （3）解：， 解得：， ， 是差积方程， ， 即， 即． 33．（23-24九年级·江苏苏州·期中）对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求和的值； (2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了新定义、一元二次方程根与系数的关系以及实数的运算： （1）根据题目已知定义计算即可； （2）先根据一元二次方程根的定义得到，再根据新定义化简原式，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1） ； ； （2）是一元二次方程的根， ， 根据根与系数的关系得， ． 34．（2024·广东汕头·二模）如果关于x 的一元二次方程有两个实数根，，且， 那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否是“邻近根方程”； (2)若关于x 的方程（b，c是常数）是“邻近根方程”，求的最大值． 【答案】(1)是 (2)48 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了二次函数的性质． （1）先利用求根公式得到，，再计算出，从而可判断方程是“邻近根方程”； （2）设一元二次方程两个实数根，则利用根与系数的关系得，，，再利用得到，所以，从而得到，所以，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：（1）∵，，， 则， ∴， ∴，， ∴， ∴方程是“邻近根方程”； （2）设一元二次方程两个实数根，， 根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为48． 35．（2024·山东日照·二模）我们知道，对于关于x的一元二次方程，如果该方程有两个实数根和，那么这两个根与方程的系数之间满足以下关系：①；②．此外，根与方程的系数的关系还可以推广到一元n次方程：对于方程，其中是方程的n个实数根，其中所有根的和为；所有根的积为，请结合上述材料，解答下列问题： (1)方程的一个实数根是，则________；方程的两个根，，则第三个根________． (2)若m，n是关于x的一元二次方程两个实数根，且m，n满足，求k的值． (3)在平面直角坐标系内，一次函数与反比例函数（，）图象的两个交点A、B的横坐标分别是、，设的面积是S．当t取何值时，S有最大值． 【答案】(1)，2 (2)4 (3) 【分析】（1）由，可得，计算求解即可；由，可得，计算求解即可； （2）由题意知，，，则，整理得，，计算求解，然后作答即可； （3）由，可知，则反比例函数图象在第一、三象限，如图，设一次函数与轴的交点为，则，联立得，整理得，，则，，，由，可得，当时，，求最大值；当时，，求最大值，然后判断作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：，2； （2）解：由题意知，，， ∴，整理得，， ∴， 解得，（此时方程无解，舍去）或； ∴的值为4； （3）解：∵， ∴，反比例函数图象在第一、三象限， 如图，设一次函数与轴的交点为，则， 联立，得，整理得，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 当时，， 当时，； 当时，， 当时，； 综上所述，当时，有最大值4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，反比例函数与一次函数综合，二次函数的图象与性质等知识．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，反比例函数与一次函数综合，二次函数的图象与性质是解题的关键． ( 36 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.5判别式及根与系数的关系大题专练 （六大类型培优提分练） 类型一、根据判别式的符号判断根的情况 1．（23-24九年级·安徽合肥·期中）已知：关于x的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求k的值； (2)求证：方程有两个不相等的实数根． 2．（2024·北京·三模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值． 3．（23-24九年级·江苏苏州·期中）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值时，方程总有实数根； (2)如果方程有两个实数根，当时，求m的值． 4．（23-24九年级·山东淄博·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根为，且，求m的值． 5．（23-24九年级·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)当时，解这个方程； (2)试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由； (3)，是这个方程的两个实数根，若n、t为正整数，且，求n的值. 6．（23-24九年级·浙江杭州·期中）关于的方程． (1)已知，异号，试说明此方程根的情况； (2)若该方程的根是，，试求方程的根． 类型二、已知根的情况求参数值或范围 7．（2023·湖北孝感·一模）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根， (1)求的取值范围： (2)若，试求的值． 8．（23-24九年级·山东烟台·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根，满足，求的值． 9．（2024·北京朝阳·二模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)给出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根． 10．（2024九年级·全国·专题练习）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 11．（23-24九年级·安徽安庆·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)在（1）中，设，是该方程的两个根，且，求的值． 12．（22-23九年级·浙江杭州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程的两个实数根分别为α，β，且，求k的值． 类型三、利用根与系数的关系求代数式的值 13．（2024·江苏盐城·二模）已知：，是方程有两个实数根．求出下列代数式的值 (1)； (2)． 14．（23-24九年级·浙江杭州·期中）已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为求代数式的值； (3)若，比较M与N的大小． 15．（23-24九年级·安徽池州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． (2)若该方程的两个根分别为，当时，求的值． 16．（23-24九年级·安徽阜阳·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有实数根，求m的取值范围． (2)若时，求的值． 17．（23-24九年级下·北京顺义·阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求n的取值范围； (2)若n为符合条件的最小整数，且该方程的两个根的乘积大于1，求m的取值范围． 18．（22-23九年级·浙江杭州·期中）已知是关于x的一元二次方程的两实数根． (1)求m的取值范围． (2)若，求m的值． (3)求的最小值． 类型四、已知代数式的值求参数情况 19．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 20．（23-24九年级·浙江宁波·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数m的值． 21．（23-24九年级·四川成都·期中）已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 22．（2024·四川南充·三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围， (2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 23．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 24．（2024·四川南充·三模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 类型五、根与系数的关系与几何问题 25．（2024九年级·浙江·专题练习）附加题：已知，是关于的一元二次方程的两个根，且，是直角三角形的两直角边，斜边的长为．求，，的值． 26．（23-24九年级·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程有两个实根和． (1)求实数的取值范围； (2)是否存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 27．（23-24九年级·江苏南通·期中）已知：平行四边形的两边的长是关于x的方程的两个实数根． (1)当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； (2)若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ (3)如果这个方程的两个实数根分别为，且，求m的值． 28．（23-24九年级·浙江金华·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； (2)设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值． 29．（23-24九年级·山东烟台·期中）已知关于x的一元二次方程：． (1)求证：不论m为何实数，方程总有实数根； (2)当方程的两个根均为正数时， ①求m的取值范围； ②若分别是菱形的两条对角线的长，求菱形的边长（用含m的代数式表示）． 30．（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)当m为何值时，是以为斜边的直角三角形； (3)当m为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 类型六、一元二次方程的新定义压轴问题 31．（23-24九年级·山东泰安·期中）阅读材料：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”，如方程就是一个连根方程． (1)问题解决：请你判断方程是否是连根方程； (2)问题拓展：若关于x的一元二次方程（m是常数）是连根方程，求m的值； (3)方法总结：如果关于x的一元二次方程（b、c是常数）是连根方程，请直接写出b、c之间的关系式． 32．（23-24九年级·北京·期中）定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)下列方程是“差积方程”的是 ； ① ② ③ (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明． 33．（23-24九年级·江苏苏州·期中）对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求和的值； (2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值． 34．（2024·广东汕头·二模）如果关于x 的一元二次方程有两个实数根，，且， 那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否是“邻近根方程”； (2)若关于x 的方程（b，c是常数）是“邻近根方程”，求的最大值． 35．（2024·山东日照·二模）我们知道，对于关于x的一元二次方程，如果该方程有两个实数根和，那么这两个根与方程的系数之间满足以下关系：①；②．此外，根与方程的系数的关系还可以推广到一元n次方程：对于方程，其中是方程的n个实数根，其中所有根的和为；所有根的积为，请结合上述材料，解答下列问题： (1)方程的一个实数根是，则________；方程的两个根，，则第三个根________． (2)若m，n是关于x的一元二次方程两个实数根，且m，n满足，求k的值． (3)在平面直角坐标系内，一次函数与反比例函数（，）图象的两个交点A、B的横坐标分别是、，设的面积是S．当t取何值时，S有最大值． ( 7 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$