精品解析：湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

雅礼教育集团2024年上学期期中考试试卷 高二数学 时量：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义域及解对数不等式化简集合，由并集运算即可求解. 【详解】，， . 故选：D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由建立的等量关系，求解，从而判断选项. 【详解】因为，化简得，解得或，故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 3. 已知在单调递增的等差数列中，与的等差中项为8，且，则的公差（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，列出关于方程组，求得的值，即可得到答案. 【详解】由等差数列为单调递增数列，可得公差， 因为与的等差中项为8，可得，可得，即， 又因为，可得， 即，解得或（舍去）. 故选：C. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A、B、C选项可用赋值法判断正误，D选项根据指数与对数计算法则判断. 【详解】设则 ，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D. 5. 已知某一家旗舰店近五年“五一”黄金周期间的成交额如下表： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 年份代号 1 2 3 4 5 成交额y（万元） 50 60 70 80 100 若关于的线性回归方程为，则根据回归方程预测该店2023年“五一”黄金周的成交额是（ ） A. 84万元 B. 96万元 C. 108万元 D. 120万元 【答案】C 【解析】 【分析】根据线性回归直线过样本中心点这一性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以，即， 当时，， 故选：C 6. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定由和复合而成，根据复合函数的单调性，列出不等式组，即可求得答案. 【详解】令，则，即由和复合而成， 而在上单调递增， 故要使得函数在上单调递减， 需满足在上恒成立，且在上单调递减， 即得，解得，即， 故选：A 7. 设某直角三角形的三个内角的余弦值成等差数列，则最小内角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出三个角度的大小关系，结合已知条件求得最小角的正切值，再求正弦值即可. 【详解】设，根据题意可得，且， 即，又，则，， 解得，又，则. 故选：C. 8. 设曲线与函数的图象关于直线对称，设曲线仍然是某函数的图象，则实数t的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设是在点处的切线，进而根据题意得直线关于对称后的直线方程必为，曲线才能是某函数的图象，进而得的方程为，再联立方程即可得，进而得答案. 【详解】设是在点处的切线， 因为曲线与函数的图象关于直线对称， 所以直线关于对称后的直线方程必为，且曲线图象不超过切点位置，才满足函数的图象， 如图所示直线与的夹角为，所以的倾斜角为， 所以的方程为 故联立方程得，即， 则，即与同解， 所以，所以的取值范围为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 线性回归分析中可以用决定系数来刻画回归的效果，若的值越小，则模型的拟合效果越好 B. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 C. 已知随机变量服从正态分布，若，则 D. 已知随机事件，满足，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据决定系数的性质、二项分布的期望和方程的计算公式、正态分布的性质以及条件概率的计算公式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：线性回归分析中可以用决定系数来刻画回归效果， 若的值越小，则模型的拟合效果越差，故A错误； 对B：随机变量服从二项分布，若，， 则，解得，故B正确； 对C：随机变量服从正态分布，若， 则，故，C正确； 对D：，，则， 又，故，D错误. 故选：BC. 10. 已知定义在R上的函数，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，，则（ ） A. B. C. 函数为减函数 D. 函数的图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：借助赋值法令计算即可得；对B：借助赋值法令，计算即可得；对C：结合函数单调性的定义及赋值法令计算即可得；对D：结合函数对称性及赋值法令计算即可得. 【详解】对A：令，则有，故，故A正确； 对B：令，，则有，故，故B错误； 对C：令，则有，其中，， 令，，即有对、，当时，恒成立， 即函数为减函数，故C正确； 对D：令，则有，又， 故，故函数的图象关于点对称，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知点分别为双曲线的左、右焦点，为的右支上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据双曲线的定义结合三角形三边之间的关系逐一分析即可. 【详解】由题意可得， 由双曲线的定义可得，则， 所以， 所以，当且仅当共线时等号成立，故A错误，B正确； ， 当且仅当共线且在两点中间时，等号成立，此时点在第四象限， 故C正确； 对于D，因为，所以， 当且仅当共线且在两点中间时，，此时点位于第四象限 当且仅当共线且在两点中间时，，此时点位于第一象限， 因为，双曲线的渐近线方程为， 而，所以共线时，点只能位于第四象限， 所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 平面向量满足，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设向量，由向量共线以及数量积的结果列出方程，即可得到的坐标，从而得到结果. 【详解】设向量，由可得， 又，则， 解得，，则， 所以. 故答案为： 13. 已知函数，则的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】求导得出函数在上的单调性，即可求得的最大值为. 【详解】由可得， 令可得， 又，所以， 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增； 易知； 因此的最大值为. 故答案为： 14. 已知正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】变形得到，利用两次基本不等式，求出最小值． 【详解】任意的正实数，，，满足， 所以 ， 由于，为正实数， 故由基本不等式得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，的最小值为16． 故答案为：16． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 某同学用“五点法”画函数（，，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 （1）请将上表数据补充完整，并写出函数的解析式（直接写出结果即可）； （2）根据表格中的数据作出在一个周期内的图象； （3）求函数在区间上的值域． 【答案】（1）完善表格见解析，； （2）作图见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用表格中的数据依次求、，进而求出，即得解析式，再由解析式补全表格作答. （2）由表格中的数据，描点连线作图即可. （3）由自变量所在区间，求出相位所在区间，再利用正弦函数的性质求解作答. 【小问1详解】 由表格知，，函数的周期，则， 显然，解得， 所以， 数据补全如下表： 0 0 3 0 0 【小问2详解】由（1），得在一个周期内的图象，如图， 【小问3详解】 当时，则， 因此，有， 所以函数在区间上的值域为. 16. 已知函数． （1）求证：当时，曲线与直线只有一个交点； （2）若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）当时，对求导，分析函数单调性，确定图象，可证明曲线与直线只有一个交点. （2）将既存在极大值，又存在极小值，转换为有两个变号零点问题，讨论零点位置可得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，函数，求导得：， 令，得；令，得； 则函数上递增，在上递减， 故， 所以曲线与直线只有一个交点. 【小问2详解】 函数的定义域为， 求导得， 设， 令，解得，. 因为既存在极大值，又存在极小值，即在有两个变号零点， 则，解得且， 综上所述：的取值范围为. 17. 某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60 （1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 （2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和； （3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）填表见解析；性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系 （2）， （3）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）由60名同学的统计数据可得列联表，代入公式可得，即可得结论； （2）求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，由二项分布即可得和； （3）易知所有可能取值为，利用超几何分布公式求得概率即可得分布列和期望值. 【小问1详解】 根据统计表格数据可得列联表如下： 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关； 根据列联表的数据计算可得 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1 【小问2详解】 因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布， 易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率 即可得， 故，． 【小问3详解】 易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生， 所以的所有可能取值为； 且服从超几何分布： 故所求分布列为 0 1 2 3 可得 18. 已知圆与轴交于点，且经过椭圆的上顶点，椭圆的离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若点为椭圆上一点，且在轴上方，为关于原点的对称点，点为椭圆的右顶点，直线与交于点的面积为，求直线的斜率． 【答案】（1） （2）直线的斜率或 【解析】 【分析】（1）由题意首先依次得出，，进一步结合离心率公式以及的关系式即可求解； （2），则，进一步表示出点以及的面积，结合已知可得点的坐标，由此即可得解. 【小问1详解】 圆过， ， 又圆过， ， 又 ， 椭圆的方程为. 【小问2详解】 设，则， 由题知且， 则， ， 由，解得， ， 又， ， 又， ， 直线的斜率或. 19. 在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成，其中，，且为该平面的法向量.已知集合，，. （1）设集合，记中所有点构成的图形的面积为，中所有点构成的图形的面积为，求和的值； （2）记集合Q中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，求和的值： （3）记集合T中所有点构成的几何体为W. ①求W的体积的值； ②求W的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W的面数和棱数. 【答案】（1），； （2），； （3）①16；②，共有12个面，24条棱. 【解析】 【分析】（1）首先分析题意进行解答，分别表示出集合代表的点，后得到的截面是正方形求出，同理得到是正方形求出即可. （2）首先根据（1）分析得出为截去三棱锥所剩下的部分. 后用割补法求解体积即可. （3）利用题目中给定的定义求出法向量，结合面面角的向量求法求解，再看图得到面数和棱数即可. 【小问1详解】 集合表示平面上所有的点， 表示这八个顶点形成的正方体内所有的点， 而可以看成正方体在平面上的截面内所有的点. 发现它是边长为2的正方形，因此. 对于，当时， 表示经过，，的平面在第一象限的部分. 由对称性可知Q表示，， 这六个顶点形成的正八面体内所有的点. 而可以看成正八面体在平面上的截面内所有的点. 它是边长为的正方形，因此. 【小问2详解】 记集合，中所有点构成的几何体的体积分别为，； 考虑集合的子集； 即为三个坐标平面与围成的四面体. 四面体四个顶点分别为，，，， 此四面体的体积为 由对称性知， 考虑到的子集构成的几何体为棱长为1的正方体， 即， ， 显然为两个几何体公共部分， 记，，，. 容易验证，，在平面上，同时也在的底面上. 则为截去三棱锥所剩下的部分. 的体积，三棱锥的体积为. 故体积. 当由对称性知，. 【小问3详解】 如图所示，即为所构成的图形. 其中正方体即为集合P所构成的区域.构成了一个正四棱锥， 其中到面的距离为， ，. 由题意面方程为，由题干定义知其法向量 面方程为，由题干定义知其法向量 故. 由图知两个相邻的面所成角为钝角.故H相邻两个面所成角为. 由图可知共有12个面，24条棱. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何新定义，解题关键是利用新定义求出法向量，然后利用向量求法得到所要求的二面角余弦值即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 雅礼教育集团2024年上学期期中考试试卷 高二数学 时量：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知在单调递增的等差数列中，与的等差中项为8，且，则的公差（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知某一家旗舰店近五年“五一”黄金周期间的成交额如下表： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 年份代号 1 2 3 4 5 成交额y（万元） 50 60 70 80 100 若关于的线性回归方程为，则根据回归方程预测该店2023年“五一”黄金周的成交额是（ ） A. 84万元 B. 96万元 C. 108万元 D. 120万元 6. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 设某直角三角形的三个内角的余弦值成等差数列，则最小内角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 设曲线与函数的图象关于直线对称，设曲线仍然是某函数的图象，则实数t的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 线性回归分析中可以用决定系数来刻画回归的效果，若的值越小，则模型的拟合效果越好 B. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 C. 已知随机变量服从正态分布，若，则 D. 已知随机事件，满足，，则 10. 已知定义在R上的函数，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，，则（ ） A B. C. 函数为减函数 D. 函数的图象关于点对称 11. 已知点分别为双曲线的左、右焦点，为的右支上一点，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12 平面向量满足，，，则______． 13. 已知函数，则的最大值为_______． 14. 已知正实数满足，则的最小值为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 某同学用“五点法”画函数（，，）在某一个周期内图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 （1）请将上表数据补充完整，并写出函数的解析式（直接写出结果即可）； （2）根据表格中的数据作出在一个周期内的图象； （3）求函数在区间上的值域． 16. 已知函数． （1）求证：当时，曲线与直线只有一个交点； （2）若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围． 17. 某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60 （1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 （2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和； （3）若将一周参加体育锻炼6次或7次同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 18. 已知圆与轴交于点，且经过椭圆的上顶点，椭圆的离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若点为椭圆上一点，且在轴上方，为关于原点的对称点，点为椭圆的右顶点，直线与交于点的面积为，求直线的斜率． 19. 在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成，其中，，且为该平面的法向量.已知集合，，. （1）设集合，记中所有点构成的图形的面积为，中所有点构成的图形的面积为，求和的值； （2）记集合Q中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，求和的值： （3）记集合T中所有点构成的几何体为W. ①求W的体积的值； ②求W的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W的面数和棱数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$