甘肃省靖远县第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学模拟试题

2023—2024年度高一年级下学期期末考试模拟卷 数学参考答案 1.B　==-=--i. 2.A　∵A,B,C三种产品的产量之比为1∶2∶3,∴=,∴n=48. 3.C　∵=(m-1,2),=(-m,3), ∴·=(m-1,2)·(-m,3)=-m2+m+6=,解得m=. 4.B　设事件A为只用现金支付,事件B为只用非现金支付, 则P(A)+P(B)+P(AB)=1. ∵P(A)=0.45,P(AB)=0.15,∴P(B)=0.4. 5.B　∵c-a=2acos B,∴c-a=2a·,∴a+c=. ∴+=+≥2=2, 当且仅当=,即b=a时取等号. 6.A　当x=4时,log24=2=1+,则f(x)=作出函数f(x)的图象(如下图),由图可知A项不正确,B,C,D项正确. 7.B　因为a=2sin 42°cos 42°=sin 84°,b==tan 64°>tan 60°=>1>sin 84°=a,c==cos 84°<cos 30°==sin 60°<sin 84°=a,所以c<a<b. 8.A　∵三棱锥P -ABC的体积V=abc=ab·≤ab·=,当且仅当a=b时取等号,且侧面PAB与底面ABC成45°角,∴PC=a=c,∴V=a2×a=,∴a=b=2,c=. ∵4R2=a2+b2+c2=10,∴R2=, 故三棱锥P -ABC的外接球的表面积为10π. 9.BD　设=λ(0<λ<1),则-=λ-λ, ∴(1-λ)=-λ,∴=-, ∴x=-<0,y===1+>1, 又x+y==1,xy=-<0,∴A,C项错误,B,D项正确. 10.BCD　 对于选项A,连接AD1,A1D交于点P,连接DC1,D1C交于点Q,连接PQ,AC,如图所示, 因为PQ是△D1AC的中位线,所以PQ∥AC,故A项正确; 对于选项B,如果在正方形DCC1D1内存在一点Q,使得PQ⊥AC,又AC⊥平面DBB1D1,那么PQ⊂平面DBB1D1或者PQ∥平面DBB1D1,而P,Q在平面DBB1D1的两侧,所以PQ与平面DBB1D1相交,故B项错误; 对于选项C,如果在正方形DCC1D1内存在一点Q,使得平面PQC1∥平面ABC,又平面A1B1C1∥平面ABC,那么平面PQC1∥平面A1B1C1,而平面PQC1与平面A1B1C1相交于点C1,故C项错误; 对于选项D,如果在正方形DCC1D1内存在一点Q,使得AC⊥平面PQC1,又AC⊥平面DBB1D1,那么平面DBB1D1∥平面PQC1,而P,Q在平面DBB1D1的两侧,所以平面DBB1D1与平面PQC1相交,故D项错误. 11.CD　因为0<α<,cos+α=,所以<+α<,sin+α=,sin α=sin+α-=sin+αcos-cos+αsin=×-×=,A项错误. 因为-<β<0,所以<-<,又因为sin-=,所以cos-=,cos=cos--=coscos-+sinsin-=×+×=,cos β=2cos2-1=2×2-1=,B项错误,C项正确. 由上述可得cosα+=cos+α--=cos+αcos-+sin+αsin-=×+×=,D项正确. 12.　由题意可知,两门兴趣班都选择的人数为21+39-50=10,所以所求概率为=. 13.3　由已知,天池盆上底面半径是14寸,下底面半径是6寸,高为18寸. 由积水深9寸知水面半径为×(14+6)=10(寸), 则盆中水的体积为π×9×(62+102+6×10)=588π(立方寸), 所以平地降雨量为=3(寸). 14.　以A为坐标原点,,分别为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略), 则B(2,0),C(0,4),D(1,2),设P(x,2x),所以=(x,2x),=(1-x,2-2x).·(+)=·(2)=2[x(1-x)+2x(2-2x)]=-10(x2-x), 当x=时,所求最大值为. 15.解:(1)因为=(1,2),=(m,-2),=(-3,1), 所以=(m-1,-4),=(-4,-1). 又因为⊥,所以-4(m-1)+4=0,解得m=2. (2)由(1)知=(1,2),=(2,-2). 设,的夹角为θ,则cos θ===-. 16.解:(1)依题意,==sin A,故S△ABC=bcsin A=b2sin A, 可知c=2b,即=,则=. (2)因为BD=,CD=,所以AD=. 在△ABC中,cos B=,在△ABD中,cos B=, 即=,解得b=1,即AC=1. 17.解:(1)设抗体浓度百分比的中位数为x. 由题意知0.15×(2.5-1.5)+0.2×(3.5-2.5)+0.3×(x-3.5)=0.5, 解得x=4,所以抗体浓度百分比的中位数为4. (2)根据频率分布直方图可知,抗体浓度在[2.5,3.5],[5.5,6.5]中的比例为2∶1, 则抽取的6只小白鼠中抗体浓度在[2.5,3.5]中的有6×=4只,分别是A1,A2,A3,A4;抽取的6只小白鼠中抗体浓度在[5.5,6.5]中的有6×=2只,分别是B1,B2.从这6只小白鼠中选取2只进行医学观察的样本有A1A2,A1A3,A1A4,A1B1,A1B2,A2A3,A2A4,A2B1,A2B2,A3A4,A3B1,A3B2,A4B1,A4B2,B1B2,共15个,其中2只小白鼠中恰有1只抗体浓度在[5.5,6.5]中的样本有A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,A4B1,A4B2,共8个.所以2只小白鼠中恰有1只抗体浓度在[5.5,6.5]中的概率P=. 18.解:(1)当m=8时,log2(8n)=log28×log2n=3log2n, ∴log28+log2n=3log2n,即2log2n=3,∴n==2. (2)当m=4,n=4时,log2(4×4)=log24×log24,所以整数对为(4,4). (3)证明:∵log2(m×n)=log2m×log2n,∴log2m+log2n=log2m×log2n,且m,n∈N+. 当m=2时,1+log2n=log2n,显然无解. 当m=3时,log23+log2n=log23×log2n,可得log2n==lo3,无正整数解. 同理,当n=2和n=3时,m也无正整数解. 当m≥4,n≥4时,log2n==1+, ∵log2m≥2,∴由复合函数的单调性可得1+∈(1,2], 又∵log2n≥2,∴当且仅当m=n=4时,原等式成立. 19.解:(1)证明:因为AD⊥EF,所以AD⊥AP,AD⊥AB, 又AP∩AB=A,AP,AB⊂平面ABP,所以AD⊥平面ABP, 因为BM⊂平面ABP,所以AD⊥BM. 由已知得AB=AP=BP=4,所以△ABP是等边三角形, 又因为点M是AP的中点,所以BM⊥AP. 因为AD⊥BM,AP⊥BM,AD∩AP=A,AD,AP⊂平面ADP, 所以BM⊥平面ADP,因为DP⊂平面ADP,所以BM⊥DP. (2)如图,取BP的中点N,连接DN.因为AD⊥平面ABP,AB=AP=AD=4, 所以DP=BD=4,所以DN⊥BP, 所以在Rt△DPN中,DN==2. 因为AD⊥平面ABP,所以VD -BMP=×AD×S△BMP, 因为VM -BDP=VD -BMP,所以×h×S△BDP=×AD×S△BMP, 所以h===, 即点M到平面BDP的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $$2023一2024年度高一年级下学期期未考试模拟卷 数学试题 (120分钟150分) 考试范围：必修第一册20%，必修第二册80%。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 弥 1 A-+ c-2+ 2.某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品，且这三种产品的产量之比为1：2：3.现 封 用分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中A种型号的产品有8 件，则样本容量n的值为 A.48 B.36 C.54 D.42 3.已知点A1,0),B(m,2,C0,5),若A店.BC-5,则实数m的值为 A.4 B.3 c D.2 线 4.随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行.某群体中的成员只用现金支付的概 率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 5在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,若C一a=2ac0sB,则必+的 最小值为 A.2√2 B.23 C.4 D.3 海·1· 【25·YK·数学-XJB-高-下册-GSZW】 a,a≤b. 6.设min(a,b}= 若函数.)=mim(log.x,1+}(x>0),则下列结论错误 b.b<a. 的是 A.函数f(.x)的最小值是0 B.函数f(x)的最大值是2 C.函数f(x)在(0,4)上递增 D.函数f(.x)在(4，十oo)上递减 2tan 32 7.i设a=2sin42os42,6=仁m32c= 1+cos168,则 2 A.c<b<a B.c<a< C.a<c<b D.a<< 8.已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且PA,PB,PC的长分别为a,b,c,又(a 十b)2c=16√2，侧面PAB与底面ABC成45°角，则当三棱锥的体积最大时，其外接 球的表面积为 A.10π B.40π C.20π D.18π 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在△ABC中，D是线段BC(不包括端点)上的动点，若AB=xAC+yAD,则下列结 论正确的是 A.x>1 B.y>1 C.x+y>I D.ry<0 10.如图，在正方体ABCD-A1B,CD,中，点P在正方形ADD1A D 内，且不在棱上，则下列说法错误的是 B A.在正方形DCC,D,内-一定存在一点Q,使得PQ∥AC B.在正方形DCCD内一定存在一点Q,使得PQ⊥AC C.在正方形DCCD内一定存在一点Q,使得平面PQC∥平面ABC D.在正方形DCCD内一定存在一点Q,使得AC⊥平面PQC 海·2· 【25·YK·数学-XIB-高一下册-GSZW】 1若0Ca<登一登<K0os(+a)=号sim(昏-)=9，则下列正确的是 A.sin a=4+2 6 B.cos号-3+2v6 60 C.cos B=22 3 D.c0s(a+8)-5/3 9 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.某中学为了加强艺术教育，促进学生全面发展，要求每名学生从音乐和美术中至少 选择一门兴趣课.某班有50名学生，选择音乐课的有21人，选择美术课的有39 人，从全班学生中随机抽取一人，那么这个人两门兴趣班都选择的概率是 13.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》(1247年)，该书第二 章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”“圆罂测雨” “峻积验雪”和“竹器验雪”，其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收 集雨水.已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，当 盆中积水深九寸时，平地降雨量是寸.（注：1尺=10寸） 14.在直角△ABC中，∠A=90°，AB=2,AC=4,点P在△ABC斜边BC的中线AD 上，则A户·(PB+P心)的最大值为 【25·VK,数堂-xIB一高一下册-GSZW] 四、解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知向量0A=(1,2),O=(m,-2),0心=(-3,1)，0为坐标原点. (1)若AB⊥AC,求实数m的值； (2)在(1)的条件下，求O八与O夹角的余弦值. 别 到 线 ·4· 【25·YK·数学一XB一高一下m-ew1 16.(15分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,D为线段BC上的点，且∠BAD= ∠CAD, SAAnc=sin A. AC2 (1)求sinB. smC的值； (2)若AD=BD,BC=3CD=√3，求AC的值. 17.(15分) 为了研究的需要，某科研团队进行了如下动物实验：将实验疫苗注射到小白鼠体 内，通过正常的生理活动产生抗原蛋白，诱导机体持续作出免疫产生抗体，经过一 段时间后用某种科学方法测算出小白鼠体内的抗体浓度，得到如图所示的统计频 率分布直方图. (1)求抗体浓度百分比的中位数； (2)为了研究“小白鼠注射疫苗后出现副作用R症状”，从实验中分层抽取了抗体 浓度在[2.5,3.5]，[5.5,6.5]中的6只小白鼠进行研究，并且从这6只小白鼠 中选取了2只进行医学观察，求这2只小白鼠中恰有1只抗体浓度在[5.5， 6.5]中的概率 +频率/组距 0.30 0.20 0.15 0.10 0.05 01.52.53.54.55.56.57.5百芬比 抗体浓度百分比直方图 18.(17分) 当a>0且a≠1时，log(mXn)=logm+logn对一切m>0,n>0恒成立.学生 小刚在研究对数运算时，发现有这么一个等式10g2(1×1)=1og21×10g21,带着好 奇，他对log2(m×n)=log2 mXlog2n进行深入研究. (1)若正数m,n满足1og2(m×)=log2 nX log2n,当m=8时，求n的值； (2)除整数对(1,1)，请再写出一个整数对(m,n),使其满足1og2(m×n)=log2m× log2n; (3)证明：当m>1时，只有一个正整数对(m,n)使得等式log2(m×n)=log2m× 1og2n成立. 意·7· 【25·VK·数学-XIR一高-下n-n- 19.(17分) 如图，AD,BC是等腰梯形CDEF的两条高，AD=AE=CD=4,点M是线段AE 的中点，将该等腰梯形沿着两高AD,BC折叠成如图所示的四棱锥P-ABCD(E,F 重合，记为点P). (1)求证：BM⊥DP. (2)求点M到平面BDP的距离. 弥 线 ·8· 【25·YK·数学-XJB-高一下册-GSZW】