立体几何中的综合问题课件-2025届高三数学一轮复习

重难专攻（七）　立体几何中的综合问题 　　随着高考改革的不断深入，立体几何中的翻折、探究、动态等问 题备受命题者青睐.解决此类问题的关键是“以静制动”，将其转化为 平面几何问题，通过构造函数、基本不等式等方法加以解决. 目录 高中总复习·数学（提升版） 【例1】　图①是由矩形 ADEB ，Rt△ ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平 面图形，其中 AB ＝1， BE ＝ BF ＝2，∠ FBC ＝60°.将其沿 AB ， BC 折 起使得 BE 与 BF 重合，连接 DG ，如图②. 翻折问题 目录 高中总复习·数学（提升版） （1）证明：图②中的 A ， C ， G ， D 四点共面，且平面 ABC ⊥平面 BCGE ； 解：证明：由已知得 AD ∥ BE ， CG ∥ BE ，所以 AD ∥ CG ， 所以 AD ， CG 确定一个平面，从而 A ， C ， G ， D 四点共面. 由已知得 AB ⊥ BE ， AB ⊥ BC ，且 BE ∩ BC ＝ B ， 所以 AB ⊥平面 BCGE . 又因为 AB ⊂平面 ABC ，所以平面 ABC ⊥平面 BCGE . 目录 高中总复习·数学（提升版） （2）求图②中的二面角 B - CG - A 的大小. 解：作 EH ⊥ BC ，垂足为 H . 因为 EH ⊂平面 BCGE ，平面 BCGE ⊥平面 ABC ， 平面 BCGE ∩平面 ABC ＝ BC ， 所以 EH ⊥平面 ABC . 由已知，菱形 BCGE 的边长为2，∠ EBC ＝60°，可求得 BH ＝1， EH ＝ .以 H 为坐标原点， 的方向分别为 x 轴， y 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 H - xyz ， 目录 高中总复习·数学（提升版） 则 A （－1，1，0）， C （1，0，0）， G （2，0， ）， ＝（1，0， ）， ＝（2，－1，0）. 设平面 ACGD 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， 则 所以可取 n ＝（3，6，－ ）. 又平面 BCGE 的法向量可取 m ＝（0，1，0）， 所以 cos ＜ n ， m ＞＝ . 因此二面角 B - CG - A 的大小为30°. 目录 高中总复习·数学（提升版） 解题技法 1. 翻折问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清翻折前后 变与不变的关系，尤其是隐含的垂直关系.一般地翻折后还在同一个 平面上的性质不发生变化，不在同一平面上的性质发生变化. 2. 由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化， 因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心展开，这是解决空间垂 直问题的技巧. 目录 高中总复习·数学（提升版） 　图①是直角梯形 ABCD ， AB ∥ DC ，∠ ADC ＝90°， AB ＝2， DC ＝ 3， AD ＝ ＝2 ，以 BE 为折痕将△ BCE 折起，使点 C 到达 C 1的位置，且 AC 1＝ ，如图②. 目录 高中总复习·数学（提升版） （1）求证：平面 BC 1 E ⊥平面 ABED ； 解：证明：如图所示，连接 AC 与 BE 相 交于点 O ，过点 B 作 BF ⊥ EC 交 EC 于点 F . 由 DC ＝3， ＝2 ，得 DE ＝1， CE ＝2. 四边形 ABFD 为矩形，可得 BF ＝ AD ＝ ，FC ＝1. 所以 BC ＝ ＝2，所以∠ BCF ＝60°，所以△ BCE 是等边三角形，所以 OC ＝ ，由 EC ∥ AB ， EC ＝ AB ＝2， OC ⊥ EB ，可得 OA ＝ OC ＝ ， OA ⊥ EB . 目录 高中总复习·数学（提升版） 所以 OA 2＋ O ＝6＝ A ，所以 OA ⊥ OC 1. 又 OB ∩ OC 1＝ O ， OB ， OC 1⊂平面 BC 1 E . 所以 OA ⊥平面 BC 1 E . 又 OA ⊂平面 ABED ， 所以平面 BC 1 E ⊥平面 ABED . 目录 高中总复习·数学（提升版） （2）已知点 P 为线段 DC 1上一点，且 PC 1＝2 PD ，求直线 BP 与平面 ABC 1所成角的正弦值. 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则 O （0，0，0）， A （ ，0，0）， B （0， 1，0）， D （ ，－ ，0）， C 1（0，0， ），所以 ＝（－ ，1，0）， ＝（－ ，0， ）， ＝（－ ）， ＝（ ，－ ，0）， 目录 高中总复习·数学（提升版） 设平面 ABC 1的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），所以 令 x ＝1，则 y ＝ ， z ＝1，所以 n ＝（1， ，1）， 因为点 P 为线段 DC 1上一点，且 PC 1＝2 PD ，所以 ，所以 ＝（ ，－ ，0）＋ （－ ）＝（ ，－2， ）. 目录 高中总复习·数学（提升版） 设直线 BP 与平面 ABC 1所成角为θ，则 sin θ＝ . 所以直线 BP 与平面 ABC 1所成角的正弦值为 . 目录 高中总复习·数学（提升版） 探究问题 【例2】　（2021·全国甲卷19题）已知直三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1中，侧面 AA 1 B 1 B 为正方形， AB ＝ BC ＝2， E ， F 分别为 AC 和 CC 1的中点， D 为棱 A 1 B 1上的点， BF ⊥ A 1 B 1. 目录 高中总复习·数学（提升版） （1）证明： BF ⊥ DE ； 解：证明：因为 E ， F 分别是 AC 和 CC 1的中点，且 AB ＝ BC ＝2，所以 CF ＝1， BF ＝ . 如图，连接 AF ，由 BF ⊥ A 1 B 1， AB ∥ A 1 B 1，得 BF ⊥ AB ，则 AF ＝ ＝3， 所以 AC ＝ ＝2 .由 AB 2＋ BC 2 ＝ AC 2，得 BA ⊥ BC ，故以 B 为坐标原点， 以 AB ， BC ， BB 1所在直线分别为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系 B - xyz . 目录 高中总复习·数学（提升版） 则 B （0，0，0）， E （1，1，0）， F （0，2，1）， ＝（0，2，1）. 设 B 1 D ＝ m （0≤ m ≤2），则 D （ m ，0，2）， 于是 ＝（1－ m ，1，－2）. 所以 · ＝0，所以 BF ⊥ DE . 目录 高中总复习·数学（提升版） （2）当 B 1 D 为何值时，面 BB 1 C 1 C 与面 DFE 所成的二面角的正弦值 最小？ 解：易知面 BB 1 C 1 C 的一个法向量为 n 1＝（1，0，0）. 设面 DFE 的法向量为 n 2＝（ x ， y ， z ）. 则 又 ＝（1－ m ，1，－2）， ＝（－1，1，1）， 所以令 x ＝3，得 y ＝ m ＋1， z ＝2－ m ， 目录 高中总复习·数学（提升版） 于是，面 DFE 的一个法向量为 n 2＝（3， m ＋1，2－ m ）， 所以 cos ＜ n 1， n 2＞＝ . 设面 BB 1 C 1 C 与面 DFE 所成的二面角为θ，则 sin θ＝ ， 故当 m ＝ 时，面 BB 1 C 1 C 与面 DFE 所成的二面角的正弦值最小，为 ，即当 B 1 D ＝ 时，面 BB 1 C 1 C 与面 DFE 所成的二面角的正 弦值最小. 目录 高中总复习·数学（提升版） 解题技法 利用空间向量巧解探究性问题的策略 （1）空间向量最适合于解决立体几何中的探究性问题，它无需进行 复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断； （2）解题时，把结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存 在”问题转化为“点的坐标是否有解”“是否有规定范围内的 解”等问题，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用 这一方法解题. 提醒　探究线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用. 目录 高中总复习·数学（提升版） 　（2024·厦门质检）在三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1中，四边形 AA 1 B 1 B 是 菱形， AB ⊥ AC ，平面 AA 1 B 1 B ⊥平面 ABC ，平面 A 1 B 1 C 1与平面 AB 1 C 的交线为 l . 目录 高中总复习·数学（提升版） （1）证明： A 1 B ⊥ B 1 C . 解：证明：因为四边形 AA 1 B 1 B 为菱形，所以 A 1 B ⊥ AB 1. 因为平面 AA 1 B 1 B ⊥平面 ABC ，平面 AA 1 B 1 B ∩平面 ABC ＝ AB ， AC ⊂平面 ABC ， AC ⊥ AB ， 所以 AC ⊥平面 AA 1 B 1 B . 又 A 1 B ⊂平面 AA 1 B 1 B ，所以 AC ⊥ A 1 B . 又因为 AB 1∩ AC ＝ A ， 所以 A 1 B ⊥平面 AB 1 C . 又 B 1 C ⊂平面 AB 1 C ，所以 A 1 B ⊥ B 1 C . 目录 高中总复习·数学（提升版） （2）已知∠ ABB 1＝60°， AB ＝ AC ＝2， l 上是否存在点 P ，使 A 1 B 与 平面 ABP 所成角为30°？若存在，求 B 1 P 的长度；若不存在，请 说明理由. 目录 高中总复习·数学（提升版） 解：l 上不存在点 P ，使 A 1 B 与平面 ABP 所成 角为30°.理由如下：取 A 1 B 1的中点 D ，连接 AD . 因为∠ ABB 1＝60°，所以∠ AA 1 B 1＝60°. 又 AA 1＝ A 1 B 1， 所以△ AA 1 B 1为等边三角形，所以 AD ⊥ A 1 B 1. 因为 A 1 B 1∥ AB ，所以 AD ⊥ AB . 又平面 AA 1 B 1 B ⊥平面 ABC ，平面 AA 1 B 1 B ∩平面 ABC ＝ AB ， AD ⊂平面 AA 1 B 1 B ， 目录 高中总复习·数学（提升版） 所以 AD ⊥平面 ABC . 以 A 为原点，以 的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴正方向建立空间直角坐标系 A - xyz ，则 A （0，0，0）， B （2，0，0）， C （0，2，0）， A 1（－1，0， ）， B 1（1，0， ）， 则 ＝（0，2，0）， ＝（2，0，0）， ＝（1，0， ）. 目录 高中总复习·数学（提升版） 因为 AC ∥ A 1 C 1， AC ⊄平面 A 1 B 1 C 1， A 1 C 1⊂平面 A 1 B 1 C 1， 所以 AC ∥平面 A 1 B 1 C 1， 又 AC ⊂平面 AB 1 C ，平面 A 1 B 1 C 1∩平面 AB 1 C ＝l ， 所以 AC ∥ l . 假设 l 上存在一点 P ，使 A 1 B 与平面 ABP 所成角为30°. 设 ＝λ （λ∈R），则 ＝（0，2λ，0）， 目录 高中总复习·数学（提升版） 所以 ＝（1，2λ， ）. 设 n ＝（ x ， y ， z ）为平面 ABP 的一个法向量， 则 令 y ＝－ ，则 z ＝2λ，可取 n ＝（0，－ ，2λ）. 又 ＝（3，0，－ ）， 所以 sin 30°＝｜ cos ＜ n ， ＞｜＝ ， 即3＋4λ2＝4λ2，此方程无解， 因此 l 上不存在点 P ，使 A 1 B 与平面 ABP 所成角为30°. 目录 高中总复习·数学（提升版） 动态问题 考向1　轨迹问题 【例3】　（1）点 P 为棱长是2 的正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1的内切 球 O 球面上的动点，点 M 为 B 1 C 1的中点，若满足 DP ⊥ BM ，则动点 P 的轨迹的长度为（　　） A. π B. 2π C. 4π D. 2 π 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：根据题意知，该正方体的内切球半 径为 r ＝ ，如图.取 BB 1 的中点 N ，连接 CN ， 则 CN ⊥ BM ，∴ CN 为 DP 在平面 B 1 C 1 CB 中的 射影，∴点 P 的轨迹为过 D ， C ， N 的平面与内 切球的交线，∵正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1的棱长为2 ，∴ O 到过 D ， C ， N 的平面的距离为 ＝1，∴截面圆的半径为2，∴点 P 的轨迹的长度为2π×2＝4π. 目录 高中总复习·数学（提升版） （2）（多选）如图，已知正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1的棱长为4， M 为 DD 1的中点， N 为 ABCD 所在平面内一动点，则下列命题正确的是（　　） A. 若 MN 与平面 ABCD 所成的角为 ，则点 N 的轨迹为圆 B. 若 MN ＝4，则 MN 的中点 P 的轨迹所围成图形的面积为2π C. 若点 N 到直线 BB 1与到直线 DC 的距离相等，则点 N 的轨迹为 抛物线 D. 若 D 1 N 与 AB 所成的角为 ，则点 N 的轨迹为双曲线 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：如图所示，对于A，根据正方体的性质可知， MD ⊥平面 ABCD ，所以∠ MND 为 MN 与平面 ABCD 所成的角，所以∠ MND ＝ ，所以 DN ＝ DM ＝ DD 1＝ ×4＝2，所以点 N 的轨迹为以 D 为圆心，2为半径的圆，故A正确；对于B，在Rt△ MDN 中， DN ＝ ＝2 ，取 MD 的中点 E ， 目录 高中总复习·数学（提升版） 连接 PE ，因为 P 为 MN 的中点，所以 PE ∥ DN ，且 PE ＝ DN ＝ ，因为 DN ⊥ ED ，所以 PE ⊥ ED ，即点 P 在过点 E 且与 DD 1垂直的平面内，又 PE ＝ ，所以点 P 的轨迹为以 为半径的圆，其面积为π·（ ）2＝3π，故B不正确；对于C，连接 NB ，因为 BB 1⊥平面 ABCD ，所以 BB 1⊥ NB ，所以点 N 到直线 BB 1的距离为 NB 的长度，所以点 N 到点 B 的距离等于点 N 到定直线 CD 的距离，又 B 不在直线 CD 上，所以点 N 的轨迹为以 B 为焦点， CD 为准线的抛物线，故C正确； 目录 高中总复习·数学（提升版） 对于D，以 D 为坐标原点， DA ， DC ， DD 1所在直线分别为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系，则 A （4，0，0）， B （4，4，0）， D 1（0，0，4），设 N （ x ， y ，0），则 ＝（0，4，0）， ＝（ x ， y ，－4），因为 D 1 N 与 AB 所成的角为 ，所以｜ cos ＜ ＞｜＝ cos ，所以｜ ｜＝ ，整理得 ＝1，所以点 N 的轨迹为双曲线，故D正确. 目录 高中总复习·数学（提升版） 解题技法 解决动点轨迹问题的方法 （1）几何法：根据平面的性质进行判定； （2）定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定，或用 代替法进行计算； （3）特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行 排除. 目录 高中总复习·数学（提升版） 考向2　空间位置关系的判定 【例4】　（多选）已知 P ， Q 分别是正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1的棱 BB 1， CC 1上的动点（不与顶点重合），则下列结论正确的是 （　　） A. AB ⊥ PQ B. 平面 BPQ ∥平面 ADD 1 A 1 C. 四面体 ABPQ 的体积为定值 D. AP ∥平面 CDD 1 C 1 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　对于A，∵ AB ⊥ BC ， AB ⊥ BB 1， BC ∩ BB 1＝ B ， BC ， BB 1⊂平面 BCC 1 B 1，∴ AB ⊥平面 BCC 1 B 1，∵ PQ ⊂平面 BCC 1 B 1，∴ AB ⊥ PQ ，故A正确；对于B，∵平面 ADD 1 A 1∥平面 BCC 1 B 1，平面 BPQ 与平面 BCC 1 B 1重合，∴平面 BPQ ∥平面 ADD 1 A 1，故B 正确；对于C，∵ A 到平面 BPQ 的距离 AB 为定值， Q 到 BP 的距离为 定值， BP 的长不是定值，∴四面体 ABPQ 的体积不为定值，故C错 误；对于D，∵平面 ABB 1 A 1∥平面 CDD 1 C 1， AP ⊂ 平面 ABB 1 A 1，∴ AP ∥平面 CDD 1 C 1，故D正确. 目录 高中总复习·数学（提升版） 解题技法 解决空间位置关系的动点问题的方法 （1）应用“位置关系定理”转化； （2）建立“坐标系”计算. 目录 高中总复习·数学（提升版） 考向3　最值（范围）问题 【例5】　（1）已知点 M 是棱长为2的正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1的棱 AD 的中点，点 P 在平面 BCC 1 B 1所在的平面内.若平面 D 1 PM 分别与平 面 ABCD 和平面 BCC 1 B 1所成的锐二面角相等，则点 P 与点 C 1的最短 距离是（　　） A. B. C. 1 D. 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：设 P 在平面 ABCD 上的射影为 P '， M 在平面 BB 1 C 1 C 上的射影为 M '（图略），平面 D 1 PM 与平面 ABCD 和平面 BCC 1 B 1所成的锐二面角分别为α，β，则 cos α＝ ， cos β＝ .因为 cos α＝ cos β，所以 S △ DP ' M ＝ ，设 P 到 C 1 M '距离为 d ，则 × d ＝ ×1×2， d ＝ ，即点 P 到 C 1的最短距离为 . 目录 高中总复习·数学（提升版） （2）（2024·泸州一模）在直三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1中， AB ＝ AC ＝ ， BC ＝ AA 1＝2，点 P 满足 ＝ m ＋（ － m ） ，其 中 m ∈［0， ］，则直线 AP 与平面 BCC 1 B 1所成角的最大值为 （　　） A. B. C. D. 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：分别取 BC ， B 1 C 1中点 D ， D 1，则 DD 1∥ BB 1， 即 DD 1⊥平面 ABC ，连接 AD ，因为 AB ＝ AC ，所以 AD ⊥ BC ，分别以 DA ， DB ， DD 1所在直线为 x ， y ， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 D - xyz ，由已知 AD ＝ ， A （ ，0，0）， B （0，1，0）， C （0， －1，0）， C 1（0，－1，2），则 ＝（0，2，0）， ＝（0，0，2），因为 ＝ m ＋（ － m ） ＝（0，2 m ，3－2 m ）， ＝（－ ，－1，0）， ＝（－ ，2 m －1，3－2 m ），易知平面 BCC 1 B 1的一个法向量是 n ＝（1，0，0）， 目录 高中总复习·数学（提升版） 设直线 AP 与平面 BCC 1 B 1所成角为θ，则θ∈［0， ］， sin θ＝｜ cos ＜ n ， ＞｜＝ ，所以 m ＝1时，（ sin θ）max＝ ，即θ的最大值是 .故选B. 目录 高中总复习·数学（提升版） 解题技法 　　立体几何中体积、距离、角的最值（范围）问题，常用的解题思 路是： （1）直观判断：判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大 （小）值； （2）函数思想：通过建系或引入变量，把这类问题转化为函数，从 而利用代数方法求解. 目录 高中总复习·数学（提升版） 1. 在四棱锥 P - ABCD 中，四边形 ABCD 是边长为2的菱形，∠ DAB ＝ 60°， PA ＝ PD ，∠ APD ＝90°，平面 PAD ⊥平面 ABCD ，点 Q 是△ PBC 内（含边界）的一个动点，且满足 DQ ⊥ AC ，则点 Q 所形成的 轨迹的长度是 ⁠. ​ 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：如图，连接 BD ，交 AC 于点 O ，因为四边形 ABCD 为菱形， 所以 AC ⊥ BD . 取 PC 上一点 M ，连接 MD ， MB ，使得 DM ⊥ AC ， 又 AC ⊥ BD ， BD ∩ DM ＝ D ，所以 AC ⊥平面 BDM ，则点 Q 的轨 迹是线段 BM . 目录 高中总复习·数学（提升版） 以 O 为原点， OA 所在直线为 x 轴， OB 所在直线为 y 轴，过点 O 且垂 直于平面 ABCD 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系.则 O （0，0，0）， A （ ，0，0）， B （0，1，0）， D （0，－1，0）， P ， C （－ ，0，0）， ＝（ ，0，0）， ＝（－ ，－1）， ＝（0，－2，0）.设 ＋λ ＋λ（－ ，－1）， 0≤λ≤1，则 ＝（ λ， λ，1－λ）.因为 OA ⊥ DM ， 目录 高中总复习·数学（提升版） 所以 · ＝0，解得λ＝ ，所以 ＝（0，－2，0）＋ ，所以｜ ｜ ＝ ，即点 Q 所形成的轨迹的长度为 . 目录 高中总复习·数学（提升版） 2. （2024·天津六校联考）在如图所示的实验装置中，正方形框架的 边长都是1，且平面 ABCD ⊥平面 ABEF ，弹子 M ， N 分别在正方形 对角线 AC ， BF 上移动，则 MN 长度的最小值是 ⁠. ​ 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：∵ M ， N 是异面直线 AC ， BF 上两点， ∴ MN 的最小值即为两条异面直线间距离 d .∵平 面 ABCD ⊥平面 ABEF ， AB ⊥ BC ，平面 ABCD ∩平面 ABEF ＝ AB ，∴ BC ⊥平面 ABEF ，又 AB ⊥ BE ，则以 B 为坐标原点可建立如图所示的空间直角坐标系，则 A （1，0，0）， B （0，0，0）， F （1，1，0）， C （0，0，1），∴ ＝（－1，0，1）， ＝（1，1，0）， ＝（－1，0，0）， 目录 高中总复习·数学（提升版） 设异面直线 AC ， BF 的公垂向量 n ＝（ x ， y ， z ），则 令 x ＝1，则 y ＝－1， z ＝1，∴ n ＝（1，－1，1）， d ＝ ，即 MN 的最小值为 . 目录 高中总复习·数学（提升版） 课时 跟踪检测 关键能力 分层施练 素养重提升 课后练习 目录 1. 如图，斜线段 AB 与平面α所成的角为 ， B 为斜足.平面α上的动点 P 满足∠ PAB ＝ ，则点 P 的轨迹为（　　） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　建立如图所示的空间直角坐标系，设 OB ＝ OA ＝1，则 B （0，1，0）， A （0，0，1）， P （ x ， y ，0），则 ＝（0，1，－1）， ＝ （ x ， y ，－1），所以 cos ＜ ＞＝ ，即 x 2＋ ＝1，所以点 P 的轨迹是椭圆. 目录 高中总复习·数学（提升版） 2. 设动点 P 在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1上（含内部）运动，且 ＝ λ ，当∠ APC 为锐角时，实数λ的取值范围为（　　） A. （ ，1） B. （1，＋∞） C. （0， ） D. （0， ）∪（1，＋∞） 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　设 AP ＝ x ， D 1 P ＝ t ，正方体的棱长为1，则 AC ＝ ， 在△ APC 中，由余弦定理得 cos ∠ APC ＝ ，若∠ APC 为锐角，则 ＞0，则 x 2＞1，在△ AD 1 B 中， AD 1＝ ， cos ∠ AD 1 B ＝ ，在△ AD 1 P 中，由余弦定 理得 x 2＝2＋ t 2－2× × t × ，于是2＋ t 2－2× × t × ＞1，即 3 t 2－4 t ＋3＞0，解得 t ＞ 或 t ＜ ，由 D 1 B ＝ ，故λ＞1 （舍去）或0＜λ＜ . 目录 高中总复习·数学（提升版） 3. （2024·广东模拟）已知正四棱锥 P - ABCD 的侧棱长为2，底面边长 为 ，点 E 在射线 PD 上， F ， G 分别是 BC ， PC 的中点，则异面 直线 AE 与 FG 所成角的余弦值的最大值为（　　） A. B. C. D. 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　如图，连接 AC ， BD 交于 O ，连接 PO . 因为 F ， G 分别是 BC ， PC 的中点，所以 FG ∥ PB ，则 AE 与 FG 所成的角即是 AE 与 PB 所成的 角，设 AE 与 PB 所成的角为θ.由题意知， OA ， OB ， OP 两两互相垂直，分别以 OA ， OB ， OP 所在直线为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系，则 P （0，0，1）， D （0，－ ，0）， B （0， ，0）， A （ ，0，0），由 ＝λ （λ≥0）得 目录 高中总复习·数学（提升版） E （0，－ λ，1－λ）（λ≥0），所以 ＝（－ ，－ λ，1－λ）， ＝（0， ，－1），所以 cos θ＝｜ ｜＝ .令 f （λ）＝ （λ≥0），则f'（λ）＝ ，当0≤λ＜ 时，f'（λ）＞0， f （λ）单调递增，当λ＞ 时，f'（λ）＜0， f （λ）单调递减，所以当λ＝ 时， f （λ）取得最大值，此时 cos θ也取得最大值 ，故选C. 目录 高中总复习·数学（提升版） 4. （多选）（2021·新高考Ⅰ卷12题）在正三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1中， AB ＝ AA 1＝1，点 P 满足 ＝λ ＋μ ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0， 1]，则（　　） A. 当λ＝1时，△ AB 1 P 的周长为定值 B. 当μ＝1时，三棱锥 P - A 1 BC 的体积为定值 C. 当λ＝ 时，有且仅有一个点 P ，使得 A 1 P ⊥ BP D. 当μ＝ 时，有且仅有一个点 P ，使得 A 1 B ⊥平面 AB 1 P 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　 ＝λ ＋μ （0≤λ≤1， 0≤μ≤1）.对于选项A，当λ＝1时，点 P 在棱 CC 1 上运动，如图①所示，此时△ AB 1 P 的周长为 AB 1 ＋ AP ＋ PB 1＝ ，不是定值，A错误； 目录 高中总复习·数学（提升版） 对于选项B，当μ＝1时，点 P 在棱 B 1 C 1上运动，如图②所示，则 S △ PBC × S △ PBC ＝ ×1×1＝ ，为定值，故B正确；对于选项C，取 BC 的中点 D ， B 1 C 1的中点 D 1，连接 DD 1， A 1 B ，则当λ＝ 时，点 P 在线段 DD 1上运动， 目录 高中总复习·数学（提升版） 假设 A 1 P ⊥ BP ，则 A 1 P 2＋ BP 2＝ A 1 B 2，即 ＋（1－μ）2＋ ＋μ2＝2，解得μ＝0或μ＝1，所以点 P 与点 D 或 D 1重合时， A 1 P ⊥ BP ，故C错误；对于选项D，易知四边形 ABB 1 A 1为正方形，所以 A 1 B ⊥ AB 1，设 AB 1与 A 1 B 交于点 K ，连接 PK ，要使 A 1 B ⊥平面 AB 1 P ，需 A 1 B ⊥ KP ，所以点 P 只能是棱 CC 1的中点，故选项D正确.综上，选B、D. 目录 高中总复习·数学（提升版） 5. （多选）如图，在棱长为1的正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中， M ， N 分别为 BD 1， B 1 C 1的中点，点 P 在正方体的表面上运动，且满足 MP ⊥ CN . 下列说法中正确的是（　　） A. 点 P 可以是棱 BB 1的中点 B. 线段 MP 的最大值为 C. 点 P 的轨迹是正方形 D. 点 P 的轨迹长度为2＋ 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中，以 D 为坐标原点， DA 所在直线为 x 轴， DC 所在直线为 y 轴， DD 1所在直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∵该正方体的棱长为1， M ， N 分别为 BD 1， B 1 C 1的中点，∴ D 1（0，0，1）， B （1，1，0）， M （ ）， N （ ，1，1）， C （0，1，0）， ∴ ＝（ ，0，1），设 P （ x ， y ， z ），则 ＝（ x － ， y － ， z － ），∵ MP ⊥ CN ，∴ 目录 高中总复习·数学（提升版） （ x － ）＋ z － ＝0，即2 x ＋4 z －3＝0，当 x ＝1时， z ＝ ，当 x ＝0时， z ＝ ，取 E （1，0， ）， F （1，1， ）， G （0，1， ）， H （0，0， ），连接 EF ， FG ， GH ， HE ，则 ＝（0，1，0）， ＝（－1，0， ），∴四边形 EFGH 为矩形，又 · ＝0， · ＝0，即 EF ⊥ CN ， EH ⊥ CN ，又 EF 和 EH 为平面 EFGH 中的两条相交直线，∴ CN ⊥平面 EFGH ，又 ＝（－ ）， 目录 高中总复习·数学（提升版） ＝（－ ），∴ M 为 EG 的中点，则 M ∈平面 EFGH ，为使 MP ⊥ CN ，必有点 P ∈平面 EFGH ，又点 P 在正方体表面上运动，∴点 P 的轨迹为四边形 EFGH ，∴点 P 不可能是棱 BB 1的中点，故选项A错误；又 EF ＝ GH ＝1， EH ＝ FG ＝ ，∴ EF ≠ EH ，则点 P 的轨迹是矩形不是正方形，且矩形 EFGH 的周长为2＋2× ＝2＋ ，故选项C错误，选项D正确；∵点 P 的轨迹为矩形 EFGH ，∴当 P 点在矩形的四个端点时， MP 取得最大值，且 MP 的最大值为 ，故B正确. 目录 高中总复习·数学（提升版） 6. （多选）（2024·新高考Ⅰ卷12题）下列物体中，能够被整体放入棱 长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有 （　　） A. 直径为0.99 m的球体 B. 所有棱长均为1.4 m的四面体 C. 底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体 D. 底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　棱长为1 m的正方体的内切球的直径为1 m，1 m＞ 0.99 m，所以A符合题意；如图①，在棱长为1 m的正方体中，正四 面体 A 1- BDC 1的棱长为 m， m＞1.4 m，所以B符合题意；因 为棱长为1 m的正方体上任意两点间的最大距离为正方体的体对角 线长 m≈1.732 m，而 m＜1.8 m，所以C不符合题意；如图②， 目录 高中总复习·数学（提升版） 假设放入最大的圆柱的上、下底面圆心为 P ， Q ，设圆柱底面半径为 r m，底面直径为 d m，连 接 AC 1，如图③，在平面 AB 1 C 1 D 中，过 Q 作 QE ⊥ AC 1，交 AB 1于点 E ，则 QE ＝ r m， AQ ＝ r m， PQ ＝ －2 r ＝（ d ）m，当 d ＝1.2时， PQ ＝ ×1.2≈1.732－1.414×1.2≈0.035 m＞0.01 m，故D符合题意.故选A、B、D. 目录 高中总复习·数学（提升版） 7. 已知动点 P 在棱长为1的正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1的表面上运动， 且 PA ＝ r （0＜ r ＜ ），记点 P 的轨迹长度为 f （ r ），则 f （1） ＋ f （ ）＝ ⁠. 3π 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：如图，当 r ＝1时，点 P 在正方体表面上的轨 迹分别是以 A 为圆心，1为半径的三个面上的三段 弧，分别为 ，则 f （1）＝3× ×2π＝ ，当 r ＝ 时，点 P 在正方体表面上的轨迹为在平面 A 1 B 1 C 1 D 1上以 A 1为圆心，1为半径的 ，在平面 B 1 BCC 1上为以 B 为圆心，1为半径的 ，在平面 DCC 1 D 1上为以 D 为圆心，1为半径的 ，则 f （ ）＝3× ×2π＝ ，所以 f （1）＋ f （ ）＝ ＝3π. 目录 高中总复习·数学（提升版） 8. 在直四棱柱 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中，底面 ABCD 为正方形， AA 1＝2 AB ＝2.点 P 在侧面 BCC 1 B 1内，若 A 1 C ⊥平面 BDP ，则点 P 到 CD 的距离的最小值为 ⁠. ​ 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则 A 1 （1，0，2）， C （0，1，0）， B （1，1，0）， ＝（－1，1，－2），设 P （ x ，1， z ）， ＝（ x ，0， z ）.由于 A 1 C ⊥平面 BDP ，所以 所以 x ＋2 z ＝1.由 于 · ＝0，即 CP ⊥ DC ， P 到 CD 的距离为｜ CP ｜＝ ，所以当 z ＝－ 时，｜ CP ｜min＝ .即 P 到 CD 的距离的最小值为 . 目录 高中总复习·数学（提升版） 9. 如图，在四棱锥 S - ABCD 中，已知四边形 ABCD 为菱形，∠ BAD ＝ 60°，△ SAD 为正三角形，平面 SAD ⊥平面 ABCD . （1）求平面 SBC 与平面 ABC 夹角的大小； 目录 高中总复习·数学（提升版） 解：取 AD 中点 O ，连接 SO ， BO ， 因为 SA ＝ SD ， OA ＝ OD ，所以 SO ⊥ AD ， 又因为平面 SAD ⊥平面 ABCD ，平面 SAD ∩ 平面 ABCD ＝ AD ， SO ⊂平面 SAD ，所以 SO ⊥平面 ABCD ， 因为 OB ⊂平面 ABCD ，所以 SO ⊥ OB ，因为 BA ＝ BD ， OA ＝ OD ，所以 OA ⊥ OB ，所以 OA ， OB ， OS 两两垂直，以 O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 目录 高中总复习·数学（提升版） 设 AD ＝2，则 S （0，0， ）， B （0， ，0）， C （－2， ，0）， A （1，0，0）， D （－1，0，0）， 平面 ABCD 的法向量为 ＝（0，0， ）， 设平面 SBC 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则 ＝（0，－ ）， ＝（－2，0，0），所以 取 y ＝1，可得 n ＝（0，1，1）， 设平面 SBC 与平面 ABC 的夹角为θ，则 cos θ＝｜ ｜ ＝ ，则θ＝45°. 故平面 SBC 与平面 ABC 的夹角为45°. 目录 高中总复习·数学（提升版） （2）在线段 SC （端点 S ， C 除外）上是否存在一点 M ，使得 AM ⊥ BD ？若存在，指出点 M 的位置；若不存在，请说明理由. 解：设 M （ x 1， y 1， z 1）， ＝λ ，0＜λ＜1，则 M （－2λ， λ， （1－λ））， ＝（－2λ－1， λ， （1－λ））， ＝（－1，－ ，0），由 · ＝2λ＋1－3λ＝0，解得λ＝1，矛盾，故不存在. 目录 高中总复习·数学（提升版） 10. （2024·保定质检）如图①，在Rt△ ABC 中， AB ⊥ BC ， AC ＝2 AB ＝12， E ， F 都在 AC 上，且 AE ∶ EF ∶ FC ＝3∶4∶5， EB ∥ FG ，将△ AEB ，△ CFG 分别沿 EB ， FG 折起，使得点 A ， C 在点 P 处重合，得到四棱锥 P - EFGB ，如图②. （1）证明： EF ⊥ PB ； 目录 高中总复习·数学（提升版） 解：证明：由 AE ∶EF ∶ FC ＝3∶4∶5， AC ＝12， 得 PE ＝ AE ＝3， EF ＝4， PF ＝ FC ＝5， 则 PF 2＝ PE 2＋ EF 2， 所以 PE ⊥ EF . 因为 ，所以△ ABE ∽△ ACB ， 所以 BE ⊥ AC ，即 BE ⊥ EF . 又 PE ∩ BE ＝ E ，所以 EF ⊥平面 PEB ， 因为 PB ⊂平面 PEB ，所以 EF ⊥ PB . 目录 高中总复习·数学（提升版） （2）若 M 为 PB 的中点，求平面 BFM 与平面 EFM 夹角的余弦值. 解：以 E 为坐标原点，以 的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系 E - xyz ， 则 E （0，0，0）， F （4，0，0）， P （0，0，3）， B （0，3 ，0）， M （0， ）， 则 ＝（4，0，0）， ＝（0， ）， ＝（4，－3 ，0）， ＝（4，0，－3）. 目录 高中总复习·数学（提升版） 平面 BFM 即平面 BFP ， 设平面 BFM 的法向量为 m ＝（ x 1， y 1， z 1）， 则 令 y 1＝4，得 m ＝（3 ，4，4 ）. 设平面 EFM 的法向量为 n ＝（ x 2， y 2， z 2）， 则 令 y 2＝1，得 n ＝（0，1，－ ）. 目录 高中总复习·数学（提升版） 设平面 BFM 与平面 EFM 的夹角为θ， 则 cos θ＝｜ cos ＜ m ， n ＞｜＝ . 所以平面 BFM 与平面 EFM 夹角的余弦值为 . 目录 高中总复习·数学（提升版） 11. （2024·苏北四市质检）已知一圆形纸片的圆心为 O ，直径 AB ＝ 2，圆周上有 C ， D 两点.如图， OC ⊥ AB ，∠ AOD ＝ ，点 P 是 上的动点.沿 AB 将纸片折为直二面角，并连接 PO ， PD ， PC ， CD . （1）当 AB ∥平面 PCD 时，求 PD 的长； 目录 高中总复习·数学（提升版） 解：因为 AB ∥平面PCD ， AB ⊂平面 OPD ，平面 OPD ∩平面 PCD ＝ PD ，所以 AB ∥ PD ，又∠ AOD ＝ ，所以∠ ODP ＝∠ OPD ＝ ，所以∠ POD ＝ ，又 OD ＝ OP ＝1，所以 PD ＝ . 目录 高中总复习·数学（提升版） （2）当三棱锥 P - COD 的体积最大时，求二面角 O - PD - C 的 余弦值. 解：由题意知 OC ⊥平面 POD ， 而 S △ DOP ＝ · OD · OP · sin ∠ DOP ， 所以当 OD ⊥ OP 时，三棱锥 P - COD 的体积最大. 易知 OC ， OD ， OP 两两垂直，以 O 为坐标原点， 的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 O - xyz ， 目录 高中总复习·数学（提升版） 则 C （1，0，0）， D （0，0，1）， P （0，1，0）， 故 ＝（1，－1，0）， ＝（0，1，－1）. 设平面 CPD 的法向量为 n 1＝（ x ， y ， z ）. 则 取 y ＝1，得 x ＝1， z ＝1， 目录 高中总复习·数学（提升版） 得平面 CPD 的一个法向量为 n 1＝（1，1，1）. 易知平面 OPD 的一个法向量为 n 2＝（1，0，0）， 所以 cos ＜ n 1， n 2＞＝ ， 所以二面角 O - PD - C 的余弦值为 . 目录 高中总复习·数学（提升版） 12. （2024·青岛调研）如图，在四棱锥 E - ABCD 中，平面 ABCD ⊥平 面 ABE ， AB ∥ DC ， AB ⊥ BC ， AB ＝2 BC ＝2 CD ＝2， AE ＝ BE ＝ ， M 为 BE 的中点. （1）求证： CM ∥平面 ADE ； 目录 高中总复习·数学（提升版） 解：证明：取 AE 的中点 F ，连接 DF ，MF . ∵ M 是 BE 的中点，∴ MF ∥ AB ， MF ＝ AB ， ∴ MF ∥ CD ， MF ＝ CD ， ∴四边形 MFDC 为平行四边形，∴ MC ∥ FD . ∵ MC ⊄平面 ADE ， FD ⊂平面 ADE ， ∴ CM ∥平面 ADE . 目录 高中总复习·数学（提升版） （2）求平面 EBD 与平面 BDC 夹角的正弦值； 解：∵平面 ABCD ⊥平面 ABE ， AB ⊥BC ， BC ⊂平面 ABCD ，平面 ABCD ∩平面 ABE ＝ AB ， ∴ BC ⊥平面 ABE . 取 AB 的中点 O ，连接 OD ， OE ， 易得 DO ⊥平面 ABE ， OB ⊥ OE . 目录 高中总复习·数学（提升版） 如图，以 O 为原点， OE ， OB ， OD 所在直线分 别为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系， 则 E （ ，0，0）， B （0，1，0）， C （0， 1，1）， D （0，0，1）， ＝（0，－1，1）， ＝（ ，－1，0）.设平面 EBD 的一个法向量为 n 1＝（ x ， y ，z ）， 目录 高中总复习·数学（提升版） 由 取 x ＝1，得 n 1＝（1， ）. 易知平面 BDC 的一个法向量为 n 2＝（1，0，0）， 则 cos ＜ n 1， n 2＞＝ ， ∴ sin ＜ n 1， n 2＞＝ ， 故平面 EBD 与平面 BDC 夹角的正弦值为 . 目录 高中总复习·数学（提升版） （3）在线段 AD 上是否存在一点 N ，使直线 MD 与平面 BEN 所成 角的正弦值为 ？若存在，求出 AN 的长；若不存在，请说 明理由. 目录 高中总复习·数学（提升版） 解：由（2）知， A （0，－1，0）， M （ ，0）， ＝（0，1，1）， ＝（－ ，－ ，1）， 设 ＝ t ＝（0， t ， t ）， t ∈[0，1]， 则 N （0， t －1， t ）， ＝（0， t －2， t ）， ＝（ ，－1，0）. 设平面 BEN 的一个法向量为 n ＝（x'，y'，z'），由 目录 高中总复习·数学（提升版） 取y'＝ t ，得 n ＝（ t ， t ，2－ t ）. 设直线 MD 与平面 BEN 所成角为α，则 sin α＝ ， 整理得16 t 2－34 t ＋13＝0， 解得 t ＝ 或 t ＝ （舍去）， 故 AN ＝ AD ＝ . 目录 高中总复习·数学（提升版） 感 谢 观 看! $$