精品解析：山东省烟台第二中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题

山东省烟台第二中学2023-2024学年度第二学期高二4月月考 数学 2024.04.28 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知空间中四个不同的点、、、，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算化简可得结果. 【详解】. 故选：A. 2. 圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆心为，则圆的方程为，再根据圆过点，求出的值，即可得解. 【详解】依题意设圆心为，则圆的方程为， 又，解得，所以圆的方程为. 故选：D 3. 已知向量，，向量在向量上的投影向量为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的公式计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为 故选：A 4. 已知双曲线的虚轴长为4，则实数的值为（ ）. A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线方程确定虚轴在轴，从而确定参数值． 【详解】由题意虚轴在轴，，． 故选：A． 5. 已知圆（为圆心，且在第一象限）经过，，且为直角三角形，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设且，半径为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】依题意，圆经过点，可设且，半径为， 则，解得，所以圆的方程为. 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的求解，其中解答中熟记圆的标准方程的形式，以及合理应用圆的性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 6. 已知线段的端点B的坐标是，端点A在抛物线上运动，则线段的中点的轨迹为（ ） A. 直线 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 椭圆 【答案】B 【解析】 【分析】设，借助为线段的中点及A在抛物线上，计算可得轨迹方程，即可得解. 【详解】设，由为线段的中点，故， 又端点A在抛物线上，故有， 化简得，故线段的中点的轨迹为抛物线. 故选：B. 7. 过点的直线与椭圆相交于，两点，设线段的中点为，若直线的斜率为，直线（为原点）的斜率为，则等于（ ）. A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点差法求得正确答案. 【详解】设， 由于在椭圆上， 所以， 两式相减并化简得， 即. 故选：D 8. 已知直线：与直线：相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可知直线，分别过定点，，且两直线垂直，点的轨迹是以为直径的圆，点到直线的距离的最大值即为圆心到直线的距离与半径的和. 【详解】由已知直线，分别过定点，， 当时，：，：，交点为， 当时，直线的斜率为，直线的斜率为，斜率的乘积为，所以， 所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心坐标为，半径， 所以圆的方程为，不包括点，点满足该方程， 圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最大值为. 故选：. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选题）如图，点是正方体的棱的中点，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线始终是异面直线 B. 存在点，使得 C. 四面体的体积为定值 D. 当时，平面平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A选项，当位于中点时，与共面；对于选项B和D可采用空间向量计算，对于C选项，连接,交于 ，此时//，易证所以四面体的体积为定值. 【详解】解： 对于A选项，连接交与，当点在点时，直线与直线相交，故A选项不正确； 对于C.选项，连接,交于 ，此时//，故线段到平面的距离为定值，所以四面体的体积为定值，故C选项正确； 以为坐标原点，建立如图的坐标系，设正方体的边长为，则，，，， ，， 对于B选项， 存在点，使得， 则， ，，所以，得，故当满足时，， 故B选项正确； 对于D选项，当满足时，， ， ，故平面的法向量可求得为：， ，，故平面的法向量可求得为：， 所以，即平面平面，故D选项. 故选：BCD. 【点睛】本题考查空间直线与直线的位置关系判断，考查空间平面与平面的位置关系判断，以及几何体的体积计算等，难度一般. 10. 设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过点P作，相交于点Q，则线段FQ的垂直平分线（ ）． A. 不经过点O B. 经过点P C. 平行于直线OP D. 垂直于直线OP 【答案】AB 【解析】 【分析】依据题意不妨作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即求解. 【详解】如图： 因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上， 根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点，故B正确； 由图可知：A正确，CD错误. 故选：AB 11. 在如图所示的棱长为1的正方体中，点P在侧面所在的平面上运动，则下列命题中正确的为（ ） A. 若点P总满足，则动点P的轨迹是一条直线 B. 若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一个周长为的圆 C. 若点P到直线的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆 D. 若点P到直线与直线的距离相等，则动点P的轨迹是双曲线 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.根据平面，判断点的轨迹；B.根据平面与球相交的性质，判断选项；C.由条件可转化为，根据椭圆的定义判断；D.由条件建立坐标系，求点的轨迹方程，判断轨迹是否是双曲线. 【详解】A.在正方体中，平面， 所以，所以平面， 平面，所以， 同理，所以平面， 而点P在侧面所在的平面上运动，且， 所以点的轨迹就是直线，故A正确； B.点的轨迹是以为球心，半径为的球面与平面的交线， 即点的轨迹为小圆，设小圆的半径为， 球心到平面的距离为1，则， 所以小圆周长，故B正确； C. 点P到直线AB的距离就是点到点的距离， 即平面内的点满足， 即满足条件的点的轨迹就是线段，不是椭圆，故C不正确； D.如图，过分别做于点，于点， 则平面，所以，过做，连结， ，所以平面，所以， 如图建立平面直角坐标系，设， ，则，， 即，整理为：， 则动点的轨迹是双曲线，故D正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹问题，截面的形状判断，重点考查空间想象能力，逻辑推理，计算能力，属于中档题型. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题后的横线上． 12. 已知向量两两夹角为60°，且，则__________． 【答案】． 【解析】 【分析】由向量模长公式列出算式并计算出结果. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，用点斜式求出直线的方程，将直线方程与抛物线联立得到一元二次方程，利用韦达定理得到，，由即可求出. 【详解】抛物线的焦点为， 设A，B两点的坐标为和，由题意得直线的方程为， 将直线和抛物线联立，可得， 其中， 则，， . 故答案为： 14. 如图，，是双曲线上的两点，是双曲线的右焦点.是以为顶点的等腰直角三角形，延长交双曲线于点.若，两点关于原点对称，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】结合双曲线的定义、对称性列方程，化简求得的关系式，从而求得双曲线的离心率. 【详解】设左焦点为，连接， 依题意：是以为顶点的等腰直角三角形，，两点关于原点对称， 结合双曲线的对称性可知：四边形是矩形，所以， 设，则， ， 由， 即， 整理得，. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（几何题没有图的要求自己画图） 15. 在平行六面体中，，，为与的交点. （1）用向量，，表示； （2）求与的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意为的中点，得到，再由空间向量的线性运算，即可求解； （2）根据，结合第（1）问及空间向量的数量积的运算得，即可求解. 【小问1详解】 因为为与的交点，所以， 又因为， 所以. 【小问2详解】 因为，又， 所以 ，所以与的夹角为. 16. 已知直线与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点. （1）若，求m的值； （2）求线段AB中点M的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，由韦达定理结合抛物线的定义，列式求解即可； （2）设点，根据中点坐标运算得，代入得，即可求得动点的轨迹方程. 【小问1详解】 联立方程，消去y得， 由得，设，，则， 由抛物线定义知：，解得，符合题意， 所以. 【小问2详解】 设点，则由题意得，因为，所以， 把即代入得， 所以点M的轨迹方程为. 17. 已知圆，过点的直线与圆交于两点，线段的中点为. （1）若点的坐标为，求； （2）若线段的垂直平分线经过点，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求的直线方程，再求圆心到直线的距离，在根据勾股定理计算弦长； （2）先考虑直线的斜率不存在的情况，当直线的斜率存在时，计算出点坐标，再计算出的中垂线方程，把点代入中垂线方程即可求解. 【小问1详解】 因为，，所以直线的方程为， 圆的方程可化为：，则圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离为，根据勾股定理可知：； 【小问2详解】 设的中点为， 当直线的斜率不存在时，由（1）可知，的坐标为， 则的中点的坐标为，，所以与不垂直，不合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 联立，得， 故，， 则 ， 所以的坐标为， 的中点的坐标为， 所以的中垂线方程为， 由于的中垂线经过点， 把代入的中垂线方程，得， 整理得：， 把代入联立后的一元二次方程得：， 此时，所以复合题意， 所以直线的方程为，即. 18. 如图，长方体的底面是边长为3的正方形，点为棱的中点，. （1）求的长度； （2）求点D到平面的距离. 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，则，利用空间向量垂直的坐标表示列式求解即可； （2）先求出平面的法向量，再利用空间点到面距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 如图，以D为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设，由已知可得， 所以， 因为，所以，解得， 所以.即的长度为6. 【小问2详解】 设平面的法向量为，且， 则有，即，令得， 又， 所以点D到平面的距离. 19. 过点作直线与抛物线 相交于两点，且点在的准线上． （1）求抛物线的方程； （2）若的中点为，线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据准线方程求出即可； （2）设直线的方程，和抛物线联立求出点的坐标，再求出中垂线方程以及的坐标，最后求出的表达式和范围. 【小问1详解】 由题意得：，所以抛物线方程为； 【小问2详解】 由题意可知，直线的斜率显然是存在的且，设直线的方程为，， 直线的方程与抛物线方程联立消去得：， 故，，， ， 所以点的坐标为， 直线的中垂线方程为，令，得，即的坐标为， 所以，到的距离为，所以， 设，由于且，所以， 设，显然在单调递增， ，即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省烟台第二中学2023-2024学年度第二学期高二4月月考 数学 2024.04.28 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知空间中四个不同的点、、、，则（ ） A. B. C. D. 2. 圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为（ ）． A. B. C. D. 3. 已知向量，，向量在向量上的投影向量为（ ）． A. B. C. D. 4. 已知双曲线的虚轴长为4，则实数的值为（ ）. A. 4 B. C. D. 5. 已知圆（为圆心，且在第一象限）经过，，且为直角三角形，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知线段的端点B的坐标是，端点A在抛物线上运动，则线段的中点的轨迹为（ ） A. 直线 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 椭圆 7. 过点的直线与椭圆相交于，两点，设线段的中点为，若直线的斜率为，直线（为原点）的斜率为，则等于（ ）. A. B. 2 C. D. 8. 已知直线：与直线：相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选题）如图，点是正方体的棱的中点，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线始终是异面直线 B. 存在点，使得 C. 四面体的体积为定值 D. 当时，平面平面 10. 设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过点P作，相交于点Q，则线段FQ的垂直平分线（ ）． A. 不经过点O B. 经过点P C. 平行于直线OP D. 垂直于直线OP 11. 在如图所示的棱长为1的正方体中，点P在侧面所在的平面上运动，则下列命题中正确的为（ ） A. 若点P总满足，则动点P的轨迹是一条直线 B. 若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一个周长为的圆 C. 若点P到直线的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆 D. 若点P到直线与直线的距离相等，则动点P的轨迹是双曲线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题后的横线上． 12. 已知向量两两夹角为60°，且，则__________． 13. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，则________. 14. 如图，，是双曲线上的两点，是双曲线的右焦点.是以为顶点的等腰直角三角形，延长交双曲线于点.若，两点关于原点对称，则双曲线的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（几何题没有图的要求自己画图） 15. 在平行六面体中，，，为与的交点. （1）用向量，，表示； （2）求与的夹角. 16. 已知直线与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点. （1）若，求m的值； （2）求线段AB中点M的轨迹方程. 17. 已知圆，过点的直线与圆交于两点，线段的中点为. （1）若点的坐标为，求； （2）若线段的垂直平分线经过点，求直线的方程. 18. 如图，长方体的底面是边长为3的正方形，点为棱的中点，. （1）求的长度； （2）求点D到平面的距离. 19. 过点作直线与抛物线 相交于两点，且点在的准线上． （1）求抛物线的方程； （2）若的中点为，线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $